专题08 相似（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题08 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知，下列比例式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（     ） A. 1，3，6，9 B. 2，3，4，5 C. 1，，2， D. 3，6，4，8 3．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（     ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D.  5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）下列各组图形中，一定相似的是（       ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 6．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在一幅中国铁路线地图上，量得长春到北京的铁路线长度为厘米，已知该地图的比例尺是，那么长春到北京的实际铁路线长度为（       ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 9．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（       ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 11．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，四边形四边形，若，，，则　　　　　　. 12．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，，若，，，则的长为（     ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（     ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 8 D.  8．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求完成作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定格点，连结，使得； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使得； （3）在图③中作点关于直线的对称点． 11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使； （3）在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，使． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·吉林长春·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 4．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，直线，相交于点O，．若，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 四边形周长是周长的2倍 8．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，已知矩形，，，对角线， 相交于点，为中点，则四边形的面积为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D.  9．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在和中，已知，．求证：． 10．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 11．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 12．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在中，D，E分别为，边上的点，．已知，，，求的长． 13．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 14．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，． （1）求证：． （2）求的长． 15．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为　　　　　． 16．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，树在路灯的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离．求树影的长． 17．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，A，，，是网格线交点，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为　　　　　． 19．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 20．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 21．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 22．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，在中，，D是上一点，． （1）求证：； （2）若，的面积为2，求的面积． 23．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 24．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）直接写出的长为                 ． 25．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 27．（25-26学年九上·吉林松原·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使． 28．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 29．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，，且，求证：． 30．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 31．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 33．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 34．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 35．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段上找一个点，使． 36．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：．证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 37．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线．（如图2）②在射线上依次截取线段、、使，连接．③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 请写出此时所依据的基本事实是________________； 【探究2】已知：如图3，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法：①作边的垂直平分线交于点M．②连接交于N．则点N为所求的点．请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中作出点N，并证明． 【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标______． 38．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　　　　　． 39．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：． 证明：连接． 【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，若，则_____； （2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____． 40．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）数学活动：探究相似扇形． 提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母为圆心．例如圆心为，弧的端点为、的扇形，记作扇形． 【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为______． 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形． 为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形与扇形，，设，，只要说明，即可判断扇形与扇形是相似扇形． 请你结合以上思路，写出完整的推理过程． 【拓展应用】如图②，已知扇形，点是半径上的一点，扇形与扇形相似，且点在半径的垂直平分线上．若的长为，则的长为______（用含的代数式表示）． 41．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为          ； （2）当时，求点到的距离； （3）当点在边上运动，被的边平分时，的面积是          ； （4）当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 42．（25-26学年九上·吉林长春·期末）数学活动：探究三角形的角平分线性质． 【复习旧知】等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，所以不难得出如下结论． 如图①，在中，，是的角平分线，则． 【猜想证明】如果是一个非等腰的任意三角形呢？ 如图②，在中，是的角平分线，则吗？为什么？ 下面是这道题的证明过程，请认真阅读，并在横线上填写推理依据． 证明：如图③，过点作，交的延长线于点．．平分．．，（___________）．． 【类比探究】如果是三角形外角的角平分线呢？ 如图④，在中，如果是的外角平分线，且交的延长线于点．求证：． 【结论应用】 （1）如图⑤，在矩形中，平分交于点，则___________； （2）如图⑥，已知为的延长线上一点，且．若，则的长为___________． 43．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 44．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图①，连接、，在纸片绕点旋转的过程中，的值是______； 【深入探究】 （2）如图②，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转的过程中，若以、、三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，请直接写出的面积． 45．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 46．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）【教材呈现】如表是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在四边形中，，，点P、M、N分别是、、中点，连接、、．若，则的大小为______． （2）如图③，在中，点D在上，且，点M、N分别是、的中点，连接并延长，交延长线于点E，则与的数量关系为_____． 47．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）【感知】如图，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点． 求证：． 【探究】如图，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，求的长． 【拓展】如图，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点顺时针旋转得到，连结、，则面积的最大值为_____ 48．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与分别交于点P、M．对于下列结论：①；②③；④；其中正确的结论是　　　　　（填序号）． 49．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2   如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接．、分别是边、的中点，…… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 50．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）是矩形的边上一点，连结，于点． （1）求证：； （2）若点为中点，，，则的长为　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在线段上确定一点，使； （2）在图②中，在线段上确定一点，使； （3）在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 52．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　．（把正确结论的序号都填上） 54．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则                                     ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则                                     ． 55．（25-26学年九上·吉林长春·期中）【教材呈现】图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程； 【定理应用】在矩形中，，为矩形的对角线，点E在边上，且． （1）如图②，点F在边上，连结．若，则与的关系为_________； （2）如图③，将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，连接，点H为的中点，连接．设的长度为a．若，则a的取值范围为_________． 56．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③若的面积为6，则的面积为2； ④当长为时，则的长为15． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 57．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线上一个动点，连接，且于点K，求线段的最小值． 【问题探究】 小明发现的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．此时，小明想到可先构造相似三角形，求出的值，再利用相似比求出的最小值．以下是小明的求解过程： 如图①所示，作于点H： 证明过程缺失 ∴． 请你将相似前的证明过程补充完整，并直接写出的值为______； 【问题解决】如图②，过点O作，且．则线段的最小值为______； 【方法应用】如图③，，，，则最小值为______． 58．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有　　　　　　　　　　．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 59．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 60．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，在7×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中的线段上确定一点D，连结，使． （2）在图②中的线段上确定一点E，连结，使． （3）在图③中的线段上确定一点F，连结，使平分的周长． 61．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 62．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有　　　　　　　　　　（填序号）． 63．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动．过的中点D作交于点E．将绕着的中点顺时针旋转得到，点P的对应点为M，设四边形的面积为，点P的运动时间为． （1）_________，_________； （2）当点M落在边上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式． 64．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）小明在学习完圆这一章内容后，发现对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有“定点＋定长”与“定角＋定弦”两种类型．下面是小明对“定角＋定弦”类型题开展的探究活动． 【初步运用】 如图，已知线段，点是直线上方一个动点，且，确定点的轨迹．小明以为底边作等腰，使，，且点、点在同侧．则以点为圆心，以________为半径（填长度），作辅助圆．易知点的轨迹为的优弧（不包含点、）．即由（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 【深入探究】 问题原型：如图①，菱形边长为，，点在射线上移动．试探究的最小值． 问题探究：如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样 就将双变量（、）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题： 小明进一步发现当时，连结，总有，进而可知． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由问题探究的作法可知，， 又∵，∴．∴． ∵菱形中，，且． 证明过程缺失 ∴． 请你补全缺失的证明过程． 由恒为（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 请帮小明在图③中画出此圆，圆心标记为，从而确定长度的最小值为______． 问题解决：结合上述探究过程，则的最小值是______． 65．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 67．（25-26学年九上·吉林长春·期末）【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 68．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 69．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒． （1）线段的长为_____； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值； （4）当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 70．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则下列选项错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 6．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点B开始沿边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，与相似？ 7．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，则的长是　　　　　　． 8．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． （1）等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． （2）一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． （3）若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． （4）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 9．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点运动．当点不与点、重合时，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，以为边向其下方作正方形．设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． （1）当与边重合时，的值为______； （2）当正方形与的重叠部分图形是五边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当所在直线平分正方形的面积时，直接写出的值． 10．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点运动，运动时间为秒（），连结． （1）_____cm； （2）若与相似，求的值； （3）连结、，若，求的值； （4）直接写出当为何值时，是等腰三角形． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为　　　　　　　　　　　m． 4．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为　　　　　　米． 5．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是　　　　　　　　　　　cm． 7．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为　　　　　米． 8．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为　　　　　　米． 10．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 　　　　　　　　　米．（精确到米） 考点06 位似 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，把放大后得到，则与的相似比是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（     ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 36 4．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为　　　　　． 9．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，则五边形与五边形的周长比为　　　　　． 12．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为　　　　　． 14．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 15．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． （1）画出向左平移4个单位长度的； （2）以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 16．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为．    （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知，下列比例式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】 解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（     ） A. 1，3，6，9 B. 2，3，4，5 C. 1，，2， D. 3，6，4，8 【答案】D 【分析】 本题考查了成比例线段的定义．熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键． 如果四条线段中，其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段叫做成比例线段． 判断四条线段是否成比例，可通过计算第一条与第四条线段的乘积，以及第二条与第三条线段的乘积，若相等则成比例． 【详解】 A．，，，∴ 不成比例； B．，，，∴ 不成比例； C．，，，∴ 不成比例； D．，，，∴ 成比例． 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（     ） A. 的长度 B. 六边形的周长 C. 六边形的面积 D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【详解】 解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 5．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）下列各组图形中，一定相似的是（       ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【分析】 本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】 解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了成比例线段，设两地间的实际距离是，根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例得，计算实际距离后转换单位即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设两地间的实际距离是， ∴， ∴， ∴， ∴两地间的实际距离为， 故选：． 7．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 根据相似多边形的性质，即相似多边形的对应角相等，对应边成比例来进行判断． 【详解】 解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 8．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在一幅中国铁路线地图上，量得长春到北京的铁路线长度为厘米，已知该地图的比例尺是，那么长春到北京的实际铁路线长度为（       ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】B 【分析】 本题考查了比例尺，实际距离等于图上距离乘以比例尺分母，再通过单位换算得到千米．　 【详解】 解：∵比例尺表示图上厘米对应实际厘米， ∴实际距离（厘米）厘米， 又千米厘米， ∴实际距离千米． 故选：B． 9．（25-26学年九上·吉林江城中学·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】 解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A. a=1，b=3，c=2，d=4 B. a=4，b=6，c=5，d=10 C. a=2，b=4，c=3，d=6 D. a=2，b=4，c=6，d=8 【答案】C 【详解】试题解析：∵1×4≠3×2，故选项A中的四条线段不成比例， ∵4×10≠6×5，故选项B中的四条线段不成比例， ∵2×6=4×3，故选项C中的四条线段成比例， ∵2×8≠4×6，故选项D中的四条线段不成比例， 故选C． 11．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，四边形四边形，若，，，则　　　　　　. 【答案】度 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】 解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质与分式的化简求值．熟练掌握比例的性质与分式的化简求值是解题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算． 【详解】 由 ，设 ，（其中 ）， 则 ， 所以 ． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，，若，，，则的长为（     ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，根据该知识求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图所示是一张仿古信笺，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】 解：如图，过点作于点，交于点， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（     ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】 本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】 解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 4．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】 解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 5．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，，若，则的长度是（　） A. 3 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，DE＝3，EF＝6，则AC的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【分析】 利用平行线分线段成比例定理求出BC，可得结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴BC＝8， ∴AC＝AB+BC＝4+8＝12， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行线段成比例，解决本题的关键是掌握平行线段成比例的性质． 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图所示是小深的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上．若线段，则线段的长为（     ） A.  B.  C. 8 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 如图：过点A作于点E，交于点D，再根据平行线分线段成比例可得，然后代入相关数据计算即可． 【详解】 解：如图，如图：过点A作于点E，交于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴，即，解得：． 故选：B． 8．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 9．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，已知，，点分别在边上，，，．则四边形的周长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．先通过平行线分线段成比例定理求出、的值，再证明四边形为平行四边形，最后求出周长即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ，即． ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴四边形为， ∴，． ∴． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求完成作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定格点，连结，使得； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使得； （3）在图③中作点关于直线的对称点． 【答案】（1） 如图① ，点、即为所求．      （2）如图② ，点即为所求．     （3）如图③ ，点即为所求．      【分析】 本题考查作图－应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据网格特点作出图形即可； （2）取格点、，连接交于，则是等腰直角三角形，，然后根据平行线的性质即可得出． （3）取格点，连接，根据和分别和网格的对角线，可判断，取格点、，连接交于，根据结合平行线分线段成比例即可判断； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使； （3）在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，取格点，连接交于点，即为所求，      （2） 如图，取格点、，连接交于点，连接，即为所作，      （3） 如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，即为所求， 【分析】 本题考查了格点作图，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图，取格点，连接交于点，根据矩形的性质即可得出，从而得出； （2）如图，取格点、，连接交于点，连接，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，由平行线分线段成比例定理可得，即可得出； （3）如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，根据矩形的性质可得，从而得到，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行线分线段成比例定理得出，从而得出． (1) 小问详解： 解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ； (2) 小问详解： 解：由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ； (3) 小问详解： 解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ， 由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·吉林长春·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，是用杠杆撬石头，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头，其示意图如图乙所示，点为支点，若，，则的长度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由图可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选D． 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，判断下列结论不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查尺规作图作线段垂直平分线，三角形等边对等角，相似三角形的判定，熟悉尺规作图及垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意可知垂直平分，结合直角三角形的性质、相似三角形的判定定理来逐一分析选项即可． 【详解】 根据尺规作图可知垂直平分， ， ， ，即， 又， ， ，故A正确，不符合题意； ， ，故B正确，不符合题意； 与不一定相等，则不一定能得到，故C不正确，符合题意； 垂直平分， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【分析】由∠ACD＝∠B、∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD＝3，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD＝S△ABC−S△ACD中即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵S△ACD＝3， ∴S△ABC＝4•S△ACD＝12， ∴S△BCD＝S△ABC−S△ACD＝9． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键． 4．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，直线，相交于点O，．若，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．由可得，再利用相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】 解：，， ， ， ， ， 的值为． 故选：C． 5．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 四边形是平行四边形， ，， ∴， ∴， ， ∵ ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】 解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 7．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，将直角三角形纸片按如图方式折叠再展开，下列结论错误的是（     ） A.  B.  C.  D. 四边形周长是周长的2倍 【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及图形折叠的性质、平行线的判定是解题的关键． 根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质对每个选项进行分析判断即可． 【详解】 解：A.由折叠可知，， ， 故该选项正确，不符合题意； B.， ， 且由折叠的性质可知， ， ， ， 故该选项正确，不符合题意； C.， ， ，即， 故该选项正确，不符合题意； D.，且由折叠的性质可知， ， ， ，，， ， 的周长， 四边形的周长， 四边形的周长不是的周长的2倍， 故该选项错误，符合题意． 故选D． 8．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，已知矩形，，，对角线， 相交于点，为中点，则四边形的面积为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了矩形的性质，三角形和矩形的面积计算，相似三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键. 连接，过点作于点，利用相似三角形的性质得到，进而求出，再利用等底同高的性质求出面积即可求解. 【详解】 解：连接，过点作于点，如下图 矩形，，，对角线， 相交于点， ，对角线互相平分， ，. 是的中点， . ， ， ， . 和高相同， ， . ， ， . 是中点， （等底同高，面积为一半）， . 故选：C. 9．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】证明：， ， 即， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】 略 10．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】 略 11．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】 略 12．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在中，D，E分别为，边上的点，．已知，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，即可求出的长． 【详解】 解：在和中，，， ∴， ∴， 又∵，，． ∴， ∴． 13．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，在锐角三角形中，点D，E分别在边，上，，F，G分别是，的中点． （1）求证：∽； （2）若，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边上的中线比等于相似比计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由题意知，、分别是和对应边上的中线， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，． 15．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，树在路灯的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离．求树影的长． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 17．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，A，，，是网格线交点，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明是解答本题的关键． 如图：连接，，通过证明可得，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】 解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，点B在直线L上，点A到直线L的距离AE＝3，则点C到直线L的距离CF为　　　　　． 【答案】1.6 【分析】易得△AEB和△BFC相似，那么利用相似三角形的对应边成比例可得BF长，进而利用勾股定理可得CF长． 【详解】由题意得：∠AEB＝∠CFB＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， ∴△AEB∽△BFC， ∴AE：BF＝AB：BC， ∵AB＝5，BC＝2，AE＝3， ∴BF＝1.2， ∴CF＝1.6． 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质．熟练掌握相似三角形的对应边成比例及勾股定理是解题的关键． 19．（25-26学年九上·吉林辽源东丰县·期末）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 20．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，在线段上取一点，连接，使得； （2）图②中，在内部取一点，连接，使得； （3）图③中，在内部取一点，连接，使得． 【答案】（1） 点E为所求作；      （2） 如图，与的交点为所求作；      （3） 如图，与的交点为所求作． 【分析】 本题主要考查相似三角形的作图，掌握相似三角形的性质是作图的关键． （1）先连接，与的交点为的中点，连接，证明，从而得出； （2）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作； （3）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）的长为5；     （2）的长为；     （3）的长为或；     （4）的长或．      【分析】 （1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可； （2）设，由题意，推出，，得到，根据，列式计算即可求解； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； （4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，求得，，根据或由，列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：当点与点重合时，的长即的长， 在中，，，， ∴， 即的长为5； (2) 小问详解： 解：当点在边上时，设，如图， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为； (3) 小问详解： 解：当时，如图，设， ∵菱形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当时，如图，则：， 设，则：， ∵， ∴， ∴设， 综上：设或 (4) 小问详解： 解：设， 直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况， 当点在点右侧时：作于点，如图， ∵菱形， ∴上线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长． 当点在点左侧时，如图， 同理：，， 则：由，得：， 解得：， ∴的长， 综上：的长为或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，在中，，D是上一点，． （1）求证：； （2）若，的面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ， ， ， 解得：． 23．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中作的中线． （2）在图②中作的角平分线． （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） 解：在图① 中，如图即为所求；      （2） 解：如图，即为所求； 连接，则为的角平分线     （3） 解：如图，点即为所求． 【分析】 （1）取格点、，连接交于点，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得是的中点，再连接即可． （）取格点，连接交于点，根据勾股定理及相似三角形可得，取格点，连接交于点，则，根据等腰三角形的三线合一可得平分． （）取格点、，连接交于点，由及勾股定理可得，根据等边对等角可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查三角形的中线、角平分线的作图、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与网格作图的结合，熟练掌握网格特点、三角形中线和角平分线的定义、等腰三角形判定是解题关键． 24．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，等边的边长为4，点D、B、C、E在同一直线上，，． （1）求证：； （2）直接写出的长为                 ． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，列出比例式，进而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在中，点是边的中点，连接、，对角线，交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④四边形与的面积之比为．上述结论中，正确结论的序号是 　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明，即，再由直角三角形的性质可判断①；可证明，推出，据此可判断③；由平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则，再证明，得到，则，据此可判断④；根据现有条件无法得到，据此可判断②． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是边的中点， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比为，故④ 正确； 根据现有条件无法证明，故② 错误； 故答案为：① ③ ④． 26．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：． 【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】 略 27．（25-26学年九上·吉林松原·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，点、即为所求；      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）找到的中点，连接，则为的中位线，得到，，进而得到，且相似比为； （2）取格点正上方一个格点处，格点正下方2个格点处，连接这两个格点，交于点，可得相似三角形，得到，进而得到，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴；     （2）      【分析】 此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 29．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，，且，求证：． 【答案】证明： ， ． 又， ，即， ∴． 【分析】 由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 30．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形对应边成比例）是解题的关键． （1）要证明，需找到两组对应角相等；利用平行四边形的性质得到一组角相等，再结合已知条件得到另一组角相等． （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式求解的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：． 31．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；②分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点；③作直线，交于点．若，，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 该题考查了尺规作垂直平分线，相似三角形的性质和判定，根据作图可知是的垂直平分线，从而得，，证明，列方程即可求解． 【详解】 解：根据作图可知是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得：，（负值已舍去）， 故， 故答案为：9． 32．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】 略 33．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所作：      （2） 解：平分， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵， ， ．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作已知角的平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角及的性质，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，点是边的中点，连接，点在上，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理， （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，证明，推出，再利用勾股定理即可得出结论； 解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， 由（1）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 35．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点、、均在格点上，用无刻度的直尺作图． （1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； （2）在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】（1） 如图所示：      （2） 点如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 例2：如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点，求证：．证明：连结． 【结论应用】在中，对角线、交于点，点为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为矩形，且，则的长为_______； （2）如图③，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为_______． 【答案】【教材呈现】证明：连结， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论应用】（1）；（2）6 【分析】 本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】【教材呈现】 根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可解答； 【详解】【结论应用】 （1）由【教材呈现】可得 ，然后由勾股定理可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得点O为的中点，，再由【教材呈现】可得，，从而得到，即可求解． 【详解】 【教材呈现】略 【结论应用】（1）∵为矩形， ∴， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点，， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，，即，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴． 37．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线．（如图2）②在射线上依次截取线段、、使，连接．③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 请写出此时所依据的基本事实是________________； 【探究2】已知：如图3，是的一条中线． 求作：点N，使点N在线段上，且． 作法：①作边的垂直平分线交于点M．②连接交于N．则点N为所求的点．请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中作出点N，并证明． 【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标______． 【答案】[探究1]：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：如图3.1，点N即为所求； 证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]：或 【分析】 [探究1]：通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； [探究2]：先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； [应用]：过点A作轴，过点B作于点D，分别过点，作，于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，，，，从而求解点的坐标． 【详解】 [探究1]： 解：∵，且， ∴， ∴， ∴此时所依据的基本事实是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，或“平行线分线段成比例”； 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：略 [应用]： 解：设线段的三等分如图4，分别为，， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点，作，于点E，F， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴，， ∴，，，， ∴，即； ∴，即； 综上所述，线段的三等分点C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 38．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 先证明，即可判定① ；由，推出推出，由，推出，即可判定② ；只要证明垂直平分，即可判定③ ；设，，则，由可得，即，可得，可判断④ ． 【详解】 解：① 如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故① 正确； ② ∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ③ ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③ 正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④ 错误． 综上所述，正确结论① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 39．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：． 证明：连接． 【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图①，若，则_____； （2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____． 【答案】【结论证明】 证明：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【结论应用】（1）12；（2）40． 【分析】 结论证明：由D，E分别是边的中点，根据三角形的中位线定理得，，则，得，即可证明；结论应用：（1）由得，则，所以，则，于是得到问题的答案； （2）作交的延长线于点F，交于点K，由，，得，则，可证明，得，所以，再证明，得，再证明，得，所以，则，所以，于是得，求得，则，，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 结论证明：略 结论应用：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）如图② ，作交的延长线于点F，交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】 本题重点考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积的比等于底边长的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 40．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）数学活动：探究相似扇形． 提示：在本活动中涉及的扇形都用三个大写字母表示，第一个和第三个字母为弧的两个端点，第二个字母为圆心．例如圆心为，弧的端点为、的扇形，记作扇形． 【定义】圆心角相等的两个扇形称为相似扇形，其半径的比叫做相似比． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为______． 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形． 为说明这一结论正确，分析如下：如图①，已知扇形与扇形，，设，，只要说明，即可判断扇形与扇形是相似扇形． 请你结合以上思路，写出完整的推理过程． 【拓展应用】如图②，已知扇形，点是半径上的一点，扇形与扇形相似，且点在半径的垂直平分线上．若的长为，则的长为______（用含的代数式表示）． 【答案】[性质探索]，； [判定探索] ， ， ， 扇形与扇形是相似扇形； [拓展应用] 【分析】 [性质探索]根据两个相似扇形的性质可得答案； [判定探索]由，代入弧长公式即可得到结论； [拓展应用]先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可． 【详解】 [性质探索] 解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为； [判定探索] 略 [拓展应用] 扇形与扇形相似， ， ，， ， 点在半径的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， 设，， ， 即， 解得：，（舍去）， ， 的长为， ， ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 41．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，，，点为中点，动点从点出发，沿方向向终点运动．连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）线段的长为          ； （2）当时，求点到的距离； （3）当点在边上运动，被的边平分时，的面积是          ； （4）当直线将面积分成两部分时，直接写出的长． 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）或．      【分析】 （1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． (1) 小问详解： 解：∵中，，，， ∴． (2) 小问详解： 过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (4) 小问详解： ∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 综上为或． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 42．（25-26学年九上·吉林长春·期末）数学活动：探究三角形的角平分线性质． 【复习旧知】等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，所以不难得出如下结论． 如图①，在中，，是的角平分线，则． 【猜想证明】如果是一个非等腰的任意三角形呢？ 如图②，在中，是的角平分线，则吗？为什么？ 下面是这道题的证明过程，请认真阅读，并在横线上填写推理依据． 证明：如图③，过点作，交的延长线于点．．平分．．，（___________）．． 【类比探究】如果是三角形外角的角平分线呢？ 如图④，在中，如果是的外角平分线，且交的延长线于点．求证：． 【结论应用】 （1）如图⑤，在矩形中，平分交于点，则___________； （2）如图⑥，已知为的延长线上一点，且．若，则的长为___________． 【答案】猜想证明：平行线分线段成比例； 类比探究： 过点B作，交的延长线于点E，如图④ ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论应用：（1）（2） 【分析】 本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 猜想证明：根据平行线分线段成比例，即可解答； 类比探究：过点B作，交的延长线于点E， 由，得到，即，继而证明，得到，则，即可解答； 结论应用：（1）先求出由平分，得到，求出，则，即可解答； (2)过点A作，交于点E，推导出，得到，继而证明，得到，即，求出，即可解答． 【详解】 解：猜想证明： 证明：如图③ ， 过点作，交的延长线于点． ． 平分 ． ． ， （平行线分线段成比例）． ． 故答案为：平行线分线段成比例； 类比探究：略 结论应用：（1）如图⑤ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴ (2)过点A作，交于点E，如图⑥ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：4． 43．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． （1）的长为_______． （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值． 【答案】（1）7     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； (2) 小问详解： 解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； (3) 小问详解： 解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 44．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图①，连接、，在纸片绕点旋转的过程中，的值是______； 【深入探究】 （2）如图②，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转的过程中，若以、、三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）①∵是中线， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴； ； （3）的面积为． 【分析】 （1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）①连接，延长交于点Q，根据（1）得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】 解：（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）解：① 略 ②延长交于点Q，连接，根据（1）得， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，，作于点，作交延长线于点，由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； 如图，，作于点，作交延长线于点， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； ∴的面积为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 45．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 【答案】问题探究：；方法拓展： 【分析】 本题是三角形综合题，考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键； 问题探究：由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，即可求的长； 方法拓展：过作，交延长线于，易证，易证，可得，即可求得的值，即可求得的值，即可解题． 【详解】 解：问题探究、分别为边、的中点 ， 方法拓展：如图，过作，交延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）【教材呈现】如表是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在四边形中，，，点P、M、N分别是、、中点，连接、、．若，则的大小为______． （2）如图③，在中，点D在上，且，点M、N分别是、的中点，连接并延长，交延长线于点E，则与的数量关系为_____． 【答案】定理证明: ∵点D、E分别是与的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，且； 结论应用（1）；（2）． 【分析】 定理证明：由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立； 结论应用：（1）根据的结论推出，，，，然后根据平行线的性质，等腰三角形的性质求出结果即可； （2）取的中点P，连接、，根据结论得出：，，，，根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】 解：定理证明：略 结论应用：（1）∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：25； （2）取的中点P，连接、，如图所示： ∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定和性质、中位线的性质等知识，正确作出辅助线利用中位线性质求解是解题的关键． 47．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）【感知】如图，在中，，过点作，点是上方一点，过点作交延长线于点． 求证：． 【探究】如图，在中，，将边绕着点顺时针旋转得到，连结并延长交边的延长线于点．若，，求的长． 【拓展】如图，在矩形中，，，点在边上运动（点不与点、重合），将绕点顺时针旋转得到，连结、，则面积的最大值为_____ 【答案】感知：证明：，， ， ， 又， ； 探究：的长为； 拓展： 【分析】 感知：根据题意即可证明，再根据即可得证； 探究：过点作于点，根据旋转的性质可得，，进而可证明，则，，设，再根据相似三角形的判定和性质可得，进而即可求解； 拓展：过作于，交于，根据旋转和矩形的性质可证明，设，根据三角形面积公式可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：感知：略 探究：如图，过点作于点， 将边绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰三角形， ∵， ， 设， ， ，， ， ， ∴， 解得或（舍去）， ； 拓展：过作于，交于， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ∵， ， 又∵， ， ， 设，则，， ， ， 有最大值， 当时，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、旋转的性质和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 48．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角和等腰直角，与分别交于点P、M．对于下列结论：①；②③；④；其中正确的结论是　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形相似；通过等腰直角三角形的性质找出边与角的关系，进而证明三角形相似，再根据相似三角形的性质来判断各个结论是否正确即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确，符合题意； 由③，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 设与相交于F，则， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴对于所给结论：①；②③；④，正确的是：① ③ ④． 故答案为：① ③ ④． 49．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2   如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．求证：． 证明：连接．、分别是边、的中点，…… （1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论归纳】 通过进一步探究，可知结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 【拓展应用】 （2）如图②，在矩形中，，，对角线、交于点，点是的中点，连接交于点，则的长为________，的面积为________． （3）如图③，在矩形中，，，点、、分别在边、、上，且，，点为上一动点，连接、、，点为的重心，则线段的最小值为________． 【答案】（1）补充证明如下： ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），4； （3） 【分析】 （1）根据题意可知，为三角形的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到结论； （2）作于点，求得点为的重心，利用勾股定理结合重心的性质可求得，再证明，求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）当点与点重合时，过点作于点，交于点，同（2）证明，求得，，证得点在线段上运动，当时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵矩形，对角线、交于点， ∴是的中线，， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴点为的重心， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为； 故答案为：，4； （3）解：当点与点重合时，过点作于点，交于点， ∵矩形中，，，， ∴四边形也是矩形， ∴， ∵点为的重心， ∴，， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴点在线段上运动， ∴当时，线段有最小值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 50．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）是矩形的边上一点，连结，于点． （1）求证：； （2）若点为中点，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形性质，矩形的对边平行且四个角为直角，可得到，，依据“两角分别相等的两个三角形相似“，从而证明． （2）先根据矩形的性质和点为中点，求出的长度，再利用勾股定理算出的长，然后由（1）中，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点为中点，， ， 又， 在中， 根据勾股定理， 由（1）知，， ， 即， ． 故答案为． 51．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，在线段上确定一点，使； （2）在图②中，在线段上确定一点，使； （3）在图③中，在线段上确定一点，连结，使． 【答案】（1） 如图① 所示．      （2） 如图②所示．      （3） 如图③（或图④）所示．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系．熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系是解题的关键． （1）按照确定点位置即可； （2）首先借助勾股定理计算出的长度，再根据的长度要求，在上确定距离点为的点； （3）依据相似三角形的判定定理，结合网格个点，在上找到点，使得与的边满足相似比例关系，从而保证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，点为的边延长线上的一点，连结，交于点，交于点，且．给出下面四个结论：①；②；③；④的面积是的面积的12倍．上述结论中，正确结论的序号是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明① 说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明② 说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④ 说法正确；根据现有条件不能说明，③ 说法错误． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，① 说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，② 说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④ 说法正确； 根据现有条件不能说明，③ 说法错误； 故答案为：① ② ④ ． 53．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论： ①； ②； ③； ④的面积的最大值为1． 其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　　　　．（把正确结论的序号都填上） 【答案】① ② ③ 【分析】 证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断① ；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断② ；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③ ；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④. 【详解】 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CEG， ∴△ABE∽△ECG，故① 正确； 在BA上截取BM=BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，BA=BC， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵BA-BM=BC-BE， ∴AM=CE， ∵CF为正方形外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°=∠AME， ∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF，故② 正确； ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠EFA=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， 而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF， ∴，故③ 正确； 设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x， S△AME=•x•（2-x）=， 当x=1时，S△AME有最大值， 而△AME≌△ECF， ∴S△AME=S△CEF， ∴S△CEF有最大值，所以④ 错误； 综上：正确结论的序号是：① ② ③. 故答案为：① ② ③. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 54．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容， 猜想：如图，在中，点、分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材内容，结合图，写出证明过程． 【定理应用】如图，已知矩形中，，，点在从向移动，、、分别是、、的中点，则                                     ． 【拓展提升】如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则                                     ． 【答案】【定理证明】证明：在中，点、分别是与的中点， 且， ， ， ； 【定理应用】； 【拓展提升】． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定、三角形中位线定理、直角三角形的性质． 【定理证明】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； 【定理应用】连接，在中求出的长度，再由中位线的性质求出的长度即可； 【拓展提升】在中根据中位线的性质求出的长度，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出的长度，即可求的长度． 【详解】 解：【定理证明】略 【定理应用】如图所示，连接， 四边形是矩形， ，，， 又点是的中点， ， 在中，， 、分别是、的中点， ， 故答案为：； 【拓展提升】如图所示， 点，分别是，的中点， ， 又， 在中点是斜边的中点， ， ， 故答案为： ． 55．（25-26学年九上·吉林长春·期中）【教材呈现】图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程； 【定理应用】在矩形中，，为矩形的对角线，点E在边上，且． （1）如图②，点F在边上，连结．若，则与的关系为_________； （2）如图③，将线段绕点A旋转一定的角度（），得到线段，连接，点H为的中点，连接．设的长度为a．若，则a的取值范围为_________． 【答案】【定理证明】证明：延长到，使，连接，如图： ∵为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， 即， 为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 【定理应用】（1），；（2） 【分析】 定理证明：延长到，使，连接，证明，可得，从而可得四边形是平行四边形，即可得； 定理应用：（1）证明，可得，故； （2）取的中点，连接，求出，可得最大值为；最小值为，从而可得． 【详解】 解：定理证明：略 定理应用：（1）∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，如图： ∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ∵为中点，， ， ， ， 由旋转可知，， ∵为中点，为中点， ， 当在线段上时，如图： 此时取最大值，最大值为； 当在线段上时，如图： 此时最小，最小值为； ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】 本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，三角形中位线定理的应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 56．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点分别是和的重心，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③若的面积为6，则的面积为2； ④当长为时，则的长为15． 上述结论中，正确结论的序号有　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 根据三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐个分析判断，即可解答． 【详解】 解：① ∵G是的重心，重心是三角形三条中线的交点，且的延长线交于D， ∴是边上的中线， ∴D是的中点， ∴． 故① 正确； ② ∵G是的重心，重心将中线分成2∶1的两段（靠近顶点的部分占）， ∵是边上的中线（E是中点）， ∴， ∴． 故② 正确； ③ ∵E是中点（是中线），与同高，且， ∴； ∵与同高，且， ∴． 故③ 错误； ④为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故④ 正确． 最终正确结论：① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 57．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，O是的中点，E、F分别是直线上一个动点，连接，且于点K，求线段的最小值． 【问题探究】 小明发现的长度不变且互相垂直，可将沿的方向平移，使E和F重合，点O的对应点为点G，将两个动线段拼接在一起，转化成两个定点之间的最短距离问题．此时，小明想到可先构造相似三角形，求出的值，再利用相似比求出的最小值．以下是小明的求解过程： 如图①所示，作于点H： 证明过程缺失 ∴． 请你将相似前的证明过程补充完整，并直接写出的值为______； 【问题解决】如图②，过点O作，且．则线段的最小值为______； 【方法应用】如图③，，，，则最小值为______． 【答案】问题探究：补全过程见解析，；问题解决：；方法应用： 【分析】 问题探究：过点作于点，证明，可得出的值 问题解决：由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； 方法应用：过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】 解：问题探究：如图① ，作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 问题解决：∵是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， 过点作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 方法应用：过点作，且，连接，过作于点，如图， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． 58．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有　　　　　　　　　　．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 【答案】① ② ④ 【分析】 利用证明，可判断① 正确；证明，得出，可判断② 正确；根据，得出，根据四边形是矩形，，得出，，证明，根据相似三角形的性质列出方程求出，即可判断③ ；在上截取，连接．由（1）可知：，证明，得出．证明，得出为等腰直角三角形．从而得出，即可判断④ ． 【详解】 解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴，故① 正确； ∵四边形是矩形，， ∴， ， ， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得：，故③ 错误； 在上截取，连接． 由（1）可知：， 又 ∵， ∴， ∴． 又 ∵， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形． ∴，④ 正确； 综上，① ② ④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 59．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据旋转的性质得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，得，设正方形边长为，则，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】 解：（1）将绕点逆时针旋转得， ， ∴为等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得， ， ∴共线， ∵， ， ， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， 在中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 60．（25-26学年九上·吉林净月高新技术产业开发区东北师范大学附属中学·期中）如图，在7×4的方格纸中，的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中的线段上确定一点D，连结，使． （2）在图②中的线段上确定一点E，连结，使． （3）在图③中的线段上确定一点F，连结，使平分的周长． 【答案】（1）如图所示：      （2）如图所示：      （3）如图所示： 【分析】 本题考查了作图的应用和设计，掌握等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据矩形的对角线互相平分和等腰三角形的三线合一，作的中点即可； （2）根据三角形的内角和及等腰三角形的性质，作的垂直平分线即可； （3）根据边长确定，即，再根据相似作图即可． (1) 小问详解： 如图，连接格点，为等腰三角形， ∵垂直平分， ∴．， (2) 小问详解： 如图，要使，则， 所以为垂直平分线与的交点， 易知为等腰三角形，找出中点， 所以连接与的交点即为点，连接 (3) 小问详解： 如图，设一个小正方形的边长为一个单位， 则， 要使平分的周长， 则，解得， ，即， 故连接第2单元格和第4单元格的对角线与的交点即为，连接 61．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 【答案】（1），理由如下： ， ，， ，， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 （1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 62．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，平分交于点，交于点，为的中点，交的延长线于点，，．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有　　　　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ③ ④ 【分析】 根据，，，可判断① ；分别表示，，再根据与不一定相等，故与不一定相等， 得与不一定相等，进行判断② ；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明，可判断③ ；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④ ． 【详解】 解：① ∵， ∴，， 平分， ， ．故① 正确； ②，， ∴， ∴ ∵平分交于点， ∴ 则， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 故与不一定相等， 故② 不正确； ③ 由① 知， ∴， ， 又， ， 故③ 正确； ④ 如图，连接， 在，为斜边的中线， 则． ， ， 由得； 由得， 有， ．故④ 正确． 综上所述，① ③ ④ 符合题意， 故答案为： ① ③ ④ ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 63．（25-26学年九上·吉林白山靖宇县第三中学·期末）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动．过的中点D作交于点E．将绕着的中点顺时针旋转得到，点P的对应点为M，设四边形的面积为，点P的运动时间为． （1）_________，_________； （2）当点M落在边上时，求t的值； （3）求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；．     （2）     （3） 【分析】 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题． （1）根据在直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出； （2）作于，交于．先由直角三角形的性质得到， ，再结合图形得到，，，，最后证明，得到，代入列方程即可； （3）由（2）可得四边形是平行四边形，， 当时，与相遇，当时，点P到达终点B，点Q到达终点A，即可分，，三种情况分别画出图形，根据求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴，； (2) 小问详解： 解：如图1中，作于，交于．则四边形为矩形， ∵将绕着的中点顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，，， 由题意， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴， 解得． (3) 小问详解： 解：由（2）可得四边形是平行四边形，， ∴； 当与相遇时，，即，解得； ∵点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动 ∴当时，点P到达终点终点B，点Q到达终点A， ① 当时，与相遇之前，如图， 此时由（2）可得，， ． ② 当时，与相遇之后，到达终点之前，如图， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ③ 如图3中，当时，点达到终点， 由题意， ∴， 综上所述， ． 64．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）小明在学习完圆这一章内容后，发现对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有“定点＋定长”与“定角＋定弦”两种类型．下面是小明对“定角＋定弦”类型题开展的探究活动． 【初步运用】 如图，已知线段，点是直线上方一个动点，且，确定点的轨迹．小明以为底边作等腰，使，，且点、点在同侧．则以点为圆心，以________为半径（填长度），作辅助圆．易知点的轨迹为的优弧（不包含点、）．即由（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 【深入探究】 问题原型：如图①，菱形边长为，，点在射线上移动．试探究的最小值． 问题探究：如图②，小明首先在射线上作点，使，利用，将转化为，这样 就将双变量（、）问题转化为探究长度最小值的单变量问题，于是将问题进一步转化成探究点轨迹的问题： 小明进一步发现当时，连结，总有，进而可知． 以下是小明证明的部分过程： 证明：由问题探究的作法可知，， 又∵，∴．∴． ∵菱形中，，且． 证明过程缺失 ∴． 请你补全缺失的证明过程． 由恒为（定角），（定弦），可得点一定在某一个确定的圆上． 请帮小明在图③中画出此圆，圆心标记为，从而确定长度的最小值为______． 问题解决：结合上述探究过程，则的最小值是______． 【答案】【初步运用】 【深入探究】 问题探究 补全证明过程： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； 在图③ 中画圆如图， ； 问题解决 【分析】 【初步运用】：利用勾股定理求得，从而确定半径为； 【深入探究】：问题探究：补全证明过程：由菱形得，代换得，结合公共角得； 画圆及确定最小值：由恒为（定角），（定弦）确定点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点，利用勾股定理求得半径为，再利用勾股定理求得，由三角形三边不等关系可知，当、、三点共线时，最小，即可确定长度的最小值； 问题解决：由得，代入数值即可． 【详解】 解：【初步运用】：∵，， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴以点为圆心，以为半径，作辅助圆； 故答案为：； 【深入探究】：问题探究： 补全证明及画圆略． ∵恒为（定角），（定弦）， ∴点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点， 过点作，垂足为，连接， ∵， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴为点所在确定的圆的圆心， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴，即的半径为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当、、三点共线时，最小， 此时； 故答案为：； 问题解决：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的轨迹（定角定弦模型）、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，将双变量问题转化为单变量的轨迹问题（化隐圆为显圆）是解题的关键． 65．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，将绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为．连接，与交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④在旋转过程中，若，则以为顶点的四边形面积最大值为．上述结论中，正确结论的序号有　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 ①设，根据所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理求出的值，通过绕直角顶点旋转至，得出，得到，，证明，最后运用相似性质即可求解； ②由①的得，通过换角证明，即可求解； ③延长交与点，作交于点，作交于点，证明，得出，最后进行算出面积比较即可； ④通过，先求出和，再设，求出和的值，最后求出四边形的最大值即可． 【详解】 解：① ∵，，设， ∴， ∴． ∵绕直角顶点旋转至 ∴， ∴，，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故①符合题意； ② ∵由①得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故②符合题意； ③延长交与点，作交于点，作交于点． ∵由①可得， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵由①可得，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴． 故③不符合题意； ④ ∵由①得，， 又∵， ∴，． ∴． ∵由③得， 又∵设， ∴． ∴， ∴当时，四边形的面积有最大值，． 故④不符合题意． 综上符合题意得有：① ② ④． 故答案为：① ② ④． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积等，掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 66．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）【基础巩固】 （1）如图①，在中，为上一点，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图②，在中，为上一点，为延长线上一点，，若，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图③，在菱形中，为上一点，为内一点，，，，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）5； （3）． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，求出，即可得出的长； （3）先证明四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长与的延长线交于点G， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 67．（25-26学年九上·吉林长春·期末）【问题背景】 在四边形中，E是线段上一点，连结，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且． （1）如图①，若四边形为正方形，点F在线段上，则与之间的关系是______； 【类比探究】 （2）如图②，若四边形为矩形，点F在的延长线上，且，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在（2）的条件下，过点E作交于点M，延长交边于点G，当＝时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）且 （3）2 【分析】 （1）过点作于点，作于，根据证即可推出结论； （2）过点作于点，作于，证，根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段与之间的关系即可； （3）当＝时，勾股定理可求，进而求出，证明，利用对应线段成比例得，则可求，利用勾股定理求出，进而可求，则的长可求． 【详解】 解：（1）如图，过点作于点，作于， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：＝，； （2）答：且，理由如下： 如图，过点作于点，作于， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， ， 即 ，， ∴ ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 68．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】（1） 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ；     （2）     （3）或或      【分析】 （1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ① 当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ② 当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由① 知， ， ， ， 或或． 【点睛】 本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 69．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒． （1）线段的长为_____； （2）用含t的代数式表示线段的长； （3）当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值； （4）当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）5     （2）     （3）t的值为或     （4）      【分析】 （1）由勾股定理得，即可解决问题； （2）分两种情况，① 当时，点在线段上运动，；② 当时，点在上运动，； （3）分两种情况，① 当时，② 当时，分别由相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质求出的长，即可得出结论； （4）求出当时的值，即可解决问题． (1) 小问详解： 在中，由勾股定理得：， 点为边的中点， ， 故答案为：5； (2) 小问详解： 分两种情况： ① 当时，点在线段上运动，； ② 当时，点在上运动，； 综上所述， ； (3) 小问详解： 点是点关于直线的对称点， ， 点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上， 分两种情况： ① 当时，如图1，延长交于点，交于点， 则， ， ， ， ， 即， 解得：，， ， 点是点关于直线的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ； ② 当时，如图2，设交于点， 则， 点是点关于直线的对称点， ， 在和中， ， ， ， ， 此时，， 综上所述，与的一条直角边平行时的值为或； (4) 小问详解： 当时，如图3，延长交于点，连接交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 点是点关于直线的对称点， ，， 设，则， 以为圆心，长为半径的圆，点为边的中点， 为圆的直径， ， ， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ，， ， ， 即， 解得：， 此时，， 当为锐角三角形时，的取值范围为． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 70．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　． 【答案】① ②③ 【分析】 根据等边对等角的性质求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后求出是直角，即可得到① 正确；根据互余关系求出，再根据等角对等边的性质求出，然后求出，从而判断② 正确；根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出，再根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出③ 正确；根据角的互余关系可以求出，再根据可知，然后求出，然后求出，从而得到，判断出④ 错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 根据角的互余关系，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：① ②③． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出，然后证明是证明的关键，也是本题的难点． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出△BDE的面积，再根据AD：DC＝3：2，可得结论． 【详解】 解：∵AE：BE＝3：2， ∴AE：BA＝3：5， ∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2， ∵△ADE的面积为3， ∴△BDE的面积＝2， ∴△ABD的面积为5， ∵DE//CB， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴△BCD的面积＝ ×5＝ 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 2．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则下列选项错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．根据位似图形的定义，相似三角形的判定定理依次判断各选项即可． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 选项A正确，不符合题意； 与的相似比为， ， 选项B正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形， ， ，， ， 选项C正确，不符合题意； 与的相似比为， ， ， 选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年九上·吉林延边·期中）已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为　　　　　　　　　　． 【答案】4：9． 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案． 【详解】 解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】 解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，在中，过点B作，使边交于点D． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：在和中，， ．     （2）5      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， ． 6．（25-26学年九上·吉林吉林舒兰县·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从点B开始沿边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动，若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示的长； （2）当t为何值时，与相似？ 【答案】（1）的长为     （2）秒时，与相似      【分析】 （1）利用勾股定理列式，求出，再表示出； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例，列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴（）， ∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴， ∴的长为． (2) 小问详解： 解：∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴，， ①是直角时，， ∴， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ∴， 即， 解得， 综上所述，秒时，与相似． 【点睛】 本题考查了列代数式、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，则的长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由得，利用余角的性质可得，则有，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． （1）等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． （2）一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． （3）若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． （4）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 【答案】（1）3条     （2）     （3）4条     （4）①；②或4或或12      【分析】 本题考查等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，理解“半似位线”的定义，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）作出图形，根据“半似位线”的定义求解即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据“半似位线”的定义，作出图形，分别求解即可； （4）① 当运动t秒时，，则． ② 根据勾股定理求出．分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，分别根据相似三角形的对应边成比例求解；（Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，同（Ⅰ）求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，． ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，相似比为， ∴是等边三角形的“半似位线”． 同理可得，是等边三角形的“半似位线”． ∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条． 故答案为：3． (2) 小问详解： 解：如图，是的“半似位线”， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵一个三角形的三边长之比为， ∴如图，不妨设，，（） 取各边的中点，连接，，， ∴，， ∴，且相似比为， ∴是的 “半似位线”， 同理可得，，是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 此时，点G与点A重合， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴， 此时，点N不在边上， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”． 综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条． 故答案为：4． (4) 小问详解： 解：① 当运动t秒时，， ∴． 故答案为：． ② ∵在中，，， ∴． （Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． （Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 综上所述，a的值为或4或或12． 9．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿边向终点运动．当点不与点、重合时，将线段绕点顺时针旋转得到，取的中点，以为边向其下方作正方形．设点的运动时间为，正方形与的重叠部分图形的面积为． （1）当与边重合时，的值为______； （2）当正方形与的重叠部分图形是五边形时，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当所在直线平分正方形的面积时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意可知，，由中点和正方形的性质，可得，则，计算出t的值即可； （2）根据与的位置关系，进行分类讨论．当在上方或重合时，五边形的面积为正方形减去三角形；．当在下方时，五边形的面积为正方形减去三角形和一个矩形，同时正方形的边不能超过点B．用含t的代数式表示出各个面积后，得出答案； （3）所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点．用含t的代数式表示出，解方程求出t的值． (1) 小问详解： 解：如图， 由题意可知，；由旋转的性质可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：设线段与交于点E，与交于点F， 当时，由（1）可知，此时在上方或与重合， 如图， 由（1）可知，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∴； 当时，则 在下方， 如图，设与交于点G，与交于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 要构成五边形，则，即，解得，， ， ∴， 综上所述， ； (3) 小问详解： 如图，所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】 本题考查正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论并用代数式表示出所需的量是解题关键． 10．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在中，，cm，cm，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点运动，运动时间为秒（），连结． （1）_____cm； （2）若与相似，求的值； （3）连结、，若，求的值； （4）直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1）10     （2）或     （3）     （4）或或      【分析】 本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，运用分类讨论思想、方程思想和辅助线构造法．解题关键是根据动点运动情况准确表示线段长度，针对相似、垂直、等腰等不同条件分情况建立方程；易错点是相似三角形的对应关系找错、等腰三角形分类不全，或辅助线构造后比例关系推导错误． （1）直接用勾股定理计算的长度． （2）表示出、的长度，分和两种相似情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． （3）作辅助线，构造相似三角形和，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解． （4）分、、三种等腰情况，分别作辅助线构造相似三角形，根据相似或线段关系列方程求解． (1) 小问详解： 在中，，，，根据勾股定理： (2) 小问详解： 由题意，，，则． 分两种情况讨论： 情况一： 此时，即， ， 解得． 情况二： 此时，即， ， 解得． 综上，t的值为或1． (3) 小问详解： 过P作于D，则． ， 即， 解得，，则． 因为，，所以，，故． 又，所以． 则，即， ， ， 解得． (4) 小问详解： 分三种情况讨论： 情况一： 即， ， 解得． 情况二： 过P作于E，则． 由，，即， ， 解得． 情况三： 过Q作于F，则． 由，，即， ， 解得． 综上，t的值为、或． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图所示，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂的端点下降m时，长臂端点应升高（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，能够将实际问题转化成数学问题是解题关键． 栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题． 【详解】 解：如图所示， 将题中条件转化到上图中，， 即，求的长度， ，（对顶角）， ， ，即，解得， ∴长臂端点升高， 故选：B． 3．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为　　　　　　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 即该同学的身高为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·吉林吉林永吉县·期末）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为　　　　　　米． 【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 5．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子C离旗杆的底部B处的距离，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆的高度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】 解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 6．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为，观测者的眼睛（图中用点表示）与在同一水平线上．若经测量得到数据，，则测杆上的长是　　　　　　　　　　　cm． 【答案】28 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为28． 7．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为　　　　　米． 【答案】6 【分析】 先判定三角形相似，然后根据相似三角形的性质列出等式，即可求出树的高度． 【详解】 如图： ∵△ACD∽△ABE ∴ ∴EB=4DC=1.5×4=6米 故答案为：6 【点睛】 本题考查相似三角形在求树木高度的应用，找到比例列出等式是本题关键． 8．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，一张等腰三角形纸片，底边，高．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 设正方形边长为，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】 解：如图，设正方体的棱长为，与交于点P， 为的高， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为　　　　　　米． 【答案】4 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，体现了几何知识在生活中的实际运用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形，再利用相似三角形的性质计算． 根据题意由两角对应相等可得，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【详解】 解：栏杆在转动过程中，和是对顶角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 栏杆右端上升的垂直距离为米． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，小明打网球时，在距离球网米的位置击球，使球恰好打过网，已知球网高为米，球沿直线前进且落在离网米的位置上，则球拍击球的高度约为 　　　　　　　　　米．（精确到米） 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，解决本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】 解：如下图所示， ， ， ， ，，， ， ， 解得：． 故答案为：． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】 解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 2．（25-26学年九上·吉林吉林蛟河·期末）如图，把放大后得到，则与的相似比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求两个位似图形的相似比，根据题意把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键． 【详解】 解：∵放大后得到， ∴与位似， ∴与的相似比为， 故选：C． 3．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（     ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 36 【答案】C 【分析】 本题考查了位似，以及相似图形性质，根据题意得到四边形与四边形的相似比为，进而利用相似图形性质求解，即可解题． 【详解】 解：， ， 四边形与四边形位似，位似中心是， 四边形与四边形的相似比为， 四边形的周长为4， 则四边形的周长为12， 故选：C． 4．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了位似图形，根据点和点的坐标可以求出五边形与五边形的位似比，利用位似比求出点的坐标． 【详解】 解：点，， ，， 五边形与五边形的位似比是， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是． 故选：A． 5．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的位似比为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与的位似比为. 故选：A． 6．（25-26学年九上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】 解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 7．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，与位似，位似中心为点，且，则与的周长之比为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，， ∴，则与的位似比是． ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，与关于点位似，已知，则与的面积比为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 9．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是　　　　　． 【答案】（6，6）． 【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可. 【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3， ∴，即 解得，OD＝6，OF＝6， 则点E的坐标为（6，6）， 故答案为：（6，6）． 【点睛】本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键. 10．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】 解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 11．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，则五边形与五边形的周长比为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似是解题的关键；由题意易得五边形相似于五边形，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【详解】 解：由位似可知：五边形相似于五边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形与五边形的周长比为； 故答案为． 12．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】 解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为． （1）画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为； （3）直接写出与的面积比． 【答案】（1） 解：如图所示，点；      （2） 解：如图，即为所作；     （3）．      【分析】 本题主要考查作图---中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 15．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． （1）画出向左平移4个单位长度的； （2）以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】 解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点B是的中点， ∴ ，解得 ， ∴， 又∵点为的中点， ∴ ，解得 ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·吉林长春部分学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点．（顶点均在正方形网格的格点上），已知点的坐标为．    （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； 【答案】（1） 如图，为所作；         （2） 如图，为所作． 【分析】 （）根据轴对称的性质分别找到点的对称点，连接即可作出； （）根据的坐标，把各乘以，得到的坐标 连接即可作出； 此题考查了作轴对称图形和位似图形，根据轴对称图形和位似图形的性质找到对称点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．A 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C 11．【答案】度 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】 解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质与分式的化简求值．熟练掌握比例的性质与分式的化简求值是解题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算． 【详解】 由 ，设 ，（其中 ）， 则 ， 所以 ． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．【答案】6 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，从而可得，代入计算即可得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 9．【答案】 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．先通过平行线分线段成比例定理求出、的值，再证明四边形为平行四边形，最后求出周长即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ，即． ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴四边形为， ∴，． ∴． 故答案为：． 10．【答案】（1） 如图① ，点、即为所求．      （2）如图② ，点即为所求．     （3）如图③ ，点即为所求．      【分析】 本题考查作图－应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据网格特点作出图形即可； （2）取格点、，连接交于，则是等腰直角三角形，，然后根据平行线的性质即可得出． （3）取格点，连接，根据和分别和网格的对角线，可判断，取格点、，连接交于，根据结合平行线分线段成比例即可判断； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 11．【答案】（1） 如图，取格点，连接交于点，即为所求，      （2） 如图，取格点、，连接交于点，连接，即为所作，      （3） 如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，即为所求， 【分析】 本题考查了格点作图，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图，取格点，连接交于点，根据矩形的性质即可得出，从而得出； （2）如图，取格点、，连接交于点，连接，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，由平行线分线段成比例定理可得，即可得出； （3）如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，根据矩形的性质可得，从而得到，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行线分线段成比例定理得出，从而得出． (1) 小问详解： 解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ； (2) 小问详解： 解：由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ； (3) 小问详解： 解：由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ， 由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．【答案】证明：， ， 即， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】 略 10．【答案】证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】 略 11．【答案】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】 略 12．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．证明，得到，即可求出的长． 【详解】 解：在和中，，， ∴， ∴， 又∵，，． ∴， ∴． 13．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边上的中线比等于相似比计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， 由题意知，、分别是和对应边上的中线， ∴， ∵， ∴． 14．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，． 15．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明是解答本题的关键． 如图：连接，，通过证明可得，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】 解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵， ∴． 故答案为：． 18．【答案】1.6 【分析】易得△AEB和△BFC相似，那么利用相似三角形的对应边成比例可得BF长，进而利用勾股定理可得CF长． 【详解】由题意得：∠AEB＝∠CFB＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， ∴∠EAB＝∠CBF， ∴△AEB∽△BFC， ∴AE：BF＝AB：BC， ∵AB＝5，BC＝2，AE＝3， ∴BF＝1.2， ∴CF＝1.6． 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质．熟练掌握相似三角形的对应边成比例及勾股定理是解题的关键． 19．【答案】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 20．【答案】（1） 点E为所求作；      （2） 如图，与的交点为所求作；      （3） 如图，与的交点为所求作． 【分析】 本题主要考查相似三角形的作图，掌握相似三角形的性质是作图的关键． （1）先连接，与的交点为的中点，连接，证明，从而得出； （2）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作； （3）先延长点在方格中的横线，得点所在的横线，再连接，使得，最后得与的交点为所求作． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 21．【答案】（1）的长为5；     （2）的长为；     （3）的长为或；     （4）的长或．      【分析】 （1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可； （2）设，由题意，推出，，得到，根据，列式计算即可求解； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； （4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，求得，，根据或由，列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：当点与点重合时，的长即的长， 在中，，，， ∴， 即的长为5； (2) 小问详解： 解：当点在边上时，设，如图， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为； (3) 小问详解： 解：当时，如图，设， ∵菱形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当时，如图，则：， 设，则：， ∵， ∴， ∴设， 综上：设或 (4) 小问详解： 解：设， 直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况， 当点在点右侧时：作于点，如图， ∵菱形， ∴上线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长． 当点在点左侧时，如图， 同理：，， 则：由，得：， 解得：， ∴的长， 综上：的长为或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22．【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ， ， ， 解得：． 23．【答案】（1） 解：在图① 中，如图即为所求；      （2） 解：如图，即为所求； 连接，则为的角平分线     （3） 解：如图，点即为所求． 【分析】 （1）取格点、，连接交于点，则四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得是的中点，再连接即可． （）取格点，连接交于点，根据勾股定理及相似三角形可得，取格点，连接交于点，则，根据等腰三角形的三线合一可得平分． （）取格点、，连接交于点，由及勾股定理可得，根据等边对等角可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查三角形的中线、角平分线的作图、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定与网格作图的结合，熟练掌握网格特点、三角形中线和角平分线的定义、等腰三角形判定是解题关键． 24．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）2      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，列出比例式，进而可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，可证明，即，再由直角三角形的性质可判断①；可证明，推出，据此可判断③；由平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，则，再证明，得到，则，据此可判断④；根据现有条件无法得到，据此可判断②． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是边的中点， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形与的面积之比为，故④ 正确； 根据现有条件无法证明，故② 错误； 故答案为：① ③ ④． 26．【答案】证明：根据勾股定理，得，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定，由网格可知，，，，，，再利用三边对应成比例的两个三角形相似即可求证，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】 略 27．【答案】（1） 如图，点、即为所求；      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）找到的中点，连接，则为的中位线，得到，，进而得到，且相似比为； （2）取格点正上方一个格点处，格点正下方2个格点处，连接这两个格点，交于点，可得相似三角形，得到，进而得到，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴；     （2）      【分析】 此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，，然后由得到，然后代数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵在矩形中，，， ∴ ∵ ∴，即 ∴． 29．【答案】证明： ， ． 又， ，即， ∴． 【分析】 由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 30．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形对应边成比例）是解题的关键． （1）要证明，需找到两组对应角相等；利用平行四边形的性质得到一组角相等，再结合已知条件得到另一组角相等． （2）根据相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式求解的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵，，， ∴， 解得； 故答案为：． 31．【答案】9 【分析】 该题考查了尺规作垂直平分线，相似三角形的性质和判定，根据作图可知是的垂直平分线，从而得，，证明，列方程即可求解． 【详解】 解：根据作图可知是的垂直平分线， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得：，（负值已舍去）， 故， 故答案为：9． 32．【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】 略 33．【答案】（1） 如图，即为所作：      （2） 解：平分， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵， ， ．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作已知角的平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角及的性质，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理， （1）证明，得到，由中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）的结论求出，证明，推出，再利用勾股定理即可得出结论； 解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， 由（1）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 35．【答案】（1） 如图所示：      （2） 点如图所示： 【分析】 本题考查了网格与勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格与勾股定理得，则，故，即可作答． （2）运用网格特征，得，则，故，即，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】【教材呈现】证明：连结， ∵、分别是边、的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【结论应用】（1）；（2）6 【分析】 本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】【教材呈现】 根据三角形中位线定理可得，从而得到，即可解答； 【详解】【结论应用】 （1）由【教材呈现】可得 ，然后由勾股定理可得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得点O为的中点，，再由【教材呈现】可得，，从而得到，即可求解． 【详解】 【教材呈现】略 【结论应用】（1）∵为矩形， ∴， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴点O为的中点，， ∵点为边的中点， 由【教材呈现】得：，，即，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴． 37．【答案】[探究1]：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：如图3.1，点N即为所求； 证明：如图3.2，连接， ∵O，M分别是，的中点， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]：或 【分析】 [探究1]：通过平行线截线段成比例定理得出所求线段的长度比即可解决； [探究2]：先作线段垂直平分线得到中点M，再连接交于N点，即为所求；根据为的中位线，得出，再利用相似比即可得证； [应用]：过点A作轴，过点B作于点D，分别过点，作，于点E，F，得出，根据相似三角形性质求出，，，，从而求解点的坐标． 【详解】 [探究1]： 解：∵，且， ∴， ∴， ∴此时所依据的基本事实是：“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，或“平行线分线段成比例”； 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；或平行线分线段成比例； [探究2]：略 [应用]： 解：设线段的三等分如图4，分别为，， 过点A作轴，过点B作于点D， 分别过点，作，于点E，F， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴，， ∴，，，， ∴，即； ∴，即； 综上所述，线段的三等分点C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，平行线截线段成比例，相似三角形判定与性质，坐标与图形，三角形中线的定义，三角形中位线的性质等，熟练掌握这些知识点是解题关键． 38．【答案】① ② ③ 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 先证明，即可判定① ；由，推出推出，由，推出，即可判定② ；只要证明垂直平分，即可判定③ ；设，，则，由可得，即，可得，可判断④ ． 【详解】 解：① 如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故① 正确； ② ∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ③ ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③ 正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④ 错误． 综上所述，正确结论① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 39．【答案】【结论证明】 证明：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【结论应用】（1）12；（2）40． 【分析】 结论证明：由D，E分别是边的中点，根据三角形的中位线定理得，，则，得，即可证明；结论应用：（1）由得，则，所以，则，于是得到问题的答案； （2）作交的延长线于点F，交于点K，由，，得，则，可证明，得，所以，再证明，得，再证明，得，所以，则，所以，于是得，求得，则，，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 结论证明：略 结论应用：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）如图② ，作交的延长线于点F，交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】 本题重点考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积的比等于底边长的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 40．【答案】[性质探索]，； [判定探索] ， ， ， 扇形与扇形是相似扇形； [拓展应用] 【分析】 [性质探索]根据两个相似扇形的性质可得答案； [判定探索]由，代入弧长公式即可得到结论； [拓展应用]先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可． 【详解】 [性质探索] 解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为，则弧长之比为； 关于面积：两个相似扇形的相似比为，则面积之比为； [判定探索] 略 [拓展应用] 扇形与扇形相似， ， ，， ， 点在半径的垂直平分线上， ， ， ，， ， ， 设，， ， 即， 解得：，（舍去）， ， 的长为， ， ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 41．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）或．      【分析】 （1）直接运用勾股定理即可求解； （2）先过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再通过平行相似得到、，最后通过相似比求值即可； （3）先过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点，通过平形相似证明、四边形为矩形，再结合旋转的性质证明，得到等量关系，最后再通过平行相似证明并求出长度算三角形的面积即可； （4）需要分类讨论，利用相似三角形的性质得出长度即可． (1) 小问详解： 解：∵中，，，， ∴． (2) 小问详解： 过点作交于点，将绕点顺时针旋转得到线段交于点． ∵点为中点， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 过点作交于点，过点作交于点，且与交于点，过点作交于点，连接，且交于点． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，． ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (4) 小问详解： ∵，， 又∵由（1）得， ∴． ①若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若点在上，直线与相交于点． ∵当直线将面积分成两部分， ∴， ∴． 作交于 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴点和点重合， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 综上为或． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的面积等，熟练掌握数形结合是解决本题的关键． 42．【答案】猜想证明：平行线分线段成比例； 类比探究： 过点B作，交的延长线于点E，如图④ ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论应用：（1）（2） 【分析】 本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 猜想证明：根据平行线分线段成比例，即可解答； 类比探究：过点B作，交的延长线于点E， 由，得到，即，继而证明，得到，则，即可解答； 结论应用：（1）先求出由平分，得到，求出，则，即可解答； (2)过点A作，交于点E，推导出，得到，继而证明，得到，即，求出，即可解答． 【详解】 解：猜想证明： 证明：如图③ ， 过点作，交的延长线于点． ． 平分 ． ． ， （平行线分线段成比例）． ． 故答案为：平行线分线段成比例； 类比探究：略 结论应用：（1）如图⑤ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴ (2)过点A作，交于点E，如图⑥ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：4． 43．【答案】（1）7     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； (2) 小问详解： 解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； (3) 小问详解： 解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ， ． 44．【答案】（1）； （2）①∵是中线， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴； ； （3）的面积为． 【分析】 （1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）①连接，延长交于点Q，根据（1）得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】 解：（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）解：① 略 ②延长交于点Q，连接，根据（1）得， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，，作于点，作交延长线于点，由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； 如图，，作于点，作交延长线于点， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； ∴的面积为． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 45．【答案】问题探究：；方法拓展： 【分析】 本题是三角形综合题，考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键； 问题探究：由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，即可求的长； 方法拓展：过作，交延长线于，易证，易证，可得，即可求得的值，即可求得的值，即可解题． 【详解】 解：问题探究、分别为边、的中点 ， 方法拓展：如图，过作，交延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 46．【答案】定理证明: ∵点D、E分别是与的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，且； 结论应用（1）；（2）． 【分析】 定理证明：由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立； 结论应用：（1）根据的结论推出，，，，然后根据平行线的性质，等腰三角形的性质求出结果即可； （2）取的中点P，连接、，根据结论得出：，，，，根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】 解：定理证明：略 结论应用：（1）∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：25； （2）取的中点P，连接、，如图所示： ∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定和性质、中位线的性质等知识，正确作出辅助线利用中位线性质求解是解题的关键． 47．【答案】感知：证明：，， ， ， 又， ； 探究：的长为； 拓展： 【分析】 感知：根据题意即可证明，再根据即可得证； 探究：过点作于点，根据旋转的性质可得，，进而可证明，则，，设，再根据相似三角形的判定和性质可得，进而即可求解； 拓展：过作于，交于，根据旋转和矩形的性质可证明，设，根据三角形面积公式可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：感知：略 探究：如图，过点作于点， 将边绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰三角形， ∵， ， 设， ， ，， ， ， ∴， 解得或（舍去）， ； 拓展：过作于，交于， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ∵， ， 又∵， ， ， 设，则，， ， ， 有最大值， 当时，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、旋转的性质和二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． 48．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形相似；通过等腰直角三角形的性质找出边与角的关系，进而证明三角形相似，再根据相似三角形的性质来判断各个结论是否正确即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③ 正确，符合题意； 由③，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意； 设与相交于F，则， ∵， ∴， ∴，故②错误，不符合题意． ∴对于所给结论：①；②③；④，正确的是：① ③ ④． 故答案为：① ③ ④． 49．【答案】（1）补充证明如下： ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），4； （3） 【分析】 （1）根据题意可知，为三角形的中位线，即可证明，根据相似三角形的性质得到，进而得到结论； （2）作于点，求得点为的重心，利用勾股定理结合重心的性质可求得，再证明，求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）当点与点重合时，过点作于点，交于点，同（2）证明，求得，，证得点在线段上运动，当时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】 （1）略 （2）解：作于点， ∵矩形中，，， ∴， ∵矩形，对角线、交于点， ∴是的中线，， ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴点为的重心， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积为； 故答案为：，4； （3）解：当点与点重合时，过点作于点，交于点， ∵矩形中，，，， ∴四边形也是矩形， ∴， ∵点为的重心， ∴，， 同理，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴点在线段上运动， ∴当时，线段有最小值， ∵， ∴四边形是矩形， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 50．【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及矩形的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形性质，矩形的对边平行且四个角为直角，可得到，，依据“两角分别相等的两个三角形相似“，从而证明． （2）先根据矩形的性质和点为中点，求出的长度，再利用勾股定理算出的长，然后由（1）中，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点为中点，， ， 又， 在中， 根据勾股定理， 由（1）知，， ， 即， ． 故答案为． 51．【答案】（1） 如图① 所示．      （2） 如图②所示．      （3） 如图③（或图④）所示．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系．熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及利用网格构造线段比例关系是解题的关键． （1）按照确定点位置即可； （2）首先借助勾股定理计算出的长度，再根据的长度要求，在上确定距离点为的点； （3）依据相似三角形的判定定理，结合网格个点，在上找到点，使得与的边满足相似比例关系，从而保证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 52．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质；根据平行四边形的性质推出，，可以证明① 说法正确；由平行线分线段成比例分别求得，，可以证明② 说法正确；设，利用相似三角形的判定和性质求得，，可以证明④ 说法正确；根据现有条件不能说明，③ 说法错误． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，① 说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，② 说法正确； 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是的面积的12倍，④ 说法正确； 根据现有条件不能说明，③ 说法错误； 故答案为：① ② ④ ． 53．【答案】① ② ③ 【分析】 证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断① ；在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断② ；可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③ ；设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④. 【详解】 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CEG， ∴△ABE∽△ECG，故① 正确； 在BA上截取BM=BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B=90°，BA=BC， ∴△BEM为等腰直角三角形， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵BA-BM=BC-BE， ∴AM=CE， ∵CF为正方形外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°=∠AME， ∵∠BAE=∠FEC， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF，故② 正确； ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠EAF=∠EFA=45°， ∴∠BAE+∠DAF=45°， 而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF， ∴，故③ 正确； 设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x， S△AME=•x•（2-x）=， 当x=1时，S△AME有最大值， 而△AME≌△ECF， ∴S△AME=S△CEF， ∴S△CEF有最大值，所以④ 错误； 综上：正确结论的序号是：① ② ③. 故答案为：① ② ③. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 54．【答案】【定理证明】证明：在中，点、分别是与的中点， 且， ， ， ； 【定理应用】； 【拓展提升】． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定、三角形中位线定理、直角三角形的性质． 【定理证明】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； 【定理应用】连接，在中求出的长度，再由中位线的性质求出的长度即可； 【拓展提升】在中根据中位线的性质求出的长度，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出的长度，即可求的长度． 【详解】 解：【定理证明】略 【定理应用】如图所示，连接， 四边形是矩形， ，，， 又点是的中点， ， 在中，， 、分别是、的中点， ， 故答案为：； 【拓展提升】如图所示， 点，分别是，的中点， ， 又， 在中点是斜边的中点， ， ， 故答案为： ． 55．【答案】【定理证明】证明：延长到，使，连接，如图： ∵为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， 即， 为的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ． 【定理应用】（1），；（2） 【分析】 定理证明：延长到，使，连接，证明，可得，从而可得四边形是平行四边形，即可得； 定理应用：（1）证明，可得，故； （2）取的中点，连接，求出，可得最大值为；最小值为，从而可得． 【详解】 解：定理证明：略 定理应用：（1）∵， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，如图： ∵四边形是矩形，， ， ， ， ， ∵为中点，， ， ， ， 由旋转可知，， ∵为中点，为中点， ， 当在线段上时，如图： 此时取最大值，最大值为； 当在线段上时，如图： 此时最小，最小值为； ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】 本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，三角形中位线定理的应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 56．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 根据三角形的重心及平行线所截线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐个分析判断，即可解答． 【详解】 解：① ∵G是的重心，重心是三角形三条中线的交点，且的延长线交于D， ∴是边上的中线， ∴D是的中点， ∴． 故① 正确； ② ∵G是的重心，重心将中线分成2∶1的两段（靠近顶点的部分占）， ∵是边上的中线（E是中点）， ∴， ∴． 故② 正确； ③ ∵E是中点（是中线），与同高，且， ∴； ∵与同高，且， ∴． 故③ 错误； ④为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故④ 正确． 最终正确结论：① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 57．【答案】问题探究：补全过程见解析，；问题解决：；方法应用： 【分析】 问题探究：过点作于点，证明，可得出的值 问题解决：由是的中点得，由勾股定理得，由得，过点作，且，连接，则四边形是平行四边形，得，则，当，，三点共线时，最小值为，由勾股定理得即可； 方法应用：过点作，且，连接，过作于点，，当、、三点共线时的值最小，最小值为；由平行四边形的性质得，，得，，，由勾股定理求出即可． 【详解】 解：问题探究：如图① ，作于点，则，如图， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 问题解决：∵是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， 过点作，且，连接，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小值为， ∵，， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 方法应用：过点作，且，连接，过作于点，如图， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴当、、三点共线时的值最小，最小值为； 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识，能正确作出辅助线构造平行解答本题的关键． 58．【答案】① ② ④ 【分析】 利用证明，可判断① 正确；证明，得出，可判断② 正确；根据，得出，根据四边形是矩形，，得出，，证明，根据相似三角形的性质列出方程求出，即可判断③ ；在上截取，连接．由（1）可知：，证明，得出．证明，得出为等腰直角三角形．从而得出，即可判断④ ． 【详解】 解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴，故① 正确； ∵四边形是矩形，， ∴， ， ， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得：，故③ 错误； 在上截取，连接． 由（1）可知：， 又 ∵， ∴， ∴． 又 ∵， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形． ∴，④ 正确； 综上，① ② ④ 正确． 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 59．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据旋转的性质得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，得，设正方形边长为，则，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】 解：（1）将绕点逆时针旋转得， ， ∴为等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得， ， ∴共线， ∵， ， ， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， 在中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 60．【答案】（1）如图所示：      （2）如图所示：      （3）如图所示： 【分析】 本题考查了作图的应用和设计，掌握等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据矩形的对角线互相平分和等腰三角形的三线合一，作的中点即可； （2）根据三角形的内角和及等腰三角形的性质，作的垂直平分线即可； （3）根据边长确定，即，再根据相似作图即可． (1) 小问详解： 如图，连接格点，为等腰三角形， ∵垂直平分， ∴．， (2) 小问详解： 如图，要使，则， 所以为垂直平分线与的交点， 易知为等腰三角形，找出中点， 所以连接与的交点即为点，连接 (3) 小问详解： 如图，设一个小正方形的边长为一个单位， 则， 要使平分的周长， 则，解得， ，即， 故连接第2单元格和第4单元格的对角线与的交点即为，连接 61．【答案】（1），理由如下： ， ，， ，， ， ， ； （2）； （3） 【分析】 （1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 62．【答案】① ③ ④ 【分析】 根据，，，可判断① ；分别表示，，再根据与不一定相等，故与不一定相等， 得与不一定相等，进行判断② ；运用两组对应角相等的三角形是相似三角形，证明，可判断③ ；连接，可证，得易证，得比例线段求解，即可判断④ ． 【详解】 解：① ∵， ∴，， 平分， ， ．故① 正确； ②，， ∴， ∴ ∵平分交于点， ∴ 则， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵与不一定相等， ∴与不一定相等， 故与不一定相等， 故② 不正确； ③ 由① 知， ∴， ， 又， ， 故③ 正确； ④ 如图，连接， 在，为斜边的中线， 则． ， ， 由得； 由得， 有， ．故④ 正确． 综上所述，① ③ ④ 符合题意， 故答案为： ① ③ ④ ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握和利用相似三角形的判定和性质定理是解题关键． 63．【答案】（1）；．     （2）     （3） 【分析】 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题． （1）根据在直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出； （2）作于，交于．先由直角三角形的性质得到， ，再结合图形得到，，，，最后证明，得到，代入列方程即可； （3）由（2）可得四边形是平行四边形，， 当时，与相遇，当时，点P到达终点B，点Q到达终点A，即可分，，三种情况分别画出图形，根据求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴，； (2) 小问详解： 解：如图1中，作于，交于．则四边形为矩形， ∵将绕着的中点顺时针旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，，， 由题意， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∴， 解得． (3) 小问详解： 解：由（2）可得四边形是平行四边形，， ∴； 当与相遇时，，即，解得； ∵点P以的速度沿向终点B运动，点Q以的速度沿向终点A运动 ∴当时，点P到达终点终点B，点Q到达终点A， ① 当时，与相遇之前，如图， 此时由（2）可得，， ． ② 当时，与相遇之后，到达终点之前，如图， 由题意，， ∴， ∴， ∴． ③ 如图3中，当时，点达到终点， 由题意， ∴， 综上所述， ． 64．【答案】【初步运用】 【深入探究】 问题探究 补全证明过程： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴； 在图③ 中画圆如图， ； 问题解决 【分析】 【初步运用】：利用勾股定理求得，从而确定半径为； 【深入探究】：问题探究：补全证明过程：由菱形得，代换得，结合公共角得； 画圆及确定最小值：由恒为（定角），（定弦）确定点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点，利用勾股定理求得半径为，再利用勾股定理求得，由三角形三边不等关系可知，当、、三点共线时，最小，即可确定长度的最小值； 问题解决：由得，代入数值即可． 【详解】 解：【初步运用】：∵，， ∴， ∵， ∴，即，解得， ∴以点为圆心，以为半径，作辅助圆； 故答案为：； 【深入探究】：问题探究： 补全证明及画圆略． ∵恒为（定角），（定弦）， ∴点在以为弦，圆周角为的圆上，圆心为以为底边的等腰直角三角形的直角顶点， 过点作，垂足为，连接， ∵， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴为点所在确定的圆的圆心， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴，即的半径为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形两边之和大于第三边可知，当、、三点共线时，最小， 此时； 故答案为：； 问题解决：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的轨迹（定角定弦模型）、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理，将双变量问题转化为单变量的轨迹问题（化隐圆为显圆）是解题的关键． 65．【答案】① ② ④ 【分析】 ①设，根据所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理求出的值，通过绕直角顶点旋转至，得出，得到，，证明，最后运用相似性质即可求解； ②由①的得，通过换角证明，即可求解； ③延长交与点，作交于点，作交于点，证明，得出，最后进行算出面积比较即可； ④通过，先求出和，再设，求出和的值，最后求出四边形的最大值即可． 【详解】 解：① ∵，，设， ∴， ∴． ∵绕直角顶点旋转至 ∴， ∴，，，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故①符合题意； ② ∵由①得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故②符合题意； ③延长交与点，作交于点，作交于点． ∵由①可得， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵由①可得，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴． 故③不符合题意； ④ ∵由①得，， 又∵， ∴，． ∴． ∵由③得， 又∵设， ∴． ∴， ∴当时，四边形的面积有最大值，． 故④不符合题意． 综上符合题意得有：① ② ④． 故答案为：① ② ④． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积等，掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 66．【答案】（1）证明：在和中， ∵， ∴； （2）5； （3）． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，求出，即可得出的长； （3）先证明四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，证明，得到，即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 如图，延长与的延长线交于点G， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 67．【答案】（1）， （2）且 （3）2 【分析】 （1）过点作于点，作于，根据证即可推出结论； （2）过点作于点，作于，证，根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段与之间的关系即可； （3）当＝时，勾股定理可求，进而求出，证明，利用对应线段成比例得，则可求，利用勾股定理求出，进而可求，则的长可求． 【详解】 解：（1）如图，过点作于点，作于， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故答案为：＝，； （2）答：且，理由如下： 如图，过点作于点，作于， 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ∴， ， 即 ，， ∴ ， ， ； （3）解：当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 68．【答案】（1） 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ；     （2）     （3）或或      【分析】 （1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： 或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ① 当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ② 当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由① 知， ， ， ， 或或． 【点睛】 本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 69．【答案】（1）5     （2）     （3）t的值为或     （4）      【分析】 （1）由勾股定理得，即可解决问题； （2）分两种情况，① 当时，点在线段上运动，；② 当时，点在上运动，； （3）分两种情况，① 当时，② 当时，分别由相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质求出的长，即可得出结论； （4）求出当时的值，即可解决问题． (1) 小问详解： 在中，由勾股定理得：， 点为边的中点， ， 故答案为：5； (2) 小问详解： 分两种情况： ① 当时，点在线段上运动，； ② 当时，点在上运动，； 综上所述， ； (3) 小问详解： 点是点关于直线的对称点， ， 点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上， 分两种情况： ① 当时，如图1，延长交于点，交于点， 则， ， ， ， ， 即， 解得：，， ， 点是点关于直线的对称点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， ； ② 当时，如图2，设交于点， 则， 点是点关于直线的对称点， ， 在和中， ， ， ， ， 此时，， 综上所述，与的一条直角边平行时的值为或； (4) 小问详解： 当时，如图3，延长交于点，连接交于点， ， 是等腰直角三角形， ， 点是点关于直线的对称点， ，， 设，则， 以为圆心，长为半径的圆，点为边的中点， 为圆的直径， ， ， ， ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ，， ， ， 即， 解得：， 此时，， 当为锐角三角形时，的取值范围为． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 70．【答案】① ②③ 【分析】 根据等边对等角的性质求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后求出是直角，即可得到① 正确；根据互余关系求出，再根据等角对等边的性质求出，然后求出，从而判断② 正确；根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出，再根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出③ 正确；根据角的互余关系可以求出，再根据可知，然后求出，然后求出，从而得到，判断出④ 错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 根据角的互余关系，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：① ②③． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出，然后证明是证明的关键，也是本题的难点． 考点04 相似三角形的性质 1．D 2．D 3．【答案】4：9． 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而可得答案． 【详解】 解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】 解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 5．【答案】（1） 证明：在和中，， ．     （2）5      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即， ， ． 6．【答案】（1）的长为     （2）秒时，与相似      【分析】 （1）利用勾股定理列式，求出，再表示出； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例，列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴（）， ∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴， ∴的长为． (2) 小问详解： 解：∵点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s， ∴，， ①是直角时，， ∴， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ∴， 即， 解得， 综上所述，秒时，与相似． 【点睛】 本题考查了列代数式、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由得，利用余角的性质可得，则有，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．【答案】（1）3条     （2）     （3）4条     （4）①；②或4或或12      【分析】 本题考查等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，理解“半似位线”的定义，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）作出图形，根据“半似位线”的定义求解即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据“半似位线”的定义，作出图形，分别求解即可； （4）① 当运动t秒时，，则． ② 根据勾股定理求出．分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，分别根据相似三角形的对应边成比例求解；（Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，同（Ⅰ）求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，． ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，相似比为， ∴是等边三角形的“半似位线”． 同理可得，是等边三角形的“半似位线”． ∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条． 故答案为：3． (2) 小问详解： 解：如图，是的“半似位线”， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵一个三角形的三边长之比为， ∴如图，不妨设，，（） 取各边的中点，连接，，， ∴，， ∴，且相似比为， ∴是的 “半似位线”， 同理可得，，是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 此时，点G与点A重合， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴， 此时，点N不在边上， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”． 综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条． 故答案为：4． (4) 小问详解： 解：① 当运动t秒时，， ∴． 故答案为：． ② ∵在中，，， ∴． （Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． （Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 当，则， ∴， ， ∴ ，解得 ． 综上所述，a的值为或4或或12． 9．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意可知，，由中点和正方形的性质，可得，则，计算出t的值即可； （2）根据与的位置关系，进行分类讨论．当在上方或重合时，五边形的面积为正方形减去三角形；．当在下方时，五边形的面积为正方形减去三角形和一个矩形，同时正方形的边不能超过点B．用含t的代数式表示出各个面积后，得出答案； （3）所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点．用含t的代数式表示出，解方程求出t的值． (1) 小问详解： 解：如图， 由题意可知，；由旋转的性质可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解：设线段与交于点E，与交于点F， 当时，由（1）可知，此时在上方或与重合， 如图， 由（1）可知，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∴； 当时，则 在下方， 如图，设与交于点G，与交于点H， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， 要构成五边形，则，即，解得，， ， ∴， 综上所述， ； (3) 小问详解： 如图，所在直线要想平分正方形的面积，则必须经过正方形的中心点，此时点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】 本题考查正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论并用代数式表示出所需的量是解题关键． 10．【答案】（1）10     （2）或     （3）     （4）或或      【分析】 本题综合考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的分类讨论，运用分类讨论思想、方程思想和辅助线构造法．解题关键是根据动点运动情况准确表示线段长度，针对相似、垂直、等腰等不同条件分情况建立方程；易错点是相似三角形的对应关系找错、等腰三角形分类不全，或辅助线构造后比例关系推导错误． （1）直接用勾股定理计算的长度． （2）表示出、的长度，分和两种相似情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． （3）作辅助线，构造相似三角形和，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解． （4）分、、三种等腰情况，分别作辅助线构造相似三角形，根据相似或线段关系列方程求解． (1) 小问详解： 在中，，，，根据勾股定理： (2) 小问详解： 由题意，，，则． 分两种情况讨论： 情况一： 此时，即， ， 解得． 情况二： 此时，即， ， 解得． 综上，t的值为或1． (3) 小问详解： 过P作于D，则． ， 即， 解得，，则． 因为，，所以，，故． 又，所以． 则，即， ， ， 解得． (4) 小问详解： 分三种情况讨论： 情况一： 即， ， 解得． 情况二： 过P作于E，则． 由，，即， ， 解得． 情况三： 过Q作于F，则． 由，，即， ， 解得． 综上，t的值为、或． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 即该同学的身高为． 故答案为：． 4．【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】 解：根据光的反射定律得：， 又， ∴， ∴，即， 解得， 即旗杆的高度为， 故答案为∶． 6．【答案】28 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为28． 7．【答案】6 【分析】 先判定三角形相似，然后根据相似三角形的性质列出等式，即可求出树的高度． 【详解】 如图： ∵△ACD∽△ABE ∴ ∴EB=4DC=1.5×4=6米 故答案为：6 【点睛】 本题考查相似三角形在求树木高度的应用，找到比例列出等式是本题关键． 8．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 设正方形边长为，根据平行线的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】 解：如图，设正方体的棱长为，与交于点P， 为的高， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】4 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，体现了几何知识在生活中的实际运用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形，再利用相似三角形的性质计算． 根据题意由两角对应相等可得，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【详解】 解：栏杆在转动过程中，和是对顶角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 栏杆右端上升的垂直距离为米． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，解决本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【详解】 解：如下图所示， ， ， ， ，，， ， ， 解得：． 故答案为：． 考点06 位似 1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．【答案】 【分析】 本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】 解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 7．【答案】 【分析】 本题考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，， ∴，则与的位似比是． ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查位似图形的概念，相似三角形的性质，难度较易，掌握相关知识是解题关键．先根据位似图形的概念求出与关的相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方解题即可． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵与关于点位似， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 9．【答案】（6，6）． 【分析】利用位似变换的概念和相似三角形的性质进行解答即可. 【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3， ∴，即 解得，OD＝6，OF＝6， 则点E的坐标为（6，6）， 故答案为：（6，6）． 【点睛】本题考查了相似三角形、正方形的性质以及位似变换的概念，掌握位似和相似的区别与联系是解答本题的关键. 10．【答案】 【分析】 根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】 解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似是解题的关键；由题意易得五边形相似于五边形，则有，然后可得，则，进而问题可求解． 【详解】 解：由位似可知：五边形相似于五边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形与五边形的周长比为； 故答案为． 12．【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】 解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 14．【答案】（1） 解：如图所示，点；      （2） 解：如图，即为所作；     （3）．      【分析】 本题主要考查作图---中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称的性质作出图形即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）根据相似三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 15．【答案】（1） 解：如图所示：      （2） 解：如图所示： 【分析】 本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】 【分析】 本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】 解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点B是的中点， ∴ ，解得 ， ∴， 又∵点为的中点， ∴ ，解得 ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17．【答案】（1） 如图，为所作；         （2） 如图，为所作． 【分析】 （）根据轴对称的性质分别找到点的对称点，连接即可作出； （）根据的坐标，把各乘以，得到的坐标 连接即可作出； 此题考查了作轴对称图形和位似图形，根据轴对称图形和位似图形的性质找到对称点是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $