期中真题重组卷（吉林长春专用，新教材华东师大版九上20-22章：二次根式+一元二次方程+图形的相似）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华师版九年级数学上册第20~22章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与的位似比为. 故选：A． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数为正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列式子中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：B． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图所示，直线，直线AC和DF被所截，，，，则的长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·吉林长春·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故选：A． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：设点的坐标为，其中 ， 四边形是矩形，点、在轴上 ， 轴，轴， 点的坐标为，即， 点、的纵坐标相同， 点的纵坐标为， 交轴于点， 轴 ， 在轴上，轴轴， ， ， ， ，即， ， 点在第二象限 ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上 ， ． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 故答案为： ． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________． 【答案】 【详解】解：设另一个根为，由题意得， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：______（只填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【答案】①②③ 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）解下列方程：． 【答案】， 【详解】解：， ，······（2分） 或，······（2分） 解得，．······（2分） 16．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ······（3分） ······（2分） ．······（1分） 17．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 【答案】9 【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则另一条边长为，根据题意得： ，······（2分） 解得，······（1分） 当时，，不符合题意舍去；······（1分） 当时，，符合题意；······（1分） 故x的值为9． 18．（7分）（25-26八年级上·长春吉大附中·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见详解；(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，······（2分） ∴，······（1分） ∵， ∴；······（2分） （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：．······（2分） 19．（7分）（24-25八年级上·吉林长春·期中）金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，若该直播间想每天销售猕猴桃获利1800元，应降价多少元？ 【答案】应降价6元，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元 【详解】解：每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱，······（2分） 由题意得：，······（2分） 整理得：， 解得：（舍去）；······（2分） 答：应降价6元，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元．······（1分） 20．（7分）（25-26八年级上·长春二道·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】见详解 【详解】(1)如图，即为所求；······（2分） (2)如图，即为所求；······（2分） (3)如图，即为所求；······（3分） 21．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图所示，在和中，，．求证： (1)； (2)． 【答案】见详解 22．（9分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)；；(2)见详解；(3)厘米 23．（10分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)见详解；(2)；(3)40，1200 【详解】（1证明：∵四边形为矩形， ，······（1分） ∴；······（2分） （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ，······（1分） 同理，由得， ∴，······（2分） 即，······（1分） 解得，······（1分） ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是．······（2分） 24．（12分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米；(2)①，；② 【详解】（1）解：设管理通道的宽为x米， 根据题意得，······（2分） 解得，（不合题意，舍去）······（2分） 答：管理通道的宽为米．······（1分） （2）解：①千克，······（2分） 元；······（2分） ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为．······（3分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材华师版九年级数学上册第20~22章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·吉林长春·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列式子中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图所示，直线，直线AC和DF被所截，，，，则的长为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 7．（25-26九年级上·吉林长春·期中）“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆260人次，第三个月进馆540人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，、分别交轴于点、，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）计算：_____． 10．（24-25九年级上·吉林长春·期中）若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有______． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：______（只填序号） 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为________． 14．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）解下列方程：． 16．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）计算：． 17．（6分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．若苗圃园的面积为，求x的值． 18．（7分）（25-26八年级上·长春吉大附中·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，直接写出的长． 19．（7分）（24-25八年级上·吉林长春·期中）金秋十月，硕果累累．某村猕猴桃今年喜获丰收，该村村委会在网上直播销售，试销发现：同样的品质下，当每箱猕猴桃的售价为60元时，每天可卖出120箱；由于水果不易储存，该村委会决定降价促销，当每箱售价降低1元时，每天的销量增加10箱．已知每箱猕猴桃成本为44元，若该直播间想每天销售猕猴桃获利1800元，应降价多少元？ 20．（7分）（25-26八年级上·长春二道·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 21．（8分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图所示，在和中，，．求证： (1)； (2)． 22．（9分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 23．（10分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 24．（12分）（25-26九年级上·吉林长春·期中）学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A A B C B B A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9． 10．2 11．①②③ 12．①②④ 13． 14．①②③ 三、解答题（本大题共10小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）【详解】解：， ，······（2分） 或，······（2分） 解得，．······（2分） 16．（6分）【详解】解： ······（3分） ······（2分） ．······（1分） 17．（6分）【详解】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为，则另一条边长为，根据题意得： ，······（2分） 解得，······（1分） 当时，，不符合题意舍去；······（1分） 当时，，符合题意；······（1分） 故x的值为9． 18．（7分）【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，······（2分） ∴，······（1分） ∵， ∴；······（2分） （2）解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：．······（2分） 19．（7分）【详解】解：每箱猕猴桃降价x元，则每天可售出箱，······（2分） 由题意得：，······（2分） 整理得：， 解得：（舍去）；······（2分） 答：应降价6元，该直播间每天销售猕猴桃可获利1800元．······（1分） 20．（7分）【详解】(1)如图，即为所求；······（2分） (2)如图，即为所求；······（2分） (3)如图，即为所求；······（3分） 21．（8分）【详解】(1)证明 ······（2分） ······（1分） ······（1分） (2) ， 即······（2分） ······（1分） ······（1分） 22．（9分）【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；．······（2分） （2）猜想：．······（1分） 理由：∵， ∴ ，······（1分） ∴；······（1分） （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ，······（2分） ∴，即， ∵， ∴，······（1分） ∴，······（1分） ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 23．（10分）【详解】（1证明：∵四边形为矩形， ，······（1分） ∴；······（2分） （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ，······（1分） 同理，由得， ∴，······（2分） 即，······（1分） 解得，······（1分） ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是．······（2分） 24．（12分）【详解】（1）解：设管理通道的宽为x米， 根据题意得，······（2分） 解得，（不合题意，舍去）······（2分） 答：管理通道的宽为米．······（1分） （2）解：①千克，······（2分） 元；······（2分） ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为．······（3分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $