1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.4 空间向量的应用 　 求方向向量与法向量 1. 若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为 （　　） A. （1，2，3） B. （1，3，2） C. （2，1，3） D. （3，2，1） 解析：＝（2，4，6），与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （多选）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，下列结论中，正确的是（　　） A. 直线BD1的一个方向向量为（－2，2，2） B. 直线BD1的一个方向向量为（2，2，2） C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D. 平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由题意，B（1，0，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），∵＝（－1，1，1）， ∴向量（－2，2，2）为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 设平面B1CD1的法向量为n＝（x，y，z），则 由＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）得 令x＝1，得＝（1，1，1），故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设平面B1CD的法向量为m＝（a，b，c），则 由＝（0，－1，1），＝（－1，0，0）得 令b＝1，得m＝（0，1，1），故D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 已知向量n＝（－3，1，2）和平面α，点A（0，－3，－1），B（k，k＋3， 2）都在平面α内.（1）若向量n是直线AB的一个方向向量，则k＝ ⁠； 解析：由点A（0，－3，－1），B（k，k＋3，2）， 得＝（k，k＋6，3）. 若向量n是直线AB的一个方向向量，则n∥， 所以＝k＋6＝，解得k＝－. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若向量n是平面α的一个法向量，则k＝ ⁠. 解析：由n＝（－3，1，2）是平面α的一个法向量， 且点A，B∈α，得n·＝0， 因此－3k＋k＋6＋2×3＝0，所以k＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 空间中，若直线l的方向向量为a＝（0，－1，2），平面α的法向量为m＝ （－3，2，1），则（　　） A. l∥α B. l⊥α C. l∥α或l⊂α D. l与α斜交 解析：因为m·a＝－3×0＋2×（－1）＋1×2＝0， 所以a⊥m，所以l∥α或l⊂α. 用向量解决直线、平面的平行问题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 已知直线l上有两点A（1，2，3），B（2，1，1），平面α的一个法向量为n ＝（－3，2，m），若l∥α，则m＝（　　） A. 2 B. 1 C. － D. － 解析：因为直线l上有两点A（1，2，3），B（2，1，1）， 所以直线l的一个方向向量为＝（1，－1，－2）. 又因为l∥α，且平面α的一个法向量为n＝（－3，2，m）， 所以n⊥，即n·＝（－3）×1＋2×（－1）－2m＝0，解得m＝－. 故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知a＝（0，1，m），b＝（0，n，－3）分别是平面α，β的法向量，且 α∥β，则mn＝ ⁠. 解析：根据题意可知，若α∥β，则a∥b， 又a＝（0，1，m），b＝（0，n，－3）可得＝，即可得mn＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ｜知识总结｜ 空间中平行关系的向量表示 线线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n ⇔u·n＝0 面面平行 设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔ n 1∥n 2⇔∃λ∈R，使得n 1＝λn 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2026·浙江嘉兴八校联考）已知m＝（－2，t，5），n＝（3，－2，t）分 别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则t的值为（　　） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 解析：因为m＝（－2，t，5），n＝（3，－2，t）分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，所以m⊥n， 即m·n＝（－2，t，5）·（3，－2，t）＝－6－2t＋5t＝－6＋3t＝0， 解得t＝2.故选B. 用向量解决直线、平面的垂直问题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2026·湖北六校期中）若平面α的法向量为u＝（2，－2，4），平面β的法 向量为v＝（m，1，－2），直线l的方向向量为a＝（k，2，－4），则 （　　） A. 若α∥β，则m＝1 B. 若l⊥α，则k＝－2 C. 若k＝－2，则l∥α D. 若m＝－5，则α⊥β √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：A错误：若α∥β，则u∥v，可得＝＝，解得m＝－1. B正确，C错误：l⊥α等价于a∥u，即＝＝，解得k＝－2. D错误：若m＝－5，则v＝（－5，1，－2）， 可得u·v＝2×（－5）－2×1＋4×（－2）＝－20≠0， 所以平面α与平面β不垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. [一题多解]棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD的 中点，G为AA1的中点.利用向量法证明： （1）EF∥平面ABC1D1； 证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），A（2，0，0）， B（2，2，0），D1（0，0，2），C1（0，2，2），G（2，0，1）. 方法一：＝（1，1，－1），＝（0，2，0），＝（－2，0，2）. 设平面ABC1D1的一个法向量为n＝（x，y，z）， 由取x＝1， 得＝（1，0，1）， 所以·＝1×1＋1×0＋（－1）×1＝0，故⊥. 又EF⊄平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：＝（1，1，－1），＝（－2，－2，2）， 所以＝－2，故∥. 又EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，所以EF∥平面ABC1D1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）平面BDC1⊥平面BDG. 证明：由（1）知＝（2，2，0），＝（2，0，1），＝（0， 2，2）. 设平面BDG的一个法向量为m1＝（a，b，c）. 由 令a＝1，得m1＝（1，－1，－2）. 设平面BDC1的一个法向量为m2＝（e，f，g）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由 令e＝1，得 2＝（1，－1，1）， 由 1· 2＝1×1＋（－1）×（－1）＋（－2）×1＝0， 得 1⊥ 2， 故平面BDC1⊥平面BDG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ｜知识总结｜ 空间中垂直关系的向量表示 线线垂直 设u1，u 2 分别是直线 l1 ， l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔ ∃λ∈R，使得u＝λn 面面垂直 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 1. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°， PA＝3，AB＝2，以点B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PBC的法向量为n，则（　　） A. 点P的坐标为（0，0，3） B. ＝（4，0，－3） C. n可以是（0，2，－2） D. 平面PAB⊥平面PBC √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：如图，A错误：PA＝3，AB＝2，所以P（0，2，3）. B错误：易知BC＝2，C（2，0，0），B（0，0，0）， ＝（2，0，0），＝（0，2，3）， ＝（2，－2，－3）. C错误：设n＝（x，y，z），因为·n＝2×y＋3×z＝0，且·n＝ 2x＝0.令y＝2，可得z＝－，所以n不可能是（0，2，－2）. D正确：由C选项知n可以为，显然平面PAB的一个法向量为m ＝（1，0，0）.因为m·n＝0，所以平面PAB⊥平面PBC. 1 2 3 4 5 6 7 2. [模块融合]若平面α，β的法向量分别为a＝（－sin θ，cos θ，2），b＝ ，θ∈[0，π），且α⊥β，则θ的值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：∵平面α，β的法向量分别为a＝（－sin θ，cos θ，2）， b＝，α⊥β， ∴a⊥b， ∴a·b＝－sin2θ＋cos2θ＋1＝－sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ＝2cos2θ＝0， ∴cos2θ＝0，即cos θ＝0. ∵θ∈[0，π），∴θ＝.故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝2，M在AB上.以D为原 点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系.若平面MCA1的一个法向量为n＝（1，2，1），则＝（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：设AM＝x， 则A1（4，0，2），M（4，x，0），＝（0，x，－2）， 因为平面MCA1的一个法向量为n＝（1，2，1）， 则n·＝0，即2x－2＝0，解得x＝1， 故AM＝1，MB＝3－1＝2，故＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 4. （多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的 是（　　） A. 两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－2， －3，1），则l1∥l2 B. 直线l的方向向量是a＝（1，－1，2），平面α的法向量是u＝（6，4，－ 1），则l⊥α C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，2，－1），v＝（－3，4， 2），则α⊥β D. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝（2，－1，0），v＝（－4，2， 0），则α∥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：对于A，因为a＝－b，且直线l1，l2不重合，则l1∥l2，A正确； 对于B，因为a·u＝6－4－2＝0，则a⊥u，所以l⊂α或l∥α，B错误； 对于C，因为u·v＝－6＋8－2＝0，则u⊥v，所以α⊥β，C正确； 对于D，因为v＝－2u，即u∥v，又平面α，β不重合，则α∥β，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 5. （2026·浙江绍兴期中）如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 在线段BD上，且BE＝BD，点F在线段CB1上，且CF＝CB1，若平面 ADD1A1上存在一点G使得B1G⊥平面DEF，则点G的坐标为 ⁠ ⁠. （8，0，16） 解析：易知D（0，0，0），B1（4，4，4），B（4，4，0），C（0，4，0）.由点E在线段BD上，且BE＝BD，可得＝＝（4，4，0）＝（3，3，0）； 1 2 3 4 5 6 7 由点F在线段CB1上，且CF＝CB1，可得＝＝（4，0，4）＝（1，0，1），则＝＋＝（1，4，1）. 又点G是平面ADD1A1上一点，所以可设G（a，0，b）， 则＝（a－4，－4，b－4）. 由B1G⊥平面DEF，可得B1G⊥DE，B1G⊥DF， 即得解得 故点G的坐标为（8，0，16）. 1 2 3 4 5 6 7 6. 如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形， AB⊥AD，AB∥CD，AB＝1，AD＝3，CD＝2.若点E是线段AD上的动点， 则满足∠SEC＝90°的点E的个数是 ⁠. 2 解析：易知底面ABCD为直角梯形，取CD的中点F， 则FD＝CD＝1，∴AB＝FD，∴底面ABFD是矩形，∴BF⊥CD， 1 2 3 4 5 6 7 结合SB⊥底面ABCD，可建立如图所示的空间直角坐标系. ∴B（0，0，0），A（0，1，0），C（3，－1，0）， D（3，1，0）. ∵E是线段AD上的动点， 设E（t，1，0），t∈[0，3]，设点S（0，0，h）， ∴＝（t，1，－h），＝（t－3，2，0）. ∵∠SEC＝90°，∴·＝t（t－3）＋2＋（－h）·0＝0， 化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2. ∵t∈[0，3]，∴两个解均有效，∴满足条件的点E共有2个. 1 2 3 4 5 6 7 7. [教材例题变式]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E，F，G分别 是AA1，BC，C1D1的中点. （1）证明：B1D⊥平面EFG； 1 2 3 4 5 6 7 证明：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2， 0），C（0，2，0），A1（2，0，2），D1（0，0， 2），C1（0，2，2），B1（2，2，2）， 由中点坐标公式可得E（2，0，1），F（1，2， 0），G（0，1，2）， 则＝（－2，－2，－2），＝（－1，2，－1），＝（－2，1，1）， 1 2 3 4 5 6 7 ∵·＝－2×（－1）＋（－2）×2＋（－2）×（－1）＝0， ·＝－2×（－2）＋（－2）×1＋（－2）×1＝0， ∴⊥，⊥， 即B1D⊥EF，B1D⊥EG. 又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG， ∴B1D⊥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 （2）在直线DB上是否存在点P，使得B1P∥平面EFG？若存在，请指出点P 的位置；若不存在，请说明理由. 解：假设存在点P，使B1P∥平面EFG，设＝λ， 则＝＋＝（－2，－2，－2）＋λ（2，2，0）＝（－2＋ 2λ，－2＋2λ，－2）. 由（1）知，是平面EFG的一个法向量， 则·＝（－2，－2，－2）·（－2＋2λ，－2＋2λ，－2）＝12－ 8λ＝0， 解得λ＝，故存在点P，满足＝，使B1P∥平面EFG. 1 2 3 4 5 6 7 ｜技巧点拨｜ 用向量法解决探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为 代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或 无解则不存在. 1 2 3 4 5 6 7 $