1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 空间中直线、平面垂直 教科书 书 名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册教材 出版社：人民教育出版社 教学目标 1. 通过类比用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系． 2. 发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养. 教学内容 教学重点： 1. 用向量方法解决空间图形的垂直问题. 教学难点： 1. 建立空间图形基本要素与向量之间的垂直关系； 2. 如何把立体几何问题转化为空间向量问题. 教学过程 环节一 探究空间中直线、平面垂直关系 类比空间中直线、平面平行的向量表示，向量是否也能表示空间中直线、平面垂直关系呢？ 追问：空间中直线、平面有哪些垂直关系呢？ 师生活动 先由学生独立思考，再进行全班交流，教师引导学生类比已经学习了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式. 思考1：如何用向量表示两条直线的垂直关系？ 师生活动 教师引导学生分析，类比用直线的方向向量表示两条直线的平行，得到用直 线的方向向量表示两条直线的垂直.即设直线的方向向量分别为，则. 思考2：如何用向量表示直线与平面垂直关系？ 师生活动 教师引导学生分析，类比用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行关系，得到用直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面的垂直关系.即是直线 的方向向量，是平面的法向量，则使得. 思考3：由平面与平面的垂直关系，可以得到向量之间有什么关系？ 师生活动 教师引导学生分析，类比用平面与平面的法向量表示平面与平面平行关系， 得到用平面与平面的法向量表示平面与平面的垂直关系.即设分别是平面的法向量，则. 环节二 通过例题归纳用向量方法解决立体几何问题的方法 例4. 如图1.4-14，在平行六面体中， ，求证：直线平面. 师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析. 分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A1C⊥平面BDD1B1. 证明：设,则为空间的一个基底， 且，所以 又 在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点, 存在唯一的有序实数对,使得 所以， 所以是平面的法向量 所以平面. 设计意图：设置例4的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.另解的目的是让学生体会代数和几何融合是通性通法. 例5. 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导学生分析,从自然语言转化成数学符号，并完成证明. 已知：如图，，, 求证：. 证明：取直线的方向向量，平面的法向量 因为，所以是平面的法向量. 因为，而是平面的法向量，所以 所以. 设计意图：设置例5的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系. 环节三 梳理过程,感悟本质 回顾这节课的学习，回答如下问题： （1） 类比空间中直线、平面平行的向量表示，空间中直线、平面垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？对此你有什么体会？ （2） 本节课我们用到了哪些思想方法？体现了哪些数学核心素养？ 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加. 学科网（北京）股份有限公司 $$