1.1.2 空间向量的数量积运算（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

教材知识——一遍过 综合素养——全提升 1.1.2 空间向量的数量积运算 　 空间向量的数量积计算 1. （2026·湖南名校联考）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2， AD＝3，若＝a，＝b，＝c，则（a＋b）·（b－c）＝（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 解析：由题意，知AA1，AB，AD两两垂直，故a·b＝a·c＝b·c＝0. 又｜a｜＝1，｜b｜＝2，｜c｜＝3， 所以（a＋b）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－b·c＝b2＝4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且＝ ＋＋，则·＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：由正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为1， 可知夹角＜，＞＝＜，＞＝， 且｜｜＝｜｜＝｜｜＝1， 所以·＝·＝cos＝，·＝1， 所以·＝· ＝·＋·＋· ＝×＋＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 已知｜b｜＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b＝ 　​　　. 解析：∵a在b上的投影向量为b， ∴a·b＝b·b＝×9＝. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，则a 与b的夹角为（　　） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 解析：设a与b的夹角为θ.由a＋2b＋c＝0，得a＋2b＝－c， 两边平方得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4＝7， 解得cos θ＝.又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.故选C. √ 空间向量的夹角与垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. 空间四边形ABCD中，BD＝CD，∠ADC＝，∠ADB＝，则cos＜， ＞＝（　　） A. B. C. － D. 0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：在空间四边形ABCD中，BD＝CD，∠ADC＝，∠ADB＝， 则·＝·（－）＝·－· ＝｜｜｜｜cos∠ADC－｜｜｜｜cos∠ADB ＝｜｜｜｜·－｜｜·｜｜·＝0， 所以cos＜，＞＝＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知空间向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝，且a－b与a垂直，则向量a与b 的夹角为（　　） A. 60° B. 30° C. 135° D. 45° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：∵a－b与a垂直，∴（a－b）·a＝0， ∴a·a－a·b＝｜a｜2－｜a｜｜b｜cos＜a，b＞ ＝1－1××cos＜a，b＞＝0， ∴cos＜a，b＞＝.∵0°≤＜a，b＞≤180°， ∴＜a，b＞＝45°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. （2026·浙东北联盟联考）已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则｜a－b＋ c｜＝（　　） A. 1 B. C. 3 D. 解析：因为空间单位向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0， 因此｜a－b＋c｜＝ ＝＝＝. √ 空间向量的模与距离计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. [教材练习变式]几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，底面ABCD为矩形， 其中AB＝1，AD＝2，AA1＝3，且∠A1AB＝∠A1AD＝60°，则线段AC1的长 为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析：因为底面ABCD是矩形，所以·＝0. 又因为∠A1AB＝∠A1AD＝60°， 所以·＝｜｜｜｜cos∠A1AB＝， ·＝｜｜｜｜cos∠A1AD＝3. 因为＝＋＋＝＋＋， 所以｜｜＝ ＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝ 60°，E是棱BB1的中点，记＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示向量； 解：由题意可得＝－ ＝（＋）－ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）若AB＝AD＝2，AA1＝3，点M满足＝3a＋λc（λ∈R），且 ⊥，求｜｜. 解：·＝（3a＋λc）·＝－3a 2＋3a·b＋a·＋λb·＋ 2＝－3×22＋3×2×2×＋×2×3×＋2λ×3×＋×32＝－＋λ，因为⊥，所以·＝－＋λ＝0，解得λ＝，所以＝＝9a 2＋2a·＋ 2＝9×22＋2×2×3×＋×32＝43，故｜｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 　 1. 在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD，则向量在 向量上的投影向量为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：在空间四边形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝90°，AC＝2BD， 则·＝·＝0，＝＋＋， 则·＝（＋＋）·＝， 在上的投影向量为·＝·＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 2. （2026·广东六校联考）如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，底面 ABCD和侧面A1ADD1都是正方形，∠BAA1＝，AB＝2，点P是C1D与CD1的 交点，则 ·＝（　　） A. 4－2 B. 2 C. 4 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中， AB⊥AD，AA1⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2， 由点P是C1D与CD1的交点， 得＝＋＝＋（＋）＝＋＋， 而＝＋， 因此·＝（＋＋2）·（＋） ＝（＋＋2·）＝（22＋22＋2×2×2×cos）＝2. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 3. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别 为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：在正四面体ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝∠CAD＝， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以＝（＋），＝－＝－，且AM＝CN＝， 则·＝（＋）· ＝＝＝－， 所以｜cos＜，＞｜＝＝， 即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 ｜易错提醒｜ 注意两空间向量对应直线的夹角与两空间向量夹角的关系，若两空间向量 夹角为锐角，则与其对应直线夹角相等；若两空间向量夹角为钝角，则与其对 应直线夹角互补. 1 2 3 4 5 6 7 4. （多选）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为1，且∠BAD＝ 60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°，记＝a，＝b，＝c，则 （　　） A. ＝b＋c－a B. ｜｜＝ C. ⊥ D. 直线BD1与A1D所成角的余弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 解析：因为＝b＋c，所以＝－＝b＋c－a，A正确； 因为∠BAD＝60°，∠A1AB＝120°，∠A1AD＝90°， 所以a·b＝，a·c＝－，b·c＝0， ｜｜＝ ＝ ＝＝，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 因为＝＋b＋c，＝b－c， 所以·＝（＋b＋c）·（b－c）＝a·b＋b2＋b·c－a·c－b·c－c2 ＝＋1＋0－－0－1＝1≠0，所以与不垂直，C错误； 对于D，易知｜｜＝，·＝（b＋c－a）·（b－c） ＝b2＋b·c－a·b－b·c－c2＋a·c＝1＋0－－0－1－＝－1. 设直线BD1与A1D所成角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝， 所以直线BD1与A1D所成角的余弦值为，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 5. 如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上（不含端 点），＝λ，当∠APC为直角时，λ＝_________ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 解析：由题设有＝＋＋＝－＋＋， 故＝λ＝－λ＋λ＋λ， 而＝＋＝λ－λ－λ＋－ ＝（λ－1）＋（1－λ）－λ， 同理，＝（λ－1）＋（1－λ）－λ. 因为∠APC为直角，故·＝0， 故（λ－1）2－2λ（1－λ）＝0，故3λ2－4λ＋1＝0， 故λ＝1（舍去）或λ＝. 1 2 3 4 5 6 7 6. [模块融合]如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球 的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表 面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是 ⁠. [0，2] 1 2 3 4 5 6 7 解析：由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为 2. 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则·＝（－）·（＋）＝－＝－1. 由于P为正方体表面上的动点，则｜｜∈[1，]， 所以·∈[0，2]. 1 2 3 4 5 6 7 ｜方法技巧｜ 求两个向量的数量积，常利用极化恒等式转化为求两条线段（其中一条为 中线，一条为底边的一半）平方的差.如图，·＝AD2－＝AD2－ BC2.当BC的长度一定时，往往通过确定AD的最值求向量数量积的最值. 1 2 3 4 5 6 7 7. 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝2，AD＝2，AA'＝3，∠BAD＝ 90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°. （1）求·； 解：·＝·＝3×2×cos 60°＝3. （2）求证：⊥； 证明：因为·＝·（－）＝·－· ＝3×2×cos 60°－3×2×cos 60°＝3－3＝0， 所以⊥. 1 2 3 4 5 6 7 （3）求A'C的长. 解：因为＝－＝＋－， 所以＝ ＝＋＋＋2·－2·－2· ＝4＋4＋9＋0－2×2×3×－2×2×3×＝4＋4＋9－6－6＝5. 所以｜｜＝，所以A'C＝. 1 2 3 4 5 6 7 $