阶段验收（四） 2.4～2.5 圆的方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

阶段验收（四）　2.4～2.5　圆的方程 （时间：60分钟　满分：80分） 　 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　） A. B.－ C.1 D.0 解析：A　圆（x－a）2＋y2＝1的圆心坐标为（a，0）. 因为直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2＋y2＝1的一条对称轴， 所以直线2x＋y－1＝0过点（a，0）， 所以2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A. 2.（2026·浙江台州十校联考）已知圆M经过P（1，1），Q（－7，－5）两点，且圆心M在直线l：x－2y－1＝0上，则圆M的标准方程是（　　） A.（x－2）2＋（y－3）2＝5 B.（x－3）2＋（y－4）2＝13 C.（x＋3）2＋（y＋2）2＝25 D.（x＋3）2＋（y－2）2＝25 解析：C　设圆心M（2m＋1，m）， 由题意得｜MP｜＝｜MQ｜，即＝， 解得m＝－2，故圆心M（－3，－2）， 半径为＝5，故圆M的标准方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25.故选C. 3.直线l：y＝kx＋2与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，·＝－2，则k的值为（　　） A. B.± C. D.±1 解析：B　设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由得（k2＋1）x2＋4kx＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝0， y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝. 由·＝－2，得x1x2＋y1y2＝＝－2⇒k＝±. 4.（2026·福建厦门月考）圆x2＋y2－2ay＝0（a＞0）的过点（，0）的两条切线互相垂直，则a＝（　　） A.1 B. C. D.2 解析：C　设过点A（，0）的两条切线分别和圆相切于点E，F， 圆心C（0，a），半径R＝a. 因为两条切线互相垂直，四边形AECF四个角都是直角，且CE＝CF， 则四边形AECF为正方形，则｜CA｜＝R＝a， 即3＋a2＝2a2，又a＞0，解得a＝. 5.（2026·广东六校联考）已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x－y＝0所得弦的长度为4，则圆M与圆N：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0的位置关系是（　　） A.内切 B.外切 C.相交 D.外离 解析：D　圆M的圆心为M（0，a），半径r1＝a，a＞0，圆心M（0，a）到直线x－y＝0的距离为，所以＋＝a2⇒a＝4，所以M（0，4），r1＝4. 圆N的圆心为N（3，－6），半径r2＝5，｜MN｜＝＝＞r2＋r1，所以两个圆的位置关系是外离. 故选D. 6.过直线2x＋y－1＝0上一点P作圆C：（x＋2）2＋y2＝1的切线PA，PB，切点为A，B，当｜AB｜最小时，直线AB的方程为（　　） A.2x＋y－3＝0 B.2x＋y＋3＝0 C.8x＋4y＋27＝0 D.8x＋4y－27＝0 解析：B　圆C：（x＋2）2＋y2＝1的圆心C（－2，0），半径r＝1. ∵PA，PB是圆C：（x＋2）2＋y2＝1的两条切线， 则PA⊥AC，PB⊥BC，且A，C，B，P四点共圆， ∴｜PC｜·｜AB｜＝｜PA｜·｜AC｜，即｜AB｜＝＝. ∵｜PA｜＝，所以｜AB｜＝＝2. 当｜PC｜最小，即直线PC与直线2x＋y－1＝0垂直时，｜AB｜取得最小值， 此时直线PC的方程为x－2y＋2＝0， 联立解得即P（0，1）， 则以PC为直径的圆的方程为x（x＋2）＋y（y－1）＝0， 即x2＋y2＋2x－y＝0. ∵两圆相交，圆C：（x＋2）2＋y2＝1， 两圆方程相减得直线AB的方程为2x＋y＋3＝0. 故选B. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.已知圆C：（x＋3）2＋y2＝9，直线l：（m＋2）x＋4y－2＋m＝0（m∈R），则（　　） A.直线l恒过定点（－1，1） B.直线l与圆C有两个交点 C.当m＝1时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 D.圆C与圆x2＋y2－2x＋8y＋8＝0恰有三条公切线 解析：ABC　圆C：（x＋3）2＋y2＝9的圆心C（－3，0），半径r＝3. 对于A，直线l：m（x＋1）＋2x＋4y－2＝0，由解得 直线l恒过定点A（－1，1），A正确； 对于B，｜AC｜＝＝＜3，点A在圆C内，直线l与圆C有两个交点，B正确； 对于C，当m＝1时，直线l：3x＋4y－1＝0，点C到直线l的距离d＝＝2， r－d＝1，则圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，C正确； 对于D，圆x2＋y2－2x＋8y＋8＝0的圆心C'（1，－4），半径r'＝3，｜CC'｜＝＝4∈（0，6）， 两圆相交，有2条公切线，D错误.故选A、B、C. 8.已知圆C1：x2＋y2－2y－8＝0，圆C2：x2－2mx＋y2＋m2－4＝0，直线l：tx＋y－2t－1＝0，直线l与圆C1相交于A，B两点，则下列选项正确的是（　　） A.若m＝0，则圆C1与圆C2外切 B.若m＝2，则两圆公共弦所在直线的方程为2x－y－4＝0 C.弦长｜AB｜的最小值为2 D.若点P（2，4），则｜＋｜的最大值为2＋2 解析：BCD　圆C1：x2＋（y－1）2＝9的圆心C1（0，1），半径r1＝3，圆C2：（x－m）2＋y2＝4的圆心C2（m，0），半径r2＝2. 对于A，当m＝0时，｜C1C2｜＝1＝r1－r2，圆C1与圆C2内切，A错误； 对于B，当m＝2时，｜C1C2｜＝∈（1，5），圆C1与圆C2相交，两圆方程相减得4x－2y－8＝0，即2x－y－4＝0，B正确； 对于C，直线l：t（x－2）＋y－1＝0恒过定点Q（2，1），｜QC1｜＝2＜3，点Q在圆C1内， 当QC1⊥l时，｜AB｜取得最小值2＝2，C正确； 对于D，令AB的中点为M，QC1的中点为O1，当M与点Q，C1都不重合时， MC1⊥MQ，有｜MO1｜＝｜QC1｜＝1，当M与点Q，C1之一重合，上式成立，则｜MO1｜＝1， 因此点M的轨迹是以O1（1，1）为圆心，1为半径的圆，｜PM｜max＝｜PO1｜＋1＝＋1， 而＋＝2，因此｜＋｜的最大值为2＋2，D正确. 故选B、C、D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9.（2026·山东青岛调研）在气象台A正西方向100 km处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为20 km/h，距台风中心100 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为　　　　　小时. 答案：5 解析：如图，可设台风中心初始位置为B，则AB＝100. 以A为圆心，100为半径作圆A交台风运动轨迹于C，D两点，CD为圆A的弦， 由台风向北偏东60°方向移动，可知∠DBA＝30°， 过A作BD的垂线，垂足为E. 在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，则AE＝AB＝50. 在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝＝50， 所以CD＝2CE＝100，故持续时间为＝5（小时）. 10.在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（2，1），直线x－y＋a＝0上存在点P满足＝，则a的取值范围为　　　. 答案： 解析：设P（x，y），则＝＝， 整理化简得（x－3）2＋y2＝4. 若直线x－y＋a＝0上存在点P满足＝， 即直线x－y＋a＝0与圆（x－3）2＋y2＝4有公共点， 易知圆（x－3）2＋y2＝4的圆心为（3，0），半径为2， 故圆心到直线x－y＋a＝0的距离d＝≤2， 解得－2－3≤a≤2－3. 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.（13分）已知圆M经过点O（0，0），A（1，），B（4，0）. （1）求圆M的半径和圆心M的坐标； （2）若圆M与圆N：x2＋（y－2）2＝R2（R＞0）相切，求R. 解：（1）设圆M：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 由题意得解得（5分） 所以圆M：x2＋y2－4x＝0，即圆M的标准方程为（x－2）2＋y2＝4.（6分） 故圆M的半径为2，圆心为（2，0）.（7分） （2）由题意得圆N的半径为R，圆心N的坐标为（0，2）.（8分） 由两点间距离公式可得｜MN｜＝＝2.（9分） 当圆M与圆N内切时，｜MN｜＝2＝｜R－2｜，解得R＝2＋2； 当圆M与圆N外切时，｜MN｜＝2＝R＋2，解得R＝2－2.（12分） 所以R＝2＋2或2－2.（13分） 12.（15分）已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D，直线l过点（1，0）. （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆D交于A，B两点，｜AB｜＝，求直线l的方程. 解：（1）由题意可知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即（x－2）2＋（y－2）2＝1， 则圆心C（2，2），半径r＝1.（3分） 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），即kx－y－k＝0，（5分） 则＝1，解得k＝，所以l的方程为x－y－＝0，即3x－4y－3＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.（7分） （2）由（1）知，圆C的圆心C（2，2），半径r＝1. 设D（a，b），因为圆C关于直线x＋y＝0的对称圆的圆心为D， 所以解得圆D的圆心为D（－2，－2），半径为1， 则圆D的方程为（x＋2）2＋（y＋2）2＝1.（10分） 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时直线l与圆D相离，不符合题意；（11分） 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），即kx－y－k＝0， 则圆心D到直线l的距离d＝＝.（13分） 因为直线l与圆D交于A，B两点，｜AB｜＝， 根据勾股定理可得d2＋＝r2， 即＋＝12，解得k＝或k＝1， 所以直线l的方程为7x－17y－7＝0或x－y－1＝0.（15分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $