1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，通过类比平面向量，系统构建空间向量夹角、数量积概念、投影向量及运算律的学习支架，为解决空间垂直、夹角、距离问题奠定基础。 该资料以诊断分析辨析易混概念，结合正四面体、正方体等实例设计探究题，培养学生用数学眼光抽象空间关系，用数学思维推理运算，用数学语言表达几何问题。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固方法，弥补知识盲点。

1.1.2　空间向量的数量积运算 【学习目标】 　　1.结合立体几何与空间向量的特征,了解空间向量投影的概念. 　　2.类比平面向量,掌握空间向量的数量积. 　　3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. ◆ 知识点一　空间向量的夹角 1.概念:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a,b的　　　　,记作　　　　.  2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是　　　　,其中当<a,b>=0时,a与b方向　　　　;当<a,b>=π时,a与b方向　　　;当<a,b>=时,a与b　　　　.反之,若a∥b,则<a,b>=0或π;若a⊥b,则<a,b>=.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　 ) (2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. (　 ) ◆ 知识点二　数量积的相关概念及性质 1.概念:已知两个非零向量a,b,则　　　　　　　　叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=　　　　　　　　.  特别地,零向量与任意向量的数量积为0. 2.空间向量数量积的性质(a≠0,b≠0) (1)a⊥b⇔a·b=　　　　.   (2)a2=a·a=|a||a|cos<a,a>=　　　　.   (3)cos<a,b>=　　　　　　　　.   3.投影向量的概念 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c=  　　　　　  向量a在直线l上的投影向量 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 注:向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 4.空间向量数量积的运算律 (1)(λa)·b=　　　　,λ∈R.   (2)a·b=　　　　(交换律).   (3)(a+b)·c=　　　　(分配律).  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　 ) (2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　 ) (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角. (　 ) (4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-e2. (　 ) ◆ 探究点一　空间向量的数量积运算 例1 [教材P9习题1.1第4题改编] 如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求: (1)·;(2)·;(3)·;(4)·. 　　　　　 　　　　　 　　　　 　 变式 (1)(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 (　 ) A.·=1 B.·=1 C.·=1 D.·=1 (2)如图,正四面体ABCD的棱长为1,=,则·=　　　　.  [素养小结] (1)空间向量数量积运算的两种方法: ①已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算. ②若要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,则可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算. (2)在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. ◆ 探究点二　利用向量的数量积解决夹角问题 例2 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求OA与BC所成的角. 变式 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O,则异面直线OC与AB所成角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·成都石室中学高二月考] 把正方形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角,E,F分别是BC,AD的中点,O是AC的中点,则∠EOF的余弦值为　　　　 .  [素养小结] (1)求两个空间向量的夹角的两种方法: ①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围. ②先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后确定<a,b>. (2)用向量法求两直线的夹角: ①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b; ②运算:求cos<a,b>=; ③结论:设两直线的夹角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|,进而得到θ. ◆ 探究点三　利用向量的数量积解决长度问题 例3 [教材P9练习第4题改编] 已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离. 变式 (1)正四面体ABCD的棱长为1,点M为CD的中点,点O为AM的中点,则BO的长为 (　 ) A. B. C. D. (2)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD所成的角为60°,求此时B,D间的距离. [素养小结] 求两点间的距离或线段的长度的步骤: (1)将两点间的连线(或此线段)用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|=,计算出|a|,即得所求距离或长度. ◆ 探究点四　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题 例4 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a,点M,N分别是AB,CD的中点.证明:MN⊥AB. 变式 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为,侧棱长为1,求证:AB1⊥BC1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量的数量积运算 【课前预习】 知识点一 1.夹角　<a,b> 2.[0,π]　相同　相反　互相垂直 诊断分析 (1)×　 (2) ×　[解析] (1)<,>表示向量,的夹角,<,>表示向量,的夹角,它们之间的关系为<,>=π-<,>. (2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角为α或π-α. 知识点二 1.|a||b|cos<a,b>　|a||b|cos<a,b> 2.(1)0　(2)|a|2　(3) 3.|a|cos<a,b> 4.(1)λ(a·b)　(2)b·a　(3)a·c+b·c 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　[解析] (1)非零向量a,b垂直时也有a·b=0. (2)向量的数量积运算不满足消去律. (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角或<a,b>=π. (4)向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 120°×e2=-e2. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)·=·=||||·cos<,>=cos 60°=. (2)·=·=||2=. (3)·=·=||·||cos<,>=cos 120°=-. (4)·=·(-)=·-·=||||cos<,>-||||cos<,>=cos 60°-cos 60°=0. 变式　(1)AB　(2)　 [解析] (1)如图,对于A,·=·=×1×=1,A正确.对于B,·=·(+)=·+·=·(+)=+·=1,B正确.对于C,·=·(+)=·+·=-1,C错误.对于D,因为BA⊥侧面ADD1A1,A1D⊂侧面ADD1A1,所以BA⊥A1D,故·=0,D错误.故选AB. (2)由题可知,点E是棱CD的中点,所以=(+).又因为正四面体ABCD的棱长为1,所以·=·=1×1×cos 60°=,所以·=·(+)=(·+·)=. 探究点二 例2　解:∵OB=OC,AB=AC,OA=OA,∴△OAB≌△OAC,∴∠AOB=∠AOC. ∵·=·(-)=·-·=||·||cos∠AOC-||·||cos∠AOB=0, ∴⊥,即OA⊥BC,∴OA与BC所成的角为90°. 变式　(1)A　(2)-　[解析] (1)如图,由题意知,=+=++=++,所以·=·=,设AB=2,则OC1=,OC=,所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为==. (2)如图,连接OB,OD,易知OB⊥AC,OD⊥AC,所以∠BOD=,不妨设正方形ABCD的边长为2,则OA=OB=OC=OD=,OE=OF=BC=1,=(+),=(+),所以·=(+)·(+)=(·+·+·+·)==-,所以cos∠EOF=cos<,>==-. 探究点三 例3　解:由AC⊥α,AB⊂平面α,得AC⊥AB.如图,过点D作DD'⊥α于点D',连接BD',CD, 则∠DBD'=30°,<,>=120°, 所以||2=·=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·= b2+a2+b2+2b2cos 120°=a2+b2, 故CD=,即C,D间的距离为. 变式　(1)A　[解析] 如图,设=a,=b,=c,因为正四面体ABCD的棱长为1,所以a·b=|a|·|b|cos∠BAC=,同理可得a·c=b·c=.因为点M为CD的中点,点O为AM的中点,所以==(+)=(b+c),所以=-=-a+b+c,所以||2==|-a|2++-a·b-a·c+b·c=,所以||=.故选A. (2)解:因为∠ACD=90°,所以·=0,同理,·=0.因为AB与CD所成的角为60°,所以<,>=60°或120°. 连接BD,因为=++, 所以||2=||2+||2+||2+2·+2·+2· =||2+||2+||2+2·=3+2×1×1×cos<,>. 若<,>=60°,则||2=4,此时||=2; 若<,>=120°,则||2=2,此时||=. 综上,B,D间的距离为2或. 探究点四 例4　证明:由题意可知,||=||=||=a,且向量,,两两的夹角均为60°,连接AN,如图所示,则=-=(+)-, ∴·=(·+·-)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0, ∴⊥,即MN⊥AB. 变式　证明:由已知得=+,=+=+. ∵BB1⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴·=0,·=0. 又∵△ABC是正三角形, ∴<,>=π-<,>=π-=,∴·=(+)·(+)=·+·++·=0+||·||·cos<,>++0=××+1=0,∴AB1⊥BC1. 学科网（北京）股份有限公司 $