专题09 锐角三角函数（期中真题汇编，吉林专用）九年级数学上学期

专题09 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．A 7．A 8．C 9．A 10．C 11．A 12．【答案】1 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，得的值为，然后进行乘法运算，即可作答． 【详解】 解：依题意， ∴， 故答案为：1 13．【答案】.5 【分析】 根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】 解：根据特殊角的三角函数值可知， cos60°的值为， 故答案为． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14．【答案】1 【分析】 根据特殊角的三角函数值作答． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 15．【答案】3 【分析】 本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】 解： ． 16．【答案】 【分析】 本题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】 解：， ， ， ． 17．【答案】． 【分析】 本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解： ． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂的计算是关键． 先开方，计算特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】 解：． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查特殊三角函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值进行计算即可得到最终的结果． 【详解】 解：原式 ； 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 21．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．先求出特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 23．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）原式先利用二次根式的性质化简，再合并即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 此题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．【答案】1 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】 解： ． 25．【答案】（1）如图：      （2）如图：      （3）如图： 【分析】 本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：如图① 所示，则， 此时． (2) 小问详解： 解：如图② 所示， ，． ． (3) 小问详解： 解：如图③ 所示， ，， ． ． 26．【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求：      （3） 即为所求： 【分析】 本题考查锐角三角函数中正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）要使，则的对边要满足且即可； （2）要使，则的对边要满足且即可； （3）要使，则的对边要满足且即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．【答案】（1） ；     （2）；     （3）t的值为2或或8．      【分析】 （1）根据点P的运动路线分点P在上和在上两种情况分别用含t的代数式表示出的长即可； （2）根据在直角三角形中构建边角关系得到关于t的等式即可求出t值； （3）分点Q在上，点Q在延长线上和点Q在延长线上三种情况进行讨论分别求出t值即可． (1) 小问详解： 解：∵，M是中点， ∴， ∵点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t， 当点P在线段上运动时，， ∴， 当点P在线段上运动时，， ∴， 综上， ； (2) 小问详解： 解：如图1，当Q在边上时， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 由题意可知，当点Q在直线或直线上时，与平行四边形的边平行， 分三种情况：① 当点Q在线段上时，由（2）可得； ② 当点Q在延长线上时，如图2， 过A作于N， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； ③ 当点Q在延长线上时，如图3， ∵，， ∴， 在，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：或（舍去）， 综上所述，当与平行四边形的边平行时，t的值为2或或8． 【点睛】 本题是四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键． 28．【答案】（1） 如图，点D即为所求．      （2） 如图，点E即为所求．      （3） 如图，点F即为所求． 【分析】 本题是格点作图题，考查了等腰三角形的判定，矩形的性质以及角的正切值等知识点，根据要求正确作图是解题的关键． （1）取，构造等腰三角形，点D即为所求； （2）构造矩形，运用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到，点E即为所求； （3）先取格点D，得到，再延长交于点F，则，点F即为所求． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作矩形，连接与交于点E，则点E即为所求． ∵矩形，连接与交于点E， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，取格点D，则，延长交于点F， 则． 29．【答案】 【分析】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴，，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，求角的正切值，勾股定理，熟知相似三角形的判定定理和锐角三角函数是解题的关键． （1）可证明，据此可证明结论； （2）利用割补法求出的面积，过点B作于点F，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正切的定义求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由网格的特点可知， 如图所示，过点B作于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】 解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 32．【答案】（1）     （2）     （3） 解：如图所示，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形．      【分析】 （1）连接，根据题意得出四边形是矩形，四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解； （2）证明，进而可得； （3）过点作于点，可得四边形是矩形，证明，进而得出是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ， 在中，， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，求正切，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简、零指数幂的运算以及特殊角的三角函数值，熟练掌握这些知识点的运算法则是解题的关键． 本题需要分别对二次根式化简、零指数幂运算、特殊角的三角函数值进行计算，然后再合并同类二次根式． 【详解】 解： ． 34．【答案】（1）等腰直角三角形     （2）探究一：；探究二：      【分析】 （）正确，可得，，进而可得，据此即可求解； （）探究一：证明可得，又由三线合一可得，得到，在利用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； 探究二：由补角性质可得，即可得，进而由平行线的性质得到，即到，得到，即得到，得到，进而由平行线的性质得到，即得，最后求出即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形和是两个完全相同的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：探究一：∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 探究二：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 35．【答案】（1） 如图①所示，即为所求．      （2）如图②所示，点即为所求．     （3）如图③所示，点即为所求．      【分析】 本题为网格作图问题，考查了平行四边形的中心对称性，相似三角形的判定与性质，求角的正切函数等知识﹒ （1）作平行四边形即可； （2）作，连接交于点E，问题得解； （3）作，使得，问题得解﹒ (1) 小问详解： 解：证明：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形只是中心对称图形； (2) 小问详解： 解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：证明：在中，﹒ 36．【答案】（1） 如图所示， ；     （2） 如图所示， ；     （3） 如图所示， ．      【分析】 本题考查了格点作图，解直角三角形的应用，相似三角形的应用． （1）构造的等腰直角三角形即可； （2）在（1）的基础上，与格线交于点，即为所作；得到，推出，即； （3）在（1）的基础上，取格点M、N，连接交于点，则即为所作；因为，由得，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 37．【答案】（1），     （2）或     （3）      【分析】 （1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值； （2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标； （3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：把点A、B的坐标分别代入中，得： ， 解得： ， 即，； (2) 小问详解： 解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由A、B的坐标知，，，， ∴，即， ∴， 当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为； 当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：由（1）知，直线解析式为：， 上式中，令，得， 则，； 因点Q在直线上，故设点， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点． 38．【答案】（1） 如下图所示，即为所求，      （2） 如下图所示，点即为所求，      （3） 如下图所示，点即为所求， 【分析】 (1) 小问详解： 解：作线段的垂直平分线，垂直平分线经过格点， 连接、得到，即为所求， (2) 小问详解： 解：过的中点作于点， 则有，， 可得：； (3) 小问详解： 解：连接点与的中点， 则有， 把分成两部分． 39．【答案】【观察感知】； 【类比迁移】（）证明：由题可知，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴； （）； 【拓展延伸】或 【分析】 观察感知：证明即可求解； 类比迁移：（）由得，由旋转得，进而根据判定定理“”即可求证；（）过作于点，由得，，，即得，即得到，设，则，由得，得到，即得到，解得，即得，再根据即可求解； 拓展延伸：分当点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数的定义解答即可求解． 【详解】 解：观察感知：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（）略 （）解：如图，过作于点， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：当点在左侧时，过作于点，如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧时，过作的延长线于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 40．【答案】（1）     （2） 证明：代入，则， 代入，则， ∴，， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点， 则，， ∴，， ∴， ∴的大小不变， ∵轴， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小等于的大小， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变．     （3）或或     （4）或      【分析】 （1）代入到，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点，则有，，再通过计算说明是定值即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质求出，进而推出是菱形，再结合二次函数的增减性找出临界点，结合题意即可得到的取值范围； （4）分2种情况讨论：① 点在边上；② 点在边上，根据面积公式得到，再利用待定系数法求出直线和的表达式，结合一次函数的性质列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：代入到，得， 解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由题意得，，，， 设点的坐标为， ∵， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴点与点关于直线对称， 当点与点重合时，点恰好在抛物线上，此时， 解得； 当点与点重合时，此时， 解得； 当点与点重合时，此时； 当线段经过点时， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 代入得，， 解得（舍去），； ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小， ∴的取值范围为或或； (4) 小问详解： 解：① 当点在边上时， 如图，连接、， 由（3）得，是菱形，直线的表达式为， ∴， ∴点到的距离为， 由菱形的对称性得，， 由（3）得，，，，， ∴，， ∴， 设点到直线的距离为， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， 代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ② 当点在边上时， 同理可得，， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ∴综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、求角的正切值、平行四边形的性质、菱形的性质与判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于二次函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 考点02 解直角三角形 1．B 2．C 3．BC 4．【答案】（1） 证明： ， ． 平分交边于点D， ， ， ． ， ， ． 为半径， 是的切线；     （2）3      【分析】 本题考查了圆的基本性质，切线的判定，等边三角形，角平分线的性质，平行线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，得到，根据角平分线的性质得到，等量代换得到，所以推得，利用平行线的性质即可得到结论； （2）由含的直角三角形得到，设，则，由 可求得x的值，根据，，可推得是等边三角形，所以可求得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接． ，， ． 设，则， ， ，， ， ． ，， 是等边三角形， ． 故填：3． 5．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 6．【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 7．【答案】（1），，     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）利用角的正切值，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点作于点，在中，求出，再在中，利用求出即可； （3）分两种情况讨论：① 当点在上时；② 当点在上时，由等腰直角三角形的性质可得，，再利用三角函数求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：当点P为中点时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， 在中，， ， 点Q到直线的距离为； (3) 小问详解： 解：① 如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，，， ，， ， ， ； ② 如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 8．【答案】（1） 证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理． （1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可； （2）在中，解直角三角形求得，，利用阴影部分的面积，列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， 阴影部分的面积． 9．【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值 【详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ， ∴， 当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， 当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键 10．【答案】（1） ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定， （1）根据题意证明出，得到，进而得到； （2）作于H，首先求出，然后根据三角函数求出，，然后利用正切值的概念求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 作于H， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 11．【答案】（1），；     （2）1     （3）①，；②或或；     （4）或      【分析】 （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：， ∴点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，且 ，， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴该函数最高点为， 当时，点的坐标为， 此时； 当时，点的坐标为， ∵最高点为顶点， 此时； ②当时，图象的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， ∴当或时，； 综上所述，的取值范围为或或； (4) 小问详解： 解：点的坐标是或；理由如下： 如图，当时，则轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴为直线， 点的坐标是； 如图，当时，过点作轴， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 联立得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，得：， ∴点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 12．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 如图，即为所求； 【分析】 （1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． (1) 小问详解： 解：由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； (2) 小问详解： 解：由图可知：， 则，， ∴； (3) 小问详解： 解：由作图可知：， ∴． 【点睛】 本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 13．【答案】（1）6     （2）证明：如图① ，连接DF;id: MathJax-Element-8879-Frame;role: presentation;style: font-size: 101%; position: relative;;tabindex: 0;">DF，CE;id: MathJax-Element-8880-Frame;role: presentation;style: font-size: 101%; position: relative;;tabindex: 0;">CE交于点O， ∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴；     （3）或     （4）或      【分析】 （1）根据勾股定理求解即可； （2）连接，交于点O，根据矩形性质得点O为的中点，从而得到为的中位线，最后根据中位线的性质即可得平行； （3）分两种情况：当时，为边的高，利用D为的中点求出，根据矩形性质，再利用三角函数求即可；当时，为边的中线，剩余步骤相同； （4）分两种情况：当点E在上时，连，设，根据正方形性质和D为的中点可推，，在中利用三角函数求即可；当点E在上时，根据正方形性质和D为的中点可推，由（2）可知边的高为，代入即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，如图② ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴在中，； 当时，如图③ ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴在中，， 综上，的长为或； (4) 小问详解： 解：当点E在上时，如图④ ，连，设， ∵矩形是正方形， ∴，，， ∴在中，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， 解得； 当点E在上时，如图⑤ ， ∵矩形是正方形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为边的高， 由（2）可知边的高为， ∴， ∴在中，； ∴的长为或． 【点睛】 本题考查了用勾股定理解三角形、矩形的性质、三角形中位线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算等知识，解题的关键是正确做图结合分类讨论思想运用各知识点． 14．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，求出，和的长，由，得出，代入并求解； （3）过点作，则为到的距离，设，由，得出，由得出，再根据，得出； （4）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． (1) 小问详解： 解：,， ； (2) 小问详解： 解：点的速度为2，点的速度为3，点的运动时间为， ，， ， 当时，， ， 又， ， ， ， 即， 解得． (3) 小问详解： 解：如图，过点作，则为到的距离，且， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得，即， ， ，解得． (4) 小问详解： 解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，，且，得， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 如图 当在内部时，即，，即， ， 如图 当在外部时，即， ， 又， 即， 由得，，， 当，即时， ，解得； 当，即时， ，解得， 两个解均在内，符合题意， 当点到的距离是点到的距离的2倍时，的值为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质判定，三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键． 15．【答案】（1），5     （2）14     （3）或      【分析】 本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）利用正切的定义式直接求得，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求得； （2）先作出图形，再利用正切求出，设，则，结合，求得，从而可求得与，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分点P在线段上、点P在线段上两种情况，分别画出图形求出的长． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 故答案为：，5； (2) 小问详解： 解：过点Q作于点G， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， v∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 当点P在线段上时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段上时，如图， 同理可得：， ∴， 综上所述，的长为或． 16．【答案】（1）4；     （2）或     （3）或．      【分析】 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可； （2）分类讨论：① 当时，② 当时，逐个分析求解即可． （3）设直线交直线于点，作于点，作于点，分类讨论：① 当垂直于时，② 当垂直于时，③ 当垂直于时，此时点与点重合，逐个分析求解即可． (1) 小问详解： 解：在中， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：过点作于点H，如图 ． ， ① 当时， ， ， ， ． 即，得． ； ② 当时， ， ．即， 得． ． (3) 小问详解： 解：设直线交直线于点，作于点，作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ① 当垂直于时，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； ② 当垂直于时，过点作直线垂直于，交于点，交于点，如图 同理，四边形是正方形， 设，则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ③ 当垂直于时，此时点与点重合，不符合题意； 综上，的长为或． 17．【答案】【教材呈现】 如图①，作斜边上的中线，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【结论应用】 ，理由如下： 如图②，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵D，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． ∴； 【拓展提升】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握直角三角形性质和平行四边形的判定与性质是解题关键． [教材呈现]根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得，再证明是等边三角形，即可证明结论； [结论应用]取的中点，连接，应用（1）的结论可得，再证明四边形是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案； [拓展提升]过点A作交的延长线于点G，应用（1）的结论可得出，再运用解直角三角形或勾股定理求出，最后应用三角形中位线定理即可求出． 【详解】 解：[教材呈现]略 [结论应用]略 [拓展提升]如图③，过点A作交的延长线于点G，连接，交于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 18．【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）；； （3） 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）根据相似三角形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，相似三角形的性质，得到，，进而得到，证明，进行求解即可； （3）先证，得出，再证，得到，解直角三角形，得到，进而得到，再证明，进行求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；45； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴，即， 在中，， ∴ ∴， ∵． ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 19．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3） 如图，即为所求． 【分析】 （1）以为边作一个正方形即可； （2）在（1）基础上，连接对角线，找到中点即可； （3）点B向右五个单位即是点C． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查锐角三角函数，网格作图，平行线分线段成比例以及网格中三角形的高，灵活运用所学知识是解题关键． 20．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长； （2）根据等面积法即可解答； （3）如图2，证明，列比例式得：：：：，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答； （4）分两种情况：① 当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；② 当，在的两侧时，如图，同理可解答． (1) 小问详解： 解：如图1，， 菱形的边长为，面积为， ， ， 由勾股定理得： (2) 小问详解： 如图2，过点作于，过点作于， 由（1）可得：， ，， ， 即点到直线的距离为 故答案为：． (3) 小问详解： 如图2，，， ， ， 即：：：：， 如图，过点作于， 设，，， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即正方形的边长为 (4) 小问详解： 分两种情况： ① 当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， 由（3）知：设，，， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ② 当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点， 同理设，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键，并运用分类讨论的思想解决问题． 21．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据锐角三角函数解答即可； （2）当时，的值最小，再由，可得， ∴，再证明，可求出的长，即可求解； （3）作于点Q，则是等腰直角三角形，设，则，，再由勾股定理可得，再由，求出m的值，即可求解； （4）分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为线段的中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ∴正方形与重叠部分的面积为； (3) 小问详解： 解：当点落在边上时，， 作于点Q，则是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：如图，连接， 在正方形中，， 当与相交时，设与相交点M， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点为线段的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴； 当与相交时，设与相交点N，过点F作于点K， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点N为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ， ， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了三角形的相似，解直角三角形，解直角三角形等知识点．解题的关键是学会用分类要论的思想思考问题，属于压轴题． 22．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据即可列代数式； （2）由题意得，则，则根据得到，代入数据求解； （3）找出两个临界位置，当点在上时和点在边上时，分别求出此时对应的t值； （4）当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则，那么，过点作于点，同理，则，设，由，得到，可得方程，解得；当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点，由，得到，可得，而，则，设，同理可求，则得到方程，解得． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，则， 当时，如图： ∴， ∴， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在上时，如图： ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在边上时，如图： 由（2）知， ∴当点、同时在内部时，； (4) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，同理， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， ∴， 解得； 当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上：的值为或． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列代数式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点． 23．【答案】（1）10，，，．     （2）12     （3）      【分析】 本题考查勾股定理，三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高与面积，掌握知识点是解题的关键． （1）求出， 根据三角函数的定义，即可解答； （2）推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点E，根据，求出，得到，继而推导出，则，即可解答． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ， ，． 故答案为：10，，，． (2) 小问详解： 如图所示 由题意，得 ， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 如图所示，过点C作于点E， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 24．【答案】① ② ③ 【分析】 依次对每个结论进行分析，利用圆周角定理、相似三角形的判定、三角函数的定义、弧长公式等知识进行判断． 【详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴，结论① 正确． 由，得，即， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴，结论② 正确． 连接交于点， ∵， ∴的半径， ∴， ∴是等边三角形，． ∵点是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴，故③ 正确． 由③ 知， ∴的长为．故④ 错误． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题主要考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式，熟练掌握这些知识并能综合运用是解题的关键． 25．【答案】（1） 如图，高即为所求；      （2）如图，点即为所求；      （3）如图，点即为所求． 【分析】 （）取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）取格点，，连接，交于点，则，可得； （3）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得． (1) 小问详解： 根据格点作高的方法即可画出，高即为所求； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求； (3) 小问详解： 根据格点的特征可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求． 【点睛】 此题考查了作图——应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 26．【答案】（1），6     （2）     （3） 证明：根据旋转可得， 根据题意可得， ∴， 在和中 ， ∴．     （4）或      【分析】 （1）根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）根据（1）先求出，根据的面积是的面积的8倍，求出，分为两种情况：① 当动点在上时，如图：过点作，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，根据题意可得，求出，表示出，列出方程求解即可．② 当动点在上时，如图：过点作，同理求出，用表示出，列出方程求解即可． （2）根据旋转可得，根据题意可得，得出，即可证明． （4）根据点到的距离等于点到的距离，得出点在的角平分线上，分为① 当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，四边形是矩形，得出，根据题意可得，根据旋转可得，得是等边三角形，点E在边上，则，求出，，表示出，列出方程即可解答．② 当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，证明．得出，再证明．得出，再根据，列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：，6． (2) 小问详解： 解：根据（1）可得， ∴， ① 当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）． ② 当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 该方程无解． 综上，当的面积是的面积的8倍时，． (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：∵点到的距离等于点到的距离， ∴点在的角平分线上， 当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则，四边形是矩形， ∴， 根据题意可得， 根据旋转可得， ∴是等边三角形，点E在边上， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：． ② 当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则， ∴， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， 根据题意可得， ∴， 解得：． 综上，当点到的距离等于点到的距离时，或． 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 27．【答案】（1）     （2）     （3）或；     （4）的长为或或．      【分析】 （1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； (2) 小问详解： 解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， 由（1）得 ∴在中，， ∴； (3) 小问详解： 解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴， 则 ∴， ∵ ∴， ∴ 整理得 解得：， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， 综上，的值为或； (4) 小问详解： 解：① 点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ② 当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为或或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用以及数形结合思想；掌握这些知识是解题的关键． 28．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）根据直角三角形角所对的边是斜边的一半可得，然后根据勾股定理即可解答； （2）设点P的运动时间为x秒，，；当点M落在边上时,然后根据平行四边形的性质列式求解即可； （3）分、、三种情况分别画出图形，然后再结合图形求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中， ∴ ∴． (2) 小问详解： 解： 设点P的运动时间为x秒，， ∵平行四边形 ∴，,即 ∴， 当点M落在边上时, 当点M落在边上时 ∴ ∴，解得: ． (3) 小问详解： 解：当时，如图①， 作于D，则． ∴ 当时，如图②， 设与相交于点E，设与相交于点F． 作于D． 则, ∴． ∴． 当时， 如图③， 设与相交于点E． 作于D． 则， ∴ 综上所述： ． 【点睛】 本题主要考查了四边形综合、解直角三角形、平行四边形的性质、动点问题等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 29．【答案】① ② ④ 【分析】 先根据直径所对的圆周角是直角，得出，再结合，得出垂直平分，从而可得，由此可判断①； 先根据直径的意义得出为的中点，再得出为的中点，从而可得为的中位线，于是就有，再根据切线的性质得出，从而可得，由此可判断②； 利用举反例可说明③ 错误； 先根据切线的性质得出，从而可得，再得出，然后根据等边对等角得出，从而可得，于是有，根据等边对等角得出，从而可得，进而得出，从而根据，可证明，由此可判断④ ； 先根据相似三角形的性质得出，再根据，，求得，从而可求得，由此可判断⑤ ． 【详解】 解：如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵延长至点D，使， ∴垂直平分， ∴， 故① 正确； ∵为半圆O的直径， ∴为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，为半径， ∴， ∴， 故② 正确； 点C为半圆O上一点， 当点C靠近B，则很小， 接近半圆，显然不满足2倍关系， 故③ 错误； ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故④ 正确． ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故⑤ 错误， 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质综合，半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 30．【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴；     （3）     （4）或．      【分析】 （1）根据特殊三角函数值反推出，结合，判断出是等腰直角三角形，用勾股定理算出； （2）根据相似三角形的判定定理进行证明； （3）分两类讨论，当时，作，垂足为D，容易证出，利用全等三角形的性质求出的长；当时，可证明此时无法满足，故舍去； （4）分两类讨论，当点在上时，结合（2）的，以及相似三角形的面积比与相似比的关系，求出的长；当点在上时，容易证出，使用相似三角形的性质计算出的长． (1) 小问详解： 解：∵，且为锐角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当时，如图，作，垂足为D， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ∴， ∴； ② 当时，如图，作，垂足为F， 与① 同理可得，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ，与题干矛盾，故舍去； 综上所述，； (4) 小问详解： 解： ① 当点在边上时，如图，作，垂足为F， 当时，则， 由（2）可知，， ∴， 由（3）可知，，， ∴， 在直角中，， ∴； 当时， 同理，，， ∴， ∴， ∵，无法构成三角形，故舍去； ② 当点在边上时， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 同理，， ， ∴， ∵，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 31．【答案】（1）12     （2）12     （3）     （4）1或      【分析】 （1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，设于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分两种情况：① 当点、在直线上时，② 当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． (1) 小问详解： 解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：作于点H， ∵以，为邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； (3) 小问详解： 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：① 当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ② 当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 32．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）存在，或或      【分析】 （1）先解方程可得，，证明，，进一步可得答案； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，交于点，交于点，逐个分析，即可解答． （4）如图，当在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形，可得△为等边三角形，可得，进一步结合平移可得：或或，如图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去． (1) 小问详解： 解：（1）， 解得：，， ，，而， ， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：当点和点重合时， ， 依题意得：， 则，， 即， 解得． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 此时，则点与点重合， 分三种情况讨论： ①当时，如下图， ， ， ； ②当时，如下图，交于点， ， ， ， ， ； ③当时，如下图，交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ； 综上所述， ． (4) 小问详解： 解：在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或；理由如下： 在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形， △为等腰三角形， ， △为等边三角形， ，， ， ， 如下图， ∴， ， 则如图所示，皆为所求， 即左移2个单位，即右移2个单位，与关于对称， 或或， 如下图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去， 综上所述，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了勾股定理，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 考点03 应用举例 1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 7．A 8．【答案】（1）3.8m     （2），能安全使用      【分析】 （1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． (1) 小问详解： 解：∵，当时，取最大值， 在中，， （米， 梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米； (2) 小问详解： 解：在中，， ， ， ∵， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 9．【答案】建筑的高度约为599米 【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果． 【详解】 解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，； 在中，， ∴； 答：建筑的高度约为599米． 10．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】 解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 根据等腰三角形的三线合一性质，结合正弦函数的应用解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵，点处到地面的距离为， ∴于点D， ∵， ∴ 答：点到地面的距离为． 12．【答案】日塔的高度约为 【分析】 此题考查了解直角三角形的应用．延长，交的延长线于，则，求得，由，求得，据此求解即可． 【详解】 解：如图，延长，交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：日塔的高度约为． 13．【答案】（1）米；（2）点距水平地面的高度为15米；楼房的高约为61米 【分析】 （1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出，进而即可求解； （2）过点作，垂足为，在中，，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB＝AG＋BG，求出AB的值． 【详解】 解：（1）过点作，垂足分别为， 在中，∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米； （2）过点作，垂足为，则， ∵在中，， ∴， 由（1）得：米，米，∴米， ∴（米）， 答：点距水平地面的高度为15米；楼房的高约为61米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 14．【答案】长尾夹最大夹纸厚度约为 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长，作于点，则，只要求出的长就可求出的长，由得，则，其中，，所以可求出的长． 【详解】 解：当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度， 这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长． 如图，作于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 这个长尾夹最大夹纸厚度约为． 15．【答案】水平方向增加的距离长为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离长为． 16．【答案】旗杆的高度约为 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，得到，解求出的长，再解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ． 在中，，， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 17．【答案】米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，作于，根据正切的定义求出的长，结合图形计算即可． 【详解】 如图，作于，则四边形为矩形， 米， 在中， ， 则， 米， 答：这棵树的高度约为米． 18．【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为，分别解，，求出，的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】 解：过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 在中，， ． ，，． ． ． ∴点到的高度为． ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 19．【答案】任务1：   任务2：     任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】 任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机． 20．【答案】14.3米 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E， 在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8， 故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3， 答：旗杆的高度为14.3米． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．【答案】这个塔楼的高度约为米 【分析】 本题考查解直角三角形的应用．在中，，代入数据计算求得，然后利用求解即可． 【详解】 解：在中，， ， ， （米）． 答：这个塔楼的高度约为米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（       ）m． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（       ） A.  B.  C. 3 D.  7．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在中，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（        ）. A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是(     ) A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）的值为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）cos60°的值等于　　　　　． 14．（25-26学年九上·吉林长春·期中）计算　　　　　　　　　　. 15．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）求值：． 16．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）计算：． 17．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）计算：． 18．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）计算：． 19．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）计算：　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）计算： （1） （2）． 21．（25-26学年九上·吉林长春·期末）计算：　　　　　　． 22．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）计算的值等于　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 24．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）计算：． 25．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使得． 26．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 27．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在平行四边形中，M为中点，，，，动点P从点M出发，沿M－B－A以每秒1个单位的速度向终点A运动．连接，过点P作，且，连接，点A和点Q始终在直线的同侧．设运动的时间为t秒．（） （1）当点P沿M－B－A运动时，求的长（用含t的代数式表示）． （2）当点Q落在边上时，求t的值． （3）连接，当与平行四边形的边平行时，直接写出t的值． 28．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使； （2）在图②中的线段上找一点，连接，使； （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 29．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E均在格点上．由勾股定理易知，，，． （1）求证：； （2）             ． 31．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为　　　　　　． 32．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图①，在矩形中，，，点在边上，且．动点P从点E出发，沿折线运动，作，交边或边于点，连结． （1）当点P和点B重合时，线段的长为             ； （2）当点Q和点重合时，求； （3）当点P在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； 33．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）计算：． 34．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 35．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留必要的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，以为对角线画一个四边形，使其只是中心对称图形； （2）如图②，在线段上找一点，使； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 36．（25-26学年九上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．    （1）在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画，使； （3）在图③中以线段为边画，使面积为3个平方单位． 37．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． （1）求m、n的值； （2）设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． （3）设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 38．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，四边形的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中的四边形内确定一点，连结、，使为等腰直角三角形； （2）在图②中的边确定一点，连结，使； （3）在图③中的边确定一点，连结，使将四边形的面积分为两部分． 39．（25-26学年九上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 40．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线过点，点A、B是此抛物线上不重合的两个动点，其横坐标分别为、．点的横坐标为，且点的纵坐标与点的纵坐标相等．以、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）作直线，求证：直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变． （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当时，设的边与直线的两个交点分别为E、F．当的边与此抛物线有交点时（的顶点除外），设交点为．连结、，当的面积是面积的时，直接写出此时的值． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（             ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 3．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）（多选）我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“三角形”．下列各组数据中，能作为一个“三角形”三边长的一组有（       ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，2， 4．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，在中，，平分交边于点D，在上取点O，使经过点A、点D，与交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的长是______． 5．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． （1）求证：； （2）的值为          ． 6．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 7．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接、以为斜边作等腰直角，使点R与点C在直线的同侧． （1）求和的长； （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，直接写出的长． 8．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 9．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在中，，点D为边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的值． 11．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点_____，点_____， （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求此时的值． （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值． ②当时，直接写出的取值范围为_____． （4）点是线段上异于，的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标_____． 12．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 13．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 14．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长为______． （2）当时，求的值． （3）求到的距离，并直接写出线段的长为______． （4）当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 15．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，，．点是边的中点，动点在边上且与点不重合，作射线，使，交边或边于点． （1）______，的长为______； （2）当时，求的面积； （3）连结．若，直接写出的长． 16．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点为上的一点（不与重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结． （1）的长为___________； （2）当是等腰三角形时，求的面积； （3）作点关于边的对称点，连结，当与的一边垂直时，请直接写出的长． 17．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容． 例：如图，在中，，．求证：． 证明：作斜边上的中线，则…… 请你结合图①，将证明过程补充完整． 【结论应用】如图②，在中，，，D是的中点．过点D作交AC于点E．则线段与有怎样的数量关系，请说明理由． 【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到和．其中，．．点E为的中点，过点E作于点F．若．则的长为               （直接写出结果） 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）【问题背景】（1）如图①，，连接、，求证：． 【问题探究】（2）如图②，，，，连接、，若的延长线经过点，则______；______． 【拓展应用】（3）如图③，在和中，，，与交于点，点在边上．若，，则的长为______． 19．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 20．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 21．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在中，，，，是边上的一点，（点不与点、重合），在线段上取中点，以为边作正方形，使边和点在直线的同侧． （1）求的值． （2）当的值最小时，求正方形与重叠部分的面积为_____ （3）当点落在边上时，求的长； （4）若线段将正方形的面积分为两部分时直接写出的长为_____． 22．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当时，求线段的长； （3）当点、同时在内部时，求的取值范围； （4）当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 23．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是边上的一点，连接，作点关于的对称点，连结． （1）线段的长为_____，的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）当点落在边上时，求的周长； （3）当时，请在备用图中补全这个图，并直接写出此时的长． 24．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是　　　　　　． 25．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图中作出边上的高； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 26．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图①，在中，，动点从点出发，沿的线路以每秒1个单位长度匀速向终点运动，当点不与的顶点重合时，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结．设点的运动时间是(s)，解答下列问题： （1）__________，__________． （2）当的面积是的面积的8倍时，求t的值． （3）当点在边上时，如图②，作于点．求证：． （4）当点到的距离等于点到的距离时，直接写出的值． 27．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）的值为___________． （2）当点与点重合时，求的长． （3）点在边上，当是直角三角形时，求的值． （4）点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 28．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在中，．P，Q两点同时从B出发，点P沿边向终点A运动；点Q沿边向终点C运动，速度均为．以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为x秒． （1） ________； （2）当点M落在边上时，x=_________s； （3）设平行四边形与重合部分图形的面积为y，求y与x之间的函数关系式． 29．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是　　　　　　． 30．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 31．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 32．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． （1）求点 A 的坐标； （2）当点 Q与点D 重合时，求x的值； （3）求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； （4）在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）人行天桥的示意图如图所示，若斜道长为30米，，则高的长为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（     ）． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 4．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024-2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．    （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 9．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 10．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为　　　　　　　　　　　（结果精确到．参考数据：，）． 11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 12．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 13．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度．如图，楼房后有一假山，其斜坡坡比为1：，山坡坡面上点处有一休息亭，在此处测得楼顶的仰角为45°，假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米． （1）求点距水平地面的高度； （2）求楼房的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）． 14．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，求这个长尾夹最大夹纸厚度．（结果精确到，参考数据：，，） 15．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 16．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 17．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 18．（25-26学年九上·吉林长春·期末）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 19．（25-26学年九上·吉林延边·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 20．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 21．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，为了测量消防训练塔楼的高度，在离该塔楼底部8米的处，放置一台高1.5米的测角仪，测得塔楼顶端的仰角，点在边上．求这个塔楼的高度．（精确到0.1米）【参考数据：，，】 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·吉林长春·期末）在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】 本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 2．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B．已知，则这名滑雪运动员的高度下降了（       ）m． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据三角函数可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：这名滑雪运动员的高度下降了米； 故选A． 【点睛】 本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键． 3．（25-26学年九上·吉林长春·期中）若，则锐角的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】 解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】 解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】 解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 6．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键． 根据题意设，由含30度角的直角三角形的性质得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】 解：在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴，则， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年九上·吉林长春·期中）在中，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正弦的定义，在直角三角形中，，为斜边，定义为的对边与斜边的比值，即． 【详解】 解：， ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（        ）. A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】 解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故． 故选A 【点睛】考核知识点：由正弦求边.理解正弦定义是关键. 10．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，利用正切函数的定义求解可得． 【详解】 如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， 则tan∠BAC＝＝， 故选C． 【点睛】 本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切． 11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．如图：作于点D，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦函数的定义求解即可． 【详解】 解：如图：作于点D， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，得的值为，然后进行乘法运算，即可作答． 【详解】 解：依题意， ∴， 故答案为：1 13．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）cos60°的值等于　　　　　． 【答案】.5 【分析】 根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】 解：根据特殊角的三角函数值可知， cos60°的值为， 故答案为． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 14．（25-26学年九上·吉林长春·期中）计算　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 根据特殊角的三角函数值作答． 【详解】 解： 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 15．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）求值：． 【答案】3 【分析】 本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】 解： ． 16．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握运算法则以及熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】 解：， ， ， ． 17．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）计算：． 【答案】． 【分析】 本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解： ． 18．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂的计算是关键． 先开方，计算特殊角的三角函数值，零次幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】 解：． 19．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）计算：　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查特殊三角函数的计算，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值进行计算即可得到最终的结果． 【详解】 解：原式 ； 故答案为：． 20．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）计算： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 21．（25-26学年九上·吉林长春·期末）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．先求出特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）计算的值等于　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解． 【详解】 解：， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）原式先利用二次根式的性质化简，再合并即可得到结果； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 此题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）计算：． 【答案】1 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】 解： ． 25．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连接，使得； （2）在图②中的边上确定一点，连接，使得； （3）在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】（1）如图：      （2）如图：      （3）如图： 【分析】 本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． (1) 小问详解： 解：如图① 所示，则， 此时． (2) 小问详解： 解：如图② 所示， ，． ． (3) 小问详解： 解：如图③ 所示， ，， ． ． 26．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中画，使； （2）在图②中画，使； （3）在图③中画，使． 【答案】（1） 即为所求：      （2） 即为所求：      （3） 即为所求： 【分析】 本题考查锐角三角函数中正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）要使，则的对边要满足且即可； （2）要使，则的对边要满足且即可； （3）要使，则的对边要满足且即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 27．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）如图，在平行四边形中，M为中点，，，，动点P从点M出发，沿M－B－A以每秒1个单位的速度向终点A运动．连接，过点P作，且，连接，点A和点Q始终在直线的同侧．设运动的时间为t秒．（） （1）当点P沿M－B－A运动时，求的长（用含t的代数式表示）． （2）当点Q落在边上时，求t的值． （3）连接，当与平行四边形的边平行时，直接写出t的值． 【答案】（1） ；     （2）；     （3）t的值为2或或8．      【分析】 （1）根据点P的运动路线分点P在上和在上两种情况分别用含t的代数式表示出的长即可； （2）根据在直角三角形中构建边角关系得到关于t的等式即可求出t值； （3）分点Q在上，点Q在延长线上和点Q在延长线上三种情况进行讨论分别求出t值即可． (1) 小问详解： 解：∵，M是中点， ∴， ∵点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t， 当点P在线段上运动时，， ∴， 当点P在线段上运动时，， ∴， 综上， ； (2) 小问详解： 解：如图1，当Q在边上时， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 由题意可知，当点Q在直线或直线上时，与平行四边形的边平行， 分三种情况：① 当点Q在线段上时，由（2）可得； ② 当点Q在延长线上时，如图2， 过A作于N， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：； ③ 当点Q在延长线上时，如图3， ∵，， ∴， 在，由勾股定理得：， ∴ ， 解得：或（舍去）， 综上所述，当与平行四边形的边平行时，t的值为2或或8． 【点睛】 本题是四边形综合题，主要考查平行四边形的性质，锐角三角函数，勾股定理以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键． 28．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使； （2）在图②中的线段上找一点，连接，使； （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图，点D即为所求．      （2） 如图，点E即为所求．      （3） 如图，点F即为所求． 【分析】 本题是格点作图题，考查了等腰三角形的判定，矩形的性质以及角的正切值等知识点，根据要求正确作图是解题的关键． （1）取，构造等腰三角形，点D即为所求； （2）构造矩形，运用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到，点E即为所求； （3）先取格点D，得到，再延长交于点F，则，点F即为所求． (1) 小问详解： 解：∵， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作矩形，连接与交于点E，则点E即为所求． ∵矩形，连接与交于点E， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，取格点D，则，延长交于点F， 则． 29．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E均在格点上．由勾股定理易知，，，． （1）求证：； （2）             ． 【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴，，， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，求角的正切值，勾股定理，熟知相似三角形的判定定理和锐角三角函数是解题的关键． （1）可证明，据此可证明结论； （2）利用割补法求出的面积，过点B作于点F，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正切的定义求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由网格的特点可知， 如图所示，过点B作于点F， 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】 解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 32．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图①，在矩形中，，，点在边上，且．动点P从点E出发，沿折线运动，作，交边或边于点，连结． （1）当点P和点B重合时，线段的长为             ； （2）当点Q和点重合时，求； （3）当点P在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； 【答案】（1）     （2）     （3） 解：如图所示，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形．      【分析】 （1）连接，根据题意得出四边形是矩形，四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解； （2）证明，进而可得； （3）过点作于点，可得四边形是矩形，证明，进而得出是等腰直角三角形． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ， 在中，， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图所示， ， ， ， ， ， ， ． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，求正切，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 33．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简、零指数幂的运算以及特殊角的三角函数值，熟练掌握这些知识点的运算法则是解题的关键． 本题需要分别对二次根式化简、零指数幂运算、特殊角的三角函数值进行计算，然后再合并同类二次根式． 【详解】 解： ． 34．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为______． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若，． 探究一：①若矩形绕点顺时针旋转，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点逆时针旋转，边与边交于点，连接，当时，如图③．请直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形     （2）探究一：；探究二：      【分析】 （）正确，可得，，进而可得，据此即可求解； （）探究一：证明可得，又由三线合一可得，得到，在利用勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解； 探究二：由补角性质可得，即可得，进而由平行线的性质得到，即到，得到，即得到，得到，进而由平行线的性质得到，即得，最后求出即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形和是两个完全相同的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：探究一：∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； 探究二：∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形函数，旋转的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 35．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留必要的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，以为对角线画一个四边形，使其只是中心对称图形； （2）如图②，在线段上找一点，使； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 【答案】（1） 如图①所示，即为所求．      （2）如图②所示，点即为所求．     （3）如图③所示，点即为所求．      【分析】 本题为网格作图问题，考查了平行四边形的中心对称性，相似三角形的判定与性质，求角的正切函数等知识﹒ （1）作平行四边形即可； （2）作，连接交于点E，问题得解； （3）作，使得，问题得解﹒ (1) 小问详解： 解：证明：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形只是中心对称图形； (2) 小问详解： 解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：证明：在中，﹒ 36．（25-26学年九上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．    （1）在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画，使； （3）在图③中以线段为边画，使面积为3个平方单位． 【答案】（1） 如图所示， ；     （2） 如图所示， ；     （3） 如图所示， ．      【分析】 本题考查了格点作图，解直角三角形的应用，相似三角形的应用． （1）构造的等腰直角三角形即可； （2）在（1）的基础上，与格线交于点，即为所作；得到，推出，即； （3）在（1）的基础上，取格点M、N，连接交于点，则即为所作；因为，由得，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 37．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点． （1）求m、n的值； （2）设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标． （3）设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标． 【答案】（1），     （2）或     （3）      【分析】 （1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值； （2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标； （3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：把点A、B的坐标分别代入中，得： ， 解得： ， 即，； (2) 小问详解： 解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由A、B的坐标知，，，， ∴，即， ∴， 当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为； 当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； (3) 小问详解： 解：由（1）知，直线解析式为：， 上式中，令，得， 则，； 因点Q在直线上，故设点， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点Q的坐标为． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点． 38．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，四边形的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图①中的四边形内确定一点，连结、，使为等腰直角三角形； （2）在图②中的边确定一点，连结，使； （3）在图③中的边确定一点，连结，使将四边形的面积分为两部分． 【答案】（1） 如下图所示，即为所求，      （2） 如下图所示，点即为所求，      （3） 如下图所示，点即为所求， 【分析】 (1) 小问详解： 解：作线段的垂直平分线，垂直平分线经过格点， 连接、得到，即为所求， (2) 小问详解： 解：过的中点作于点， 则有，， 可得：； (3) 小问详解： 解：连接点与的中点， 则有， 把分成两部分． 39．（25-26学年九上·吉林长春·期中）综合与实践：如图①，这个图案是三世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，“受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图②，直线上从左至右依次有、、三点，，，，． 【观察感知】通过观察图②，可以得出与的数量关系为_____． 【类比迁移】如图③．在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点，连结，交于点． （）求证：； （）的值为_____． 【拓展延伸】在【类比迁移】的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长． 【答案】【观察感知】； 【类比迁移】（）证明：由题可知，， ∴， 由旋转可知，， 在和中， ， ∴； （）； 【拓展延伸】或 【分析】 观察感知：证明即可求解； 类比迁移：（）由得，由旋转得，进而根据判定定理“”即可求证；（）过作于点，由得，，，即得，即得到，设，则，由得，得到，即得到，解得，即得，再根据即可求解； 拓展延伸：分当点在左侧和点在右侧两种情况，分别画出图形，利用锐角三角函数的定义解答即可求解． 【详解】 解：观察感知：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 类比迁移（）略 （）解：如图，过作于点， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：当点在左侧时，过作于点，如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在右侧时，过作的延长线于点，如图， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 40．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线过点，点A、B是此抛物线上不重合的两个动点，其横坐标分别为、．点的横坐标为，且点的纵坐标与点的纵坐标相等．以、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）作直线，求证：直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变． （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当时，设的边与直线的两个交点分别为E、F．当的边与此抛物线有交点时（的顶点除外），设交点为．连结、，当的面积是面积的时，直接写出此时的值． 【答案】（1）     （2） 证明：代入，则， 代入，则， ∴，， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点， 则，， ∴，， ∴， ∴的大小不变， ∵轴， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小等于的大小， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变．     （3）或或     （4）或      【分析】 （1）代入到，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点，则有，，再通过计算说明是定值即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质求出，进而推出是菱形，再结合二次函数的增减性找出临界点，结合题意即可得到的取值范围； （4）分2种情况讨论：① 点在边上；② 点在边上，根据面积公式得到，再利用待定系数法求出直线和的表达式，结合一次函数的性质列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：代入到，得， 解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由题意得，，，， 设点的坐标为， ∵， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴点与点关于直线对称， 当点与点重合时，点恰好在抛物线上，此时， 解得； 当点与点重合时，此时， 解得； 当点与点重合时，此时； 当线段经过点时， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为， 代入得，， 解得（舍去），； ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小， ∴的取值范围为或或； (4) 小问详解： 解：① 当点在边上时， 如图，连接、， 由（3）得，是菱形，直线的表达式为， ∴， ∴点到的距离为， 由菱形的对称性得，， 由（3）得，，，，， ∴，， ∴， 设点到直线的距离为， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， 代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ② 当点在边上时， 同理可得，， 设直线的表达式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ∴综上所述，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、求角的正切值、平行四边形的性质、菱形的性质与判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于二次函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点旋转到的位置．已知米，栏杆的旋转角，则旋转后点到点的水平距离为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题主要考查解直角三角形，旋转的性质 ；根据旋转的性质得到，，得到，即可求出． 【详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴米； 故选：B． 2．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔为海里的点处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向处，那么海轮航行的距离的长是（             ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【分析】 首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=50°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=10cos50°海里． 【详解】    解：如图，由题意可知∠NPA=50°，AP=10海里，∠ABP=90°． ∵AB∥NP， ∴∠A=∠NPA=50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=50°，AP=10海里， ∴AB=AP•cos∠A=10cos50°海里． 故选C． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义． 3．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）（多选）我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“三角形”．下列各组数据中，能作为一个“三角形”三边长的一组有（       ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，2， 【答案】BC 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，直角三角形的两个锐角互余；首先验证各组边长是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的选项；对于能构成三角形的选项，利用三角函数的知识计算各角大小，判断是否存在一个角是另一个角的两倍的关系，同时注意角度和边长的对应关系． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，该三角形为等腰直角三角形，三个角分别是的直角三角形，其中，，符合“三角形”的定义，符合题意； C、，该三角形为直角三角形，最小的角的正弦为，则最小的角为， 则三个角分别是，其中，符合“三角形”的定义，符合题意． D、，是直角三角形，但是不满足某一个内角是另一个内角的2倍，不符合题意； 故选：BC． 4．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，在中，，平分交边于点D，在上取点O，使经过点A、点D，与交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的长是______． 【答案】（1） 证明： ， ． 平分交边于点D， ， ， ． ， ， ． 为半径， 是的切线；     （2）3      【分析】 本题考查了圆的基本性质，切线的判定，等边三角形，角平分线的性质，平行线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，得到，根据角平分线的性质得到，等量代换得到，所以推得，利用平行线的性质即可得到结论； （2）由含的直角三角形得到，设，则，由 可求得x的值，根据，，可推得是等边三角形，所以可求得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接． ，， ． 设，则， ， ，， ， ． ，， 是等边三角形， ． 故填：3． 5．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）如图，在中，，，，点是的中点，点在上，，连接． （1）求证：； （2）的值为          ． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握相似判定条件和解直角三角形的方法是解题的关键． （1）先通过计算得到，加上为公共角，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据斜边上的中线性质得到，再根据相似三角形的性质得到，接着利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期末）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.    （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 7．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）如图，在中，，，，点P在边上，点Q在边上，且，连接、以为斜边作等腰直角，使点R与点C在直线的同侧． （1）求和的长； （2）当点P为中点时，求点Q到直线的距离； （3）当点R在的边上时，直接写出的长． 【答案】（1），，     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）利用角的正切值，求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点作于点，在中，求出，再在中，利用求出即可； （3）分两种情况讨论：① 当点在上时；② 当点在上时，由等腰直角三角形的性质可得，，再利用三角函数求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ， ， ； (2) 小问详解： 解：当点P为中点时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， 在中，， ， 点Q到直线的距离为； (3) 小问详解： 解：① 如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，，， ，， ， ， ； ② 如图，当点在上时， 等腰直角， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ， ， ； 综上可知，的长为或． 8．（25-26学年九上·吉林扶余部分学校·期末）如图，是的直径，是上一点，在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 此题考查的是切线的判定与性质、勾股定理、圆周角定理． （1）连接，根据圆周角定理求出，求出，根据切线判定推出即可； （2）在中，解直角三角形求得，，利用阴影部分的面积，列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， 阴影部分的面积． 9．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，已知等腰直角，， ，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值 【详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ， ∴， 当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， 当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，如图： 则 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键 10．（25-26学年九上·吉林延边·期中）如图，在中，，点D为边上一点，且满足． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定， （1）根据题意证明出，得到，进而得到； （2）作于H，首先求出，然后根据三角函数求出，，然后利用正切值的概念求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 作于H， ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 11．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． （1）直接写出坐标：点_____，点_____， （2）当点与点关于抛物线对称轴对称时，求此时的值． （3）若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值． ②当时，直接写出的取值范围为_____． （4）点是线段上异于，的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1），；     （2）1     （3）①，；②或或；     （4）或      【分析】 （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：当时，， 解得：， ∴点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 点P的坐标为，且 ，， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴该函数最高点为， 当时，点的坐标为， 此时； 当时，点的坐标为， ∵最高点为顶点， 此时； ②当时，图象的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， ∴当或时，； 综上所述，的取值范围为或或； (4) 小问详解： 解：点的坐标是或；理由如下： 如图，当时，则轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴为直线， 点的坐标是； 如图，当时，过点作轴， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 联立得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 当时，得：， ∴点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 12．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3） 如图，即为所求； 【分析】 （1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． (1) 小问详解： 解：由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； (2) 小问详解： 解：由图可知：， 则，， ∴； (3) 小问详解： 解：由作图可知：， ∴． 【点睛】 本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 13．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以，为边作矩形． （1）求的长； （2）当点在边上时，连接，求证：； （3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长； （4）当矩形是正方形时，直接写出的长． 【答案】（1）6     （2）证明：如图① ，连接DF;id: MathJax-Element-8879-Frame;role: presentation;style: font-size: 101%; position: relative;;tabindex: 0;">DF，CE;id: MathJax-Element-8880-Frame;role: presentation;style: font-size: 101%; position: relative;;tabindex: 0;">CE交于点O， ∵四边形为矩形， ∴点O为的中点， ∵点D为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴；     （3）或     （4）或      【分析】 （1）根据勾股定理求解即可； （2）连接，交于点O，根据矩形性质得点O为的中点，从而得到为的中位线，最后根据中位线的性质即可得平行； （3）分两种情况：当时，为边的高，利用D为的中点求出，根据矩形性质，再利用三角函数求即可；当时，为边的中线，剩余步骤相同； （4）分两种情况：当点E在上时，连，设，根据正方形性质和D为的中点可推，，在中利用三角函数求即可；当点E在上时，根据正方形性质和D为的中点可推，由（2）可知边的高为，代入即可． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当时，如图② ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴在中，； 当时，如图③ ， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴在中，， 综上，的长为或； (4) 小问详解： 解：当点E在上时，如图④ ，连，设， ∵矩形是正方形， ∴，，， ∴在中，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， 解得； 当点E在上时，如图⑤ ， ∵矩形是正方形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为边的高， 由（2）可知边的高为， ∴， ∴在中，； ∴的长为或． 【点睛】 本题考查了用勾股定理解三角形、矩形的性质、三角形中位线的性质、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算等知识，解题的关键是正确做图结合分类讨论思想运用各知识点． 14．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． （1）线段的长为______． （2）当时，求的值． （3）求到的距离，并直接写出线段的长为______． （4）当点到的距离是点到的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，求出，和的长，由，得出，代入并求解； （3）过点作，则为到的距离，设，由，得出，由得出，再根据，得出； （4）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． (1) 小问详解： 解：,， ； (2) 小问详解： 解：点的速度为2，点的速度为3，点的运动时间为， ，， ， 当时，， ， 又， ， ， ， 即， 解得． (3) 小问详解： 解：如图，过点作，则为到的距离，且， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ，即， 解得，即， ， ，解得． (4) 小问详解： 解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，，且，得， ， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 如图 当在内部时，即，，即， ， 如图 当在外部时，即， ， 又， 即， 由得，，， 当，即时， ，解得； 当，即时， ，解得， 两个解均在内，符合题意， 当点到的距离是点到的距离的2倍时，的值为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质判定，三角函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键． 15．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）如图，在中，，，．点是边的中点，动点在边上且与点不重合，作射线，使，交边或边于点． （1）______，的长为______； （2）当时，求的面积； （3）连结．若，直接写出的长． 【答案】（1），5     （2）14     （3）或      【分析】 本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）利用正切的定义式直接求得，利用勾股定理求得，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求得； （2）先作出图形，再利用正切求出，设，则，结合，求得，从而可求得与，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分点P在线段上、点P在线段上两种情况，分别画出图形求出的长． (1) 小问详解： 解：∵在中，，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， 故答案为：，5； (2) 小问详解： 解：过点Q作于点G， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， v∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 当点P在线段上时，如图， 在中，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段上时，如图， 同理可得：， ∴， 综上所述，的长为或． 16．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点为上的一点（不与重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结． （1）的长为___________； （2）当是等腰三角形时，求的面积； （3）作点关于边的对称点，连结，当与的一边垂直时，请直接写出的长． 【答案】（1）4；     （2）或     （3）或．      【分析】 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可； （2）分类讨论：① 当时，② 当时，逐个分析求解即可． （3）设直线交直线于点，作于点，作于点，分类讨论：① 当垂直于时，② 当垂直于时，③ 当垂直于时，此时点与点重合，逐个分析求解即可． (1) 小问详解： 解：在中， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：过点作于点H，如图 ． ， ① 当时， ， ， ， ． 即，得． ； ② 当时， ， ．即， 得． ． (3) 小问详解： 解：设直线交直线于点，作于点，作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ① 当垂直于时，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； ② 当垂直于时，过点作直线垂直于，交于点，交于点，如图 同理，四边形是正方形， 设，则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ③ 当垂直于时，此时点与点重合，不符合题意； 综上，的长为或． 17．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容． 例：如图，在中，，．求证：． 证明：作斜边上的中线，则…… 请你结合图①，将证明过程补充完整． 【结论应用】如图②，在中，，，D是的中点．过点D作交AC于点E．则线段与有怎样的数量关系，请说明理由． 【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到和．其中，．．点E为的中点，过点E作于点F．若．则的长为               （直接写出结果） 【答案】【教材呈现】 如图①，作斜边上的中线，则， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【结论应用】 ，理由如下： 如图②，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵D，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． ∴； 【拓展提升】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握直角三角形性质和平行四边形的判定与性质是解题关键． [教材呈现]根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得，再证明是等边三角形，即可证明结论； [结论应用]取的中点，连接，应用（1）的结论可得，再证明四边形是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案； [拓展提升]过点A作交的延长线于点G，应用（1）的结论可得出，再运用解直角三角形或勾股定理求出，最后应用三角形中位线定理即可求出． 【详解】 解：[教材呈现]略 [结论应用]略 [拓展提升]如图③，过点A作交的延长线于点G，连接，交于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）【问题背景】（1）如图①，，连接、，求证：． 【问题探究】（2）如图②，，，，连接、，若的延长线经过点，则______；______． 【拓展应用】（3）如图③，在和中，，，与交于点，点在边上．若，，则的长为______． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）；； （3） 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键： （1）根据相似三角形的性质，得到，，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，相似三角形的性质，得到，，进而得到，证明，进行求解即可； （3）先证，得出，再证，得到，解直角三角形，得到，进而得到，再证明，进行求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：；45； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∴，即， 在中，， ∴ ∴， ∵． ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、均在格点上． 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使点在格点上． （1）在图①中，是直角三角形，且； （2）在图②中，是钝角三角形，且； （3）在图③中，，且． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3） 如图，即为所求． 【分析】 （1）以为边作一个正方形即可； （2）在（1）基础上，连接对角线，找到中点即可； （3）点B向右五个单位即是点C． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查锐角三角函数，网格作图，平行线分线段成比例以及网格中三角形的高，灵活运用所学知识是解题关键． 20．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长； （2）根据等面积法即可解答； （3）如图2，证明，列比例式得：：：：，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答； （4）分两种情况：① 当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；② 当，在的两侧时，如图，同理可解答． (1) 小问详解： 解：如图1，， 菱形的边长为，面积为， ， ， 由勾股定理得： (2) 小问详解： 如图2，过点作于，过点作于， 由（1）可得：， ，， ， 即点到直线的距离为 故答案为：． (3) 小问详解： 如图2，，， ， ， 即：：：：， 如图，过点作于， 设，，， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即正方形的边长为 (4) 小问详解： 分两种情况： ① 当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， 由（3）知：设，，， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ② 当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点， 同理设，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键，并运用分类讨论的思想解决问题． 21．（25-26学年九上·吉林长春吉林大学附属中学·期中）如图，在中，，，，是边上的一点，（点不与点、重合），在线段上取中点，以为边作正方形，使边和点在直线的同侧． （1）求的值． （2）当的值最小时，求正方形与重叠部分的面积为_____ （3）当点落在边上时，求的长； （4）若线段将正方形的面积分为两部分时直接写出的长为_____． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据锐角三角函数解答即可； （2）当时，的值最小，再由，可得， ∴，再证明，可求出的长，即可求解； （3）作于点Q，则是等腰直角三角形，设，则，，再由勾股定理可得，再由，求出m的值，即可求解； （4）分两种情况讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为线段的中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ， ∴正方形与重叠部分的面积为； (3) 小问详解： 解：当点落在边上时，， 作于点Q，则是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：如图，连接， 在正方形中，， 当与相交时，设与相交点M， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点为线段的中点， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ， ， ∴， ∴； 当与相交时，设与相交点N，过点F作于点K， ∵线段将正方形的面积分为两部分， ∴， ∴， 此时点N为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ， ， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了三角形的相似，解直角三角形，解直角三角形等知识点．解题的关键是学会用分类要论的思想思考问题，属于压轴题． 22．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿以相同的速度运动，点、同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．连接，以为边作正方形，点与点在直线同侧．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当时，求线段的长； （3）当点、同时在内部时，求的取值范围； （4）当点在内部时，若点到直线的距离是点到直线的距离的3倍，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）或      【分析】 （1）根据即可列代数式； （2）由题意得，则，则根据得到，代入数据求解； （3）找出两个临界位置，当点在上时和点在边上时，分别求出此时对应的t值； （4）当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则，那么，过点作于点，同理，则，设，由，得到，可得方程，解得；当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点，由，得到，可得，而，则，设，同理可求，则得到方程，解得． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由题意得，则， 当时，如图： ∴， ∴， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在上时，如图： ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点在边上时，如图： 由（2）知， ∴当点、同时在内部时，； (4) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 当点在内部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，则 由题意得， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，同理， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 则， ∴， 解得； 当点在外部时，过点作的垂线，垂足为点，过点作的垂线，垂足为点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上：的值为或． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列代数式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点． 23．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是边上的一点，连接，作点关于的对称点，连结． （1）线段的长为_____，的值为_____，的值为_____，的值为_____； （2）当点落在边上时，求的周长； （3）当时，请在备用图中补全这个图，并直接写出此时的长． 【答案】（1）10，，，．     （2）12     （3）      【分析】 本题考查勾股定理，三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高与面积，掌握知识点是解题的关键． （1）求出， 根据三角函数的定义，即可解答； （2）推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点E，根据，求出，得到，继而推导出，则，即可解答． (1) 小问详解： 解：在中，，，， ∴， ， ，． 故答案为：10，，，． (2) 小问详解： 如图所示 由题意，得 ， ∴， ∴， ∴． (3) 小问详解： 如图所示，过点C作于点E， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 24．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，为的直径，点是的中点，交于点，是的切线，与的延长线交于点，，，下列结论：①；②；③；④的长为．其中正确的是　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 依次对每个结论进行分析，利用圆周角定理、相似三角形的判定、三角函数的定义、弧长公式等知识进行判断． 【详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴，结论① 正确． 由，得，即， ∴． ∵是直径， ∴， ∴在中，， ∴，结论② 正确． 连接交于点， ∵， ∴的半径， ∴， ∴是等边三角形，． ∵点是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴，故③ 正确． 由③ 知， ∴的长为．故④ 错误． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题主要考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式，熟练掌握这些知识并能综合运用是解题的关键． 25．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图中作出边上的高； （2）在图中作出边上的点，使得； （3）在图中作出边上的点，使得． 【答案】（1） 如图，高即为所求；      （2）如图，点即为所求；      （3）如图，点即为所求． 【分析】 （）取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）取格点，，连接，交于点，则，可得； （3）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得． (1) 小问详解： 根据格点作高的方法即可画出，高即为所求； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求； (3) 小问详解： 根据格点的特征可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴如图，点即为所求． 【点睛】 此题考查了作图——应用与设计作图、三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 26．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图①，在中，，动点从点出发，沿的线路以每秒1个单位长度匀速向终点运动，当点不与的顶点重合时，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结．设点的运动时间是(s)，解答下列问题： （1）__________，__________． （2）当的面积是的面积的8倍时，求t的值． （3）当点在边上时，如图②，作于点．求证：． （4）当点到的距离等于点到的距离时，直接写出的值． 【答案】（1），6     （2）     （3） 证明：根据旋转可得， 根据题意可得， ∴， 在和中 ， ∴．     （4）或      【分析】 （1）根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）根据（1）先求出，根据的面积是的面积的8倍，求出，分为两种情况：① 当动点在上时，如图：过点作，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，根据题意可得，求出，表示出，列出方程求解即可．② 当动点在上时，如图：过点作，同理求出，用表示出，列出方程求解即可． （2）根据旋转可得，根据题意可得，得出，即可证明． （4）根据点到的距离等于点到的距离，得出点在的角平分线上，分为① 当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，四边形是矩形，得出，根据题意可得，根据旋转可得，得是等边三角形，点E在边上，则，求出，，表示出，列出方程即可解答．② 当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，证明．得出，再证明．得出，再根据，列出方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：，6． (2) 小问详解： 解：根据（1）可得， ∴， ① 当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）． ② 当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 该方程无解． 综上，当的面积是的面积的8倍时，． (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：∵点到的距离等于点到的距离， ∴点在的角平分线上， 当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则，四边形是矩形， ∴， 根据题意可得， 根据旋转可得， ∴是等边三角形，点E在边上， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：． ② 当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则， ∴， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， 根据题意可得， ∴， 解得：． 综上，当点到的距离等于点到的距离时，或． 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 27．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）的值为___________． （2）当点与点重合时，求的长． （3）点在边上，当是直角三角形时，求的值． （4）点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】（1）     （2）     （3）或；     （4）的长为或或．      【分析】 （1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； (2) 小问详解： 解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， 由（1）得 ∴在中，， ∴； (3) 小问详解： 解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴， 则 ∴， ∵ ∴， ∴ 整理得 解得：， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， 综上，的值为或； (4) 小问详解： 解：① 点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ② 当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为或或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用以及数形结合思想；掌握这些知识是解题的关键． 28．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）如图，在中，．P，Q两点同时从B出发，点P沿边向终点A运动；点Q沿边向终点C运动，速度均为．以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为x秒． （1） ________； （2）当点M落在边上时，x=_________s； （3）设平行四边形与重合部分图形的面积为y，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）根据直角三角形角所对的边是斜边的一半可得，然后根据勾股定理即可解答； （2）设点P的运动时间为x秒，，；当点M落在边上时,然后根据平行四边形的性质列式求解即可； （3）分、、三种情况分别画出图形，然后再结合图形求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在中， ∴ ∴． (2) 小问详解： 解： 设点P的运动时间为x秒，， ∵平行四边形 ∴，,即 ∴， 当点M落在边上时, 当点M落在边上时 ∴ ∴，解得: ． (3) 小问详解： 解：当时，如图①， 作于D，则． ∴ 当时，如图②， 设与相交于点E，设与相交于点F． 作于D． 则, ∴． ∴． 当时， 如图③， 设与相交于点E． 作于D． 则， ∴ 综上所述： ． 【点睛】 本题主要考查了四边形综合、解直角三角形、平行四边形的性质、动点问题等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 29．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期末）如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 先根据直径所对的圆周角是直角，得出，再结合，得出垂直平分，从而可得，由此可判断①； 先根据直径的意义得出为的中点，再得出为的中点，从而可得为的中位线，于是就有，再根据切线的性质得出，从而可得，由此可判断②； 利用举反例可说明③ 错误； 先根据切线的性质得出，从而可得，再得出，然后根据等边对等角得出，从而可得，于是有，根据等边对等角得出，从而可得，进而得出，从而根据，可证明，由此可判断④ ； 先根据相似三角形的性质得出，再根据，，求得，从而可求得，由此可判断⑤ ． 【详解】 解：如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵延长至点D，使， ∴垂直平分， ∴， 故① 正确； ∵为半圆O的直径， ∴为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，为半径， ∴， ∴， 故② 正确； 点C为半圆O上一点， 当点C靠近B，则很小， 接近半圆，显然不满足2倍关系， 故③ 错误； ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故④ 正确． ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故⑤ 错误， 综上所述，正确的有① ② ④ ， 故答案为：① ② ④ ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质综合，半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 30．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，在中，，，， 在边上，且．点是边上一点，作，使点落在折线上，且点与点在的同侧． （1）线段的长为________； （2）当点在边上时，求证：； （3）当点在边上时，连结，若 是直角三角形，则的长为________； （4）当、将分成一个四边形和两个三角形时，若两个三角形的面积比等于，直接写出的长． 【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴；     （3）     （4）或．      【分析】 （1）根据特殊三角函数值反推出，结合，判断出是等腰直角三角形，用勾股定理算出； （2）根据相似三角形的判定定理进行证明； （3）分两类讨论，当时，作，垂足为D，容易证出，利用全等三角形的性质求出的长；当时，可证明此时无法满足，故舍去； （4）分两类讨论，当点在上时，结合（2）的，以及相似三角形的面积比与相似比的关系，求出的长；当点在上时，容易证出，使用相似三角形的性质计算出的长． (1) 小问详解： 解：∵，且为锐角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由勾股定理得，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当时，如图，作，垂足为D， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ∴， ∴； ② 当时，如图，作，垂足为F， 与① 同理可得，是等腰直角三角形，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ，与题干矛盾，故舍去； 综上所述，； (4) 小问详解： 解： ① 当点在边上时，如图，作，垂足为F， 当时，则， 由（2）可知，， ∴， 由（3）可知，，， ∴， 在直角中，， ∴； 当时， 同理，，， ∴， ∴， ∵，无法构成三角形，故舍去； ② 当点在边上时， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 同理，， ， ∴， ∵，与题设矛盾，故舍去； 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 31．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，已知菱形的边长为13，，于点E，P是边上的一点（点P不与点A和D重合），作射线，在射线上取点M，使，以，为邻边作． （1）______； （2）当点P为的中点时，求点到直线的距离； （3）当点B落在内部时，求的取值范围； （4）当A、B两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在的直线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1）12     （2）12     （3）     （4）1或      【分析】 （1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，设于点G，由为中点，，，得，进而可求，即点到直线的距离是12； （3）点落在上时，此时三点重合；点落在上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出的取值范围； （4）分两种情况：① 当点、在直线上时，② 当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． (1) 小问详解： 解∶∵，于点E， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； (2) 小问详解： 解：作于点H， ∵以，为邻边作， ∴， ∵于点E， ∴设于点G， ∵为中点，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即点到直线的距离是12； (3) 小问详解： 解：点落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点落在上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； (4) 小问详解： 解：① 当点、在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ∴， ， ， ； ② 当点在直线上时，如图所示， 作，交于， ， ， ， ， ； 综上所述，当、两个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时的长为1或． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 32．（25-26学年九上·吉林四平伊通满族自治县·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． （1）求点 A 的坐标； （2）当点 Q与点D 重合时，求x的值； （3）求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； （4）在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）存在，或或      【分析】 （1）先解方程可得，，证明，，进一步可得答案； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，交于点，交于点，逐个分析，即可解答． （4）如图，当在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形，可得△为等边三角形，可得，进一步结合平移可得：或或，如图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去． (1) 小问详解： 解：（1）， 解得：，， ，，而， ， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：当点和点重合时， ， 依题意得：， 则，， 即， 解得． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 此时，则点与点重合， 分三种情况讨论： ①当时，如下图， ， ， ； ②当时，如下图，交于点， ， ， ， ， ； ③当时，如下图，交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ； 综上所述， ． (4) 小问详解： 解：在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或；理由如下： 在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形， △为等腰三角形， ， △为等边三角形， ，， ， ， 如下图， ∴， ， 则如图所示，皆为所求， 即左移2个单位，即右移2个单位，与关于对称， 或或， 如下图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去， 综上所述，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了勾股定理，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·吉林长春汽车经济技术开发区·期末）人行天桥的示意图如图所示，若斜道长为30米，，则高的长为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 本题考查直角三角形中正弦函数的定义，正弦函数的定义为对边与斜边的比值． 在直角三角形中，根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】 解：由题意，在直角三角形中， 根据正弦函数的定义， 米． 故选：． 2．（25-26学年九上·吉林长春净月高新技术产业开发区·期末）图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】 解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·吉林长春德惠·期末）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A. 2.1 B. 1.9 C. 1.8 D. 1.6 【答案】C 【分析】 本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】 解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 4．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图是某河坝的横截面，若迎水坡的长度为17米，其坡角为，则坝高为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 本题考查了解三角形的应用-坡度坡角的问题，理解坡比的含义是解题关键，根据直角三角形的关系可得，代入即可求解． 【详解】 解：在中，迎水坡的长度为17米，其坡角为 ∴，即 故选：A ． 5．（25-26学年九上·吉林长春第八十七中学·期末）2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024-2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】 解：在中, （米）． 故选：A． 6．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】 解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年九上·吉林实验中学·期中）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【分析】 在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】 解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 8．（25-26学年九上·吉林长春九台区·期末）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．（参考数据：，，，，，，，，）如图，现有一架长4m的架子AB斜靠在一竖直的墙AO上．    （1）当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； （2）当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ 【答案】（1）3.8m     （2），能安全使用      【分析】 （1）根据的取值范围得出，当时，取得最大值，利用三角函数求出此时的值即可； （2）根据得出函数值，判断出的度数，再根据角度得出结论即可． (1) 小问详解： 解：∵，当时，取最大值， 在中，， （米， 梯子顶端与地面的距离的最大值为3.8米； (2) 小问详解： 解：在中，， ， ， ∵， 人能安全使用这架梯子． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． 9．（25-26学年九上·吉林吉林·期末）某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】建筑的高度约为599米 【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果． 【详解】 解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，； 在中，， ∴； 答：建筑的高度约为599米． 10．（25-26学年九上·吉林第二实验学校·期中）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为　　　　　　　　　　　（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】 解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】 根据等腰三角形的三线合一性质，结合正弦函数的应用解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】 解：∵，点处到地面的距离为， ∴于点D， ∵， ∴ 答：点到地面的距离为． 12．（25-26学年九上·吉林白山抚松县·期末）日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题；2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为；2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】日塔的高度约为 【分析】 此题考查了解直角三角形的应用．延长，交的延长线于，则，求得，由，求得，据此求解即可． 【详解】 解：如图，延长，交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：日塔的高度约为． 13．（25-26学年九上·吉林长春榆树·期末）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房的高度．如图，楼房后有一假山，其斜坡坡比为1：，山坡坡面上点处有一休息亭，在此处测得楼顶的仰角为45°，假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米． （1）求点距水平地面的高度； （2）求楼房的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）． 【答案】（1）米；（2）点距水平地面的高度为15米；楼房的高约为61米 【分析】 （1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出，进而即可求解； （2）过点作，垂足为，在中，，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB＝AG＋BG，求出AB的值． 【详解】 解：（1）过点作，垂足分别为， 在中，∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米； （2）过点作，垂足为，则， ∵在中，， ∴， 由（1）得：米，米，∴米， ∴（米）， 答：点距水平地面的高度为15米；楼房的高约为61米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 14．（25-26学年九上·吉林长春·期末）如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，求这个长尾夹最大夹纸厚度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】长尾夹最大夹纸厚度约为 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长，作于点，则，只要求出的长就可求出的长，由得，则，其中，，所以可求出的长． 【详解】 解：当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度， 这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长． 如图，作于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 这个长尾夹最大夹纸厚度约为． 15．（25-26学年九上·吉林四平双辽·期末）图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】水平方向增加的距离长为． 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用．在与中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ， ∴ ． 答：水平方向增加的距离长为． 16．（25-26学年九上·吉林长春朝阳区·期末）如图，小周利用测角仪，在教学楼三楼的点处，测得操场旗杆的顶端的仰角为，测得旗杆的底端的俯角为，已知点到地面的距离为，求旗杆的高度．（精确到）【参考数据：，，】 【答案】旗杆的高度约为 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，可证明四边形是矩形，得到，解求出的长，再解求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴ 在中，，， ． 在中，，， ∴， ∴， 答：旗杆的高度约为． 17．（25-26学年九上·吉林长春经开区·期末）如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，作于，根据正切的定义求出的长，结合图形计算即可． 【详解】 如图，作于，则四边形为矩形， 米， 在中， ， 则， 米， 答：这棵树的高度约为米． 18．（25-26学年九上·吉林长春·期末）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，求该机器人的最高点距地面的高度．（参考数据，，） 【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为，分别解，，求出，的长，进而求出最高点距地面的高度即可． 【详解】 解：过点，分别作，，垂足为H，，过点作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 在中，， ． ，，． ． ． ∴点到的高度为． ∵矩形底座的高为， ∴点到底面的高度约为． 19．（25-26学年九上·吉林延边·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】任务1：   任务2：     任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【分析】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】 任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机． 20．（25-26学年九上·吉林长春宽城区部分学校·期中）如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 【答案】14.3米 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E， 在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8， 故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3， 答：旗杆的高度为14.3米． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．（25-26学年九上·吉林长春·期中）如图，为了测量消防训练塔楼的高度，在离该塔楼底部8米的处，放置一台高1.5米的测角仪，测得塔楼顶端的仰角，点在边上．求这个塔楼的高度．（精确到0.1米）【参考数据：，，】 【答案】这个塔楼的高度约为米 【分析】 本题考查解直角三角形的应用．在中，，代入数据计算求得，然后利用求解即可． 【详解】 解：在中，， ， ， （米）． 答：这个塔楼的高度约为米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $