专题01 集合与常用逻辑用语 15大题型72题（期中专项训练）高一数学上学期人教B版

专题01 集合与常用逻辑用语 基础·固本强基 题型1 集合的概念与元素的特性 题型2 集合的表示方法 题型3 元素与集合、集合与集合的关系（重点） 题型4 交、并、补的混合运算（重点） 题型5 充分条件与必要条件的判定（重点） 题型6 全称量词与存在量词及其否定 题型7 命题的概念与真假判断 提升·进阶突破 题型1 由集合关系求参数（重点） 题型2 由集合运算结果求参数（重点） 题型3 韦恩图与混合运算 题型4 由充分/必要条件求参数范围（重难点） 题型5 含量词命题的真假与参数问题（重点） 拔高·压轴破难 题型1 含参数的二次方程型集合关系（难点） 题型2 逻辑、集合与不等式的交汇（重点） 题型3 集合新定义问题（重难点） 基础·固本强基 题型1 集合的概念与元素的特性（共4题） 【模型】认"研究对象"——先问三件事：对象是否确定？是否重复？顺序要不要管。 【步骤】① 判断给定对象是否有明确的判定标准（确定性）；② 检查元素是否互不相同（互异性）；③ 元素相同、顺序不同的集合相等（无序性）。 【易错】求出参数后必须回代检验互异性：若两个元素相等，该参数要舍去。 1．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合，且，则的值为______. 2．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知集合，下列式子正确的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 3．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知集合，若，则______. 4．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知集合， ，． (1)求； (2)求，． 题型2 集合的表示方法（共4题） 【模型】列举法管"有限且能一一列出"，描述法管"代表元素"——先认清代表元素是数、是点，还是别的对象。 【步骤】① 认代表元素： 是数集， 是点集；② 按条件把元素一个个列出来或写出范围；③ 检验是否遗漏、重复。 【易错】（定义域）、（值域）、（抛物线上的点）是三个完全不同的集合。 5．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)设全集，，，则___. 6．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，则中元素的个数为（　　） A．7　　B．6　　C．5　　D．4 7．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)若，则（　　） A．　　B．1　　C．或1　　D．或2 8．(25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中)若，则的值为（　　） A．1或－1　　B．0　　C．－1　　D．2 题型3 元素与集合、集合与集合的关系（共5题） 【模型】 管的是"元素与集合"， 管的是"集合与集合"——先分清两边各是什么。 【步骤】① 认对象：单个元素用 ，整个集合用 ；② 数子集： 元集有 个子集、 个真子集、 个非空真子集；③ 遇空集： 是任何集合的子集、任何非空集合的真子集。 【易错】 与 、 不同： 没有元素； 的元素是 ； 的元素是空集本身。 9．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合，则的真子集的个数为（　　） A．3　　B．4　　C．7　　D．8 10．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知集合，，则的子集的个数为____． 11．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 12．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知集合，，则满足的实数的个数为（　　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 13．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)若，且，则实数a的值为___． 题型4 交、并、补的混合运算（共8题） 【模型】数轴三步：先化简每个集合（解不等式），再在数轴上画区间标端点，最后按 、、 读结果。 【步骤】① 化简：把每个集合都写成区间或列举形式；② 画图：数轴上标出各集合，端点注意虚实；③ 取交、取并或先取补再运算。 【易错】端点能否取到看等号；取补集前必须先明确全集； 不是 （后者是"交"）。 14．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知集合，，则（ ） A．　　B．　　C．　　D． 15．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)已知全集，集合，集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知全集，集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 17．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 18．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 19．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知全集，，则___. 20．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 21．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)设集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型5 充分条件与必要条件的判定（共4题） 【模型】判"谁推出谁"——p 是 q 的充分条件即 ；p 是 q 的必要条件即 。把命题翻译成集合包含关系判定最快。 【步骤】① 写出 p、q 的数学内容；② 分别判断 与 是否成立；③ 按"充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要"四种情形下结论。 【易错】"p 是 q 的充分条件"读作 ，主宾顺序别颠倒；判断时举正例只能证"成立"，举反例才能证"不成立"。 22．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知命题甲：(x-m)(y-n)＜0，命题乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的（　　） A．充要条件　　B．既不充分也不必要条件　　C．充分不必要条件　　D．必要不充分条件 23．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)已知，，则“”的一个充分不必要条件为（　） A．　　B．　　C．　　D． 24．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 25．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中·期中)“”是“”的什么条件（　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 题型6 全称量词命题与存在量词命题及其否定（共7题） 【模型】认量词——"所有、任意、任给"是全称量词 ；"存在、至少有一个、有些"是存在量词 。全称命题真假看"是否个个都成立"，存在命题看"能否找到一个"。 【步骤】① 找量词、圈范围；② 全称命题为真须对范围内每个元素验证；存在命题为真只需找到一个正例；③ 无量词的命题先补全量词再判断。 否定口诀——改量词、否结论： 变 、 变 ，再把结论否定。"，"的否定是"，"。 【步骤】① 找出量词与结论；② 量词取反（全称↔存在）；③ 结论取反（ 变 ，"都是"变"不都是"，""变""）；④ 检查范围保持不变。 【易错】判断全称命题为真必须证明，不能靠举几个正例；判断存在命题为假，等价于判断它的否定为真。只否结论不改量词是最常见丢分点；"都是"的否定是"不都是"而不是"都不是"；"，"的否定是"，"，不是"，"。 26．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)命题“，”的否定为（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 27．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知命题，则为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)命题“”的否定是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 29．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)“”的否定是（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 30．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)命题“”的否定为（　　） A．　　B． C．　　D． 31．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)命题“，”的否定是（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 32．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)命题“，使得”的否定形式是（　　） A．，使得　　B．，使得 C．，使得　　D．，使得 题型7 命题的概念与真假判断（共5题） 【模型】命题是"可以判断真假的陈述句"——疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；含变量但未定量词的语句，真假不能唯一确定，也不是命题。 【步骤】① 看句式：是否为陈述句；② 看真假：能否唯一判定真假；③ 含变量的语句（如 ""）没有量词约束，不是命题；补上量词后才成为命题。 【易错】""不是命题，但"，"是真命题——量词决定真假能否判定。 33．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若，则　 B．　 C．　 D．的最小值为2 34．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)（多选）下列命题中，真命题为（　　） A．空集是任何一个非空集合的真子集　 　B． C．不等式的解集是　　　D．，方程恰有一解 35．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)（多选）下列各命题中的假命题是（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 36．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 37．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)命题“，”是（　　） A．假命题，否定为“，”　　B．真命题，否定为“，” C．真命题，否定为“，”　　D．假命题，否定为“，” 提升·进阶突破 题型1 由集合关系求参数（共5题） 【模型】 意味着 的每个元素都在 里——而"每个都没有"的空集天然满足，所以第一件事永远是讨论 。 【步骤】① 先讨论 ；② 时把两端点与 的端点比较列不等式；③ 检验端点等号能否取到；④ 汇总各类情形。 【易错】""含相等、""不含相等；区间端点等号是否可取要单独验证，不能想当然。 38．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 39．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知集合，，，则_____. 40．(24-25高一上·上海·阶段检测)已知集合，，若，则实数m＝____ 41．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有_____名，最少有_____名． 42．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 题型2 由集合运算结果求参数（共4题） 【模型】把运算结果翻译成包含关系：，，。 【步骤】① 等价转化成包含关系；② 涉及描述法集合时先讨论空集；③ 列不等式（组）并检验端点；④ 列举法集合还要回代检验互异性。 【易错】由 得到的是 ，不是 ，方向千万别反。 43．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，集合， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 44．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 45．(25-26高一上·天津蓟州·阶段检测)已知集合，且，则实数的值为________ 46．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型3 韦恩图与混合运算（共4题） 【模型】把全集划成互不重叠的四块：、、、——韦恩图上标出每块元素，问题就变成了"填空"。 【步骤】① 画韦恩图，分出四块区域；② 把已知条件填进对应区域；③ 读出 、 及所需运算的结果。 【易错】，是"两圆之外"；别与 （只在 中）混淆。 47．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D．或 48．设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 49．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 50．全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 题型4 由充分/必要条件求参数范围（共8题） 【模型】把"充分/必要"翻译成集合包含——p 是 q 的充分条件 p 的解集 q 的解集；再借数轴对端点列不等式（组）。 【步骤】① 分别写出 p、q 对应的解集 、；② 按题意写成包含关系（"充分不必要"即 ）；③ 数轴上比较端点，列不等式组解出参数；④ 讨论端点能否相等。 【易错】"充分不必要"要求 是 的真子集：端点相等时两集合可能相等而变成充要，须单独检验舍去。 51．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)“，”的一个必要不充分条件是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 52．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 53．(25-26高一上·辽宁大连市·期中)已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件　　B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　D．既不充分也不必要条件 54．(23-24高一上·上海·阶段检测)已知的充分不必要条件是，则的取值范围是________ 55．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求正数的取值范围. 56．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)命题：实数满足（其中），命题：实数满足. (1)为真命题，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 57．(25-26高一上·辽宁营口市九师联盟·期中)已知集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 58．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)已知全集． (1)若，求； (2)确定实数的取值范围，使． 题型5 含量词命题的真假与参数问题（共4题） 【模型】全称命题为真=最值控制（ 的最小值压住界限）；存在命题为真=够得着（ 的最大值超过界限）。先分离参数，再求最值定界限。 【步骤】① 把"，"化成 ；② 把"，"化成 ；③ 用二次函数或配方法求出最值；④ 注意等号能否取到。 【易错】"， 为真"与"， 为真"的参数方向相反：前者看最小值、后者看最大值，等号取舍也要单独检验。 59．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)若“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A．　B．　C．　D． 60．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)若“”是假命题，则的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 61．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．或　　D．或 62．(25-26高一上·福建福州·期中)若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是________ 拔高·压轴破难 题型1 含参数的二次方程型集合关系（共4题） 【模型】二次方程的解集给定集合：先算 ，按"无实根（）、两相等实根（单元素）、两不等实根"分类，逐一检验根是否落在给定集合中。 【步骤】① ：，天然满足包含关系；② ：把重根代回给定集合检验；③ ：两根都要落在给定集合中，用韦达定理（和、积）整体求解或排除。 【易错】韦达定理给出的是"必要条件"，求出参数后必须把方程解出来回代检验。 63．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 64．已知集合，，若，则实数值集合为________ 65．已知集合，，且，则集合________ 66．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)已知，全集，集合，. (1)若，且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型2 逻辑、集合与不等式的交汇（共3题） 【模型】压轴题套路——条件绕弯时全部翻译成集合：命题真假解集关系，参数讨论端点取舍。记住三句话：真子集严、空集恒真、端点单独验。 【步骤】① 逐句把条件翻译成集合或不等式；② 数轴上标出各集合；③ 按包含关系列端点方程或不等式；④ 对空集、端点相等等特殊情形逐一验证作答。 【易错】最易丢分的两个点：一是"真子集"要求端点不能同时相等；二是"存在性命题为假"要转化为"全称否定为真"再解参数。 67．(25-26高一上·上海金山·期中)设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围________ 68．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知函数，集合，，若，则的取值范围为______. 69．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)设全集，集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 题型3 集合新定义问题（共3题） 【模型】新定义题的钥匙是把定义逐字翻译成集合语言—定义说什么就做什么，每一步都要回到定义本身。 【步骤】① 圈出定义中的关键词（如"且""不属于"）；② 用题目给的具体集合按定义算一遍；③ 归纳出一般结论或再构造一个满足定义的例子。 【易错】新定义运算与已有运算不一定满足交换律、结合律，不能凭感觉套用旧结论。 70．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)已知符号函数 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 71．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 72．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)有限集合，若，则称集合为“完美集合”． (1)判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集合”，求的取值范围； (3)已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 基础·固本强基 题型1 集合的概念与元素的特性 题型2 集合的表示方法 题型3 元素与集合、集合与集合的关系（重点） 题型4 交、并、补的混合运算（重点） 题型5 充分条件与必要条件的判定（重点） 题型6 全称量词与存在量词及其否定 题型7 命题的概念与真假判断 提升·进阶突破 题型1 由集合关系求参数（重点） 题型2 由集合运算结果求参数（重点） 题型3 韦恩图与混合运算 题型4 由充分/必要条件求参数范围（重难点） 题型5 含量词命题的真假与参数问题（重点） 拔高·压轴破难 题型1 含参数的二次方程型集合关系（难点） 题型2 逻辑、集合与不等式的交汇（重点） 题型3 集合新定义问题（重难点） 基础·固本强基 题型1 集合的概念与元素的特性（共4题） 【模型】认"研究对象"——先问三件事：对象是否确定？是否重复？顺序要不要管。 【步骤】① 判断给定对象是否有明确的判定标准（确定性）；② 检查元素是否互不相同（互异性）；③ 元素相同、顺序不同的集合相等（无序性）。 【易错】求出参数后必须回代检验互异性：若两个元素相等，该参数要舍去。 1．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合，且，则的值为______. 【答案】或 【详解】由题意得或，解得或或， 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 所以的值为或， 故答案为：或. 2．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知集合，下列式子正确的是（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】，. 故选：D. 3．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知集合，若，则______. 【答案】0 【详解】由，得，解得或. 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，经检验可知符合题意. 故答案为：0. 4．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知集合， ，． (1)求； (2)求，． 【详解】 （1）， ， 所以． （2）因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以. 题型2 集合的表示方法（共4题） 【模型】列举法管"有限且能一一列出"，描述法管"代表元素"——先认清代表元素是数、是点，还是别的对象。 【步骤】① 认代表元素： 是数集， 是点集；② 按条件把元素一个个列出来或写出范围；③ 检验是否遗漏、重复。 【易错】（定义域）、（值域）、（抛物线上的点）是三个完全不同的集合。 5．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)设全集，，，则___. 【答案】 【详解】因为全集，，，所以，. 故答案为：. 6．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，则中元素的个数为（　　） A．7　　B．6　　C．5　　D．4 【答案】C 【详解】因为 所以，又， 所以，结合，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 所以， 所以中元素的个数为， 故选：C. 7．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)若，则（　　） A．　　B．1　　C．或1　　D．或2 【答案】A 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 8．(25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中)若，则的值为（　　） A．1或－1　　B．0　　C．－1　　D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 若，则，不满足元素的互异性，排除； 若，则或1（舍去），，此时集合为，符合题意， 故选：C 题型3 元素与集合、集合与集合的关系（共5题） 【模型】 管的是"元素与集合"， 管的是"集合与集合"——先分清两边各是什么。 【步骤】① 认对象：单个元素用 ，整个集合用 ；② 数子集： 元集有 个子集、 个真子集、 个非空真子集；③ 遇空集： 是任何集合的子集、任何非空集合的真子集。 【易错】 与 、 不同： 没有元素； 的元素是 ； 的元素是空集本身。 9．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合，则的真子集的个数为（　　） A．3　　B．4　　C．7　　D．8 【答案】C 【详解】依题意可得，则的真子集的个数为. 故选：C 10．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)已知集合，，则的子集的个数为____． 【答案】4 【详解】由，解得，则， 所以的子集的个数为. 故答案为：4. 11．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 所以，，ACD选项错误，B选项正确. 故选：B 12．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知集合，，则满足的实数的个数为（　　） A．0　　B．1　　C．2　　D．3 【答案】A 【详解】若，则，此时，不满足元素的互异性； 若，则，不成立； 若，则，解得或（舍去）， 当时，，不满足元素的互异性， 所以不存在实数，使得. 故选：A. 13．(25-26高一上·辽宁朝阳市·期中)若，且，则实数a的值为___． 【答案】0或1或. 【详解】由得，即， 又， 当，即时，显然符合题意； 当，即时，也符合题意； 当，即时，也符合题意； 综上所述，实数a的值为0或1或. 故答案为：0或1或. 题型4 交、并、补的混合运算（共8题） 【模型】数轴三步：先化简每个集合（解不等式），再在数轴上画区间标端点，最后按 、、 读结果。 【步骤】① 化简：把每个集合都写成区间或列举形式；② 画图：数轴上标出各集合，端点注意虚实；③ 取交、取并或先取补再运算。 【易错】端点能否取到看等号；取补集前必须先明确全集； 不是 （后者是"交"）。 14．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知集合，，则（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】根据题意得故选：B 15．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)已知全集，集合，集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】由于全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：B. 16．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)已知全集，集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】因，， 则，. 故选：C 17．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 故选：A. 18．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 故选：D. 19．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)已知全集，，则___. 【答案】 【详解】全集，则有， 又， . 故答案为： 20．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)已知集合，，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】已知集合，， 则. 故选：A 21．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)设集合，则（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，则， 则. 故选：C. 题型5 充分条件与必要条件的判定（共4题） 【模型】判"谁推出谁"——p 是 q 的充分条件即 ；p 是 q 的必要条件即 。把命题翻译成集合包含关系判定最快。 【步骤】① 写出 p、q 的数学内容；② 分别判断 与 是否成立；③ 按"充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要"四种情形下结论。 【易错】"p 是 q 的充分条件"读作 ，主宾顺序别颠倒；判断时举正例只能证"成立"，举反例才能证"不成立"。 22．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)已知命题甲：(x-m)(y-n)＜0，命题乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的（　　） A．充要条件　　B．既不充分也不必要条件　　C．充分不必要条件　　D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】因为甲：或所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：D. 23．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)已知，，则“”的一个充分不必要条件为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】选项A：取，，满足，但不成立，A错误； 选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若，则；若，可能无意义，所以是的充分不必要条件，B正确； 选项C：取，，满足，但不成立，C错误； 选项D：由指数函数的单调性可得若，则；若，则，所以是的充要条件，D错误； 故选：B 24．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)设，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，即， ，即， 因是的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 25．(25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中)“”是“”的什么条件（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 ，，满足充分性； 若“”，不能推出“”，如，满足“”，故不满足必要性， “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 题型6 全称量词命题与存在量词命题及其否定（共7题） 【模型】认量词——"所有、任意、任给"是全称量词 ；"存在、至少有一个、有些"是存在量词 。全称命题真假看"是否个个都成立"，存在命题看"能否找到一个"。 【步骤】① 找量词、圈范围；② 全称命题为真须对范围内每个元素验证；存在命题为真只需找到一个正例；③ 无量词的命题先补全量词再判断。 否定口诀——改量词、否结论： 变 、 变 ，再把结论否定。"，"的否定是"，"。 【步骤】① 找出量词与结论；② 量词取反（全称↔存在）；③ 结论取反（ 变 ，"都是"变"不都是"，""变""）；④ 检查范围保持不变。 【易错】判断全称命题为真必须证明，不能靠举几个正例；判断存在命题为假，等价于判断它的否定为真。只否结论不改量词是最常见丢分点；"都是"的否定是"不都是"而不是"都不是"；"，"的否定是"，"，不是"，"。 26．(25-26高一上·辽宁辽阳市·期中)命题“，”的否定为（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 【答案】A 【详解】命题“，”的否定为“，”． 故选：. 27．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知命题，则为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 28．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)命题“”的否定是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】“”的否定是：， 故选：D 29．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)“”的否定是（　　） A．　　B．　　 C．　　D． 【答案】B 【详解】“”的否定是“”， 故选：B. 30．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)命题“”的否定为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】C 【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可知命题“”的否定为“”. 故选：C. 31．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)命题“，”的否定是（　　） A．，　　B．，　　 C．，　　D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D 32．(25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中)命题“，使得”的否定形式是（　　） A．，使得　　B．，使得 C．，使得　　D．，使得 【答案】D 【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 题型7 命题的概念与真假判断（共5题） 【模型】命题是"可以判断真假的陈述句"——疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；含变量但未定量词的语句，真假不能唯一确定，也不是命题。 【步骤】① 看句式：是否为陈述句；② 看真假：能否唯一判定真假；③ 含变量的语句（如 ""）没有量词约束，不是命题；补上量词后才成为命题。 【易错】""不是命题，但"，"是真命题——量词决定真假能否判定。 33．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）下列命题为真命题的是（　　） A．若，则　 B．　 C．　 D．的最小值为2 【答案】BC 【详解】对于A，当时，满足，但，故A错误； 对于B，当时，，， 当时，， 当时，，，故B正确； 对于C，由， 所以，故C正确； 对于D，由， 等号成立的条件是，即，，这显然不成立，故D错误. 故选：BC. 34．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)（多选）下列命题中，真命题为（　　） A．空集是任何一个非空集合的真子集　 　B． C．不等式的解集是　　　D．，方程恰有一解 【答案】AC 【详解】对于A，空集是任何一个非空集合的真子集，符合真子集定义，A选项正确； 对于B，化简得，即，当时，不等式不成立，B选项错误； 对于C，解不等式，得解集为，C选项正确； 对于D，当时，方程可能无解或有无穷多解，D选项错误. 故选：AC. 35．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)（多选）下列各命题中的假命题是（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 【答案】AD 【详解】对于A选项，取，则，A中的命题为假命题； 对于B选项，当时，；当时，. 综上所述，，，B中的命题为真命题； 对于C选项，取，则，C中的命题为真命题； 对于D选项，若，则，D中的命题为假命题. 故选：AD. 36．已知命题，命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.对于而言，令，，，由零点存在性定理可知，存在，使得，故是真命题，是假命题.综上，和都是真命题.故选：B 37．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)命题“，”是（　　） A．假命题，否定为“，”　　B．真命题，否定为“，” C．真命题，否定为“，”　　D．假命题，否定为“，” 【答案】A 【详解】∵，当时，,∴原命题为假命题， 命题“，”的否定为“，”， 故选：A. 提升·进阶突破 题型1 由集合关系求参数（共5题） 【模型】 意味着 的每个元素都在 里——而"每个都没有"的空集天然满足，所以第一件事永远是讨论 。 【步骤】① 先讨论 ；② 时把两端点与 的端点比较列不等式；③ 检验端点等号能否取到；④ 汇总各类情形。 【易错】""含相等、""不含相等；区间端点等号是否可取要单独验证，不能想当然。 38．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】当时，； 当时，，由，得，则或，解得或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C 39．(25-26高一上·辽宁七校协作体·期中)已知集合，，，则_____. 【答案】或0或 【详解】由得到或；为的子集， 当，则； 当，则或，得到或； 综上，或或. 40．(24-25高一上·上海·阶段检测)已知集合，，若，则实数m＝____ 【答案】 【详解】根据题意若满足可知， 解得； 经检验时，集合中，不合题意，舍去； 所以可得. 故答案为： 41．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)某团队调查在某自助餐厅吃饭的100名顾客时，发现其中有80名顾客选了A菜品，有60名顾客选了B菜品，则两种菜品都选了的顾客最多有_____名，最少有_____名． 【答案】60；40 【详解】当选了B菜品的顾客也选了A菜品时，两种菜品都选了的顾客最多，最多有60名， 当这100名顾客至少选了两种菜品中的一种时，两种菜品都选了的顾客最少， 最少有名． 故答案为：60；40． 42．(25-26高一上·辽宁大连市第八中学·期中)集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）由， 则，而， 则. （2）由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 题型2 由集合运算结果求参数（共4题） 【模型】把运算结果翻译成包含关系：，，。 【步骤】① 等价转化成包含关系；② 涉及描述法集合时先讨论空集；③ 列不等式（组）并检验端点；④ 列举法集合还要回代检验互异性。 【易错】由 得到的是 ，不是 ，方向千万别反。 43．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，集合， (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，得， 所以 若，则 因此． （2）当，即时，，符合； 当，即时，若，则，解得； 综上所述，． 44．(25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中)已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，； （2）由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 45．(25-26高一上·天津蓟州·阶段检测)已知集合，且，则实数的值为________ 【答案】 【详解】，解得，则， 当时，，则，符合要求； 当时，由，则有，即； 综上所述：的值为. 故答案为：. 46．(25-26高一上·辽宁大连市第二十四中学·期中)设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 当时，， ； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又，而， ，解得，经检验符合题意， 故实数的取值范围是. 题型3 韦恩图与混合运算（共4题） 【模型】把全集划成互不重叠的四块：、、、——韦恩图上标出每块元素，问题就变成了"填空"。 【步骤】① 画韦恩图，分出四块区域；② 把已知条件填进对应区域；③ 读出 、 及所需运算的结果。 【易错】，是"两圆之外"；别与 （只在 中）混淆。 47．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为集合，，所以由图可知阴影部分为. 48．设集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，因为指数函数单调递增，所以，即. 已知，所以.分析Venn图：阴影部分表示集合中去掉的部分. 因此阴影部分表示集合. 49．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，所以阴影部分所表示的集合为 50．全集，集合，图中阴影部分表示集合为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由Venn图可知，阴影部分表示集合，由， 得，所以或，故选：D 题型4 由充分/必要条件求参数范围（共8题） 【模型】把"充分/必要"翻译成集合包含——p 是 q 的充分条件 p 的解集 q 的解集；再借数轴对端点列不等式（组）。 【步骤】① 分别写出 p、q 对应的解集 、；② 按题意写成包含关系（"充分不必要"即 ）；③ 数轴上比较端点，列不等式组解出参数；④ 讨论端点能否相等。 【易错】"充分不必要"要求 是 的真子集：端点相等时两集合可能相等而变成充要，须单独检验舍去。 51．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)“，”的一个必要不充分条件是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 52．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)已知，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题知，， 又因为“”是“”的必要不充分条件，可得， 故答案为：. 53．(25-26高一上·辽宁大连市·期中)已知均为实数，则“”是“”的（ ） A．充要条件　　B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，，可得，但，故由不能推出． 由于，所以和均不为0，所以可以推断． 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：C 54．(23-24高一上·上海·阶段检测)已知的充分不必要条件是，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 55．(25-26高一上·辽宁县域重点高中·期中)已知集合. (1)当时，求； (2)若是的充分不必要条件，求正数的取值范围. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以， 故； （2）因为为正数，所以，所以， 依题意可得 ，则， 解得，所以正数的取值范围为. 56．(25-26高一上·辽宁沈阳市东北育才高中·期中)命题：实数满足（其中），命题：实数满足. (1)为真命题，求实数的取值范围： (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) 【详解】（1）由解得， ，解得， 所以若为真命题，则的取值范围是； （2）因为，， 所以该不等式解集为； 由（1）不等式组的解集为. 因为是的充分不必要条件，所以 ， 所以，解得， 所以的取值范围是. 57．(25-26高一上·辽宁营口市九师联盟·期中)已知集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【详解】（1）由题意知， ， 若，则，所以，， 所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 由于，故， 所以且等号不能同时成立，解得， 即m的取值范围是. 58．(25-26高一上·辽宁实验中学·期中)已知全集． (1)若，求； (2)确定实数的取值范围，使． 【详解】（1）当时，，； 故， ； （2）由题意得，易知， 由，得， 即 故的取值范围是. 题型5 含量词命题的真假与参数问题（共4题） 【模型】全称命题为真=最值控制（ 的最小值压住界限）；存在命题为真=够得着（ 的最大值超过界限）。先分离参数，再求最值定界限。 【步骤】① 把"，"化成 ；② 把"，"化成 ；③ 用二次函数或配方法求出最值；④ 注意等号能否取到。 【易错】"， 为真"与"， 为真"的参数方向相反：前者看最小值、后者看最大值，等号取舍也要单独检验。 59．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)若“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【详解】“”为假命题，即“”为真命题. 当，即时，不等式可化为，此时不等式恒成立； 当，即时，若对一切实数都成立， 则解得. 综上，若“”为假命题， 则实数的取值范围为. 故选：A. 60．(25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中)若“”是假命题，则的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 61．(25-26高一上·辽宁朝阳·期中)已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．或　　D．或 【答案】B 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为真命题， 即有实数解，则，解得或， 综合上述,实数需满足，可知实数的取值范围是. 故选：B. 62．(25-26高一上·福建福州·期中)若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是________ 【答案】 【详解】因为命题“，”是真命题，则，， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 拔高·压轴破难 题型1 含参数的二次方程型集合关系（共4题） 【模型】二次方程的解集给定集合：先算 ，按"无实根（）、两相等实根（单元素）、两不等实根"分类，逐一检验根是否落在给定集合中。 【步骤】① ：，天然满足包含关系；② ：把重根代回给定集合检验；③ ：两根都要落在给定集合中，用韦达定理（和、积）整体求解或排除。 【易错】韦达定理给出的是"必要条件"，求出参数后必须把方程解出来回代检验。 63．(25-26高一上·辽宁协作体·期中)已知集合，若，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由可得， 记，则， 由于，因此， 要使，则无实数根，故， 故选：C 64．已知集合，，若，则实数值集合为________ 【答案】 【详解】因为，故； 则的子集有，，，， 当时，显然有； 当时，； 当，； 当，不存在， 所以实数的集合为； 故答案为． 65．已知集合，，且，则集合________ 【答案】 【详解】因为，所以， 由，得到， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 66．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)已知，全集，集合，. (1)若，且，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以的取值范围为； （2）因为，所以， ， 因为，当时，， 所以， 则，解得， 故的取值范围是. 题型2 逻辑、集合与不等式的交汇（共3题） 【模型】压轴题套路——条件绕弯时全部翻译成集合：命题真假解集关系，参数讨论端点取舍。记住三句话：真子集严、空集恒真、端点单独验。 【步骤】① 逐句把条件翻译成集合或不等式；② 数轴上标出各集合；③ 按包含关系列端点方程或不等式；④ 对空集、端点相等等特殊情形逐一验证作答。 【易错】最易丢分的两个点：一是"真子集"要求端点不能同时相等；二是"存在性命题为假"要转化为"全称否定为真"再解参数。 67．(25-26高一上·上海金山·期中)设命题方程有两个不相等的正根；命题方程无实根，若与中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围________ 【答案】 【详解】当命题为真时，有，解得． 当命题为真时，有，即，解得． 由题意，与中有且只有一个是真命题，分两种情况： 若真假，则，解得； 若假真，则，解得． 综上可得实数的取值范围是． 故答案为： 68．(25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中)已知函数，集合，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为， 当时，由，解得，所以； 又，，， 所以，此时，符合题意； 当时恒成立，此时，不符合题意； 当时，由，解得， 所以， 由，则，所以， 又，，所以，所以，解得， 又，所以； 综上可得，即的取值范围为. 故答案为： 69．(25-26高一上·辽宁点石联考·期中)设全集，集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以 . 又， ， 实数的取值范围为. （2）解法1：命题“”是真命题，. 下面讨论的情形： ①当时，，满足； ②当时，，若，则，解得. 综上，当时，. 命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 解法2：命题“”是真命题，. 解得： 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 题型3 集合新定义问题（共3题） 【模型】新定义题的钥匙是把定义逐字翻译成集合语言—定义说什么就做什么，每一步都要回到定义本身。 【步骤】① 圈出定义中的关键词（如"且""不属于"）；② 用题目给的具体集合按定义算一遍；③ 归纳出一般结论或再构造一个满足定义的例子。 【易错】新定义运算与已有运算不一定满足交换律、结合律，不能凭感觉套用旧结论。 70．(25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中)已知符号函数 ，，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，取，，此时，故充分性不成立； 若，则，或者与异号，所以，必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 71．(25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中)（多选）用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A． B．， C．若集合，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项：集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项：集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，；且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根，所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，.，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 72．(25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·期中)有限集合，若，则称集合为“完美集合”． (1)判断集合是否为“完美集合”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集合”，求的取值范围； (3)已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”． 【详解】(1)是“完美集合”． 理由如下： 因为， 所以集合是“完美集合”. （2）因为集合为“完美集合”， 所以， 即. ， 解得. 又因为，所以的取值范围为. (3) 因为，所以. 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即， 根据集合元素的互异性， 不全相等，则， 所以集合为“完美集合”. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $