3.1.1 椭圆及其标准方程（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 3.1.1　椭圆及其标准方程 3.1 椭　圆 　 1 2 3 4 5 6 7 8 椭圆的定义及标准方程 1. 已知定点F1（－3，0），F2（3，0），平面上满足下列条件的动点P的轨迹 是椭圆的是（　　） A. ｜PF1｜＋｜PF2｜＝4 B. ｜PF1｜＋｜PF2｜＝6 C. ｜PF1｜＋｜PF2｜＝10 D. ＋＝20 √ 解析：｜F1F2｜＝6，根据椭圆的定义， 距离之和｜PF1｜＋｜PF2｜＞6时的点P的轨迹为椭圆，C项满足题意. 其中使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4的点P不存在， 使得｜PF1｜＋｜PF2｜＝6的点P的轨迹是线段， 使得＋＝20的点P的轨迹是圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 2. （2026·江苏淮安期中）如果椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于2， 则点P到另一个焦点F2的距离为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8， 所以｜PF2｜＝8－2＝6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 3. （2026·浙江温州期中）设m为实数，若方程＋＝1表示焦点在x轴上 的椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A. ＜m＜2 B. m＞ C. 1＜m＜2 D. 1＜m＜ 解析：＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得2－m＞m－1＞0， 解得1＜m＜.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）b＝1，c＝2，焦点在x轴上，椭圆的标准方程为 ⁠； 解析：因为a2＝b2＋c2＝5，焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. ＋y2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，椭 圆的标准方程为 ⁠； 解析：已知2a＝8，2c＝2，所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. ＋x2＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：在椭圆＋＝1中，a＝3，b＝2，且焦点在x轴上， 所以c2＝9－4＝5.所以设所求椭圆的方程为＋＝1. 因为点（－3，2）在所求椭圆上，所以＋＝1. 所以a'2＝15或a'2＝3（舍去）.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （3）过点（－3，2）且与椭圆＋＝1有相同的焦点，椭圆的标准方程 为 ⁠； ＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 8 （4）两个焦点在坐标轴上，且经过A和B（－，2）两点，椭 圆的标准方程为 ⁠. ＋＝1 解析：当椭圆的焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 将两点坐标代入方程可得解得 此时a＜b，不合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 将两点坐标代入方程可得解得符合题意. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上，椭圆的标准方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 椭圆定义的应用 5. 设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上的点P，Q满足 P，Q，F1三点共线，则△F2PQ的周长为（　　） A. 2a B. 2b C. 4a D. 4b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：椭圆＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2， 显然椭圆的弦PQ经过点F1， 由椭圆的定义得，△F2PQ的周长为｜PF2｜＋｜PQ｜＋｜QF2｜ ＝｜PF2｜＋｜PF1｜＋｜QF1｜＋｜QF2｜＝4a.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 已知M是椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若 ＝，则△MF1F2的面积为（　　） A. 49 B. 48 C. 25 D. 24 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：由椭圆方程可知a＝7，b＝2，c＝＝5， 由椭圆的性质可知｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝14， 又＝，∴｜MF1｜＝8，｜MF2｜＝6， ∴＋＝100＝，∴MF1⊥MF2， ∴＝｜MF1｜｜MF2｜＝×8×6＝24.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. [教材例题变式]已知椭圆C：＋＝1，从C上任意一点P向y轴作垂线段 PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　　） A. ＋＝1（x≠0） B. x2＋y2＝4（x≠0） C. ＋＝1（x≠0） D. x2＋y2＝8（x≠0） 解析：设点M（x，y），根据中点的坐标公式可得P（2x，y）， 代入椭圆方程＋＝1得x2＋y2＝4，其中x≠0.故选B. √ 与椭圆有关的轨迹问题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. [创新试题]（1）用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点 P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1（如图），若不断在 圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，则点M1， M2，M3，…形成的轨迹是 ⁠； 椭圆 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆，证明如下： 设P是圆O上任意一点，OP与折痕l1的交点为M， 所以有｜MP｜＝｜MA｜，而｜MP｜＝｜OP｜－｜OM｜， 所以有｜OP｜－｜OM｜＝｜MA｜⇒｜MA｜＋｜OM｜＝｜OP｜. 因为O和A是定点，且点A在圆O内， 所以｜OA｜＜｜OP｜，｜OP｜为圆O的半径，为定值， 因此点M的轨迹是以O和A为焦点的椭圆， 所以点M1，M2，M3，…形成的轨迹是椭圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）已知点A（－，0），B（，0），直线PA和直线PB的斜率的乘积 为－，则点P的轨迹方程为 　　＋y2＝1（x≠±）　　. 解析：设点P的坐标为（x，y），则×＝－（x≠±）， 整理得＋y2＝1，故点P的轨迹方程为＋y2＝1（x≠±）. ＋y2＝1（x≠±） 1 2 3 4 5 6 7 8 　 1. “m∈（－3，5）”是“方程＋＝1表示椭圆”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 √ 解析：由“方程＋＝1表示椭圆”可以得出或 所以－3＜m＜1或1＜m＜5. “m∈（－3，5）”不能推出“方程＋＝1表示椭圆”； “方程＋＝1表示椭圆”能推出“m∈（－3，5）”. 综上，“m∈（－3，5）”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 2. [模块融合]已知△ABC的顶点B（－4，0）和C（4，0），顶点A在椭圆＋ ＝1上，则的值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题意得，椭圆＋＝1， 由c2＝a2－b2＝25－9＝16得c＝4， ∴B（－4，0）和C（4，0）分别为椭圆的左、右焦点，且a＝5. ∵顶点A在椭圆＋＝1上，根据椭圆的定义， 可得｜AB｜＋｜AC｜＝2a＝10. 由正弦定理，得＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 3. （多选）已知椭圆C：＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为C上不与F1， F2共线的点，则下列说法正确的有（　　） A. 实数m的取值范围是（0，9）∪（9，＋∞） B. 若椭圆C的焦点在x轴上，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝6 C. 若m＝8，则△PF1F2的周长为8 D. 若椭圆C的焦距为2，则m＝6 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题意可得m＞0且m≠9，故A正确； 若椭圆C的焦点在x轴上，则a2＝9，解得a＝3，所以｜PF1｜＋｜PF2｜ ＝2a＝6，故B正确； 若m＝8，则a2＝9，b2＝8，c2＝9－8＝1，解得c＝1，所以｜F1F2｜＝ 2c＝2，则△PF1F2的周长为｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝2a＋2c＝8，故C正确； 若椭圆C的焦距为2，则c＝. 当椭圆的焦点在x轴上时，m＝9－3＝6；当椭圆的焦点在y轴上时，m＝ 9＋3＝12，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 4. 已知F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A，则｜PA｜ ＋｜PF｜的最小值为（　　） A. B. C. 4 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由椭圆的方程可知，a＝3，c＝＝2.如图所示， 设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知， ｜PF｜＋｜PF2｜＝2a＝6， 所以｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋6－｜PF2｜＝6－（｜PF2｜－｜PA｜），所以求｜PA｜＋｜PF｜的最小值，也就是求｜PF2｜－｜PA｜的最大值. 由图易知，当P，A，F2三点共线时，｜PF2｜－｜PA｜取得最大值， 此时（｜PF2｜－｜PA｜）max＝｜AF2｜＝， 所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为6－＝. 1 2 3 4 5 6 7 5. （1）点N在椭圆＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，M为NF的中点，若 ｜OM｜＝4，则｜NF｜＝ ⁠； 解析：如图，设椭圆的另一个焦点为F1，不妨设F为左焦 点，则｜NF｜＋｜NF1｜＝2a＝10. 由中位线可知，｜OM｜＝｜NF1｜，所以｜NF1｜＝8， 所以｜NF｜＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 （2）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直 线交椭圆于A，B两点，若·＝0，且｜AF2｜＝2｜BF2｜＝4， 则椭圆的方程为 ⁠. ＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 解析：连接BF1（图略），由椭圆的定义有｜BF1｜＝2a－｜BF2｜＝ 2a－2，｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝2a－4. 因为·＝0，所以F1A⊥F2A. 在Rt△F1AB中，｜AB｜2＋＝， 即62＋（2a－4）2＝（2a－2）2，解得a＝6. 在Rt△F1AF2中，＋＝， 即42＋（2a－4）2＝（2c）2， 所以42＋82＝（2c）2，解得c2＝20，所以b2＝a2－c2＝16， 所以椭圆的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 6. 已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝81和C2：（x－3）2＋y2＝1，若动圆P与圆C1内 切，同时与圆C2外切，则该动圆圆心P的轨迹方程为 ⁠. ＋＝1 1 2 3 4 5 6 7 解析：易知C1（－3，0），r1＝9，C2（3，0），r2＝1，且｜C1C2｜＝6. 又动圆P与圆C1内切，同时与圆C2外切， 则｜PC1｜＝r1－rP＝9－rP，｜PC2｜＝r2＋rP＝1＋rP， 所以｜PC1｜＋｜PC2｜＝10＞｜C1C2｜， 所以动点P到两个定点C1（－3，0），C2（3，0）的距离之和为定值， 满足椭圆的定义，所以点P的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且2a＝10，2c＝6，即a＝5，c＝3， 所以b＝＝4，该动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 7. （2026·四川成都期中）如图，已知圆A：（x＋1）2＋y2＝16，点B（1， 0），P为圆A上的动点，线段BP的垂直平分线与线段AP相交于点M. （1）过点B的直线m被圆A截得的弦长为4，求直线m的方程； 解：圆A：（x＋1）2＋y2＝16的圆心为A（－1，0），半径r＝4. 已知弦长l＝4，设圆心到直线m的距离为d， 1 2 3 4 5 6 7 则d＝＝＝2，且直线m过点B（1，0）. 当直线斜率不存在时，直线m的方程为x＝1， 圆心到直线m的距离d＝｜1－（－1）｜＝2，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为k， 则直线m的方程为y＝k（x－1），即kx－y－k＝0， 圆心到直线m的距离d＝＝＝2， 化简得｜k｜＝，无解，所以直线m的方程为x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 （2）求动点M的轨迹方程； 解：由垂直平分线的性质可知，｜MB｜＝｜MP｜. 因为｜AP｜＝｜AM｜＋｜MP｜＝r＝4， 所以｜AM｜＋｜MB｜＝4. 因为A（－1，0），B（1，0），所以｜AB｜＝2. 由椭圆的定义可知，动点M是以A，B为焦点的椭圆， 且a2＝4，c2＝1，b2＝a2－c2＝3， 所以动点M的轨迹方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 （3）设（2）中曲线为C，H为曲线C上一点，若·＝0，求△HAB 的面积. 解：由椭圆定义知｜AH｜＋｜HB｜＝4， 两边同时平方得 （｜AH｜＋｜HB｜）2＝｜AH｜2＋｜HB｜2＋2｜AH｜｜HB｜＝16.① 因为·＝0，所以HA⊥HB， 根据勾股定理可得｜HA｜2＋｜HB｜2＝｜AB｜2＝4.② 将②代入①中得4＋2｜AH｜｜HB｜＝16， 解得｜AH｜｜HB｜＝6， 所以S△HAB＝｜AH｜｜HB｜＝3. 1 2 3 4 5 6 7 $