1.2 空间向量基本定理 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 围绕空间向量基本定理，通过基础应用、综合辨析、拓展探究三层设计，构建从单一知识点到几何体综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底表示、线性分解|单选为主，直接应用定理（如三棱柱中向量表示）| |中档层|基底性质、共面判断|多选与填空结合，辨析基底构成条件（如共面向量命题判断）| |提升层|几何体中的长度、夹角计算及证明|解答题为主，综合应用于正方体、三棱锥等情境（如异面直线夹角求解）|

1.2　空间向量基本定理 1.[2026·保定高二调研] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c,BC的中点为O,则= (　 ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-a+b+c B.a-b+c C.-a+b-c D.a+b-c 2.给出下列命题: ①若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则a,b,d可以构成空间的一个基底; ②若向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底; ③A,B,M,N是空间四点,如果,,不能构成空间的一个基底,那么点A,B,M,N共面; ④已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m可以构成空间的一个基底. 其中真命题的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 (　 ) A.,-1,- B.,1, C.-,1,- D.,1,- 4.在四面体OABC中,点M为棱OA上靠近A的四等分点,N为BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为 (　 ) A. 　　　　B.1 C. 　　　　D. 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 (　 ) A.a B.a C.a D.a 6.(多选题)[2025·杭州重点中学高二期中] 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是上底面A'B'C'D'和侧面CDD'C'的中心,则下列结论正确的是 (　 ) A.存在x,使得=x(++) B.对任意x,y,都有=+x+y C.存在x,y,使得,,x+y共面 D.对任意x,y,都有,,x+y共面 7.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以从向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c,b+c,b-c中选出三个向量构成空间的一个基底,请你写出一个不同于{a,b,c}的基底:　　　　　　　.  8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是　　　　.  9.(13分)如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,设=a,=b,=c,M是BC'的中点,N是B'C'的中点,用基底{a,b,c}表示以下各向量: (1);(2). 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1.记=x+y+z,若x+y+z=,则= (　 ) A. B. C. D. 11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=AB=AA1=,BC=2AE=2,则异面直线AE与A1C所成的角是 (　 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 12.(多选题)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,AB=AD=AA1=2,∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列说法正确的有 (　 ) A.=-a+b+c B.AC1=2 C.若=,则AN⊥BM D.以D为球心,为半径的球与侧面BCC1B1的交线长为π 13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,G为△ABC的重心,点M,F分别为PG,PC的中点,点D,E分别在PA,PB上,=m,=n(mn≠0),若M,D,E,F四点共面,则+= 　　　　.  14.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,CD的中点,且∠B1BC=∠B1BA=,∠CBA=,AB=BC=3,BB1=2. (1)求线段EF的长度; (2)求异面直线AD 与EF夹角的余弦值. 15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=1, Ω={P|=λ+μ+η,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3},若Ω中所有的点构成的几何体的体积为3,则与夹角的大小为　　　　.  16.(15分)如图,在四面体A-BCD中,E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点,且EG=FH=KM,求证:AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 1.B　[解析] 易知=+=+=(-)+=(a-b)+c=a-b+c.故选B. 2.D　[解析] 对于①,若{a,b,c}是空间的一个基底,d与c共线且d≠0,则a,b,d不共面,故a,b,d可以构成空间的一个基底,①为真命题;对于②,若向量a∥b,则a,b与任何向量都共面,故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,②为真命题;对于③,,,不能构成空间的一个基底,则,,必共面,故点A,B,M,N共面,③为真命题;对于④,若a,b,m共面,则∃x,y∈R,使xa+yb=m,即xa+yb=a+c,即(x-1)a+yb=c,故a,b,c也共面,与题设矛盾,所以a,b,m不共面,故a,b,m可以构成空间的一个基底,④为真命题.综上,①②③④均为真命题.故选D. 3.A　[解析] 由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,∵d=e1+2e2+3e3,∴解得故选A. 4.A　[解析] 连接ON,因为四面体OABC中,点M为棱OA上靠近A的四等分点,N为BC的中点,所以=-=(+)-=-++,因为=x+y+z,所以x=-,y=,z=,故x+y+z=.故选A. 5.A　[解析] 设=i,=j,=k,则{i,j,k}为空间的一个正交基底.=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a.故选A. 6.ACD　[解析] 对于A,=+=++,可得x=1,故A选项正确;对于B,如图,连接A'E,=+=+=++,所以x=y=,故B选项错误;对于C,=+,则当x=1,y=0时,,,x+y共面,故C选项正确;对于D,连接C'D,因为AD=B'C',AD∥B'C',所以四边形ADC'B'为平行四边形,所以,,,都在平面ADC'B'内,所以对任意x,y,都有,,x+y共面,故D选项正确.故选ACD. 7.{c,a+b,a-b}(答案不唯一)　[解析] 不共面的三个向量均可构成空间的一个基底,如{c,a+b,a-b}. 8.垂直　[解析] 连接AN,AO,·=(+)·(-) =·=·=-=0,所以⊥,即AM⊥ON. 9.解:(1)由M是BC'的中点,得=,则=+=+=+(+)=b+(+)=b+(-+)=b+(c-b+a)=a+b+c. (2)因为N是B'C'的中点,所以=,则=++=b++=b+a+(-)=b+a+(-)=b+a+(c-b)=a+b+c. 10.B　[解析] 设=λ,因为=+++=-λ-++=-λ-++=-++,所以x=-1,y=1,z=-λ.又因为x+y+z=-λ=,所以λ=.故选B. 11.C　[解析] ∵A1A⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1A⊥AB,A1A⊥AC.∵AC=AB=,BC=2,∴AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,又BC=2AE=2,∴E为BC的中点,∴=(+).∵AC=AA1=,∴A1C=2.∵·=(+)·(-)==1,∴cos<,>==,∴<,>=60°,即异面直线AE与A1C所成的角为60°.故选C. 12.ACD　[解析] 由题意得,=+=+(-)=-a+b+c,故A正确.因为=++=a+b+c,a·b=2×2×cos=2,b·c=a·c=0,所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=4+4+4+4=16,所以AC1=4,故B错误.因为=+=+=a+c,所以·=·=-a2+a·b+a·c-a·c+b·c+c2=0,所以⊥,所以AN⊥BM,故C正确.取BC的中点H,连接DH,易知DH⊥平面BCC1B1,且DH=.由球的半径为,知球面与平面BCC1B1的交线是以H为圆心,=2为半径的圆,如图,在正方形BCC1B1内,以H为圆心,2为半径作圆弧,所得的圆弧PQ即为所求交线.由题意可知∠PHQ=,所以弧PQ的长为π,故D正确.故选ACD. 13.4　[解析] 如图所示,设BC的中点为H,连接AH,AM,因为点G为△ABC的重心,所以点G在线段AH上且AG=AH.因为=+=+=+×(+)=+(+++)=++,所以=2=(++)=,所以=++,若M,D,E,F四点共面,则++=1,解得+=4. 14.解:(1)设=a,=b,=c,则=++=+-=b+c-a, 所以||=== =,即线段EF的长度为. (2)·=a·=a·b+a·c-a2=0+3-=-, 则|cos<,>|===, 故异面直线AD 与EF夹角的余弦值为. 15.或　[解析] 因为Ω={P|=λ+μ+η,0≤λ≤1,0≤μ≤2,0≤η≤3},所以Ω中所有的点构成的几何体的体积是直三棱柱ABC-A1B1C1体积的2×3×2=12(倍),则12×||×||sin<,>×||=3,又||=||=||=1,所以sin<,>=,因为<,>∈[0,π],所以<,>=或,所以与夹角的大小为或. 16.证明:设=a,=b,=c, 连接AG,则=-=(+)-=-a+b+c=(-a+b+c), 连接AF,则=-=-(+)=c-a-b=(-a-b+c), ∵EG=FH,∴||=||, ∴=, 则(-a+b+c)2=(-a-b+c)2,∴a2+b2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c, ∴4a·b=4b·c,则a·b-b·c=0,即b·(a-c)=0, 又b=,a-c=,∴·=0,∴⊥,∴AC⊥DB,同理可证AD⊥BC,AB⊥CD,得证. 学科网（北京）股份有限公司 $