阶段验收（二） 1.4 空间向量的应用（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

阶段验收（二）　1.4　空间向量的应用 1.C　2.D　3.D 4.D　 以O为原点，以，和为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系.由题可知O（0，0，0），P（0，0，2），B（1，2，0），C（－1，2，0）， 则＝（0，0，2），＝（－1，2，0）. ∵M是PC的中点，∴M，＝. 设平面PCO的法向量为n＝（x，y，z），直线BM与平面PCO所成角为θ， 则 可取n＝（2，1，0）， sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.故选D. 5.D　易知AP，AB，AD两两垂直，建立空间直角坐标系，如图. 易知O（1，1，0），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，1），＝（1，－1，0），＝（2，1，－1）. 设平面EFC的法向量为m＝（x，y，z），则 令x＝1，得m＝（1，1，3）. 设G（0，0，a），则＝（－1，－1，a）. 因为OG∥平面EFC， 所以⊥m，则·m＝0，即－1×1－1×1＋3a＝0，解得a＝，故AG＝. 6.C　建立如图空间直角坐标系，不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1. 则M，N，C（0，1，0），B1（1，1，1），D（0，0，0），D1（0，0，1）. 所以＝λ＝（－λ，0，－λ），E（1－λ，1，1－λ），＝，＝. 设平面MNE的法向量为m＝（x，y，z）， 则 令x＝1，则y＝2λ－，z＝1，可得m＝. 又＝，设直线DD1与平面MNE所成的角为α，则 sin α＝｜cos＜m，＞｜＝＝＝， 从而当λ＝时，sin α取到最大值，又α∈，故λ＝时，直线DD1与平面MNE所成的角最大. 7.ACD　取BC中点M，则＝＝，∵A，∴G，故A正确； 当a＝0时，n＝（0，0，0），不能作为平面法向量，故B错误； ＝，＝，＝，设＝λ＋μ，即解得故平面ABC过原点O（0，0，0），故C正确； ＝，＝，＝， ∴·＝｜｜cos A＝3＋3－1＝5＞0，∴∠A为锐角，·＝｜｜cos＝2－6－2＝－6＜0，∴∠B为锐角，·＝cos C＝6－2＋2＝6＞0，∴∠C为锐角，故D正确.故选A、C、D. 8.AC　因为AB为圆O的直径，且AB＝4，BC＝2，所以△ABC为直角三角形，AC＝2， 设CD＝h， 由E为AD的中点可得，VD-BEC＝VD-ABC＝×h·×2×2＝2， 解得h＝2. 以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， C（0，0，0），A，B（0，2，0），D，E， 则＝，＝，＝，＝. 对于A，易知cos＜，＞＝＝， 所以异面直线BE与AC所成角的余弦值为，A正确； 对于B，设平面BCE的法向量为n＝（x，y，z），则即 取x＝1，y＝0，z＝－1，n＝（1，0，－1）， 设BD与平面BCE所成的角为θ，则sin θ＝＝＝＝，cos θ＝＝，B不正确； 对于C，点A到平面BCE的距离d＝＝＝，C正确； 对于D，设平面ABD的法向量为m＝（a，b，c），＝（2，0，－2），＝（0，2，－2）， 则取c＝1，b＝，a＝1， m＝，m·n＝0， 所以平面BCE与平面ABD所成角的大小为，D不正确.故选A、C. 9.－1　10. 11.解：（1）证明：如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 则M（0，0，1），N（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），（2分） 故＝（2，1，－1），＝（0，2，－2），＝（2，0，0），（3分） 设平面A1CD的法向量为n＝（x，y，z）， 则有可取n＝（0，1，1）， 则n·＝0＋1－1＝0，所以n⊥，（5分） 又MN⊄平面A1CD，所以直线MN∥平面A1CD.（6分） （2）A（0，0，0），故＝（0，0，1），＝（2，1，0），（7分） 设平面AMN的法向量为m＝（a，b，c）， 则有可取m＝（1，－2，0）， 所以｜cos ＜m，n＞｜＝＝＝，（12分） 即平面AMN与平面A1CD夹角的余弦值为.（13分） 12.解：（1）当P在BB1中点处时，MP∥平面A1BC. 证明如下：在直棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AB，以B为坐标原点， 以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），B1（0，0，2），A1（0，2，2），C1（2，0，2），M（1，1，2）.（2分） 设平面A1BC的一个法向量为n＝（x，y，z），＝（2，0，0），＝（0，2，2）， ⇒令y＝1，得 即n＝（0，1，－1）.（4分） 设P（0，0，λ）（0≤λ≤2），则＝（1，1，2－λ），又MP⊄平面A1BC， 则令·n＝1＋λ－2＝0，解得λ＝1， 故P在BB1中点处时，MP∥平面AB1C.（6分） （2）设P（0，0，t）（0≤t≤2），m＝（a，b，c）为平面A1PC的一个法向量. ＝（2，－2，－2），＝（－2，0，t），＝（0，0，2）， ⇒ （8分） 令a＝t，得即m＝（t，t－2，2）. 点C1到平面A1PC的距离为＝， （10分） 当t＝1时，点C1到平面A1PC的距离有最大值，最大值为.（11分） （3）由（2）知平面A1PC的一个法向量为m＝（1，－1，2）， 又平面A1BC的一个法向量为n＝（0，1，－1）， 则cos＜m，n＞＝＝＝－， （13分） 所以平面A1PC与平面A1BC夹角的余弦值为， 则平面A1PC与平面A1BC夹角的大小为.（15分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段验收（二）　1.4　空间向量的应用 （时间：60分钟　满分：80分） 　 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线l的方向向量为a＝（1，3，2），α的法向量为n＝（－2，0，1），则（　　） A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α或l∥α D.l与α相交但不垂直 2.已知直线l1，l2的方向向量分别为u＝（0，2，－1），v＝（1，0，2），则直线l1与l2所成角的余弦值为（　　） A.－　 　B.－　 　C.　 　D. 3.已知直线l经过A（1，1，1），B（0，2，0）两点，则点P（0，0，2）到直线l的距离是（　　） A.4 B.2 C. D. 4.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是（　　） A. B. C. D. 5.（2026·浙江Z20名校联考）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，AP＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝（　　） A. B. C. D. 6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝，＝，＝λ，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.在空间直角坐标系中，已知点A，B，C，G为△ABC的重心，则（　　） A.G点的坐标是 B.n＝是平面ABC的法向量 C.平面ABC过原点O（0，0，0） D.△ABC为锐角三角形 8.如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝4，BC＝2，CD⊥平面ABC，E为AD的中点，若三棱锥D-BEC的体积为2，则下列结论正确的有（　　） A.异面直线BE与AC所成角的余弦值为 B.直线BD与平面BCE所成角的余弦值为 C.点A到平面BCE的距离为 D.平面BCE与平面ABD所成角的大小为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9.若直线l的方向向量m＝，平面α的法向量n＝，且直线l⊥平面α，则实数x的值是　　　　. 10.将边长为的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则点B到平面ACD的距离为　　　. 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.（13分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1和BC的中点. （1）证明：直线MN∥平面A1CD； （2）求平面AMN与平面A1CD夹角的余弦值. 12.（15分）（2026·江苏无锡六校联考）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝2，BC⊥AB，M为棱A1C1的中点，P为棱BB1上一动点. （1）试确定P的位置，使得MP∥平面A1BC； （2）求点C1到平面A1PC距离的最大值； （3）在（2）的条件下，求平面A1PC与平面A1BC夹角的大小. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $