1.2 空间向量基本定理（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 1.2 空间向量基本定理 　 1. （2026·浙江嘉兴期中）若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可作为空间 向量的一组基底的是（　　） A. {a，2b，3c} B. {2a，a＋b，a－b} C. {a－c，a－b，b－c} D. {a＋c，a＋b，b－c} 基底的概念与判断 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：若三个向量构成空间的一个基底，则这三个向量不共面.因为{a， b，c}是空间的一个基底，所以向量a，b，c不共面. A符合：显然a，2b，3c不共面，因此{a，2b，3c}可以作为一个基底. B不符合：显然2a＝（a＋b）＋（a－b），所以2a，a＋b，a－b共面，不能 作为基底. C不符合：a－c＝（a－b）＋（b－c），因此a－c，a－b，b－c共面，不能 作为基底. D不符合：显然a＋c＝（a＋b）－（b－c），因此a＋c，a＋b，b－c共面， 不能作为基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. （2026·山东青岛调研）已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和a＋b， c构成空间的另一个基底的向量为（　　） A. a＋b＋c B. a＋b－c C. 2a＋2b＋c D. 2a＋b＋c √ 解析：因为{a，b，c}是空间的一个基底，可知a，b，c不为共面向量. 对于A，因为a＋b＋c＝（a＋b）＋c，可知a＋b，c，a＋b＋c为共面向量， 不能作为基底，故A错误； 对于B，因为a＋b－c＝（a＋b）－c，可知a＋b，c，a＋b－c为共面向量， 不能作为基底，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 对于C，因为2a＋2b＋c＝2（a＋b）＋c，可知a＋b，c，2a＋2b＋c为共面 向量，不能作为基底，故C错误； 对于D，假设a＋b，c，2a＋2b＋c共面， 则2a＋b＋c＝x（a＋b）＋yc＝xa＋xb＋yc， 可得方程组无解， 可知a＋b，c，2a＋2b＋c不为共面向量，可以作为基底，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ｜方法技巧｜ 判断给出的向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是 否共面. （1）如果向量中存在零向量，则不能作为基底； （2）如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； （3）假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若方程组 有解，则共面，不能作为基底；若方程组无解，则不共面，能作为基底. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 已知空间的一个基底{i，j，k}，a＝i－2j＋k，b＝－i＋3j＋2k. （1）写出一个与向量a平行的向量c1＝ ⁠； 解析：与向量a平行的向量c1＝λa（λ≠0）， 令λ＝2，可得c1＝2i－4j＋2k（答案不唯一）. （2）写出一个与向量a，b共面的向量c2＝ ⁠； 解析：与向量a，b共面的向量c2＝xa＋yb， 令x＝y＝1，可得c2＝j＋3k（答案不唯一）. 2i－4j＋2k j＋3k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （3）写出一个与向量a，b构成空间的另一个基底的向量c3＝ ⁠ ⁠. 解析：若向量c3＝i＋4j＋5k，此时a，b，c不共面，所以可以构成空间 的一个基底. i＋4j＋5k （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝ a，＝b，＝c，以{a，b，c}作为空间的一个基底，则＝（　　） A. a－b－c B. －a＋b＋c C. －a－b＋c D. a－b＋c 解析：＝＋＋（＋） ＝－＋＋＝－a＋b＋c. √ 用基底表示空间向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. [教材例题变式]已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是 边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝3GN. 以{，，}为 基底，则（　　） A. ＝＋＋ B. ＝＋＋ C. ＝－＋＋ D. ＝＋＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：＝＋＝＋ ＝＋（－）＝＋ ＝＋（＋）＝＋＋. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是棱BD上一点，且BE＝ 3ED，以{，，}为一个基底，则＝ ⁠ ⁠. －－＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接AE， 则＝－＝＋－ ＝＋（－）－×（＋） ＝－－＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 设{a，b，c}为空间的一个基底，＝2a＋3b＋5c，＝a＋2b－2c， ＝ka＋b＋3c，若，，共面，则k＝（　　） A. B. C. D. 空间向量基本定理的应用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由已知，，共面， 则可设＝x＋y， 即ka＋b＋3c＝x（2a＋3b＋5c）＋y（a＋2b－2c）， 即解得故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. （2026·江苏镇江月考）在空间直角坐标系中，{i，j，k}是一个单位正交基 底，且向量a＝i－k，b＝－i＋2j＋3k，则a与b夹角的余弦值为 ⁠. － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由题意得i2＝j2＝k2＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0， 所以a·b＝（i－k）·（－i＋2j＋3k） ＝－i2＋2i·j＋3i·k＋k·i－2k·j－3k2＝－1－3＝－4， ｜a｜＝＝＝＝， ｜b｜＝ ＝＝＝， 所以cos＜a，b＞＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. （2026·广东东莞七校联考）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， CB⊥BD，∠C1CD＝45°，∠C1CB＝60°，CC1＝CB＝BD＝1. （1）以{，，}为基底表示向量，求对角线CA1的长度； 解：以{，，}为基底， 则有＝＋＋＝＋＋. 因为CB＝BD＝1，CB⊥BD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则△BCD为等腰直角三角形，所以CD＝. 又因为CC1＝CB＝1，∠C1CB＝60°， 所以△C1CB为边长为1的等边三角形， ＝（＋＋）2 ＝＋＋＋2·＋2·＋2· ＝1＋2＋1＋2×1××＋2×1×1×＋2×1××＝9， 所以｜｜＝3， 所以＝＋＋，对角线CA1的长度为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）求异面直线CA1与DA所成角的余弦值. 解：因为＝＋＋，｜｜＝3， ＝，｜｜＝｜｜＝1， 所以·＝·＝· ＝＋·＋·＝1＋×1×＋1×1×＝， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CA1与DA所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1. 若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且 满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，成为空间一 个基底的关系的是（　　） A. ＝＋＋ B. ≠＋ C. ＝＋＋ D. ＝2－ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面； B中，≠＋，但可能＝λ＋μ， 所以M，A，B，C四点可能共面； D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PB，PD 的中点.若＝，＝x＋y，则x＋y＝（　　） A. 1 B. 2 C. D. √ 解析：选{，，}作为基底，分别表示，，. 因为＝，所以＝＝（＋）＝（＋－）. 所以＝＋＝＋（＋－）＝＋＋. 1 2 3 4 5 6 7 因为E，F分别为PB，PD的中点， 所以＝＋，＝＋. 所以x＋y＝＋＋. 因为＝x＋y，所以所以x＝y＝，所以x＋y＝. 1 2 3 4 5 6 7 3. 若{e1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且向量a＝e 1＋e 2，b＝e 2＋e 3，c＝e 1 ＋te 3不能构成空间的一个基底，则t＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. －2 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：因为a＝e1＋e 2，b＝e 2＋e 3，c＝e 1＋te 3不能构成空间的一个基底，所以存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即e 1＋te 3＝x（e 1＋e 2）＋y（e 2＋e 3）， 即e 1＋te 3＝xe 1＋（x＋y）e 2＋ye 3. 因为{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， 则，解得 1 2 3 4 5 6 7 4. （多选）已知空间单位正交基底{i，j，k}，设a＝i＋j＋2k，b＝i＋j－k，c ＝i＋2j－2k，则（　　） A. a，b，c可以作为空间中的一个基底 B. a⊥b C. （2c＋a）∥b D. b，c夹角的余弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：若存在实数m，n，使得a＝mb＋nc， 所以i＋j＋2k＝（m＋n）i＋（m＋2n）j－（m＋2n）k， 所以无解， 所以a，b，c可以作为基底来表示空间中的任意一个向量，A正确. 由已知可得i，j，k两两互相垂直且模均为1， 所以a·b＝i2＋j2－2k2＝1＋1－2＝0，所以a⊥b，B正确. 1 2 3 4 5 6 7 2c＋a＝3i＋5j－2k，显然不存在实数λ，使得2c＋a＝λb， 所以2c＋a与b不平行，故C错误. 因为b·c＝1＋2＋2＝5，｜b｜＝，｜c｜＝3， 所以b，c夹角的余弦值为＝，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 5. {a，b，c}是空间的一个单位正交基底，向量p＝a＋2b＋3c，{a＋b，a－ b，c}是空间的另一个基底，用基底{a＋b，a－b，c}表示向量p，则p＝ ⁠. （a＋b）－（a－b）＋3c 1 2 3 4 5 6 7 解析：设p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc， 则p＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc. 所以解得 所以p＝（a＋b）－（a－b）＋3c. 1 2 3 4 5 6 7 6. 手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P- ABCD，底边和侧棱长均为4，过点A作一个平面进行切割，分别交PB， PC，PD于点E，F，G，得到四棱锥P-AEFG，若＝，＝，则的值 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 解析：＝＋＝＋＝＋－， 设＝t，则＝t＋－2， 由于A，E，F，G四点共面，故t＋－2＝1. 解得t＝，故＝，则＝. 1 2 3 4 5 6 7 7. 如图，N是三棱柱ABC-A1B1C1的棱AB的中点. （1）若＝x＋y＋z， 求x＋y＋z的值； 解：＝＋＝＋ ＝－＋＝－＋－， 而＝x＋y＋z＝x＋y＋z， 则x＝－，y＝，z＝－1，所以x＋y＋z＝－＋－1＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 （2）若CA＝CB＝CC1，∠ACB＝120°，CC1⊥平面ABC，点M在棱C1B1 上，使AM⊥A1N，求的值. 解：假设存在点M，使AM⊥A1N，设＝λ（λ∈[0，1]）， ＝＋＋＝－＋λ. 由题意，设｜｜＝｜｜＝｜｜＝1， 又＜，＞＝120°，＜，＞＝＜，＞＝90°， 则·＝－，·＝·＝0. 因为AM⊥A1N，所以·＝0， 1 2 3 4 5 6 7 即（－＋λ）·＝0， 所以－·＋·－＋－·＋·－ λ·＋λ－λ·＝0. 所以－1＋＋－λ·＋λ＝0，即λ＝，解得λ＝， 即＝时，AM⊥A1N， 则＝. 1 2 3 4 5 6 7 $