1.3 空间向量及其运算的坐标表示（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 　 空间直角坐标系 1.（2026·浙江杭州期中）已知M（1，3，2）是空间直角坐标系Oxyz中一点，则与点M关于Ozx平面对称的点的坐标是（　　） A.（－1，3，2） B.（1，－3，2） C.（－1，3，－2） D.（1，－3，－2） 解析：B　易知点M关于Ozx平面对称的点的坐标是（1，－3，2）. 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，1）关于x轴的对称点为点B，点B在坐标平面Oyz内的射影为点C，则点C的坐标为（　　） A.（－1，－2，0） B.（0，－2，－1） C.（0，－2，1） D.（1，－2，1） 解析：B　因为点A（1，2，1）关于x轴的对称点为点B（1，－2，－1）， 所以点B在坐标平面Oyz内的射影为点C（0，－2，－1）. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为（－4，3，2），则线段AC1的中点坐标为　　　　，向量的坐标为　　　　　. 答案：　（4，3，－2） 解析：可设DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 依题意可得A（a，0，0），C1（0，b，c）， 则＝（－a，b，c）＝（－4，3，2），所以a＝4，b＝3，c＝2， 所以线段AC1的中点坐标为，点D1（0，0，2），B＝（4，3，0），所以＝（4，3，－2）. 空间向量运算的坐标表示 4.已知空间中三点A（0，0，0），B（－1，－2，2），C（0，3，2），则·（－2）＝（　　） A.7 B.－7 C.9 D.－9 解析：B　因为＝（－1，－2，2），＝（1，5，0），＝（0，3，2）， 所以－2＝（1，－1，－4），则·（－2）＝－1＋2－8＝－7. 5.已知点A（3，2，－1），B（4，1，－2），C（－5，4，3），且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　） A.（－6，5，4） B.（3，－2，7） C.（－1，2，6） D.（－6，1，－3） 解析：A　设点D的坐标为（x，y，z）， 由题意得＝（4，1，－2）－（3，2，－1）＝（1，－1，－1）， ＝（－5，4，3）－（x，y，z）＝（－5－x，4－y，3－z）.因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝， 所以解得故选A. 6.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝　　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　. 答案：－2　5 解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）. ∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2－0＋3＝5. 平行、垂直、夹角与模的坐标表示 7.已知向量a＝（－1，2，－1），b＝（3，x，1），且a⊥b，那么｜b｜＝（　　） A. B.2 C. D.5 解析：C　由向量a＝（－1，2，－1），b＝（3，x，1），且a⊥b，得－1×3＋2x－1×1＝0，则x＝2， 则｜b｜＝＝. 8.已知向量a＝（2，1，1），b＝（0，－1，－1），若（a＋λb）∥（a－b），则λ＝　　　　. 答案：－1 解析：因为a＝（2，1，1），b＝（0，－1，－1）， 所以a＋λb＝（2，1－λ，1－λ），a－b＝（2，2，2）， 由（a＋λb）∥（a－b）得＝＝，解得λ＝－1. 9.已知向量m＝（1，3，－2），n＝（－1，1，2）. （1）求｜m－n｜的值； （2）若（m－kn）⊥（m＋n），求实数k的值； （3）求向量2m＋n与m－n夹角的余弦值. 解：（1）由题可得m－n＝（2，2，－4），则｜m－n｜＝＝2. （2）m－kn＝（1＋k，3－k，－2－2k），m＋n＝（0，4，0）， ∵（m－kn）⊥（m＋n），∴（m－kn）·（m＋n）＝0， 即（1＋k）×0＋（3－k）×4＋（－2－2k）×0＝0，则k＝3. （3）∵2m＋n＝（1，7，－2），｜2m＋n｜＝3，m－n＝（2，2，－4），｜m－n｜＝2， ∴cos＜2m＋n，m－n＞＝＝＝， ∴向量2m＋n与m－n夹角的余弦值为. 　 1.在空间直角坐标系中，点A（2，3，－1），B（1，－1，2），若点A关于x轴的对称点为C，点B关于坐标平面Oxy的对称点为D，则·＝（　　） A.3 B.2 C.1 D.－3 解析：A　由已知得点A关于x轴的对称点为C（2，－3，1）， 点B关于坐标平面Oxy的对称点为D（1，－1，－2）， ∴＝（2，－3，1），＝（1，－1，－2），∴·＝2＋3－2＝3. 2.设x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A.2 B. C.3 D.4 解析：C　因为向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2）， 若a⊥c，则2x－4＋2＝0，解得x＝1，所以a＝（1，1，1）. 又b∥c，则＝＝，解得y＝－2，所以b＝（1，－2，1）， 所以a＋b＝（2，－1，2），所以｜a＋b｜＝＝3. 3.（2026·湖北黄冈月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD，则EF与C1G所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，以点A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则B（6，0，0），D（0，6，0），C1（6，6，6），D1（0，6，6）， ∵E，F分别为DD1，BD的中点，CG＝CD， ∴E（0，6，3），F（3，3，0），G（4，6，0），∴＝（3，－3，－3），＝（－2，0，－6）. ∴cos＜，＞＝＝＝， ∴EF与C1G所成角的余弦值为. 4.（多选）（2026·浙江宁波五校联考）已知向量e1＝（t，2t，2），e2＝（2t－2，－t，－1），则下列结论正确的是（　　） A.若e1⊥e2，则t＝－1 B.若e1∥e2，则t＝ C.｜e1｜的最大值2 D.＜e1，e2＞为钝角，则t＞－1 解析：AB　对于A，若e1⊥e2，则t（2t－2）－2t2－2＝0，解得t＝－1，故A正确； 对于B，当t＝0或t＝1时，e1，e2不平行， 所以e1∥e2时，有＝＝，解得t＝，故B正确； 对于C，｜e1｜＝＝，无最大值，故C错误； 对于D，若＜e1，e2＞为钝角，则t（2t－2）－2t2－2＜0，且e1，e2不反向共线， 解得t＞－1且t≠，故D错误.故选A、B. 5.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），a，b，c共面，则λ＝　　　　，向量b在c上的投影向量的坐标为　　　　　　　. 答案：－9　 解析：因为a，b，c共面，设c＝ma＋nb， 又a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），得到（7，6，λ）＝（2m－n，m＋2n，－3m＋3n）， 所以解得所以c＝（7，6，－9）. 所以向量b在c上的投影向量的坐标为·c＝－·（7，6，－9）＝. 6.[教材习题变式]若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得a＝xe1＋ye2＋ze3，我们把有序实数组（x，y，z）叫做基底{e1，e2，e3}下向量a的斜坐标.设向量p在基底{a，b，c}下的斜坐标为{－1，2，3}，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的斜坐标为　　　　　　. 答案： 解析：由题意可得p＝－a＋2b＋3c，设p＝m（a＋b）＋n（a－b）＋tc， 即有－a＋2b＋3c＝m（a＋b）＋n（a－b）＋tc＝（m＋n）a＋（m－n）b＋tc， 则有解得即p＝（a＋b）－（a－b）＋3c， 即向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的斜坐标为. 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF； （2）求cos＜，＞； （3）求CE的长. 解：（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则E，C（0，1，0），F， 所以＝，＝. 因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF. （2）G，由（1）知＝，·＝×1＋×0＋×＝， ｜｜＝＝，｜｜＝＝， 所以cos＜，＞＝＝＝. （3）由（1）知＝， 故CE＝｜｜＝＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $