3.2.1&3.2.2 第2课时 空间向量的数量积(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 空间向量与向量运算 1 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 第2课时 空间向量的数量积 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 空间向量的数量积运算 探究点二 空间向量数量积的应用 探究点三 投影向量与投影数量 3 【学习目标】 1.了解空间向量夹角的相关概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题. 4 知识点一 两个向量的夹角 1.概念:如图,已知两个非零向量,,在空间中任取一点,作, ,则 叫作向量与 的______,记作______. 夹角 课 前 预 习 5 2.夹角的取值范围:与的夹角的取值范围是______,其中当时,与 方 向______;当 时,与方向______;当时,称与 __________， 记作.反之,若,则或 ;若,则 . 相同 相反 互相垂直 3.（1） ; （2）规定：零向量与任意向量垂直. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量与的夹角等于向量与 的夹角.( ) × （2）若向量与的夹角为 ,则直线与的夹角也为 .( ) × 课 前 预 习 6 知识点二 两个向量的数量积 1.概念:已知两个空间向量,,把______________叫作与的数量积,记作 , 即 ______________. 2.空间向量数量积的性质 （1） . （2） _______. （3） ___. 0 课 前 预 习 7 3.空间向量数量积的运算律 （1） _____（交换律）. （2） ___________（分配律）. （3）________, . 注:不满足结合律 . 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于向量,,若,则一定有或 .( ) × （2）对于非零向量,由,可得 .( ) × （3）若,则 是钝角.( ) × （4）对于向量,,,有 .( ) × 课 前 预 习 9 知识点三 投影向量与投影数量 1.投影向量的概念 如图，已知两个非零向量,，在空间任取一点，作,,过点 作 直线的垂线，垂足为点,称向量为向量在向量 方向上的__________， 其长度等于_____________. 投影向量 课 前 预 习 10 当为锐角时， _____（如图（1））； 当为钝角时， _____（如图（2））； 当时， _____（如图（3））. 2.投影数量的概念 若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量 方向上的投影 向量为 . 因此，称为投影向量的______，也称为向量在向量 方向上的 __________. 数量 投影数量 3.向量在向量方向上的投影数量为 ___________. 课 前 预 习 11 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 已知,是夹角为 的两个单位向量,则向量在向量 方向上的投影向量为 .( ) × 课 前 预 习 12 探究点一 空间向量的数量积运算 例1（1） （多选题）设正方体的棱长为 ,则有( ) AC A. B. C. D. [解析] ,故A正确; ,故B错误; ,故C正确; ,故D错误.故选 . 课 中 探 究 13 （2）如图，已知四棱柱的底面是矩形， ， ， ，为棱的中点，则 ____. 14 [解析] 由题易得 ， 则 . 课 中 探 究 14 变式 如图，在各棱长都为2的四面体 中， ，，则 ( ) A A. B. C. D. 课 中 探 究 15 [解析] 由题得,的夹角，,的夹角，,的夹角均为. , ，,， ， . 故选A. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ （1）空间向量数量积运算的两种方法: ①利用 并结合运算律进行计算. ②先将各向量移到同一起点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算. （2）在几何体中求空间向量数量积的步骤: ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入 求解. 课 中 探 究 17 探究点二 空间向量数量积的应用 例2（1） 如图所示，在四棱锥中，底面 为正方形，且各棱长均相等，是 的中点，则异面直线 与 夹角的余弦值为( ) D A.1 B. C. D. 课 中 探 究 18 [解析] 设四棱锥的各条棱的长均为2，则， 由是 的中点，得,显然,,不共面，, ， 因为 , ， 所以 ， 则,， 所以异面直线与 夹角的余弦值为 .故选D. 课 中 探 究 19 （2）如图，平行六面体 中， ， ， ，点满足，求 的长度. 解：因为 ， ，, ， 所以 ， 故 . 课 中 探 究 20 变式（1） 已知四边形为矩形， 平面 ，连接 ，，，， ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 因为 平面， 平面，所以， ， 排除D. 因为，，，所以 平面， 又 平面，所以，所以，同理 ， 排除B，C. 故选A. 课 中 探 究 21 （2）平行六面体中，,, , ，则该平行六面体的体对角线 的长为 ( ) A A. B.5 C. D. [解析] 平行六面体如图所示，连接 ， 由图知， ， ， ， ,,, ， ，故 . 故选A. 课 中 探 究 22 （3）如图所示,在直三棱柱中, , ,,则 _ ____. 课 中 探 究 23 [解析] ， ， ， , , , ,, , 又,, . 课 中 探 究 ［素养小结］ （1）求两个向量的夹角：利用公式求出,进而确定 . （2）求线段长度（两点间的距离） 取此线段（以此两点为端点的线段）对 应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用 ,计算出 ,即得所求线段长度（两点间的距离）. 课 中 探 究 25 探究点三 投影向量与投影数量 例3（1） 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量 在 向量 方向上的投影数量为( ) B A.2 B. C. D. [解析] 空间向量在向量方向上的投影数量为 . 故选B. 课 中 探 究 26 （2）如图所示，在正六棱柱中， . 课 中 探 究 27 ①指出向量分别在， 方向上的投影向量； 解:连接，根据正六棱柱的性质，知， 平面 , 又 平面，所以， 所以向量在 方向上的投影向量为,向量在方向上的投影向量为 . ②求向量在 方向上的投影数量. 解：向量在方向上的投影数量为 . 课 中 探 究 28 变式 在四棱锥中， 底面，底面是矩形，则 在 向量上的投影向量为____.（从“”“”“”“”“”“ ”中选填） [解析] 如图所示，在四棱锥中，底面 是矩形， 则，,，即. 由 平面， 平面，得 ， 又，, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以，故向量在向量上的投影向量为 ， 所以向量在向量上的投影向量为 . 课 中 探 究 29 ［素养小结］ （1）求投影向量的方法 ①依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量. ②首先根据题意确定向量的模、与同向的单位向量及两向量与的夹角 , 然后依据公式得到在 方向上的投影向量. （2）在方向上的投影数量为 . 课 中 探 究 30 $