精品解析：四川成都市简阳市简阳联考2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026-2027学年上期中九年级数学学科 一．选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 8. 若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 方程的正根在与之间 D. 当时，随的增大而减小 12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（共6小题，没题4分，共24分） 13. 方程的解是________________． 14. 将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 15. 若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为___________ ． 16. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 17. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 18. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 三．解答题（每题8分，共32分） 19. 解方程： 20. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 四．解答题（每题10分，共20分） 23. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 24. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，________，________． （2）根据表中数据，请画出该函数的图象； （3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质； （4）探究与应用：①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是________，②结合图象，直接写出关于的不等式解集． 五．解答题（25题12分，26题14分，共26分） 25. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期中九年级数学学科 一．选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 2. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 3. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 5. 下列关于抛物线 的结论，正确的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴为直线 C. 当时， 函数有最小值为 D. 当时， y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，直接根据抛物线的图象和性质判断即可． 【详解】解：抛物线中， A.∵，∴开口方向向下，故选项A错误； B. 对称轴为直线，故选项B错误； C. 当时，函数有最大值为，故选项C错误； D. 当时， y随x的增大而减小，选项D正确， 故选：D． 6. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数，． ∴对称轴为直线，抛物线开口向上． ∵三点到对称轴的距离分别为，，，且． ∴． 9. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故选：C． 10. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象的增减性、与轴交点的符号，判断、是否前后一致． 【详解】解：A．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，说明，二者矛盾，故不符合题意； B．由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，直线与轴交于负半轴，，即，前后条件一致，故符合题意； C．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴右侧，，可得；一次函数从左上向右下倾斜，，二者矛盾，故不符合题意； D．由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得；一次函数从左下向右上倾斜，，二者矛盾，故不符合题意． 11. 已知二次函数中的与的部分对应值如下表： … … … … 则下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 方程的正根在与之间 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据确定二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点及根的区间，逐一分析选项即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴根据对称性确定对称轴为， ∴顶点坐标，抛物线开口向下， ∴是最大值， ∴抛物线开口向下，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点为，位于正半轴，不符合题意； 、根据表格可知：对称轴为，时，， ∴根据对称性，与时， ∴方程的正根在和之间，不符合题意； 、∵抛物线开口向下，对称轴， ∴当时，随的增大而减小，符合题意； 故选：． 12. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（　　）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案． 【详解】由抛物线的开口向上，可得a＞0，对称轴是x＝﹣1，可得a、b同号，即b＞0，抛物线与y轴交在y轴的负半轴，c＜0，因此abc＜0，故①不符合题意； 对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，因此②符合题意； 抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0），可知与x轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意； 由图象可知y＞0时，相应的x的取值范围为x＜﹣3或x＞1，因此④不符合题意； 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，因此当x＞0时，y随x的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意； 由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， ∵﹣4＜﹣2， ∴y1＞y2，（3，y3）l离对称轴远 因此y3＞y1，因此y3＞y1＞y2，因此⑥不符合题意； 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a、b、c的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题，没题4分，共24分） 13. 方程的解是________________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：移项得 ， 提取公因式得 ， ∴ 或 ， 解得 ，. 14. 将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 15. 若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为___________ ． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，先求出方程的解，然后再看看是否符合三角形的三边关系定理，进而确定三角形的第三条边，从而可求三角形的周长． 【详解】解：， ， 或， ， ①三角形的三边是5，7，2， ∵， ∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去； ②三角形的三边是5，7，8，此时符合三角形三边关系定理， ∴三角形的周长是， 故答案为：20． 16. 小明给发送消息：有没有这样一个数，它的平方减去它的3倍后再加上4，结果仍等于这个数？给出的答案是______． 【答案】2 【解析】 【分析】设这个数为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 即给出的答案是2． 17. 如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象即可得出时，直线在抛物线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线的交点为，， 从图象看，当时，直线在抛物线的上方，即． 18. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的解，则； ②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根； ③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解； ④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的有_____（填正确的序号）． 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性： ①通过代入求解； ②利用判别式即可； ③通过判别式得到，代入倒方程判别式可得； ④举反例说明不成立． 【详解】解：结论①，原方程 的倒方程为 ， 将 代入得 ， 解得 ， 故①正确； 结论②，当 时， 判别式 ， 两个方程均有两个不相等的实数根， 故②正确； 结论③， 原方程无解， ， 即 ， 倒方程判别式 ， 倒方程无解， 故③正确； 结论④， 举反例说明，当 时，原方程为， 若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：， 即， 原方程 的倒方程为 ，，， 倒方程为，是一元一次方程， 只有一个根， 故④错误． 故答案为①②③． 三．解答题（每题8分，共32分） 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：原方程可化为： 方程左边因式分解，得 ∴ 或 解得 ， 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． 20. 如图，某小区计划用的铁栅栏，在借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚，为了方便存车，在边上开了一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的车棚？ 【答案】当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设米，则米，根据围成车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米）； 当时，（米）； 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为的车棚． 21. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：方程中，，，， ∴． ∵无论取何值，， ∴， 即无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先得到一元二次方程的判别式，再由平方非负性判定即可得证； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，，整体代入已知等式解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程， ，， ∵， ∴， ∴，即，解得． 四．解答题（每题10分，共20分） 23. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 24. “类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 0 … 其中，________，________． （2）根据表中数据，请画出该函数的图象； （3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质； （4）探究与应用：①若关于的方程有四个实数根，则的取值范围是________，②结合图象，直接写出关于的不等式解集． 【答案】（1）1， （2） 解：依题意，该函数的图象如图所示， （3）性质一：函数图象关于轴对称；性质二：函数最小值为（答案不唯一） （4）①②当且时，． 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）通过函数解析式及表格内点坐标作图． （3）由图象对称性及图象最低点可得函数图象对称轴及函数最小值． （4）①用判断实数根的个数； ②用求出直线与函数图象交点，结合图象求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系． 【小问1详解】 解：把和分别代入， 得 解得， 故答案为：1，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，性质一：函数图象关于轴对称；性质二：函数最小值为（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：①结合上图，得出关于的方程有四个实数根，则的取值范围是； 故答案为：； ②且． 当时，令，解得，， 当时，令，解得（舍），， 直线与函数的图象交点横坐标为，0，5， 如图， 当且时，． 五．解答题（25题12分，26题14分，共26分） 25. 【综合与实践】 在复习一元二次方程时，张明同学整理、总结了3张资料卡片： [卡片1]根的判别式：． [卡片2]求根公式：． [卡片3]一元二次方程有两个相等的实数根，有时也可以理解为：只存在未知数的一个值满足方程． （1）结合[卡片1][卡片2]的内容，完成[任务1]： 设，是方程的两个实数根． 求证：，； （2）利用[任务1]中的结论，完成[任务2]： 设，是方程的两个实数根． ①若，则________；②若，则________； （3）根据以上内容，完成[任务3]： 有三个实数，，都满足关于x的方程，其中a，b为常数，且，．求证：，，中必有一个值为2． 【答案】（1）证明：对于方程， 由求根公式，得，， ， ． （2）① ②12 （3）证明：由原方程得：①，②， 两个方程的判别式分别为：，， ∵有三个不相等实数，，都满足关于的方程， ∴方程①，②中一定是：一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即，中必有一个大于0，一个等于0，比较，，显然， ，，即， ． 把分别代入方程①，②中， 得③，，即④， 设方程③的两根为，，方程④的根为，则 ，．（∵方程④的两根均为） 又， ，解得， ， 故，，中必有一个值为2． 【解析】 【分析】（1）依托求根公式写出方程两根表达式，通过整式相加、平方差分别计算两根和与两根积，完成韦达定理证明． （2）先用韦达定理表示两根和、两根积；① 对分式通分变形为，整体代值计算；② 将代入两根和关系式，先求单根，再利用两根之积求出． （3）去掉绝对值拆为两个一元二次方程，写出各自判别式； 由三不等实根推出：一方程、一方程，结合判定，用表示； 然后代入原方程配方得到重根表达式，结合韦达与三根之和列等式，算出重根等于2，完成求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是一元二次方程的两个实数根， 由（1）韦达定理可得：． ① 若： ② 若： ，代入， ，解得，， ． 【小问3详解】 略 26. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）求函数解析式和点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； （3）第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）面积的最大值为4，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $