2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 　 直线的交点坐标 1.（2026·浙江名校联考）若P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为（　　） A.y＝x B.y＝2x C.y＝－x D.y＝－2x 2.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝（　　） 　 A.－2 B.－ C.2 D. 3.[一题多解]已知直线l1：x＋3y－2＝0与l2：x－y＋2＝0相交于点P，则过点P且与l1垂直的直线的方程是（　　） A.3x＋y－4＝0 B.3x－y＋4＝0 C.x－3y＋6＝0 D.3x－y－6＝0 4.若直线2x－ay＋1＝0与直线x－y＝0的交点在直线2x＋y－3＝0上，则实数a＝　　　　. 直线过定点问题 5.若直线（3a＋2）x＋（a－1）y－a＝0（a∈R）恒过定点A，则点A的坐标为（　　） A. B.（1，3） C. D. 6.已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l 恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB 的中点，求m. 两点间的距离公式 7.已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是45°，则A，B两点间的距离为（　　） A.2 B. C.2 D.3 8.（2026·江苏扬州期中）已知△ABC的顶点为A（1，2），B（5，4），C（2，－2），则AB边上的中线长为（　　） A.　　B.4 C.　　D.6 9.已知A（1，2），B（－1，1），C（0，－1），D（2，0），则四边形ABCD的形状为　　　　. 　 1.若直线2x－y＋3＝0与x＋ay－1＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　） A.（1，5） B.（－1，－1） C.（－1，1） D.（－2，－1） 2.（2026·福建福州期中）过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0平行的直线的方程为（　　） A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y＋1＝0 C.3x＋2y－7＝0 D.x－2y＋5＝0 3.已知三条直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x－y－7＝0，l3：x－3y＋4＝0，设l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l3∩l1＝C，则△ABC是（　　） A.以A为直角顶点的等腰直角三角形 B.以A为直角顶点的非等腰直角三角形 C.以C为直角顶点的等腰直角三角形 D.等边三角形 4.（多选）（2026·江苏南通期中）设m∈R，已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＝5－3m和l2：2x＋（5＋m）y＝8，则（　　） A.直线l1过定点 B.当l1∥l2时，m＝－1或m＝－7 C.当m＝－时，l1⊥l2 D.当m＝1时，l1，l2的交点坐标为 5.使关于x，y的方程组无解的一个a的值为　　　　（写出一个即可）. 6.函数f（x）＝＋的最小值为　　　　. 7.[教材习题变式]已知三条直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：2x－y－5＝0，l3：4x＋3y－5＝0. （1）若l1，l2，l3交于一点，求实数a的值； （2）若l1，l2，l3可以围成一个三角形，求实数a的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 [教材知识——一遍过] 1.B　2.B 3.B　方法一：先求交点坐标.由⇒⇒P（－1，1）， 与x＋3y－2＝0垂直的直线的方程可设为3x－y＋m＝0， 把P（－1，1）代入，得3×（－1）－1＋m＝0⇒m＝4，所以所求直线的方程为3x－y＋4＝0. 方法二：设过交点的直线系方程.过点P的直线可设为x＋3y－2＋λ（x－y＋2）＝0，即（λ＋1）x＋（3－λ）y＋2λ－2＝0.因为该直线与直线l1垂直，所以1×（λ＋1）＋3×（3－λ）＝0，解得λ＝5.所以所求直线的方程为3x－y＋4＝0. 4.3 5.C　（3a＋2）x＋（a－1）y－a＝0⇔（3x＋y－1）a＋2x－y＝0， 令⇒则所过定点A的坐标为.故选C. 6.解：（1）证明：由题知l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R）， 可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R， 所以解得 即直线l 恒过定点（－1，2）. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 由题意可知，P恰为AB 的中点， 所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线 l1 和直线l2 上， 所以 解得所以A（－2，5）， 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m 的值为－. 7.C　8.C 9.正方形　解析：∵kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2， ∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形. 又∵｜AB｜＝＝，｜BC｜＝＝， ∴AB＝BC，故四边形ABCD为正方形. [综合素养——全提升] 1.C　由直线2x－y＋3＝0与x＋ay－1＝0互相垂直，可得2×1＋（－1）×a＝0，即a＝2. 把a＝2代入直线x＋ay－1＝0，得到x＋2y－1＝0. 联立方程组解得 所以交点坐标为（－1，1）. 2.A　由得 ∴交点坐标为（1，3）. 设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0， 把点（1，3）的坐标代入，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5， ∴所求直线的方程为2x＋y－5＝0. 3.A　由题意得＝－，＝2，＝， 所以＝－1，所以l1⊥l2，即AB⊥AC. 联立解得即A（3，－1）， 联立解得即C（－1，1）， 联立解得即B（5，3）， 则｜AC｜＝＝2，｜AB｜＝＝2， 所以｜AB｜＝｜AC｜，所以△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形. 4.ACD　直线l1：（3＋m）x＋4y＝5－3m变形为（3＋x）m＋4y＋3x－5＝0， 令解得∴直线l1过定点，∴A正确. 当l1∥l2时，（3＋m）（5＋m）－2×4＝0，解得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1：2x＋4y＝8和l2：2x＋4y＝8，两条直线重合，不符合题意； 当m＝－7时，直线l1：－4x＋4y＝26，即2x－2y＝－13和l2：2x－2y＝8，两条直线平行，因此仅当m＝－7时，l1∥l2，∴B错误. 当m＝－时，直线l1：－x＋4y＝18和l2：2x＋y＝8，此时－×2＋4×＝0， ∴当m＝－时，l1⊥l2，∴C正确. 当m＝1时，直线l1：4x＋4y＝2，即2x＋2y＝1和l2：2x＋6y＝8，即x＋3y＝4，联立方程组解得 ∴当m＝1时，l1，l2的交点坐标为，∴D正确. 5.－5（写出－5，3，±1其中的一个即可）　解析：显然，当a＝1时，（a2－1）x＋（a－1）y＝12不表示直线，无解，故方程组无解； 当a≠1时，方程组可看作求两直线＝a＋1（x≠1）与（a2－1）x＋（a－1）y＝12的交点，若方程组无解，则直线无交点， 若两直线平行，则a＋1＝－（a＋1），解得a＝－1. 若两直线不平行，则（a2－1）x＋（a－1）y＝12过点（1，2）， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3， 此时，＝a＋1不过点（1，2），方程组无解. 综上，a的取值为－5，3，±1. 6.2　解析：＝表示A（x，0）与B（1，4）间的距离， ＝表示A（x，0）与C（5，2）间的距离， 又C（5，2）关于x轴的对称点C'（5，－2），如图， 所以f（x）＝｜AB｜＋｜AC｜＝｜AB｜＋｜AC'｜≥｜BC'｜＝＝2. 所以f（x）min＝2. 7.解：（1）联立l2与l3的方程，得解得 即l2与l3的交点坐标为（2，－1）， 由题意知点（2，－1）在l1上，所以2a－2－3＝0， 解得a＝. （2）由（1）知a≠. 当l1∥l2时，－＝2，所以a＝－4； 当l1∥l3时，－＝－，所以a＝. 当l1不与l2和l3平行，且不过同一点时，l1，l2，l3三条直线可以围成三角形， 所以a≠－4，且a≠，且a≠， 故a的取值范围为（－∞，－4）∪∪∪. 学科网（北京）股份有限公司 $