2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 2.3 直线的交点坐标与距离公式 　 直线的交点坐标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. （2026·浙江名校联考）若P为直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：2x＋y－4＝0的 交点，O为坐标原点，则直线OP的方程为（　　） A. y＝x B. y＝2x C. y＝－x D. y＝－2x 解析：联立方程可得点P的坐标为（1，2）， 所以直线OP的方程为y＝2x. √ 2. 若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k＝ （　　） 　 A. －2 B. － C. 2 D. 解析：由得所以两直线的交点坐标为（－1， －2），将代入x＋ky＝0，得k＝－. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. [一题多解]已知直线l1：x＋3y－2＝0与l2：x－y＋2＝0相交于点P，则过点P 且与l1垂直的直线的方程是（　　） A. 3x＋y－4＝0 B. 3x－y＋4＝0 C. x－3y＋6＝0 D. 3x－y－6＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：方法一：先求交点坐标. 由⇒⇒P（－1，1）， 与x＋3y－2＝0垂直的直线的方程可设为3x－y＋m＝0， 把P（－1，1）代入，得3×（－1）－1＋m＝0⇒m＝4， 所以所求直线的方程为3x－y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：设过交点的直线系方程. 过点P的直线可设为x＋3y－2＋λ（x－y＋2）＝0， 即（λ＋1）x＋（3－λ）y＋2λ－2＝0. 因为该直线与直线l1垂直， 所以1×（λ＋1）＋3×（3－λ）＝0，解得λ＝5. 所以所求直线的方程为3x－y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 若直线2x－ay＋1＝0与直线x－y＝0的交点在直线2x＋y－3＝0上，则实数a ＝ ⁠. 解析：由题意， 联立直线2x－ay＋1＝0与直线x－y＝0的方程 解得故2×＋－3＝0，解得a＝3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 直线过定点问题 5. 若直线（3a＋2）x＋（a－1）y－a＝0（a∈R）恒过定点A，则点A的坐标为 （　　） A. B. （1，3） C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：（3a＋2）x＋（a－1）y－a＝0⇔（3x＋y－1）a＋2x－y＝0， 令⇒则所过定点A的坐标为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3 ＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l 恒过定点； 证明：由题知l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R）， 可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R， 所以解得 即直线l 恒过定点（－1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB 的中 点，求m. 解：由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 由题意可知，P恰为AB 的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线 l1 和直线l2 上， 所以解得 所以A（－2，5），将A（－2，5）代入直线l的方程， 解得m＝－.所以m 的值为－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两点间的距离公式 7. 已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是45°，则A，B 两点间的距离为（　　） A. 2 B. C. 2 D. 3 √ 解析：由题知，＝tan 45°＝1，解得m＝1， 故A（1，2），B（－1，0）， 则A，B两点间的距离为＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2026·江苏扬州期中）已知△ABC的顶点为A（1，2），B（5，4），C （2，－2），则AB边上的中线长为（　　） A. B. 4 C. D. 6 解析：设AB边的中点为D，则D（3，3）， 所以｜CD｜＝＝. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 已知A（1，2），B（－1，1），C（0，－1），D（2，0），则四边形 ABCD的形状为 ⁠. 解析：∵kAB＝，kCD＝，kBC＝－2，kAD＝－2， ∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，∴四边形ABCD为矩形. 又∵｜AB｜＝＝， ｜BC｜＝＝， ∴AB＝BC，故四边形ABCD为正方形. 正方形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 1. 若直线2x－y＋3＝0与x＋ay－1＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 （　　） A. （1，5） B. （－1，－1） C. （－1，1） D. （－2，－1） √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由直线2x－y＋3＝0与x＋ay－1＝0互相垂直， 可得2×1＋（－1）×a＝0，即a＝2. 把a＝2代入直线x＋ay－1＝0，得到x＋2y－1＝0. 联立方程组解得 所以交点坐标为（－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 2. （2026·福建福州期中）过直线3x－2y＋3＝0与直线x＋y－4＝0的交点，且与 直线2x＋y－1＝0平行的直线的方程为（　　） A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y＋1＝0 C. 3x＋2y－7＝0 D. x－2y＋5＝0 解析：由得∴交点坐标为（1，3）. 设与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0， 把点（1，3）的坐标代入，得2＋3＋C＝0，解得C＝－5， ∴所求直线的方程为2x＋y－5＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 3. 已知三条直线l1：x＋2y－1＝0，l2：2x－y－7＝0，l3：x－3y＋4＝0，设l1∩l2 ＝A，l2∩l3＝B，l3∩l1＝C，则△ABC是（　　） A. 以A为直角顶点的等腰直角三角形 B. 以A为直角顶点的非等腰直角三角形 C. 以C为直角顶点的等腰直角三角形 D. 等边三角形 √ 解析：由题意得＝－，＝2，＝，所以＝－1，所以l1⊥l2， 即AB⊥AC. 联立解得即A（3，－1）， 1 2 3 4 5 6 7 联立解得即C（－1，1）， 联立解得即B（5，3）， 则｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， 所以｜AB｜＝｜AC｜，所以△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 4. （多选）（2026·江苏南通期中）设m∈R，已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y ＝5－3m和l2：2x＋（5＋m）y＝8，则（　　） A. 直线l1过定点 B. 当l1∥l2时，m＝－1或m＝－7 C. 当m＝－时，l1⊥l2 D. 当m＝1时，l1，l2的交点坐标为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：直线l1：（3＋m）x＋4y＝5－3m变形为（3＋x）m＋4y＋3x－5＝0， 令解得∴直线l1过定点，∴A正确. 当l1∥l2时，（3＋m）（5＋m）－2×4＝0，解得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1：2x＋4y＝8和l2：2x＋4y＝8，两条直线重合，不符合 题意； 当m＝－7时，直线l1：－4x＋4y＝26，即2x－2y＝－13和l2：2x－2y＝8，两 条直线平行，因此仅当m＝－7时，l1∥l2，∴B错误. 1 2 3 4 5 6 7 当m＝－时，直线l1：－x＋4y＝18和l2：2x＋y＝8，此时－×2＋ 4×＝0，∴当m＝－时，l1⊥l2，∴C正确. 当m＝1时，直线l1：4x＋4y＝2，即2x＋2y＝1和l2：2x＋6y＝8，即x＋3y＝ 4，联立方程组解得 ∴当m＝1时，l1，l2的交点坐标为，∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 5. 使关于x，y的方程组无解的一个a的值 为 （写出一个即可）. －5（写出－5，3，±1其中的一个即可） 1 2 3 4 5 6 7 解析：显然，当a＝1时，（a2－1）x＋（a－1）y＝12不表示直线，无解，故 方程组无解； 当a≠1时，方程组可看作求两直线＝a＋1（x≠1）与（a2－1）x＋（a－ 1）y＝12的交点，若方程组无解，则直线无交点， 若两直线平行，则a＋1＝－（a＋1），解得a＝－1. 若两直线不平行，则（a2－1）x＋（a－1）y＝12过点（1，2）， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3， 此时，＝a＋1不过点（1，2），方程组无解. 综上，a的取值为－5，3，±1. 1 2 3 4 5 6 7 6. 函数f（x）＝＋的最小值为 　　2　　. 解析：＝表示A（x，0）与B（1，4）间的距离，＝表示A（x，0） 与C（5，2）间的距离， 又C（5，2）关于x轴的对称点C'（5，－2），如图， 所以f（x）＝｜AB｜＋｜AC｜＝｜AB｜＋｜AC'｜≥｜BC'｜ ＝＝2. 所以f（x）min＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 7. [教材习题变式]已知三条直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：2x－y－5＝0，l3：4x＋ 3y－5＝0. （1）若l1，l2，l3交于一点，求实数a的值； 解：联立l2与l3的方程，得解得 即l2与l3的交点坐标为（2，－1）， 由题意知点（2，－1）在l1上，所以2a－2－3＝0， 解得a＝. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若l1，l2，l3可以围成一个三角形，求实数a的取值范围. 解：由（1）知a≠. 当l1∥l2时，－＝2，所以a＝－4； 当l1∥l3时，－＝－，所以a＝. 当l1不与l2和l3平行，且不过同一点时，l1，l2，l3三条直线可以围成 三角形，所以a≠－4，且a≠，且a≠， 故a的取值范围为（－∞，－4）∪∪∪. 1 2 3 4 5 6 7 $