1.1.2 空间向量的数量积运算（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 　 空间向量的数量积计算 1.（2026·湖南名校联考）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，若＝a，＝b，＝c，则（a＋b）·（b－c）＝（　　） A.0　　　B.1 C.4　　　D.9 解析：C　由题意，知AA1，AB，AD两两垂直，故a·b＝a·c＝b·c＝0. 又｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3， 所以（a＋b）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－b·c＝b2＝4. 2.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且＝＋＋，则·＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，可知夹角＜，＞＝＜，＞＝，且｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，所以·＝·＝cos＝，·＝1， 所以·＝·＝·＋·＋·＝×＋＋×＝. 3.已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b＝　　　　　. 答案： 解析：∵a在b上的投影向量为b， ∴a·b＝b·b＝×9＝. 空间向量的夹角与垂直 4.已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，则a与b的夹角为（　　） A.30° B.150° C.60° D.120° 解析：C　设a与b的夹角为θ.由a＋2b＋c＝0，得a＋2b＝－c， 两边平方得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4＝7， 解得cos θ＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.故选C. 5.空间四边形ABCD中，BD＝CD，∠ADC＝，∠ADB＝，则cos＜，＞＝（　　） A. B. C.－ D.0 解析：D　在空间四边形ABCD中，BD＝CD，∠ADC＝，∠ADB＝， 则·＝·（－）＝·－· ＝｜｜｜｜cos∠ADC－｜｜｜｜cos∠ADB ＝｜｜｜｜·－｜｜·｜｜·＝0， 所以cos＜，＞＝＝0. 6.已知空间向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝，且a－b与a垂直，则向量a与b的夹角为（　　） A.60° B.30° C.135° D.45° 解析：D　∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0， ∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ ＝1－1××cos＜a，b＞＝0， ∴cos＜a，b＞＝.∵0°≤＜a，b＞≤180°， ∴＜a，b＞＝45°.故选D. 空间向量的模与距离计算 7.（2026·浙东北联盟联考）已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则｜a－b＋c｜＝（　　） A.1 B. C.3 D. 解析：D　因为空间单位向量a，b，c两两垂直， 所以a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， 因此｜a－b＋c｜＝＝＝＝. 8.[教材练习变式]几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，底面ABCD为矩形，其中AB＝1，AD＝2，AA1＝3，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则线段AC1的长为（　　） A. B. C. D. 解析：D　因为底面ABCD是矩形，所以·＝0.又因为∠A1AB＝∠A1AD＝60°， 所以·＝｜｜｜｜cos∠A1AB＝，·＝｜｜｜｜cos∠A1AD＝3. 因为＝＋＋＝＋＋， 所以｜｜＝＝＝.故选D. 9.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是棱BB1的中点，记＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示向量； （2）若AB＝AD＝2，AA1＝3，点M满足＝3a＋λc（λ∈R），且⊥，求｜｜. 解：（1）由题意可得＝－＝（＋）－＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. （2）·＝（3a＋λc）·＝－3a2＋3a·b＋a·c＋λb·c＋c2 ＝－3×22＋3×2×2×＋×2×3×＋2λ×3×＋×32＝－＋λ， 因为⊥，所以·＝－＋λ＝0，解得λ＝， 所以＝＝9a2＋2a·c＋c2＝9×22＋2×2×3×＋×32＝43， 故｜｜＝. 　 1.在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则向量在向量上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 解析：B　在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则·＝·＝0，＝＋＋， 则·＝（＋＋）·＝， 在上的投影向量为·＝·＝.故选B. 2.（2026·广东六校联考）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面A1ADD1都是正方形，∠BAA1＝，AB＝2，点P是C1D与CD1的交点，则 ·＝（　　） A.4－2 B.2 C.4 D.6 解析：B　在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，AA1⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2，由点P是C1D与CD1的交点， 得＝＋＝＋（＋）＝＋＋， 而＝＋，因此·＝（＋＋2）·（＋） ＝（＋＋2·）＝（22＋22＋2×2×2×cos）＝2.故选B. 3.如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：A　在正四面体ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以＝（＋），＝－＝－，且AM＝CN＝， 则·＝（＋）·＝ ＝＝－， 所以｜cos＜，＞｜＝＝， 即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A. ｜易错提醒｜ 注意两空间向量对应直线的夹角与两空间向量夹角的关系，若两空间向量夹角为锐角，则与其对应直线夹角相等；若两空间向量夹角为钝角，则与其对应直线夹角互补. 4.（多选）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1，且∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°，记＝a，＝b，＝c，则（　　） A.＝b＋c－a B.｜｜＝ C.⊥ D.直线BD1与A1D所成角的余弦值为 解析：ABD　因为＝b＋c，所以＝－＝b＋c－a，A正确； 因为∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°， 所以a·b＝，a·c＝－，b·c＝0， ｜｜＝ ＝ ＝＝，B正确； 因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b＋b2＋b·c－a·c－b·c－c2 ＝＋1＋0－－0－1＝1≠0，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知｜｜＝，·＝（b＋c－a）·（b－c） ＝b2＋b·c－a·b－b·c－c2＋a·c＝1＋0－－0－1－＝－1. 设直线BD1与A1D所成角为θ， 则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝， 所以直线BD1与A1D所成角的余弦值为，D正确. 5.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上（不含端点），＝λ，当∠APC为直角时，λ＝　　　　. 答案：　　 解析：由题设有＝＋＋＝－＋＋， 故＝λ＝－λ＋λ＋λ， 而＝＋＝λ－λ－λ＋－＝（λ－1）＋（1－λ）－λ， 同理，＝（λ－1）＋（1－λ）－λ. 因为∠APC为直角，故·＝0， 故（λ－1）2－2λ（1－λ）＝0，故3λ2－4λ＋1＝0， 故λ＝1（舍去）或λ＝. 6.[模块融合]如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是　　　　. 答案：[0，2] 解析：由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2. 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则·＝（－）·（＋）＝－＝－1. 由于P为正方体表面上的动点，则｜｜∈[1，]，所以·∈[0，2]. ｜方法技巧｜ 求两个向量的数量积，常利用极化恒等式转化为求两条线段（其中一条为中线，一条为底边的一半）平方的差.如图，·＝AD2－＝AD2－BC2.当BC的长度一定时，往往通过确定AD的最值求向量数量积的最值. 7.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝2，AD＝2，AA'＝3，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°. （1）求·； （2）求证：⊥； （3）求A'C的长. 解：（1）·＝·＝3×2×cos 60°＝3. （2）证明：因为·＝·（－）＝·－· ＝3×2×cos 60°－3×2×cos 60°＝3－3＝0， 所以⊥. （3）因为＝－＝＋－， 所以＝＝＋＋＋2·－2·－2· ＝4＋4＋9＋0－2×2×3×－2×2×3×＝4＋4＋9－6－6＝5. 所以｜｜＝，所以A'C＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $