2.4.1 圆的标准方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 [教材知识——一遍过] 1.D　2.D 3.B　方法一：易知圆心O在线段AC的垂直平分线x＝－3上，也在线段BC的垂直平分线y＝1上， 所以圆心为（－3，1），所以所求圆的半径为r＝＝. 方法二：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）， 将A，B，C三点的坐标代入，可得解得 故圆的半径为. 方法三：画图（图略）可知AC⊥BC，又A，B，C三点共圆，故圆心为线段AB的中点（－3，1），易求半径为. 4.　解析：由已知可得，直线过圆心，将（a，0）代入直线方程得2a＋0－1＝0，解得a＝. 5.解：（1）圆心为M（－5，3），且过点A（－8，－1）， 则圆的半径r＝｜MA｜＝＝5， 又圆心为M（－5，3），所求圆的方程为（x＋5）2＋（y－3）2＝25. （2）由圆心在直线3x＋y－5＝0上，可设圆心为（a，5－3a）， 又所求圆过原点以及点（3，－1），所以圆心（a，5－3a）到原点及点（3，－1）的距离相等， 即＝， 即a2＋（5－3a）2＝（a－3）2＋（6－3a）2，解得a＝， 半径r＝＝， 故所求圆的方程为＋y2＝. （3）圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝5的圆心坐标为C（2，－1），半径为. 设点C（2，－1）关于直线x－y＋1＝0对称的点为C'（m，n）， 则解得 所以所求圆的方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝5. 6.A　7.A　8.D 9.A　圆C：（x＋2）2＋（y－2）2＝1的圆心C（－2，2），半径r＝1， 又易知点M在圆的外部，所求的最短距离为｜CM｜－r＝－1＝2－1. [综合素养——全提升] 1.C　圆C与x轴相切，设圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝b2， 将M（1，－3），N（－2，－6）代入得 化简得 ①×2－②得a2－8a－20＝0，解得a＝－2或a＝10. 2.A　圆C经过原点O和点A（2，2），线段OA的中点为（1，1），直线OA的斜率为＝1， 则线段OA的垂直平分线的方程为y－1＝－1×（x－1），即x＋y＝2， 由解得因此圆C的圆心C（－1，3），半径｜OC｜＝， 所以圆C的方程为（x＋1）2＋（y－3）2＝10. 3.A　圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝1的圆心C（2，1），半径r＝1， 设P（a，b），∵A（－t，0），B（t，0），t＞0， ∴＝（－t－a，－b），＝（t－a，－b）， ∴·＝（－t－a）（t－a）＋（－b）（－b）＝a2－t2＋b2＝0，即t2＝a2＋b2， ∴｜OP｜＝＝t. ∵点P在圆C上，∴t表示圆C上的点P到原点的距离， 又｜OC｜＝＝3，r＝1， ∴｜OC｜－r≤｜OP｜≤｜OC｜＋r，即2≤｜OP｜≤4，得2≤t≤4， 因此t的取值范围为[2，4]. 故选A. 4.ABD　圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确； 令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0， ∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确； 由（2－k）2＋（2－k）2＝4， 化简得k2－4k＋2＝0， ∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.故选A、B、D. 5.（x＋3）2＋（y－2）2＝1　解析：已知圆心C（1，－2），设其关于直线x－y＋1＝0的对称点为C'（a，b）， 则有解得即C'（－3，2）. 又因为圆C和圆C'的半径相同， 所以圆C关于直线x－y＋1＝0对称的圆C'的标准方程为（x＋3）2＋（y－2）2＝1. 6.　解析：圆C：（x－4）2＋（y－4）2＝8的圆心C（4，4），半径r＝2， 表示圆上的点P（m，n）到原点O（0，0）之间的距离， 因为（0－4）2＋（0－4）2＝32＞8，所以原点O（0，0）在圆C外， ｜OC｜＝＝4， 所以4－2≤｜OP｜≤4＋2，即2≤｜OP｜≤6， 即∈. 7.解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为｜AB｜＝＝. 则所求圆的标准方程为x2＋（y－1）2＝10. （2）由题意可知，圆心在线段AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点为（0，1），kAB＝＝－3， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝（x－0），即x－3y＋3＝0. 又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴解得即圆心的坐标是（3，2）， ∴半径r＝＝2， ∴所求圆的标准方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 　 求圆的标准方程 1.[教材习题改编]设点A（2，3），B（－4，－1），则以线段AB为直径的圆的方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋1）2＝52 B.（x－1）2＋（y＋1）2＝13 C.（x＋1）2＋（y－1）2＝52 D.（x＋1）2＋（y－1）2＝13 2.（2026·天津期末）圆心坐标为C（－1，2），且与x轴相切的圆的方程为（　　） A.（x－1）2＋（y＋2）2＝1 B.（x－1）2＋（y＋2）2＝4 C.（x＋1）2＋（y－2）2＝1 D.（x＋1）2＋（y－2）2＝4 3.[一题多解]过A（－2，2），B（－4，0），C（－4，2）三点的圆的半径为（　　） A.1 B. C.2 D.2 4.若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）＋y2＝1的一条对称轴，则a＝　　　　. 5.求下列各圆的方程： （1）圆心为M（－5，3）且过点A（－8，－1）. （2）圆心在直线3x＋y－5＝0上，且经过原点和点（3，－1）. （3）与圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝5关于直线x－y＋1＝0对称. 点与圆的位置关系 6.（2026·浙江台州十校联盟联考） 若点（1，a）在圆（x－1）2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，1） B.（－∞，1） C.[0，1） D.（1，＋∞） 7.点P（a，10）与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是（　　） A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.与a的值有关 8.（2026·江苏苏州期中）若四点（2，2），（3，－1），（5，3），（6，m）（m＞0）在同一个圆上，则实数m的值为（　　） A. B.1 C. D.2 9.（2026·安徽合肥期中）在平面直角坐标系xOy中，点M（4，－2）到圆C：（x＋2）2＋（y－2）2＝1的最短距离是（　　） A.2－1 B.4 C.8 D.2－1 　 1.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点M（1，－3），N（－2，－6），且与x轴相切，则圆心C的横坐标是（　　） A.－10 B.2或－10 C.－2或10 D.－2 2.（2026·重庆月考）已知圆C经过原点O和点A（2，2），并且圆心在直线l：2x－y＋5＝0上，则圆C的方程为（　　） A.（x＋1）2＋（y－3）2＝10 B.（x－1）2＋（y＋3）2＝10 C.（x－3）2＋（y＋1）2＝10 D.（x＋3）2＋（y－1）2＝10 3.已知圆C：（x－2）2＋（y－1）2＝1和两点A（－t， 0）， B（t， 0）， 其中t＞0，若圆C上存在点P，使得·＝0，则t的取值范围为（　　） A.[2，4] B.[1，3] C.（2，4） D.[0，4] 4.（多选）设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（　　） A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 5.与圆C：（x－1）2＋（y＋2）2＝1关于直线x－y＋1＝0对称的圆的标准方程为　　　　　. 6.已知P（m， n）是圆C：（x－4）2＋（y－4）2＝8上的一个动点，则的取值范围为　　　　　. 7.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）. （1）求周长最小的圆的标准方程； （2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $