1.1.1 空间向量及其线性运算（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

第一章　空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 　 空间向量的有关概念 1.（多选）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，下列向量相等的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：CD　由正四棱柱的性质可知， ｜｜＝｜｜，但与方向相反，故A不符合题意； ｜｜＝｜｜，但与方向不同，故B不符合题意； ｜｜＝｜｜，且与方向相同，故C符合题意； ｜｜＝｜｜，且与方向相同，故D符合题意.故选C、D. 2.下列命题中，正确的有　　　　（填序号）. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b； ③λ＝0是λa＝0的充分不必要条件； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 答案：③④ 空间向量的线性运算 3.[教材练习变式]在四面体A-BCD中，点M，N 分别是棱AD，CD的中点，则（＋）－（＋）化简的结果是（　　） A. B. C. D. 解析：C　如图所示，连接BM，BN， 因为点M，N分别是棱AD，CD的中点，所以（＋）－（＋）＝－＝. 4.（2026·浙北G2联考）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为B1C1的中点.设＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b＋c 解析：B　＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选B. 5.在四面体O-ABC中，点M为线段OA上靠近点A的四等分点，N为BC的中点，若＝x＋y＋，则x＋y的值为　　　　. 答案：－ 解析：因为在四面体O-ABC中，点M为线段OA上靠近点A的四等分点，N为BC的中点， 所以＝－＝（＋）－ ＝－＋＋，所以故x＋y＝－. 6.（2026·广东广州月考）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD'，BD的中点. （1）＝　　　　，＝　　　　；（用向量a，b，c表示） （2）化简：＋＋＋＋2＝　　　　. 答案：（1）a－b－c　a－c （2）0 解析：（1）＝＋＋＝－－＋＝a－b－c. 因为E，F分别是AD'，BD的中点， 所以＝＋＋＝－＋＋ ＝－（＋）＋＋（－） ＝－＝a－c. （2）＋＋＋＋2＝＋（＋）＋ ＝＋＋＝＋＋＝＋＝0. 空间向量的共线与共面 7.（多选）以下条件中，能判定空间中P，M，A，B四点共面的是（　　） A.＝2＋3 B.＝＋＋ C.⊥ D.∥ 解析：ABD　对于A，由＝2＋3知，，为共面向量，故P，M，A，B四点共面，故A正确. 对于B，方法一：因为＝＋＋， 所以＋＋＝0，即＝－－， 由向量共面的充要条件可知P，M，A，B四点共面，故B正确. 方法二：根据向量共面的充要条件的推论，因为＋＋＝1，所以P，M，A，B四点共面. 对于C，若⊥，则PM⊥AB，即直线PM与AB异面垂直或共面垂直， P，M，A，B四点不一定共面，故C错误. 对于D，若∥，则直线PM与AB平行或重合， 故P，M，A，B四点共面，故D正确. ｜方法技巧｜ 　　1.证明（或判断）A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使＝λ即可. 2.证明（或判断）向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. 3.证明（或判断）四点共面：若存在有序实数组（x，y，z）使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面. 8.（1）写出A，B，C三点共线的一个充分条件：　　　　； （2）写出A，B，C，D四点共面的一个充分条件：　　　　. 答案：（1）＝2（答案不唯一） （2）＝＋（答案不唯一） 解析：（1）当＝2时，A，B，C三点共线， 所以＝2是A，B，C三点共线的一个充分条件.（答案不唯一） （2）当＝＋时，A，B，C，D四点共面， 所以＝＋是A，B，C，D四点共面的一个充分条件.（答案不唯一） 　 1.（2026·浙江台州八校联考）已知四面体ABCD如图所示，点E为线段CD的中点，点F为△ABC的重心，则＝（　　） A.－－ B.－－ C.－－ D.－－ 解析：D　由点F为△ABC的重心，则＝＋， 则＝＋＝－－＋＋＝－－.故选D. 2.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为（　　） A.4 B.－4 C.8 D.－8 解析：D　因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，则有＝＋＝（e1＋3e2）－（2e1－e2）＝－e1＋4e2， 又A，B，D三点共线，于是＝λ，即2e1＋ke2＝λ（－e1＋4e2），而e1，e2不共线， 因此解得k＝－8，所以实数k的值是－8. 3.[模块融合]在三棱锥P-ABC中，G为△ABC的重心，＝λ，＝μ，＝4（λ＞1，μ＞1）.若PG交平面DEF于点M，且＝，则＋的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为G为△ABC的重心，所以＝＋＝＋（＋）＝＋（－＋－）＝＋＋， 所以＝（λ＋μ＋4）＝＋＋. 因为点M在平面DEF内， 所以＋＋＝1，得λ＋μ＝5，且λ＞1，μ＞1. 所以＋＝（λ＋μ） ＝1＋≥1＋×2＝， 当且仅当＝，即λ＝，μ＝时等号成立. 4.（多选）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，则下列结论正确的是（　　） A.存在x，使得＝x B.任意x，y，使得＝＋x＋y C.存在x，y，使得，，x＋y共面 D.任意x，y，使得，，x＋y共面 解析：ACD　对于A，＝＋＝＋＋，得x＝1，则A正确； 对于B，＝＋＝＋＝＋＋AD，故x＝y＝，则B错误； 对于C，＝＋，则x＝，y＝0时，，，x＋y共面，则C正确； 对于D，正方体中，AD＝B'C'，AD∥B'C'，四边形ADC'B'为平行四边形，，，，都在平面ADC'B'内，所以任意x，y，都有，，x＋y共面，则D正确.故选A、C、D. 5.已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝（x＋1）m＋yn＋2p，且a∥b，则x＋y＝　　　　. 答案：－ 解析：因为a∥b，所以b＝λa（λ∈R）， 即（x＋1）m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp. 因为向量m，n，p不共面，所以 解得故x＋y＝－. 6.晶体的基本单位称为晶胞，如图，一个晶胞的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，＝a，＝b，＝c，点P在A1C上，且A1P∶PC＝2∶3，则＝　　　　　. 答案：a＋b＋c 解析：因为A1P∶PC＝2∶3，可得＝， 根据空间向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）＝＋＋， 又由＝a，＝b，＝c， 所以＝a＋b＋c. 7.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. （1）证明：A，E，C1，F四点共面； （2）试用，，表示. 解：（1）证明：连接AC1（图略）.因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋ ＝＋＝＋， 所以，，共面， 又，，过同一点A， 所以A，E，C1，F四点共面. （2）＝－＝＋－＝＋－－＝－＋＋. 8.（2026·浙江温州十校联考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P为棱AA1，A1D1的中点，设＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； （2）分别用向量法和几何法证明M，P，C1，B四点共面. 解：（1）＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋. （2）向量法：＝＋＝2＋2 ＝2（＋）＝2， 故∥，得M，P，C1，B四点共面. 几何法：连接MP，BC1，AD1， 易知MP∥AD1，AD1∥BC1， 故MP∥BC1，得M，P，C1，B四点共面. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $