第1章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书Word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的概念及线性运算（加减、数乘）核心知识点，衔接必修“平面向量”与“立体几何初步”，通过类比将平面向量推广到空间，为后续空间向量基本定理、坐标运算及应用奠定基础，设置问题导思、新知构建、典例解析等学习支架。 该资料以游客位移等情境驱动概念引入，通过类比平面向量培养数学抽象素养，结合长方体、正六棱柱等空间图形实例发展直观想象，分层练习（对点练、课时分层评价）提升数学运算能力。课中助力教师引导学生实现知识迁移，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺。

单元学习一　空间向量及其运算 　　［单元整体设计］　在必修课程学习“平面向量及其应用”和“立体几何初步”的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量的概念、线性运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，从中体会平面向量与空间向量的共性和差异；运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题，从中体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．基于以上内容，本章共分四个单元整体设计：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用，学习计划13课时(含习题课、复习课)．通过本章的学习，进一步提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象的核心素养． 　　本单元内容是本章的基础，主要包括空间向量及其相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容，学习计划3课时． 　　本单元内容的重点是空间向量及其相关概念、空间向量的线性运算、空间向量的数量积．难点是用向量方法解决立体几何问题．在研究的过程中，提升空间想象力，发展直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律，提升数学运算的核心素养． 任务一　空间向量的有关概念 (阅读教材P2－3，完成探究问题1) 问题1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图①所示， (1)游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ (2)如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图②，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ 提示：(1)如题图①，游客的实际位移是，可以用平面向量的加法来表示这个过程． (2)如题图②，他实际发生的位移是，可以用空间向量来表示这个位移． 1.空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 学生用书⬇第2页 (3)表示法： 2.几类常见的空间向量 名称 定义 表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量 0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 |a|＝1或＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量 －a 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 a∥b 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 a＝b或 ［微提醒］　(1)空间向量是平面向量的推广，可以类比平面向量学习．(2)空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．(3)零向量的长度为0，并规定零向量的方向是任意的．有向线段的起点A和终点B重合时，＝0．(4)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度．根据实际情况，“1”可以是1米，也可以是1毫米等． (1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||＞||，则＞ D．相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中任意两个单位＝向量必相等 答案：(1)D　(2)BC 解析：(1)对于A，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；对于B，｜a｜＝｜b｜只能说明a，b的长度相等而方向不确定；对于C，向量不能比较大小.故选D． (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等.故选BC． 　　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．特别需要注意的是由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．　　 对点练1.(概念辨析)(多选)下列说法错误的是(　　) A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：BCD 解析：对于A，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小，故A正确；对于B，其终点构成一个球面，故B错误；对于C，用有向线段可以表示空间向量，但不是空间向量，故C错误；对于D，两个向量不相等，它们的模可以相等，故D错误．故选BCD． 对点练2.如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解：(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，共3个. (2)向量，，，. (3)A＝AC2＋C＝AB2＋BC2＋C＝9， 故｜｜＝AC1＝3. 学生用书⬇第3页 任务二　空间向量的加减运算 (阅读教材P3，完成探究问题2、3) 问题2.平面向量的加减运算有哪些？满足哪些运算律？ 提示：平面向量的加减运算有两种，即a＋b和a－b．平面向量的加减运算满足交换律和结合律． 问题3.空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？ 提示：能．因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一个平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算． 空间向量的加减运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法运算 a＋b＝＋ (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c 减法运算 a－b＝－ ［微提醒］　(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．(2)空间向量加法运算的推广——多边形法则：首尾顺次相接的若干个空间向量a1，a2，…，an相加，等于由起始向量a1的起点指向末尾向量an的终点的向量． (链教材P5练习T2)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简以下式子，并在图中标出化简结果的向量． (1)＋－＋； (2)－＋＋＋． 解：(1)根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形， 所以＝，－＝＝， 所以＋－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝，如图. (2)在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝. 同理易得＝，＝，＝， 所以－＋＋＋＝－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图. 空间向量加法、减法运算的两个技巧 巧用相 反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用 平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 对点练3.(1)化简－＋所得的结果是(　　) A．　　 B．　　 C．0　　 D． (2)(双空题)如图，已知四面体ABCD，E，F，G分别是边BC，CD，DB的中点，化简以下式子： ＋－＝　　　　； －－＝　　　　. 答案：(1)C 　(2)　 解析：(1)－＋＝＋－＝－＝0.故选C． (2)第一空：＋－＝＋＋＝＋＝. 第二空：－－＝＋＋＝＋＝. 学生用书⬇第4页 任务三　空间向量的数乘运算 (阅读教材P3－4，完成探究问题4) 问题4.平面向量的数乘运算是如何定义的，有什么运算律？空间向量也满足上述运算及运算律吗？ 提示：在平面向量中，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算就叫做向量的数乘运算，其中λa(a≠0)的模和方向满足：|λa|＝|λ||a|，平面向量的数乘运算满足运算律为结合律、分配律．空间向量也满足上述运算及运算律． 空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 代数 形式 (1)当λ＞0时，λa＝λ；当λ＜0时，λa＝λ；当λ＝0时，λa＝0； (2)λa的长度是a的长度的|λ|倍 几何 形式 运算律 (1)结合律：λ(μa)＝(λμ)a； (2)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 角度1　利用数乘运算表示向量 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3)． 解：(1)因为P是C1D1的中点， 所以＝＋＋ ＝a＋＋＝a＋c＋ ＝a＋b＋c. (2)因为N是BC的中点， 所以＝＋＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋c. (3)因为M是AA1的中点， 所以＝＋＝＋ ＝－a＋(a＋b＋c) ＝a＋b＋c. [变式探究] 　本例(2)的条件不变，试用a，b，c表示向量. 解：因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以＝＋＋ ＝＋(－)＋(－) ＝－a＋b－c. 利用数乘运算进行向量表示的技巧 数形 结合 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量 明确 目标 在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质 对点练4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知＝a，＝b，＝c，＝，则＝(　　) A．－a－b＋c　　 B．－a－b＋c C．a＋b＋c　　 D．a＋b＋c 答案：A 解析：因为＝，所以＝－，因为＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝2－－，所以＝＋＝2－－－＝－－＝－a－b＋c.故选A． 角度2　由空间向量的线性运算求参数 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝m＋n＋p，则m＋n＋p＝　　　　. 答案：－1 解析：如图所示，＝＋＝＋＋＝－＋－＝m＋n＋p，故m＝－1，n＝－，p＝，故m＋n＋p＝－1. 由空间向量的线性运算求参数的方法 　　解答此类问题多运用三角形法则或平行四边形法则将目标向量转化为已知向量的线性表示，再根据对应向量的系数相等求参数．　　 学生用书⬇第5页 对点练5.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为CC1的中点，AN＝NC，若＝x＋y＋z，则x＝　　　，y＝　　　，z＝　　　　． 答案：　　 解析：由题意知，＝＋＝＋＝＋)＋＝＋＋＝＋＋.又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝. 任务再现 1.空间向量的相关概念.2.空间向量的线性运算(加法、减法和数乘).3.空间向量线性运算的运算律 方法提炼 类比法、三角形法则、平行四边形法则、转化法、数形结合思想 易错警示 应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数 1.在三棱锥O-ABC中，＋－等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：＋－＝－＝＋＝.故选C． 2.(概念辨析)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．如果a，b是两个单位向量，则｜a｜＝｜b｜ B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 答案：ACD 解析：由单位向量的定义得｜a｜＝｜b｜＝1，故A正确；共线不一定同向，故B错误；因为a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，所以a∥c，故C正确；在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确.故选ACD． 3.如图，G是△ABC的重心，＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c　　 B．a＋b＋c C．a＋b＋c　　 D．a＋b＋c 答案：D 解析：如图，连接OD，因为G是△ABC的重心，则D为AB的中点，CG＝2DG，所以＝＋＝＋＝＋－)＝＋×－＝＋＋＝a＋b＋c.故选D． 4.(双空题)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若＝xAA1＋y(＋)，则x＝　　　　，y＝　　　　． 答案：1　 解析：＝＋＝＋＝＋＋)，所以x＝1，y＝. 课时分层评价1　空间向量及其线性运算 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1—9，每小题5分，共45分) 1.下列命题是真命题的是(　　) A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 答案：D 解析：对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A是假命题；对于B，不相等的两个空间向量的模也可能相等，只要它们的大小相等且方向不相同即可，故B是假命题；对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C是假命题；对于D，仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D是真命题．故选D． 2.在空间四边形ABCD中，下列表达式化简结果与相等的是(　　) A．＋　　 B．＋ C．＋－　　 D．＋－ 答案：B 解析：＋＝，故A错误；＋＝，故B正确；＋－＝＋，故C错误；＋－＝＋＝，故D错误.故选B． 3.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是(　　) A.＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C.＋＋ D.－＋－ 答案：A 解析：对于A，＋2＋2＋＝(＋)＋＋＝＋；对于B，2＋2＋3＋3＋＝2＋3(＋)＋＝3＋3＝0；对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝0；对于D，－＋－＝＋＝＋＝0.故选A． 4.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，N是CD的中点，如图所示，则＋＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：A 解析： 连接AN，BN，如图所示.因为N为CD的中点，所以＝，所以＋＋)＝＋＝.故选A． 5.(2025·广东惠州期末测试)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列式子中与相等的是(　　) A．a－b＋c　　 B．a＋b－c C．－a＋b＋c　　 D．－a－b＋c 答案：A 解析：根据题意知，＝＋＝＋＝－)＋＝－＋＝a－b＋c.故选A． 6.(多选)如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则(　　) A． B．＋ C．＋＋ D．－＋)＝ 答案：ACD 解析：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知＝，故A正确；若＋＝，则＝－＝，由题图可知，不共线，矛盾，故B错误；因为＋＋＝＋＝，故C正确；因为－＋)＝－×2＝－＝，故D正确.故选ACD． 7.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＋2＝　　　　． 答案： 解析：＋－＋2＝＋＋2＝＋2＝2－＝. 8.(双空题)如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，与相等的向量是　　　　；的相反向量是　　　　． 答案：　 解析：由相等向量与相反向量的定义知，是相反向量． 9.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝　　　　． 答案： 解析：． 解析：＝＋＋＋＝－－＋＋＝－＋＋，故x＝－1，y＝1，z＝，x＋y＋z＝. (1)＋； (2)＋＋； (3)－－－． 解：(1)＋＝，如图. (2)因为M是BB1的中点， 所以＝，又＝， 所以＋＋＝＋＝.如图. (3)－－－＝＋)－(＋)＝－＝.如图. (11—13，每小题5分，共15分) 11.(2025·广东梅州期末考试)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法错误的是(　　) A． B．＝－ C．＝－ D．＋＋ 答案：C 解析：由向量相等可知：＝，故A正确；＝＝－，故B正确；＝－，＝＝＋，则－＝－－，所以≠－，故C错误；＋＋＝＋＝，故D正确.故选C． 12.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　) A．＋与＋是一对相反向量 B．－与－是一对相反向量 C．＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D．－与－是一对相反向量 答案：ACD 解析：因为O为正方体的中心，所以＝－，＝－，故＋＝－(＋)，同理可得＋＝－(＋)，故＋＋＋＝－(＋＋＋)，故A、C正确；因为－＝，－＝，所以－－是两个相等的向量，故B不正确；因为－＝，－＝＝－，所以－＝－(－)，所以D正确.故选ACD． 13.(双空题)如图，四面体ABCD的所有棱长都为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝　　　　，|－|＝　　　　． 答案：2　 解析：因为＋＝，所以｜＋｜＝｜｜＝2.取BD的中点M(图略)，则＝，所以｜－｜＝｜－｜＝｜｜＝2sin 60°＝. 14.(15分)已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值： (1)＋x＋y； (2)＝x＋y＋． 解：(1)如图所示，＝＋，由向量加法运算的平行四边形法则可得＝＋).故＝－－，所以＝＋＝－－. 所以x＝－，y＝－. (2)因为＋＝2， 所以＝2－①，同理＝2－②， 将②代入①得＝2－2＋， 所以x＝2，y＝－2. 15.(5分)(新情境)光岳楼，亦称余木楼、鼓楼、东昌楼，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上边边长与底边边长之比约为，则＋＋＝　　　　． 答案： 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 16.(17分)在平面四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝λ，则有＋． (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述(1)的结论表示． 解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分AB，DC所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋.证明如下： ＝＋＋＝＋＋＝＋)＋＋＋)＝＋＋＋＋＝＋. (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $