2.2.3 直线的一般式方程（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 2.2.3 直线的一般式方程 　 1. 下列直线中，倾斜角最大的是（　　） A. x＋y＋1＝0 B. x－y＋1＝0 C. x＋y＋1＝0 D. x－y＋1＝0 直线的一般式方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 解析：直线x＋y＋1＝0的斜率为－，倾斜角为120°； 直线x－y＋1＝0的斜率为，倾斜角为60°； 直线x＋y＋1＝0的斜率为－1，倾斜角为135°； 直线x－y＋1＝0的斜率为1，倾斜角为45°. 显然直线x＋y＋1＝0的倾斜角最大.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2026·浙江宁波五校联考）若直线l经过点（3，5），倾斜角为135°，则 （　　） A. l的一般式方程为x－y＋2＝0 B. l的斜截式方程为y＝－x＋8 C. l的点斜式方程为y＋5＝－（x＋3） D. l的截距式方程为－＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：因为直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k＝tan 135°＝－1. 因为直线l经过点（3，5）， 所以l的点斜式方程为y－5＝－（x－3）， 一般式方程为x＋y－8＝0， 斜截式方程为y＝－x＋8， 截距式方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如果AC＜0，BC＞0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：把直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－. 因为AC＜0，BC＞0， 假设C＞0，则B＞0，A＜0，所以－＞0，－＜0， 则直线Ax＋By＋C＝0不经过第二象限. 假设C＜0，则B＜0，A＞0，所以－＞0，－＜0， 则直线Ax＋By＋C＝0不经过第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （3，1） D. （2，1） 解析：直线方程可化为y－1＝k（x－3）， ∴无论k为何值时，都过定点（3，1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. （多选）已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是（　　） A. 若ab＞0，则直线l的斜率小于0 B. 若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90° C. 直线l可能经过坐标原点 D. 若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0° √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：对于A，若ab＞0，则直线l的斜率－＜0，故A正确； 对于B，若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，其倾斜角为90°，故B 正确； 对于C，将（0，0）代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误； 对于D，若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，其倾斜角为0°，故D正 确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知直线l1：2x－3y＋4＝0与直线l2：（m＋1）x－9y＋2m－1＝0平行，则m ＝（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 解析：由于两直线平行， 所以2×（－9）＝（－3）×（m＋1），即m＝5， 此时l2：6x－9y＋9＝0，即2x－3y＋3＝0，符合题意.故选B. 直线一般式下的平行与垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 已知直线l1：2x＋3y＋1＝0，l2：ax＋2y－2＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为 （　　） A. 3 B. C. －3 D. － 解析：∵l1⊥l2，∴2a＋3×2＝0，解得a＝－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （多选）（2026·江苏常州调研）已知直线l：x＋2y＋c＝0（c≠0），则下列 说法正确的是（　　） A. 直线l的斜截式方程为x＝－2y－c B. l与直线x＋2y＝0平行 C. l与直线2x＋y－1＝0垂直 D. 若直线l上任一点P向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得点Q， 则点Q仍在直线l上 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由x＋2y＋c＝0得y＝－x－，即直线l的斜截式方程为y＝－x－，故A错误； 因为＝≠，所以直线x＋2y＋c＝0（c≠0）与直线x＋2y＝0平行，故 B正确； 因为1×2＋2×1≠0，所以直线x＋2y＋c＝0（c≠0）与直线2x＋y－1＝ 0不垂直，故C错误； 设P（x，y），则x＋2y＋c＝0，将点P向右平移2个单位长度，再向下平 移1个单位长度得点Q（x＋2，y－1），因为（x＋2）＋2（y－1）＋c＝ x＋2y＋c＝0，所以点Q仍在直线l上，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. [一题多解]已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l'的方程，使l'满足： （1）过点（－1，3），且与l平行； 解：方法一：l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－. ∵l'与l平行，∴l'的斜率为－. 又l'过点（－1，3）， ∴由点斜式得直线l'的方程为y－3＝－（x＋1），即3x＋4y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：由l'与l平行，可设l'的方程为3x＋4y＋m＝0（m≠－12）， 将（－1，3）代入得m＝－9. ∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）过点（－1，3），且与l垂直； 解：方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－，由l'与l垂直，得l'的斜率为. 又l'过点（－1，3）， ∴由点斜式得直线l'的方程为y－3＝（x＋1），即4x－3y＋13＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：由l'与l垂直，可设l'的方程为4x－3y＋n＝0， 将（－1，3）代入得n＝13. ∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （3）l'与l垂直，且l'与两坐标轴围成的三角形面积为4. 解：方法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－.∵l'⊥l，∴kl'＝. 设l'在y轴上的截距为b，则直线l'的方程为y＝x＋b，令y＝0，可得l'在x轴 上的截距为－b，由题意可知，直线l'与两坐标轴围成的三角形面积S＝ ｜b｜＝4， ∴b＝±. ∴直线l'的方程为y＝x＋或y＝x－. 即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：由l'与l垂直，可设直线l'的方程为4x－3y＋p＝0， 则l'在x轴上的截 距为－，在y轴上的截距为， 由题意可知，直线与两坐标轴围成的三角形面积S＝＝4， 得p＝±4. ∴直线l'的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 1. （2026·河南郑州期中）如图，直线l1：mx＋y＋n＝0与l2：nx－y＋m＝0 （mn≠0，m≠n）的图象可能是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 √ 解析：直线l1：mx＋y＋n＝0可化为l1：y＝－mx－n，斜率为－m，在y轴 上的截距为－n，直线l2：nx－y＋m＝0可化为l2：y＝nx＋m，斜率为n，在y 轴上的截距为m. 对于A，由直线l1可得由直线l2可得矛盾. 对于B，由直线l1可得由直线l2可得矛盾. 对于C，由直线l1可得由直线l2可得矛盾. 对于D，由直线l1可得由直线l2可得满足要求. 1 2 3 4 5 6 7 2. 已知a＞0，b＞0，两直线l1：（a－1）x－2y－1＝0，l2：x－3by＋2＝0，若 l1⊥l2，则＋的最小值为（　　） A. 12 B. 20 C. 26 D. 32 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由l1⊥l2得（a－1）·1＋（－2）（－3b）＝0，化简得a＋6b＝1， ＋＝（a＋6b）＝20＋＋≥20＋2＝32， 当且仅当a＝，b＝时等号成立.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 3. （多选）已知直线l1：3x＋ay＋1＝0，l2：（a＋2）x＋y＋a＝0，则下列说法 正确的是（　　） A. 当a＝时，直线l1的倾斜角为60° B. 当a＝－时，l1⊥l2 C. 若l1∥l2，则a＝－3或a＝1 D. 直线l2始终过定点（－1，2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：对于A，当a＝时，直线l1：3x＋y＋1＝0， 故斜率k＝－，则倾斜角为120°，故A错误； 对于B，l1⊥l2等价于3（a＋2）＋a＝0，解得a＝－，故B正确； 对于C，若l1∥l2，则3＝a（a＋2）且3a≠a＋2，故a＝－3，故C错误； 对于D，l2：（a＋2）x＋y＋a＝0变形为l2：（x＋1）a＋2x＋y＝0， 令x＋1＝0且2x＋y＝0，解得x＝－1，y＝2，故恒过点（－1，2），故D 正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 4. 在空间直角坐标系O-xyz中，经过点P（x0，y0，z0），且法向量为m＝（A， B，C）的平面方程为A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0，经过点P （x0，y0，z0）且一个方向向量为n＝（a，b，c）（abc≠0）的直线l的方程 为＝＝，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程 为2x－7y＋z－4＝0，经过点（0，0，0）的直线l的方程为＝＝，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（　　） 　 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题意得，直线l的方向向量为n1＝（2，3，－1）， 平面α的法向量为m1＝（2，－7，1）， 设直线l与平面α所成角的大小为θ， 则sin θ＝｜cos＜n1，m1＞｜＝＝＝. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 5. 已知一条光线从点（4，0）发出后被直线x＋y－10＝0反射，若反射光线过 点（0，1），则反射光线所在直线的一般式方程为 ⁠. 解析：设点（4，0）关于直线x＋y－10＝0的对称点为（a，b）， 则解得 因此反射光线所在直线过点（10，6），（0，1），所以反射光线所在直线 的方程为y＝x＋1，即x－2y＋2＝0. x－2y＋2＝0 1 2 3 4 5 6 7 6. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0. （1）若直线l在y轴上的截距等于1，则实数k的值为 ⁠； 解析：令x＝0，得y＝1＋2k， 因为直线l在y轴上的截距等于1， 所以1＋2k＝1，解得k＝0. 0 1 2 3 4 5 6 7 （2）若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是 ⁠. 解析：直线l的方程可化为k（x＋2）－y＋1＝0， 所以所以 所以直线l过定点M（－2，1），所以kOM＝－. 由直线l：kx－y＋1＋2k＝0可得y＝kx＋2k＋1， 若直线l不经过第三象限，则－≤k≤0， 故k的取值范围是. ​ 1 2 3 4 5 6 7 7. 已知点A（1，3），直线l：x＋2y＋3＝0. （1）求过点A且与直线l平行的直线方程； 解：设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0， 由于直线过点A（1，3），因此1＋2×3＋m＝0，解得m＝－7. 因此所求直线的方程为x＋2y－7＝0. （2）求过点A且与直线l垂直的直线方程； 解：设所求直线的方程为2x－y＋n＝0， 由于直线过点A（1，3），因此2－3＋n＝0，解得n＝1. 因此所求直线的方程为2x－y＋1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 （3）求点A关于直线l的对称点的坐标. 解：设点A（1，3）关于直线l：x＋2y＋3＝0的对称点的坐标为（a， b），则解得 所以对称点的坐标为（－3，－5）. 1 2 3 4 5 6 7 $