3.2.1 双曲线及其标准方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 　 　 双曲线的定义及标准方程 1.已知平面内两个定点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝8，则点P的轨迹为（　　） A.椭圆 B.线段 C.双曲线的一支 D.一条射线 解析：C　因为｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜＝8＜10，所以动点P的轨迹为双曲线的右支. 2.（2026·江苏常州期中）双曲线－＝1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则它到另一个焦点的距离为（　　） A.2 B.4 C.9 D.14 解析：D　由条件可知，a＝4，设点M到另一个焦点的距离为d， 所以｜d－6｜＝8，得d＝14或d＝－2（舍去）. 3.（多选）已知曲线C的方程为＋＝1（m∈R），则（　　） A.若C为双曲线，则m＜－1或m＞5 B.当m＝7时，其焦距为2 C.当m＝2时，曲线C为圆 D.若C为双曲线，则其与双曲线x2－＝1有相同的焦点 解析：ABC　若曲线C为双曲线，则（m＋1）（5－m）＜0，解得m＜－1或m＞5，A正确； 当m＝7时，曲线C的方程为－＝1，c＝，所以其焦距为2，B正确； 当m＝2时，曲线C的方程为x2＋y2＝3，表示圆心为坐标原点，半径为的圆，故C正确； 当m＜－1或m＞5时，二者的焦点不同，故D错误. 4.（1）焦点坐标分别为（－5，0），（5，0），且a＝4的双曲线的标准方程为　　　　　　； （2）焦点坐标分别为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）的双曲线的标准方程为　　　　　　； （3）b＝4，一个焦点是（－8，0）的双曲线的标准方程为　　　　　　； （4）焦点在y轴上，且经过点（3，－4）和的双曲线的标准方程为　　　　　　. 答案：（1）－＝1　（2）－＝1　（3）－＝1　（4）－＝1 解析：（1）由题意，c＝5，a＝4，所以b2＝c2－a2＝9， 又焦点在x轴上， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. （2）由题意，焦点在y轴上，c＝6， 又经过点（2，－5）， 所以2a＝｜－｜＝4， 所以a2＝20，又b2＝c2－a2＝16， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. （3）由题意知，c＝8，b＝4，且焦点在x轴上， 所以a2＝c2－b2＝48， 故所求双曲线的标准方程为－＝1. （4）因为焦点在y轴上，所以设－＝1. 因为经过点（3，－4）和， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 5.已知两圆C1：（x＋5）2＋y2＝9，C2：（x－5）2＋y2＝9，动圆C与圆C1外切，且和圆C2内切，则动圆C的圆心C的轨迹方程为　　　　　　. 答案：－＝1（x≥3） 解析：如图，设动圆C的半径为R，则｜CC1｜＝3＋R，｜CC2｜＝R－3， 则｜CC1｜－｜CC2｜＝6＜10＝｜C1C2｜， 所以动圆圆心C的轨迹是以C1，C2为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支. 因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16. 故动圆圆心C的轨迹方程为－＝1（x≥3）. 双曲线定义的应用 6.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则｜AF｜－｜BF｜＝（　　） A.－2 B.2 C.－4 D.4 解析：D　由题可得a＝2.设双曲线C的右焦点为F1.因为A，B与F，F1都关于原点O中心对称，则｜BF｜＝｜AF1｜，由双曲线的定义知｜AF｜－｜BF｜＝｜AF｜－｜AF1｜＝2a＝4.故选D. 7.已知A（0，4），双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，则｜PA｜＋｜PF1｜的最小值为（　　） A.5 B.7 C.9 D.11 解析：C　由双曲线－＝1，则a2＝4，b2＝5，即c2＝a2＋b2＝9，所以F1（－3，0），F2（3，0），由题意，如图， ｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a≥｜AF2｜＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F2三点共线时，等号成立.故选C. 8.（2026·浙江嘉兴八校联考）已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若｜PQ｜＝12，点A（，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为（　　） A.25 B.16 C.32 D.40 解析：C　由题意可知，a2＝4，b2＝9，所以c2＝4＋9＝13，解得c＝， 所以双曲线C：－＝1的左焦点F（－，0）， 所以点A（，0）是双曲线C的右焦点.作出双曲线C，如图所示. 由双曲线的定义可知｜PF｜－｜PA｜＝2a＝4①，｜QF｜－｜QA｜＝2a＝4②， 由①②，得｜PF｜＋｜QF｜＝｜PA｜＋｜QA｜＋8＝｜PQ｜＋8， 又因为｜PQ｜＝12， 所以△PQF的周长为｜PF｜＋｜QF｜＋｜PQ｜＝8＋2｜PQ｜＝32.故选C. 9.已知F1（－3，0），F2（3，0），动点P满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4，点P的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）若点M在C上，且MF1⊥MF2，求△MF1F2的面积. 解：（1）由双曲线的定义及｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝4＜6＝｜F1F2｜， 可得点P的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线. 设其标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 则解得 所以C的方程为－＝1. （2）设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线的定义得｜m－n｜＝4. 因为MF1⊥MF2，所以m2＋n2＝＝36， 所以△MF1F2的面积为mn＝＝＝5. 　 1.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则｜ON｜＝（　　） A.4　　　　B.2 C.3　　　　D.1 解析：B　双曲线－＝1的实半轴长为a＝2， 延长F2N交直线MF1于点H. 由题意有｜MH｜＝｜MF2｜，｜NH｜＝｜NF2｜， 又O是F1F2中点， 所以｜ON｜＝｜F1H｜＝（｜MH｜－｜MF1｜）＝（｜MF2｜－｜MF1｜）＝a＝2. 2.已知圆A：（x＋3）2＋y2＝4，B（3，0），点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为（　　） A.x2－＝1（x≥1） B.x2－＝1 C.x2－＝1（x≥1） D.x2－＝1 解析：B　因为圆心A（－3，0），B（3，0），所以｜AB｜＝6， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q， 所以｜QP｜＝｜QB｜， 所以｜｜QA｜－｜QP｜｜＝｜｜QA｜－｜QB｜｜＝｜AP｜＝2＜6＝｜AB｜， 所以点Q的轨迹为双曲线，且2a＝2，2c＝6， 所以b2＝c2－a2＝8，则点Q的轨迹方程为x2－＝1. 3.[模块融合]曲线sin x2＝sin y2的图象大致为（　　） 解析：D　由sin x2＝sin y2可得x2＝y2＋2kπ（k∈Z）或x2＝（2n＋1）π－y2（n∈N）， 即x2－y2＝2kπ（k∈Z）或x2＋y2＝（2n＋1）π（n∈N）， 所以曲线sin x2＝sin y2由一族同心圆x2＋y2＝（2n＋1）π（n∈N）与直线y＝±x以及两族等轴双曲线x2－y2＝2kπ（k∈N*）、y2－x2＝2kπ（k∈N*）构成. 4.如图，F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1（－，0）的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的方程为（　　） A.－＝1 B.－y2＝1 C.x2－＝1 D.－＝1 解析：C　根据双曲线的定义，有｜AF2｜－｜AF1｜＝2a　①，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a　②，由于△ABF2为等边三角形，因此｜AF2｜＝｜AB｜＝｜BF2｜，由①＋②，得｜BF1｜－｜AF1｜＝4a，则｜AB｜＝｜AF2｜＝｜BF2｜＝4a，｜BF1｜＝6a，又∠F1BF2＝60°，所以（2c）2＝（6a）2＋（4a）2－2×6a×4a×，即7a2＝c2＝7，解得a2＝1，则b2＝c2－a2＝6. 所以双曲线的方程为x2－＝1.故选C. 5.（2026·陕西西安期末）设点A，B的坐标分别为（－5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　　. 答案：－＝1，x≠±5 解析：设点M（x，y），则直线AM，BM的斜率分别为，（x≠±5）. 因为它们的斜率之积是，则×＝，x≠±5，化简得－＝1，x≠±5， 则动点M的轨迹方程为－＝1，x≠±5. 6.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支上，直线PF2的斜率为2.若△PF1F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为　　　　　，其焦距为　　　　　. 答案：－＝1　2 解析：如图，易知点P在第四象限，且∠F1PF2是直角. 因为＝tan∠PF2F1＝＝2，所以＝2. 又－＝2a，所以＝2a，＝4a. 由＝·＝·2a·4a＝8，解得a＝， 所以＝2，＝4，＝2c＝2，c＝. 所以b2＝c2－a2＝10－2＝8.所以双曲线的方程为－＝1，焦距为2. 7.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线右支（且不在坐标轴上）. （1）若双曲线C与椭圆＋y2＝1有共同的焦点，且双曲线C过点Q（2，1），求该双曲线的标准方程； （2）若b＝1，∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积. 解：（1）椭圆＋y2＝1的焦点为（，0）和（－，0）， 所以双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的c＝，所以a2＋b2＝c2＝3. 又双曲线C过点Q（2，1），所以－＝1. 由解得 所以该双曲线的标准方程为－y2＝1. （2）设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理， 得4c2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝m2＋n2－mn＝（m－n）2＋mn＝4a2＋mn， 所以mn＝4c2－4a2＝4b2＝4， 则△F1PF2的面积S＝mnsin∠F1PF2＝×4×＝. ｜方法技巧｜ 设F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线上的一点，且∠F1PF2＝θ，则＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $