3.3.1 抛物线及其标准方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

3.3　抛物线

3.3.1　抛物线及其标准方程

　

　

1.与直线y＝2相切，且与圆x2＋（y＋3）2＝1外切的圆的圆心轨迹为（　　）

A.椭圆 B.双曲线的一支

C.抛物线 D.圆

解析：C　记与圆x2＋（y＋3）2＝1外切的圆为圆C，

设圆心C（x，y），半径为r，圆x2＋（y＋3）2＝1的圆心为A，

因为圆C与圆x2＋（y＋3）2＝1外切，所以｜CA｜＝r＋1，

设圆心C到直线y＝2的距离为d，则d＝r，

所以｜CA｜＝d＋1，即动点C到定点A的距离等于到定直线y＝3的距离，且点A不在直线y＝3上，

由抛物线的定义知，圆心C的轨迹为抛物线.

2.已知动点P（x，y）满足5＝｜3x＋4y－7｜，则动点P的轨迹是（　　）

A.直线 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

解析：D　因为5＝｜3x＋4y－7｜，

得＝，

即动点P（x，y）到定点（2，1）的距离与到定直线3x＋4y－7＝0的距离相等，

且点（2，1）不在直线3x＋4y－7＝0上，

则由抛物线定义知，动点P（x，y）的轨迹为抛物线.故选D.

3.[模块融合]在平面内，设n是直线l的法向量（直线的法向量：直线l的方向向量为a，若向量n⊥a，则向量n叫做直线l的法向量），M，N是平面内的两个定点，M∈l，N∉l，若动点P满足＝｜｜，则动点P的轨迹为（　　）

A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

解析：D　表示动点P到直线l的距离，

｜｜表示动点P到定点N的距离，

因为＝｜｜，所以动点P的轨迹为抛物线.

4.已知点P（2，4）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，则其准线方程为（　　）

A.x＝－ B.y＝

C.y＝－ D.x＝

解析：C　将点P（2，4）代入抛物线x2＝2py，可得4＝8p，解得p＝，

所以准线方程为y＝－.

5.（2026·浙江环大罗山联盟期中）下列抛物线中，焦点坐标为的是（　　）

A.y2＝x B.y2＝x

C.x2＝y D.x2＝y

解析：D　若抛物线的焦点坐标为，则设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），且＝，

则抛物线的标准方程为x2＝y.

6.（1）焦点为F（－2，0）的抛物线的标准方程为　　　　　　；

（2）焦点到准线的距离为6的抛物线的标准方程为　　　　　　；

（3）顶点在原点，关于x轴对称且过点（－2，1）的抛物线的标准方程为　　　　　　；

（4）焦点在y轴上，且到x轴的距离是2的抛物线的标准方程为　　　　　　.

答案：（1）y2＝－8x　（2）y2＝12x或y2＝－12x或x2＝12y或x2＝－12y　（3）y2＝－x　（4）x2＝8y或x2＝－8y

解析：（1）因为焦点为F（－2，0），所以p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x.

（2）焦点到准线的距离为6，即p＝6，但焦点位置不确定，

故抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x或x2＝12y或x2＝－12y.

（3）由题意知，该抛物线开口向左，设其方程为y2＝－2px（p＞0），则1＝4p，得p＝.

故顶点在原点，关于x轴对称且过点（－2，1）的抛物线的方程为y2＝－x.

（4）由已知可得焦点坐标为（0，2）或（0，－2），因此抛物线的标准方程具有x2＝±2py的形式，且p＝4，从而所求抛物线的标准方程是x2＝8y或x2＝－8y.

7.已知A为抛物线C：y2＝4x上一点，点A到C的焦点的距离为5，则点A的坐标为（　　）

A.（4，±4） B.（3，±2）

C.（4，4） D.（－4，±4）

解析：A　抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，设A（x0，y0）.

因为点A到C的焦点的距离为5，所以由抛物线的定义得｜AF｜＝x0＋1＝5，得x0＝4；