期中真题重组卷（浙江专用，新教材浙教版九上第1～4章）九年级数学上学期模拟卷

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C C A 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.4 12.9° 181威号 14.1<x<5 15.7V3 16. 90° 3 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）加步骤分值 17。《6分)【详解】①)解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为子 (2)解：把黄色区域看作两份，画树状图为： 开始 蓝 红蓝黄黄 红蓝黄黄 红蓝黄黄红蓝黄黄， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为本： 4_1 18.(6分)【详解】证明：若选择①∠AED=∠B, .∠AED=∠B,∠A=∠A, 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC一△AED: 若选择②∠BDE+∠C=180°， ,∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°， .∠C=∠ADE, ∠A=∠A, .△ABC一△AED: 若选择③AD·AB=AE·AC, AD·AB=AE·AC, 光岩 ,∠A=∠A, .△ABC一△AED: 若选择@AD=DE AC CB AD=DE 而夹角不一定相等， AC CB ∴.△ABC与△AED不一定相似； (2)解：.AE=2AD=6, .AD=3, ,点E为AC中点， .AC=12, .△ABC一△AED, ..AB_AC ·AEAD :AB=12 63 .AB=24 19.(8分)【详解】(1)解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为100,25， 设抛物线方程为y=ax-100P+25 由于抛物线过原点0,0， 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则a0-1002+25=0' 1 解得a=- 4001 因此，石换飞行轨边所在能物线的敢表达式为y=0x-10+25,0≤X≤200： (2)解：火球会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为ABCD,CD与x轴平行，墙宽CD=2米，垂直距离AD=9米， 则石块发射距离x的范围为170≤x≤172， 当x=170时，y=二400170-100+25=12.75>9 当x=172时，y=0172-100P+25=1204>9. 400 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球会落在城墙内. 20.(8分)【详解】(1)解：：∠ACB=90°，∠B=30°， ∠CAB=90°-30°=60°， CD=CA, ∠CDA=∠CAB=60°， ∴.∠DCB=∠CDA-∠B=30° (2)解：过点C作CM⊥AD于点M, B .∠CAB=60°，CD=CA, ∴，△ACD是等边三角形， ∴.∠ACD=60°，AD=AC=2, .CM⊥AD, ∴AM=DM=AD=L, CM=AC2-AM2-3 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S△ACD 2AD.CM= *2x3=昨. 60π×22π ,S扇形ACD= 360 3’ _2π-3. ∴S阴影=S前指ACD一S△ACD=3 21.(10分)【详解】（1)解：BD=14.4m,点P为BD中点时， .'BP=DP=7.2m, 由题意可得：OP‖AB‖CD, ∴.△FPO~△FBA,△EPO~△EDC, PF=OP PE_OP BF AB'DE CD P℉-1.6PE=1.6 “PF+72-8,PE+7.28 PF=1.8m,PE=1.8m: (2)解：OP‖CD, ∴.△EPO一△EDC, 器器 a1.6 DE8' ∴.DE=5a, .,PD=4a, .BD=14.4m, .BP=BD-DP=14.4-4a, .OP AB. ∴.△FPO△FBA, 器治 PE 1.6 14.4-4a+PF8 P℉=3.6-a (3)解：如图，连接AC, 4/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EP F D .AB=CD,ABCD, ∴四边形ABCD为平行四边形， ..AC=BD,AC BD, .△EOF△COA, 是8器 ...OEOP_1 'EC CD 5' :0E-1 “004 EF 1 ·AC4 :.EF=1AC=1BD, 4 4 .PE+PF=EF, :PE+PF=BD=x14.4=3.6 4 4 2.(10分)【详解】(1)解：：二次函数y,=-X+bx+c=-X-2 x-bb+c y2=-x2+2x+c=-x-12+c+1' b ·二次函数y的顶点横坐标为) ,二次函数y2的顶点横坐标为1， “二次函数y,=-X+bx+cb'c为常数)图象的顶点横坐标比二次函数y,=-X+2X+c图象的顶点横 坐标大1， 1 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .b=4: (2)解：①点AX1,m在二次函数y,=-X+bx+c的图象上，点BX,n在二次函数y,=-X2+2x+c的 图象上， m=-x2+4x1+c'n=-x2+2x2+C' n-m=x2-x22+2x2-2x X2=2X1+1, a-m=x-x+22x=-3x-41=-3+号3 当X1=-号时，n-m有最大值为3 2 ②X2-X1=t, ∴.X2=t+X1, n=-x,2+2x+c=-t+x}+2t+x1+c=-x2-2tx1+2x1-tf+2t+C m=-x12+4X1+c' 六n-m=-x2-2tx1+2x1-+2t+c--x12+4x1+c=-2tx1-2x1-t2+2t=3t 整理可得：t2+2x1+1t+2x1=0 解得：t1=-2x1,t2=-1, .X1≥0时，始终有n-m=3t, ∴.n-m的值不会随x的变化而变化， .t=-1. 23.(12分)【详解】特例研究：① 证明：，四边形ABCD和四边形ABCD都是矩形，点M与点C重合， ∴.∠ADC=∠ABC=90°，AD‖BC, .∠MBQ=90°，∠CAD=∠QMB, 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△MQB和△ACD中， ∠MBQ=∠ADC=90° ∠QMB=∠CAD ∴.△MQB-△ACD. ②解：矩形纸片ABCD绕点A顺时针旋转一定角度，得到矩形ABCD,且AB=6,BC=8, ∴.AD=AD=BC=8,CD=CD=AB=6,∠ADC=∠ABC=90°， 点M与点C重合， ·AM=AC=VAD2+CD2=101 ∴.BM=BC=AC-AB=4, 在△ABP和△ADC中， ∠ABP=∠ADC=90° ∠BAP=∠DAC ∴.△ABP一△ADC, BPABBP6 DCAD,即6-8 ·BP=9 2 由上已证：△MQB一△ACD, BQ-MB BQ-4 “DCAD,即68 .BQ=3, PQ=BP+BQ=15 1 15 ∴.PQ-2-3. AM104 结论拓展：不变，理由如下： 如图，过点Q作QH⊥AD于点H, 7/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D ABQH 则四边形 是矩形， ..QH=A B=6=AB, 在△PQH和△PAB中， ∠PHQ=∠PBA=90° ∠HPQ=∠BPA QH=AB ∴△PQH≌△PABAAS, ∴.AP=PQ, 在△ABP和△ADM中， ∠BAP=∠DAM ∠ABP=∠ADM=90° ∴.△ABP一△ADM, AP_AB63 AM-AD8 4' 照星 24.（12分)(1)解：如图1， D B 图1 作射线AO,交BC于E,连接OB,OC, .OB=OC,AB=AC, ∴.AE是BC的垂直平分线， ∴.∠BAC=2∠BAE=2∠CAE,∠AEC=90°， 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠CAE+∠ACB=90°， .BD⊥AC, .∠BHC=90°， ∴.∠CAE+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°， ∴.∠CAE=∠CBD, CD=CD, ∴.∠CAD=∠CBD .∴.∠CAE=∠CAD, BAC=2, ∠CAD 故答案为：2 (2)证明：如图2， D B 图2 作射线AO,交BD于F,连接CF,连接OA,OB,OC, 由(1)知，∠CAF=∠CAD,AF是BC的垂直平分线， .'BF=CF, .∠AHF=∠AHD=90°， ∴.∠AFH=∠ADH, ∴.AF=AD, ∴FH=DH, ∴.AC垂直平分DF, ∴.CF=CD=BF, .BH-HD=BH-FH=BF=CD: (3)解：如图3， 作射线AO,交BD于F,交BC于E,连接CF,连接OA,OB, 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图3 由(1)(2)知， AE⊥BC,∠BAE=∠CAE=∠CAD=∠CBD,AF=AD,CD=CF=BF, ∴.∠BFE=∠AFD=∠ADF=∠ACB=∠ABC, .∴.tan∠BFE=tan∠ABC, ·器品 EF=a'BE=3a'AE=9a'BF=EF2+BE=a2+(3a)-V10a' .AD=AF=AE-EF=9a-a=8a,CD=10a, 0品。严 10/10 期中真题重组卷（浙江专用，浙教版九上第1~4章） 九年级数学上学期模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（    ） A． B．2 C．3 D．9 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数（为常数，）部分，的对应值如表：则下列判断中正确的是（    ） … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为______． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为___． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则______．若，则______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． (2)在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 19．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 20．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 22．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 23．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）【综合九实现】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作，将矩形纸片绕点顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点，边分别与直线交于点，，已知，． 【特例研究】 如图1，当点与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 24．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，于点． (1)直接写出的值为　　　； (2)求证： ； (3)若，求的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题重组卷（浙江专用，浙教版九上第1~4章） 九年级数学上学期模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版九年级数学上册第1~4章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（    ） A． B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，弦，半径于点， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（    ） A．函数图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．最小值为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误； 当时，随的增大而增大，B正确； 当时，或，C错误； 当时，取得最小值，这个最小值小于，D错误； 故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）为使抛物线与抛物线重合，下列平移能实现的是（　　） A．把先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．把先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．把先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．把先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是．则由抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移4个单位即可得到二次函数的图象． 故选：A． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据． 由此可估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故选：C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 【详解】解： 绕点逆时针旋转得到， ， ． 故选C． 8．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知点均在二次函数图象上，若，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先得出抛物线的对称轴为直线，从而可得点为这个二次函数的顶点，且，再利用二次函数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点在二次函数图象上，且， ∴点为这个二次函数的顶点． A、当时，点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； B、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项正确，符合题意； C、当时，点到顶点的距离大于或等于点到顶点的距离， 则若，则；若，则，此项错误，不符合题意； D、若，则为最大值， 所以抛物线的开口向下， 所以点到顶点的距离小于或等于点到顶点的距离， 所以，此项错误，不符合题意； 故选：B． 10．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26九年级上·浙江温州·期末）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为______． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的应用，简单的概率计算，熟练掌握分式方程的应用．简单的概率计算是解题的关键． 设白球的个数为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为， 依题意得，， 解得，， 经检验，是分式方程的解，且符合要求； 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为___． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据抛物线的顶点坐标，写出顶点式，再将代入求出，从而可得出抛物线的解析式，再求出抛物线与轴的另一个交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线的部分图象如图所示，顶点， ∴抛物线的解析式为， ∵与轴右侧交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 取，则， 解得：，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 15．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为___． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则______．若，则______． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得垂直平分线段，，即，由题意可得，推出，进而可得，由中位线定理可得，设，则，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】解：∵将沿直线翻折得到， ∴垂直平分线段， ∴， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：   ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为． 18．（6分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． (2)在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：若选择①， ∵，， ∴； 若选择②， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若选择③， ∵， ∴， ∵， ∴； 若选择④， ∵，而夹角不一定相等， ∴与不一定相似； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球会落在城墙内． 20．（8分）（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角性质即可得答案； （2）过点作于点，将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由相似三角形的性质计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（10分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1． (1)求的值． (2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ①若，求的最大值． ②若，且时，始终有，求的值． 【答案】(1) (2)①有最大值为；② 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解； （2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【详解】（1）解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1， ∴， ∴； （2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵时，始终有， ∴的值不会随的变化而变化， ∴． 23．（12分）（24-25九年级上·浙江杭州·期末）【综合九实现】 小滨学习“图形的旋转”时，剪了一张矩形纸片进行操作，将矩形纸片绕点顺时针旋转一定角度，得到矩形，边与直线交于点，边分别与直线交于点，，已知，． 【特例研究】 如图1，当点与点重合时，①求证：．②求． 【结论拓展】 如图2，当点与点不重合时，的值是否会发生变化？请给出判断并说明理由． 【答案】特例研究：① 证明：∵四边形和四边形都是矩形，点与点重合， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴． ②； 结论拓展：不变，理由如下： 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 特例研究：①先根据矩形的性质可得，从而可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； ②先根据旋转的性质可得，，，利用勾股定理可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，的长，从而可得的长，由此即可得； 结论拓展：过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】特例研究：① 略 ②解：∵矩形纸片绕点顺时针旋转一定角度，得到矩形，且，， ∴，，， ∵点与点重合， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 由上已证：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 结论拓展： 略 24．（12分）（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形内接于，，于点． (1)直接写出的值为　　　； (2)求证： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：如图2， 作射线，交于，连接，连接，，， 由（1）知，，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ； (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． （1）作射线，交于，连接，，根据，，得出，，由得出，由得出，从而得出，进一步得出结果； （2）作射线，交于，连接，连接，，由（1）知：是的垂直平分线，可推出，进一步得出结论； （3）作射线，交于，交于，连接，连接，，可推出，从而得出，设，则，，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作射线，交于，连接，， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）略 （3）解：如图3， 作射线，交于，交于，连接，连接，， 由（1）（2）知， ，，，， ， ， ， 设，则，，， ，， ． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $