1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练习聚焦空间向量距离问题，分层设计从基础公式应用到动态几何综合，梯度衔接紧密，助力知识巩固与空间观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-7题）|点到直线、平面距离，平行平面间距离|直接套用向量公式，如第1题方向向量求点线距，夯实运算能力| |中档层（8-13题）|几何体中点面、线面距离，如长方体、四棱锥|结合坐标系建模，如第8题四棱锥中点到线距离，培养几何直观| |提升层（14-16题）|动态动点、翻折问题中距离计算与范围|含探究性证明与距离取值，如第16题翻折后动点距离范围，发展推理能力与创新意识|

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 1.已知直线l的一个方向向量为n=(1,0,1),且l过点M(1,-1,-1),则点N(1,1,1)到直线l的距离为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C. D.6 2.[2026·大连高二期中] 两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,7),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 (　 ) A. B.3 C. D. 3.[2026·成都外国语学校高二月考] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E为CD的中点,则点D到平面AD1E的距离为 (　 ) A.1 B. C. D.2 4.已知A(0,1,0),B(2,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,1),则异面直线AB与CD之间的距离是(注:对于异面直线a,b,在直线a,b上分别取点A,A',使AA'⊥a,AA'⊥b,则AA'称为异面直线a,b的公垂线,AA'的长度为异面直线a与b的距离) (　 ) A. B. C. D.2 5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=1,则直线AB1到平面BC1D的距离为 (　 ) A. B. C. D. 6.(多选题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是 (　 ) A. B. C. D.2 7.已知AB∥平面α,平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面α内一点C的坐标为(0,0,1),点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面α的距离为　　　　.  8.[2026·广东四校高二期中] 已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,点E是BC的中点,则点E到直线PD的距离是　　　　.  9.(13分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. (1)求直线A1B的单位方向向量,并求点C到直线A1B的距离; (2)求平面A1BC的一个法向量,并求点C1到平面A1BC的距离. 10.[2026·安徽淮南二中高二期中] 在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),=(-3,1,-4),则这个四棱锥的高h等于 (　 ) A.26 B.13 C.2 D.1 11.[2026·贵阳一中高二月考] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M为棱C1D1的中点,则该正方体的内切球截平面ACM所得截面面积为 (　 ) A. B. C.π D. 12.(多选题)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为侧面A1ABB1的中心,E,F分别为BC,D1C1的中点,则 (　 ) A.B1D⊥平面A1EF B.平面ACD1与平面A1EF相交 C.点O到直线A1E的距离为 D.点O到平面A1EF的距离为 13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　.  14.(15分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,动点M,N分别在棱PB和线段AC上运动(不含端点),且PM=AN. (1)证明:MN∥平面PAD. (2)当PM=PB时,求点P到平面DMN的距离. 15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是 (　 ) A.点A到直线BE的距离是 B.点P到直线AB的距离为 C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D.点O到平面ABC1D1的距离为 16.(15分)如图①所示,在△PAB中,AP⊥AB,AB=AP=12,D,C分别为PA,PB的中点.将△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至如图②所示的位置,使得PA=6,得到四棱锥P-ABCD,记PB的中点为N,动点Q在线段CN上. (1)证明:CN⊥平面PAB; (2)求动点Q到AP的距离的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 1.C　[解析] 由题可知,=(0,2,2),所以点N(1,1,1)到直线l的距离为==.故选C. 2.B　[解析] ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,7),=(1,2,7),且两平面的一个法向量为n=(-1,0,1),∴两平面间的距离d===3.故选B. 3.C　[解析] 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,1,0),D1(0,0,1),可得=(1,0,-1),=(1,-1,0),=(1,0,0).设平面AD1E的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,得y=1,z=1,所以m=(1,1,1),则点D到平面AD1E的距离d===.故选C. 4.A　[解析] 由已知得=(2,0,0),=(1,-1,1),设n=(x,y,z)是AB,CD的公垂线的方向向量,则取y=1,得n=(0,1,1),又=(-1,-1,0),所以异面直线AB与CD之间的距离d===.故选A. 5.A　[解析] 以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),C1(1,0,1),D,A(0,1,0),B1(0,0,1),所以=(1,0,1),=,=(0,-1,1).设平面BC1D的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则n=(1,-1,-1).因为·n=0×1+(-1)×(-1)+1×(-1)=0,所以⊥n,又AB1⊄平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.设直线AB1到平面BC1D的距离为d,因为=(0,1,0),所以d===,所以直线AB1到平面BC1D的距离为. 6.BC 　[解析] 如图,以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),故=(-2,2,0),=(-2,0,2),设P(2,λ,2)(0≤λ≤2),平面A1C1D的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,则n=(1,1,1).连接A1P,因为=(0,λ,2),所以P到平面A1C1D的距离d==.因为0≤λ≤2,所以d∈.故选BC. 7.　[解析] 因为AB∥平面α,所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离.连接AC,由=(-1,-2,0),n=(1,0,1),得点A到平面α的距离d===,即直线AB到平面α的距离为. 8.　[解析] 连接DE,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),D(0,1,0),E,所以=(0,1,-1),=,故||=,||=,·=-,故=-,所以点E到直线PD的距离是==. 9.解:(1)由题可知,A1(0,0,2),B(0,1,0),所以=(0,1,-2),故||=,所以直线A1B的单位方向向量为±,即或. 又C(1,0,0),所以=(-1,1,0),所以点C到直线A1B的距离d===. (2)设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z), 由可得 令z=1,可得n=(2,2,1), 故平面A1BC的一个法向量为(2,2,1). 又C1(1,0,2),故=(1,0,0),所以点C1到平面A1BC的距离d1==. 10.D　[解析] 设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得n=,所以这个四棱锥的高h====1.故选D. 11.B　[解析] 设O为正方体的中心,则O为正方体内切球的球心,易知内切球的半径R=1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,连接OA,则A(2,0,0),C(0,2,0),M(0,1,2),O(1,1,1),则=(-2,2,0),=(-2,1,2),=(-1,1,1).设平面ACM的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,则y=2,z=1,所以n=(2,2,1),则O到平面AMC的距离d===,所以截面圆的半径r===,所以截面面积S=πr2=.故选B. 12.BCD　[解析] 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),E,F,O,A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),易得=,=,则令x=2,则y=4,z=3,则n=(2,4,3).设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c),由=(-1,1,0),=(0,-1,1),得 令a=1,则b=c=1,则m=(1,1,1).对于A,∵=(1,1,1),且≠≠,∴与n不共线,∴B1D与平面A1EF不垂直,故A错误;对于B,∵≠≠,∴m与n不共线,∴平面ACD1与平面A1EF相交,故B正确;对于C,连接OE,则=,=,则点O到直线A1E的距离为=,故C正确;对于D,连接A1O,则=,所以点O到平面A1EF的距离为=,故D正确.故选BCD. 13.　[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),∴=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),∴=,=,∴EF∥MN,BF∥AM.∵EF⊂平面EFBD,MN⊄平面EFBD,∴MN∥平面EFBD.同理可得AM∥平面EFBD.又∵AM∩MN=M,AM,MN⊂平面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,则 解得取z=1,则x=2,y=-2,得n=(2,-2,1).平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离.∵=(0,4,0),∴平面AMN与平面EFBD的距离d==. 14.解:(1)证明:方法一:由PA⊥平面ABCD得PA⊥AB,PA⊥AD,因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD, 如图①,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设PM=AN=a(0<a<2),则M(a,0,2-a),N(a,a,0),所以=(0,a,a-2), 又平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),所以·m=0,因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. 方法二:如图②,作ME∥PA交AB于E,连接EN, 因为ME∥PA,所以=, 因为PB=AC,PM=AN,所以=, 所以=,所以EN∥BC, 又因为BC∥AD,所以EN∥AD,所以ME∥PA,EN∥AD, 又ME⊄平面PAD,EN⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以ME∥平面PAD,EN∥平面PAD, 又ME∩EN=E,所以平面MEN∥平面PAD, 又因为MN⊂平面MEN,所以MN∥平面PAD. 方法三:如图③,作ME⊥PA交PA于E,作NF⊥AD交AD于F, 因为NF∥CD,ME∥AB,AB∥CD,所以ME∥NF. 在Rt△PME与Rt△ANF中,PM=AN,∠PEM=∠AFN=90°,∠MPE=∠NAF=45°, 所以△PME≌△ANF,所以ME=NF, 所以四边形MNFE为平行四边形,所以MN∥EF,又因为EF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)当PM=PB时,同(1)中方法一建立空间直角坐标系,可得P(0,0,2),M,N,D(0,2,0),所以=,=,=(0,-2,2). 设平面DMN的法向量为n=(x,y,z), 则即令y=2,则x=4,z=1,即平面DMN的一个法向量为n=(4,2,1),所以点P到平面DMN的距离d====. 15.ACD　[解析] 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,O.对于A,=(-1,0,0),=,故点A到直线BE的距离d1===,故A正确.对于B,因为=++,所以=,又=(1,0,0),则=,所以点P到直线AB的距离d2===,故B错误.对于C,=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x1,y1,z1),则所以令z1=1,得y1=1,x1=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3===.因为BA1∥CD1,BA1⊂平面A1BD,CD1⊄平面A1BD,所以CD1∥平面A1BD,同理可得B1C∥平面A1BD,又B1C∩CD1=C,B1C,CD1⊂平面B1CD1,故平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,即为,故C正确.对于D,=(0,1,1),=(1,0,0),=,设平面ABC1D1的法向量为m=(x2,y2,z2),则即 取y2=1,则m=(0,1,-1),所以平面ABC1D1的一个法向量为m=(0,1,-1),则点O到平面ABC1D1的距离d4===,故D正确.故选ACD. 16.解:(1)证明:因为折叠前D为PA的中点,PA=12,所以PD=AD=6,折叠后PA=6, 所以PD2+AD2=PA2,所以PD⊥AD.因为折叠前D,C分别为PA,PB的中点,所以DC∥AB,又因为折叠前PA⊥AB,所以DC⊥PA, 所以折叠后PD⊥AD,DC⊥PD,AD⊥DC. 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(6,0,0),B(6,12,0),C(0,6,0),P(0,0,6),又N为PB的中点, 所以N(3,6,3),所以=(3,0,3),=(-6,0,6),=(0,12,0).设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 所以即令x=1,则y=0,z=1,所以m=(1,0,1),所以=3m,所以∥m, 所以CN⊥平面PAB. (2)设Q(x1,y1,z1),则=(x1,y1-6,z1),=(3,0,3),因为动点Q在线段CN上,所以设=λ,λ∈[0,1],即(x1,y1-6,z1)=(3λ,0,3λ),即 所以Q(3λ,6,3λ),连接AQ,所以=(-6,0,6),=(6-3λ,-6,-3λ). 设点Q到AP的距离为d,则d== ,λ∈[0,1],即d=,λ∈[0,1]. 令t=18λ2-36λ+54,λ∈[0,1],则t=18(λ-1)2+36,λ∈[0,1],根据二次函数的性质可知t∈[36,54],所以d∈[6,3],由此可知动点Q到AP的距离的取值范围为[6,3]. 学科网（北京）股份有限公司 $