2.5.1直线与圆的位置关系同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 2.直线被圆截得的弦长为，则(    ) A. B. C. D. 3.若点为圆的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为     A. B. C. D. 4.已知直线与圆C：交于A，B两点，则的最小值为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是      A. B. C. D. 6.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为         A. B. C. D. 7.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是  A. 或 B. 或 C. D. 8.实数x，y满足，则的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆C：，直线l过点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆C的半径为2 B. 圆C的圆心坐标为 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 直线l被圆C截得的最长弦长为4 10.过一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，已知，O为坐标原点，则    A. B. C. D. 直线AB与圆相交 11.已知圆M：，则下列说法正确的是    A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若由直线上的任意一点向圆画切线，则切线长的最小值为          . 13.过点的直线l与圆C：交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线l的方程是          . 14.已知点P是直线上的点，点Q是圆上的点，则的最小值是          . 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知圆C： 过点向圆C作切线l，求切线l的方程； 若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 16.本小题14分 已知圆M过，两点，且圆心M在上． Ⅰ求圆M的方程； Ⅱ设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1直线与圆的位置关系 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查求圆的标准方程以及圆的切线方程，直线的点斜式方程，两条直线垂直的判定，属于基础题. 首先求的值，然后求圆心坐标，接着求圆心C与点P连线的斜率，最后求圆在点P处的切线方程. 【解答】 解：因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：， 即，所以， 则圆的方程为， 所以此圆的圆心， 根据斜率公式得 ， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直， 已知，所以点处切线的斜率为， 又因为切线过点， 所以切线方程为， 整理得 故选： 2.直线被圆截得的弦长为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用，属于基础题． 求出圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，由此利用直线被圆截得的弦长为，由勾股定理能求出 【解答】 解：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为， 由勾股定理得， 即， 解得 故选： 3.若点为圆的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为     A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查圆的中点弦问题，属于基础题. 圆  的圆心  ，由给定条件结合圆的性质可得  ，求出直线OP斜率即可计算作答． 【解答】 解：依题意，圆  的圆心  ， 因点  为圆  的弦 AB 的中点， 则有  ，而直线OP斜率为  ， 于是得直线AB斜率  ， 又直线 AB 过 P ，因此有  ，即  ， 所以弦 AB 所在直线的方程为  ． 故选：A 4.已知直线与圆C：交于A，B两点，则的最小值为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离问题，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解． 【解答】 解：直线可化为， 由， 可得，，所以直线过定点，设， 将圆C：化为标准式为， 所以圆心，半径，， 当时，的最小， 此时 故选： 5.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是      A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系及点到直线距离公式，属于中档题. 由题意，为的底边长，点P到直线的距离为的高h，利用圆上点到直线距离的最大值与最小值即可求出.【解答】 解：直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， 令，得，令，得， ，，， 点P到直线的距离为的高h， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为：， 所以点P到直线的距离h的最大值为，最小值为， 则面积为， 最大值为， 最小值为， 所以面积的取值范围为 故选 6.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为         A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，属于一般题. 利用曲线表示的几何意义，转化为直线与圆的位置关系即可求解. 【解答】 解：由曲线，得， 故曲线表示以为圆心，半径为2的上半圆， 又直线恒过点， 如图： 当直线与半圆相切时， ，解得舍负， 又， 由图像可知， 若直线与曲线有两个交点， 则， 实数k的取值范围为 故选： 7.直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是  A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，属于综合题. 把曲线方程整理后可知其图象为半圆，画出图象，要使直线与曲线有且仅有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于  和另一个点，及与曲线交于点  ，分别求出 b ，则 b 的范围可得． 【解答】 解：曲线  ，即   ， 表示一个半圆单位圆位于 y 轴及 y 轴右侧的部分， 如图，设  、  、  ， 当直线  经过点 A 时，  ，求得  ， 此时只有一个公共点，符合题意； 当直线  经过点 B 、点 C 时，  ，求得  ， 此时有2个公共点，不符合题意； 当直线  和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径， 可得  ，求得  或  舍去， 即：  时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数 b 的范围为  或  ， 故选： 8.实数x，y满足，则的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，直线斜率公式的应用，属于中档题． 表示圆上的点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切的性质求解. 【解答】 解：实数x，y满足， 即， 表示以为圆心，半径等于2的圆， 则表示圆上的点与定点连线的斜率， 如图， 当切线位于AB这个位置时，k最大， 当切线位于AE这个位置时，k最小， 设过A与圆C相切的切线方程为， 即， 可得， 求得或， 故的取值范围是 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知圆C：，直线l过点，则下列说法正确的是(    ) A. 圆C的半径为2 B. 圆C的圆心坐标为 C. 直线l被圆C截得的最短弦长为 D. 直线l被圆C截得的最长弦长为4 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，是基础题． 由圆的标准方程和直线与圆的位置关系判断． 【解答】 解：由已知圆的标准方程是，圆心为，半径为2，A正确，B错误； 记点为M， 由于，所以点M在圆内， 当时弦长最短，最短弦长为，当直线l过圆心时，弦长最长，最长弦长为直径长4，CD均正确. 故选： 10.过一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，已知，O为坐标原点，则    A. B. C. D. 直线AB与圆相交 【答案】BC  【解析】如图，圆的圆心为O， 则，， 又PA与圆O相切， 所以， 所以在中， ，且， 同理，，， 所以，，A错误，B正确; 因为，， 所以，C正确; 由，得， 点O到AB的距离为， 又圆的半径为， 所以直线AB与圆相切，D错误. 11.已知圆M：，则下列说法正确的是    A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属于中档题. A选项，代入点坐标，大于0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D选项，利用点到直线距离进行求解. 【解答】 解：整理得：， ，时，点在圆M外，A错； 圆心在直线上，圆M关于对称，B对； 圆M半径为1，故C错； 圆心到直线的距离为，与半径相等， 直线与圆M相切，D对. 故选 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若由直线上的任意一点向圆画切线，则切线长的最小值为          . 【答案】2  【解析】略 13.过点的直线l与圆C：交于A，B两点，C为圆心，当最小时，直线l的方程是          . 【答案】  【解析】由题意知，点M在圆C内，当最小时，圆心到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直．又直线CM的斜率为，所以直线l的斜率为，因此直线l的方程是，即 14.已知点P是直线上的点，点Q是圆上的点，则的最小值是          . 【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 求出圆心到直线的距离减去半径即可得到的最小值． 【解答】 解：如图， 圆心到点P的距离的最小值为点到直线的距离，所以直线和圆相离， 故点Q到点P的距离的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共2小题，共27分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知圆C： 过点向圆C作切线l，求切线l的方程； 若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】解：切线l的斜率不存在时，满足条件． 切线l的斜率存在时，设方程为，即， 圆心到切线l的距离，解得， 可得切线方程为：， 综上可得切线l的方程为：，或 当时，取得最小值，此时，   【解析】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 切线l的斜率不存在时，满足条件．切线l的斜率存在时，设方程为，即，利用切线的性质、点到直线距离公式即可得出 当时，取得最小值，利用点到直线距离公式可得，利用勾股定理可得 16.本小题14分 已知圆M过，两点，且圆心M在上． Ⅰ求圆M的方程； Ⅱ设P是直线上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 【答案】解：设圆M的方程为， 因为圆M过，两点，且圆心M在上， 所以，解得：，， 故所求圆M的方程为：； 由题知，四边形PAMB的面积为 又，， 所以， 而， 即 因此要求S的最小值，只需求的最小值即可， 即在直线上找一点P，使得的值最小， 所以， 所以四边形PAMB面积的最小值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $