练案19 第二章2.4.1 圆的标准方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

.1,l2之间的距离d= 5 =5 √/1+4 (2)由题意，得3-m>0.÷0<m<3, 直线↓2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 5=m(3-m)=-(m子)f+g, 当m=号时5的最大位为号， 9 此时直线l2的方程为2x+2y-3=0. 10.【解析】当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y=kx, 即：-y=0,由已知得3k-=2, k2+1 整理得7k2-6k-1=0, 解得长=-宁或6=1， 所以所求直线的方程为x+7y=0或x-y=0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x+y=a, 由题意得4-a=万，整理得1a-41=2, 解得a=6或a=2, 所以所求直线的方程为x+y-6=0或x+y-2=0. 综上所述，所求直线方程为x+7y=0或x-y=0或x+y-6 =0或x+y-2=0. 11.AC设点P的坐标为(a,5-3a),由题意得 1a-(5-3a)-L=万，解得a=1或2，所以点P的坐标为 √2+(-1)7 (1,2)或(2，-1). 12.B设点P(x,y)为∠BAC的平分线上任意一点，则点P到直 线AB,4C的距离相等.所以4x-3y+101_3x=4y=51,所 /16+9 w16+9 以4x-3y+10=3x-4y-5或4x-3y+10=-(3x-4y- 5),即点P所在直线方程为x+y+15=0或7x-7y+5=0. 又因为=号6c=子，即∠B4C的平分线所在的直线方 程的斜率在子和号之间.所以∠B4C的平分线所在的直线 方程为7x-7y+5=0. 13.D3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d,=1-4纠 32+22 3下，4x-6y+G=0与4x-6y+c3=0间的距离4= 13 1c-c=店1G-21,又由正方形特点可知d=d,即 √42+62 =26 33=3 13 261c1-c1,解得1c1-21=6. 14.15°或75°由两平行直线的距离公式，可得直线l:x-y+1 =0与2：x-y+3=0的距离为d=13-山=万，又直线被两 平行直线(，：x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的 长为22，即该直线与直线1所成角为30°，又直线l1的倾斜 角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75° -26 15.3,2+2点P(3,3)到直线l:xcos0+ysin0-2=0的距离d -13cas0+302-3m(0+年）-2，当sm(0+ √cos20+sin0 子）=-1，即0=2km+keZ时，d有最大值3万+2 16.【解析】(1)G到直线x-y-2=0的距离为2=2， 由重心的性质可知， G到直线x-y-2=0的距离为A到直线x-y-2=0的3， ,1 所以三角形BC边上的高为32， 故5w=7×3万x3万=9 (2)假设存在B满足条件， 设B(a,a-2)(a-2<0),C(3+a,1+a),A(x,y), a+3+a+x=3,x=-2a,a-2+1+a+y=3,y=4-2a, ka=4-2a-a+2--630-1-2 -2a-a 3a AB所在直线的方程为y-a+2=(1-名）x-)。 令y=0,解得x=0, 直线AB与x轴的交点M(0,O), 直线x-y-2=0与x轴的交点N(2,0), MN=2. MN.(2-a)=7×2x2-a）=2-a 9 S△BwN=2 2 5 即a=-2' 所以（，-号）。 2,-2 这时A在x轴上方，满足题意， 即存在(-子)满足米 练案[19] 1.C由圆的标准方程(x-2)2+(y+3)2=11,得圆心为 (2,-3),故选C. 2.A设圆心(a,0),则√(a-1)2+(0-2)2=2,即a=1,故 选A. 3.D圆的圆心为(-a,-b).直线经过一、二、四象限，a< 0,b>0,即-a>0,-b<0.圆心在第四象限. 4.B如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0),.半径2= 1MC12=5,.所求圆的标准方程为(x+3)2+y2=5. 41 5.AD令x=0,则y=4:令y=0,则x=2.所以直线2x+y-4= 0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).1ABI= √22+4=25，以A为圆心，过B点的圆的方程为x2+(y- 4)2=20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x-2)2+y =20. 6.(x+1)2+(y-2)2=5将直线方程整理为(x+1)a-(x+y -1)=0,可知直线恒过点(-1,2)，从而所求圆的方程为 (x+1)2+(y-2)2=5. 7.-2或-6(-∞，-6)U(-2,+∞)由题意，得x+ 分)+g-1)2=1,若点P在圆c上时，(2+号)+(1 1)2=1,解得a=-2或a=-6.若点P在圆C外时， (2+分）+(1-1)2>1，解得a<-6或a>-2 8.-4点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点，.x2-4y=1-y -4y=-(y+2)2+5.ye[-1,1],∴.当y=1时，-(y+ 2)2+5有最小值-4. 9.【解析】(1)设圆心为C(0,b), .r=(3-0)2+(-4-b)7=5, .(4+b)2=16=42, .4+b=4或4+b=-4, .∴.b=0或b=-8, .圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25, (2)设圆心为M(a,0),:IMC1=1MD1, .(a+1)2+(0-1)2=(a-1)2+(0-3)2, 即a2+2a+1+1=d2-2a+1+9, .a=2,r=lMC1=10, .圆的标准方程为(x-2)2+y2=10. 10.【解析】(1).点M(6,9)在圆N上， .(6-5)2+(9-6)2=a2,.a2=10. 又a>0,a=/10. (2)由已知，得圆心N(5,6) PW1=√(3-5)2+(3-6)2=3， 1QNI=(5-5)2+(3-6)7=3 .IPN1>IQNI,故点P在圆外，点Q在圆内 .a的取值范围是(3，√3). 11.1或5根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在 直线y=x或y=-x上，当圆心C在y=x上时，设圆心C的 坐标为(a,a),此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2, 将(1,2)代人可得(1-a)2+(2-a)2=a2,即a2-6a+5= 0,解得a=1或a=5,此时圆的半径长为1或5；当圆心C在 y=-x上时，设圆心C的坐标为(a,-a),此时圆的标准方 程为(x-a)2+(y+a)2=a2,将(1,2)代人可得(1-a)2+ (2+a)2=a2,即a2+2a+5=0,方程无解，综上所述，圆的半 径长为1或5 12.(x+2)2+(y-2)2=4x2+y2=4由题意可得所求的圆 在第二象限，圆心为(-2,2)，半径为2，所以圆的标准方程 为(x+2)2+(y-2)2=4.设(-2,2)关于直线x-y+2=0 a-2_b+2+2=0 2 2 的对称点为(a,b).则有 解得∫a=0, 故 b-2 a+2-1, b=0, 所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.所以所求圆的标准方程为 x2+y2=4. 13.【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且 AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为-2. 又因为点T(-1,0)在直线AD上，所以AD边所在直线的方 程为y-0=-2(x+1), 即2x+y+2=0. (2)由-2-4=0解得厂x=0, 2x+y+2=0,ly=-2, 所以点A的坐标为(0，-2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1), 所以M为矩形外接圆的圆心，IAMI为外接圆的半径. 又IAM1=(2-0)2+(1+2)2=13, 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13. 14.【解析】(1)当AB为直径时，过A,B的圆的半径最小，从而 周长最小. 即4B中点(0,1)为图心，半径r=1AB1=√而 则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)解法一：AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方 程是y-1=了 即x-3y+3=0,由圆心在直线2x-y-4=0上，得两直线交 点为圆心，即圆心坐标是C(3,2). r=IAC1=/(1-3)2+(-2-2)2=25. 故所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法二：待定系数法 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. r(1-a)2+(-2-b)2=r,ra=3, 则(-1-a)2+(4-b)2=r2,→b=2, L2a-b-4=0 2=20 故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20 15.T由y=-4-x得x2+y2=4(-2≤x≤0，y≤0)，所以 曲线y=-√4-x(x≤0)的图形是以原点为圆心，以2为 半径的圆在第三象限的弧，所以曲线y=-√4-x2(x≤0) 的长度是4×4m=元 16-1+(-分)广=年当m=0时4y=0,4=2. 易知P(2,0).当m≠0时，41过定点0(0,0)，斜率k1=m,直 线2的方程可化为m(y-1)+x-2=0,因此42过定点A(2, ),斜率如=一六则·如=-1一直线与6互相垂 直，故P0⊥PA,连接OA,则直线，与直线L2的交点P必在 以线段A0为直径的圆上，且圆心为线段AO的中点 C(1,7）,半径r=101=子2+下-汽所求圆的 标准方程为(x-1)2+(-2)广=子易知(2,0)在此 圆上 练案[20] 1.C原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,.半径r=2,∴.圆 的面积为S=r2=2π. 2.C因为点P(1,1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，所以需 显00 解得-2<6<分 5练案[19] 第二章2.4 A组·基础巩固 1.圆(x-2)2+(y+3)2=11的圆心坐标是 ( A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 2.圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的 标准方程是 A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.(x+2)2+y2=4 D.(x-2)2+y2=4 3.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限，则圆 (x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知点A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则 △ABC外接圆的标准方程是 A.x2+(y-3)2=5B.(x+3)2+y2=5 C.x2+(y+3)2=5D.(x-3)2+y2=5 5.(多选)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的 个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能 为 ( A.x2+(y-4)2=20B.(x-4)2+y2=20 C.x2+(y-2)2=20D.(x-2)2+y2=20 6.当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1= 0恒过定点C,则以C为圆心，√5为半径的圆 的方程是 7.已知点P(2,1)和圆C:(x+号)+(y-1)2= 1,若点P在圆C上，则实数a= ·若 点P在圆C外，则实数a的取值范围为 8.已知点P(x,y)为圆x2+y2=1上的动点，则 x2-4y的最小值为 2.4.1圆的标准方程 9.写出下列圆的标准方程： (1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3， -4); (2)求过两点C(-1,1)和D(1,3),圆心在x 轴上的圆的标准方程. 10.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2 =a2(a>0) (1)若点M(6,9)在圆N上，求a的值； (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内， 另一点在圆外，求α的取值范围. 4 B组·综合运用 14.已知点A(1,-2),B(-1,4),求： 11.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1,2)， (1)过点A,B且周长最小的圆的方程； 则圆C的半径长为 (2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上 12.已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与两 的圆的方程 坐标轴都相切，则圆C的标准方程为 ;与圆C关于直线x-y+2=0对 称的圆的方程为 13.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1), AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点 T(-1,0)在AD边所在直线上 (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程. C组·拓展提升 15.曲线y=-√4-x(x≤0)的长度为 16.已知直线l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0, 当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 165—