3.3.1 空间向量基本定理(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

§3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 1 3.1 空间向量基本定理 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 空间向量基本定理 探究点二 空间向量基本定理的应用 3 【学习目标】 了解空间向量基本定理及其意义,并能用基本定理解决一些几何问题. 4 知识点 空间向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果和是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量 ， 存在唯一的一对实数,，使 . 2.空间向量基本定理 如果向量,,是空间三个________的向量, 是空间任意一个向量,那么存在 _______的三元有序实数组,使得_________________,我们把 叫作 空间的一组____,,, 都叫作________.空间任意三个________的向量都可以构 成空间的一组基. 不共面 唯一 基 基向量 不共面 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）空间中的任何一个向量都可用三个给定的向量表示.( ) × （2）若为空间的一组基,则,, 全不是零向量.( ) √ （3）若向量,与任何向量都不能构成空间的一组基,则与 一定共线.( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 空间向量基本定理 角度1 一组基的判定 例1（1） 下列说法正确的是( ) C A.任何三个不共线的向量可以构成空间的一组基 B.空间的基有且仅有一组 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基 D.已知，则存在向量可以与向量, 构成空间的一组基 （2）已知{，，是空间的一组基，， ，一定可以与向 量， 构成空间的另一组基的是( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 7 变式 （多选题）已知,, 是空间中三个向量，则下列说法中错误的是 ( ) ACD A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数,,，使得 B.若,,能构成空间的一组基，则,, 也能构成空间的一组基 C.若，，则 D.若,,所在直线两两共面，则,, 共面 课 中 探 究 8 [解析] 对于A，由空间向量基本定理可知，只有当,,不共面时， ,, 才能构成空间的一组基，才能得到，故A中说法错误； 对于B，若,, 能构成空间的一组基，则,, 不共面， 设，则 易知该方程组无解，所以,,也不共面， 所以,, 也能构成空间的一组基，故B中说法正确； 对于C，若，，则, 不一定平行，故C中说法错误； 对于D，若,,所在直线两两共面，则,, 不一定共面，故D中说法错误. 故选 . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 一组基的判断思路:判断给出的三个空间向量能否构成空间的一组基,关键是要判 断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零 向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的 充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面. 课 中 探 究 10 角度2 用一组基表示空间向量 例2 如图所示，在平行六面体 中， 设，，，，， 分别是 ，，的中点，试用，， 表示以下各向 量： （1） ； 解：是 的中点， . 课 中 探 究 11 （2） ； 解：是 的中点， . （3） . 解：是 的中点， ， 又 ， . 课 中 探 究 12 变式（1） 如图，在四面体中，点， 分别是 ，的中点，点是线段上靠近点 的三等分点， 令，，，则 ( ) A A. B. C. D. [解析] 连接, ， 则 . 故选A. 课 中 探 究 13 （2）如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱 的中点，设 ，， . ①试用，，表示向量 ； 解：由题意知 . 课 中 探 究 14 ②若交平面于点，用，，表示向量 . 解：如图，连接,与交于点，连接， 则平面 平面 ， 因为交平面于点， 平面 ，所以 . 因为底面是正方形，所以为的中点，所以 . 因为,,三点共线，所以设,所以 ， 所以. 因为,,三点共线，所以设 , 所以,所以. 因为, 不共线，所以解得 ， 所以 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 用一组基表示向量的步骤: （1）定一组基:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基. （2）找目标:用确定的一组基（或已知一组基）表示目标向量,需要根据三角形 法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后 求出结果. （3）下结论:利用空间的一组基 可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结 果中只能含有,, ,不能含有其他形式的向量. 课 中 探 究 16 探究点二 空间向量基本定理的应用 角度1 共线的判定和证明 例3 如图所示，在正方体中，点在 上，且 ，点在体对角线上，且.求证：，， 三点共线. 课 中 探 究 17 证明：如图，连接，， . ， ， ， .又与有公共点，，， 三点共线. 课 中 探 究 18 变式 在四面体中，点在上，且,为 的中点,若 ，则使与,共线的 的值为( ) A A.1 B.2 C. D. [解析] 由题意知,.因为,, 三点共线， 所以存在实数 使得 ， 又，所以解得 故选A. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 用空间向量基本定理证明三点共线问题:首先将需要证明的三点表示成共端点的向 量,再将该向量用同一组基表示出来，证明它们共线，再由共端点可得三点共线. 课 中 探 究 20 角度2 共面的判定和证明 例4（1） [2024·湖北黄冈高二期中]对空间任意一点和不共线三点，， ， 以下条件中能得到，，， 四点共面的是( ) B A. B. C. D. [解析] 对于A选项， ，故A不符合题意； 对于B选项，，故B符合题意； 对于C选项， ，故C不符合题意； 对于D选项， ，故D不符合题意. 故选B. 课 中 探 究 21 （2）[2024·河北保定高二期中]如图，在平行六面体 中，为的中点，点 满足 .若,,,四点在同一个平面上，则 ( ) B A. B. C. D. 课 中 探 究 22 [解析] 设,,，则 ， 可得 ， 由题意知,. 因为B,D,, 四点共面，所以存在实数,，使 ， 所以 ， 所以解得 故选B. 课 中 探 究 23 变式 已知，，，分别是空间四边形的边，，， 的 中点，用向量法证明：，，， 四点共面. 证明：连接，,,,,，，，，分别是空间四边形 的边 ，，，的中点， 所以，且 ,则， 所以，即,, 共面， 又它们有公共点，所以，，， 四点共面. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 证明四点共面时，可以利用共面向量定理，把其中一个向量用另外两个不共线 的向量表示. 课 中 探 究 25 $