阶段验收（一） 1.1～1.3 空间向量的概念与运算（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

阶段验收（一）　1.1～1.3　空间向量的概念与运算 （时间：60分钟　满分：80分） 　 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点P（2，－3，1）关于Oxy平面对称的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 解析：A　点P（2，－3，1）关于Oxy平面对称的点的坐标为（2，－3，－1）.故选A. 2.（2026·浙江温州十校联考）直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为B1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b－c 解析：A　因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为B1C1的中点， ＝a，＝b，＝c， 所以＝＋＝c＋＋ ＝c＋＋＝c＋a＋b，A正确. 3.已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），c＝（m，2，n）.若向量（a＋b）∥c，则实数n的值是（　　） A.－4 B.－6 C.4 D.6 解析：A　易知a＋b＝（1，－1，2）. 因为（a＋b）∥c，所以存在实数λ，使得a＋b＝λc，即（1，－1，2）＝λ（m，2，n）. 所以解得 4.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，体对角线AC'与BD'相交于点O，则有（　　） A.·＝a2 B.·＝a2 C.·＝a D.·＝a2 解析：A　以点A为坐标原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），A'（0，0，a），B'（a，0，a），C'（a，a，a），D'（0，a，a），O. 对于A，＝（a，0，0），＝（a，a，0），·＝a2，故A正确； 对于B，＝（a，a，a），·＝a2，故B错误； 对于C，＝，·＝a2，故C错误； 对于D，＝（0，a，0），＝（0，－a，a），·＝－a2，故D错误.故选A. 5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AC1＝4，AA1＝3，∠A1AB＝∠A1AD＝，则∠BAD＝（　　） A. B. C. D. 解析：B　设∠BAD＝θ，因为六面体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， 所以＝＋＋.因为AB＝AD＝1，AC1＝4，AA1＝3， 所以＝＝＋＋＋2·＋2·＋2·， 故有16＝1＋1＋9＋2｜｜·｜｜cos∠BAD＋2｜｜cos∠A1AD＋2｜｜cos∠A1AB，所以16＝11＋2cos θ＋6cos＋6cos， 所以cos θ＝－.因为θ∈（0，π），所以θ＝.故选B. 6.（2026·浙江宁波五校联考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，过点A的平面α分别与棱PB，PC，PD交于点E，F，G，若＝2，＝3，则＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：A　设＝λ，连接AF， 则＝＋＝＋λ＝＋λ（＋－）＝λ＋λ＋（1－λ）. 因为＝3，即－＝3（－），故＝＋. 因为A，E，F，G四点共面，且，不共线，存在μ，t∈R，使得＝μ＋t， 所以＝μ＋t＝（＋）＋t＝＋＋. 由空间向量基本定理可得解得所以＝. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.（2026·广东领航高中联盟联考）已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（3，2，2），则（　　） A.a－2b＝（－4，－5，－6） B.｜a｜＝ C.a⊥b D.cos＜a，a＋b＞＝ 解析：ACD　对于A，a－2b＝（2，－1，－2）－（6，4，4）＝（－4，－5，－6），故A正确； 对于B，｜a｜＝＝3，故B错误； 对于C，a·b＝6－2－4＝0，故a⊥b，故C正确； 对于D，a＋b＝，故cos＜a，a＋b＞＝＝＝，故D正确.故选A、C、D. 8.如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，AB＝AC＝1，AA1＝2，点O是B1C与BC1的交点，则下列结论正确的是（　　） A.＝ B.｜｜＝ C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1 解析：ABD　对于A，＝＝（＋＋），故A正确； 对于B，由A得＝＝ ＝（＋＋＋2·＋2·＋2·） ＝（1＋1＋4＋0＋2×1×2×－2×1×2×）＝⇒｜｜＝，故B正确； 对于C，·＝（＋＋）·（－） ＝（·＋＋·－－·－·） ＝＝1≠0，则AO与BC不垂直，故C错误； 对于D，取BC中点为D，连接AD，则＝，又由图可得＝， 注意到·＝·＝＝0， 则AD⊥BB1，又AD⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1， 则AD⊥平面B1BCC1，又AD⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面B1BCC1，故D正确. 故选A、B、D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9.已知向量a在向量b上的投影向量是－b，且b＝，则a·b＝　　　　. 答案：－2 解析：因为b＝，则｜b｜＝2，且向量a在向量b上的投影向量是－b， 所以·b＝－b，即·b＝－b，所以a·b＝－2. 10.已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外一点O，满足＝λ＋＋，则λ＝　　　　　. 答案：　 解析：因为点M在平面ABC内，则∃γ，μ∈R，使得＝γ＋μ， 则－＝γ（－）＋μ（－）， 即＝（1－γ－μ）＋γ＋μ. 因为O是平面ABC外一点，则，，不共面， 则由＝λ＋＋以及空间向量基本定理可知， 1－γ－μ＝λ，γ＝，μ＝，得λ＝1－－＝. 四、解答题：本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11.（13分）已知空间三点A（－2，0，1），B（－1，0，1），C（－3，1，2），设a＝，b＝. （1）求｜a＋2b｜的值； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 解：（1）由题得a＝＝（1，0，0），b＝＝（－1，1，1），（2分） 所以a＋2b＝，所以｜a＋2b｜＝＝3.（6分） （2）因为⊥，所以·＝a2－k2b2＝0，（9分） 又｜a｜2＝1，｜b｜2＝（－1）2＋12＋12＝3， 所以1－3k2＝0，解得k＝±.（13分） 12.（15分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，＝2. （1）设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示； （2）若｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，求·. 解：（1）连接BD，PE.＝－＝＋－－. 因为D为PC的中点，＝2，所以＝＝－，＝＋＝－＋， 所以＝－－＝a－b－c.（5分） （2）因为＝＋＋＝－＋＋， 所以·＝（－＋＋）· ＝－－－＋·＋·－·.（8分） 因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PAB， 所以PA⊥PB，PA⊥BC，PB⊥BC.（10分） 又｜｜＝｜｜＝｜｜＝1， 所以－－－＋·＋·－·＝－－－＝－， 即·＝－.（15分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $