专题03全等三角形性质与判定及应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题03全等三角形性质与判定及应用期中复习讲义 1.理解全等图形、全等三角形的概念，掌握全等三角形的符号表示；能准确找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，清楚书写全等式时，对应顶点必须写在对应位置。 2.掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；会利用性质求线段长度、角度大小，识别全等三角形中的对应中线、对应角平分线、对应高相等。 3.熟练掌握三角形全等的四个判定基本事实：SSS、SAS、ASA、AAS；明确判定的条件要求，区分各个判定方法的适用条件；知道SSA 不能判定三角形全等，这是高频易错点。 4.能根据题目给出的条件，灵活选择合适的判定方法证明两个三角形全等；会从图中挖掘隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等。 5.掌握证明全等的规范书写格式，先找条件，再写明在哪两个三角形中，列出三组条件，最后得出全等结论；推理步骤有理有据。 6.会用三角形全等证明线段相等、角相等，进一步推导线段平行、垂直等位置关系，学会 “证全等→得边角相等” 的转化思路。 7.掌握简单的全等模型：平移型、翻折型、旋转型全等，能从复杂图形中分离出全等的基础三角形。 8.能结合角平分线、中线、高、平行线、三角形内角外角知识进行全等综合推理；会处理需要先推导条件，再证明全等的题型。 9.易错点梳理： 写全等表达式顶点不对应，导致找错对应边角； SAS 判定里，角必须是两边的夹角，误用 SSA； 证明时条件罗列混乱、缺少关键条件； 混淆判定定理，错用条件证明全等。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念与性质 ★★ 题型三 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型四 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型六 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型八 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十一 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十二 灵活选用判定方法证全等 ★★★★ 题型十三 倍长中线模型 ★★★★ 题型十四 全等三角形综合问题 ★★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 知识点03:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:全等三角形证明标准书写格式 1.准备条件：利用已知、中点、角平分线、平行等推出边 / 角相等； 2.书写框架： 3.后续推导：由全等得对应边相等、对应角相等。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型一、图形的全等 1．下列四组图形中，与所给图形全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，分析四个选项，找出可以和原图重合的图形即可解答． 【详解】解：由全等形的概念可知：B选项与原图的位置发生了变化，形状完全一样，因而只有选项B与原图全等． 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 题型二、全等三角形的概念与性质 4．下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①全等三角形的面积相等，正确；②三个角分别相等的两个三角形全等错误，如大小不一样的两个等边三角形；③两个大小不一样的等边三角形不全等，故错误；④边数相同的图形一定能够重合，错误，例如边数相同的两个三角形不一定能重合， 故正确的只有1个． 5．如图，，若 ，则______，______． 【答案】 5 4 【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解． 【详解】解：∵△ABD≌△CDB． ∴BC＝AD，CD＝AB． ∵AB＝4，AD＝5． ∴BC＝5，CD＝4． 故答案为5，4． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用． 6．如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论： ①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角， 其中正确的是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【详解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D． ①AB与CD是对应边．故①正确； ②AC与CA是对应边．故②正确； ③点A与点C是对应顶点．故③错误； ④点C与点A是对应顶点．故④错误； ⑤∠ACB与∠CAD是对应角．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②⑤，共有3个． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 7．如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴，故选项D正确，不符合题意； ∴，选项C错误，符合题意， 故选：C. 题型三、尺规作图 —— 作三角形 8．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 9．如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 【答案】23 【分析】△ABC的三边分别为，分别画出各全等图形即可得出答案． 【详解】 结合图形可得有23个符合题意的三角形． 故答案是：23． 【点睛】考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细思考，按照规律查找． 10．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 题型四、用 SSS 证明三角形全等 11．工人师傅常用角平分尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线便是的平分线，由此作法可得，其依据为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作法可得三组对应边相等，利用全等三角形判定定理即可确定依据． 【详解】解：由题意可知，在和中， ， ∴． 12．我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______个． 【答案】15 【分析】利用判定三角形全等，在网格中画出与三角形全等的三角形，即可得解． 【详解】解：如图所示： 除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有15个． 故答案为：15． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 13．如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 题型五、全等的性质和 SSS 综合 14．将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和，先证明，得到，再根据三角形内角和得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 15．如图，，，，是上两点，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由“”先证明，得出，，利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ， ∴． 16．如图，在与中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图 ， ， ， 设与交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 题型六、用 SAS 证明三角形全等 17．如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段中点的定义可得，再由，利用即可证明． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴，即选项B符合题意． 18．如图，在中，平分交于点，，，，则的长为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 在上截取，连接，则，证明和全等得，，进而可证明，据此得． 【详解】在上截取，连接，如图所示： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：5． 19．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理或基本事实是“”， 故选：A． 题型七、全等的性质和 SAS 综合 20．如图，图中有三个正方形，则全等三角形有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质，根据正方形的性质利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形为正方形， ，， 在和中， ， ； ∵四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ； 同理可得：， 综上可知全等的三角形有3对． 故选：A． 21．如图，中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先利用角平分线得到相等角，结合、公共边证明，得到；再把周长转化为，算出长度后代入求值即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 22．如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，   ， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴只需知道的长度即可求得的面积． 题型八、用 ASA（AAS）证明三角形全等 23．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键．由已知条件可得，，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 24．如图，等腰中，，平分，于，若，则的周长是______． 【答案】6 【分析】由平分得，通过证明得到，最后通过边的转换即可解答． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长为：， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练在掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， , ∴， 故选：B． 题型九、全等的性质和 ASA（AAS）综合 26．如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意可证，进而可证明，可得，，则题目可解． 【详解】解：∵，， 且， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 27．如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 【答案】2 【分析】证明即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 28．如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可． 【详解】解：，， ， 都与地面平行， 三点共线， ， 在和中， ， ， ． 题型十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 29．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：C． 30．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答案】135 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 31．如图是由个相同的小正方形组成的网格图，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十一、添加条件使三角形全等 32．如图，在和中，已有条件，还需要添加两个条件才能使．不能添加的一组条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、添加条件，，利用定理可得； B、添加条件，不能使； C、添加条件，，利用定理可得； D、添加条件，，利用定理可得． 33．如图，点，在上，，，，要使，则还需要添加的一个条件是________（写出一个即可）． 【答案】或或或或或(答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定条件即可得到解答． 【详解】解：添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 添加的条件为：， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 34．如图，已知，，、、、四点在同一条直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：添加，满足角边角的全等判定条件，可以判定． 选项B：添加，此时条件为两边及其中一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等． 选项C：添加，可推出，即，满足边角边的全等判定条件，可以判定． 选项D：添加，根据平行线的性质可得，满足角角边的全等判定条件，可以判定． 题型十二、灵活选用判定方法证全等 35．下列说法中，不正确的是（   ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边分别相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．根据全等三角形的判定方法一一判断，即可得出结论． 【详解】解：A.斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，符合，故A正确，不符合题意； B. 两条边分别相等的两个直角三角形，若两条边均为直角边，则由可证全等；若一条边为直角边，一条边为斜边，若直角边是对应边，则可用证全等，若直角边不是对应边，则不能证明全等，故B错误，符合题意； C. 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；符合定理，故C正确，不符合题意； D. 斜边相等的两个等腰直角三角形，由于等腰直角三角形的两个锐角的度数都为，则由可证全等，故D正确，不符合题意； 故选：B． 36．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 37．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A、已知，，为两角夹边，可画出唯一三角形，不符合题意； B、，三边满足三角形三边关系，可确定唯一三角形，不符合题意； C、已知，，，属于两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，符合题意； D、由三角形内角和得，结合，两角及一边确定，可画出唯一三角形，不符合题意； 故选：C． 题型十三、倍长中线模型 38．如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 根据三角形中线的性质，重心的定义，全等三角形的判定与性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点， ∴点是的重心，故A正确， ∴，， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴ ∴ 又∵是的中点，则 ∴，故B正确， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故C错误； 如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故D正确 故选：C． 39．在中，，，则中线的取值范围是_______． 【答案】 【分析】延长中线构造全等三角形，将转移到与同处一个三角形中，利用三角形三边关系求解． 【详解】解：延长到， 使，连接． ∵是的中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴在中，， 代入，，得． ∵， ∴ ， 不等式两边同除以，得． 40．如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， 整理得． 题型十四、全等三角形综合问题 41．如图，相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先证明，得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 42．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即可求出，再证明，则得到，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 43．如图，给出下列4组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． 根据全等三角形判定的条件，可得答案． 【详解】解：①，，，可利用判定全等； ②，，，属于，不能判定全等； ③，，，可利用判定全等； ④，，，角不对应，不能判定全等； ∴能判定的条件有2组， 故选：B． 解答题 44．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 45．如图，在与中，点D在边上，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， 又， ， 在与中， ． 【分析】根据线段的和差关系并结合已知可得出，然后根据证明即可. 【详解】略 46．如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ． (2) 【分析】（1）根据证明两个三角形全等即可． （2）设与交于点，根据三角形的内角和与对顶角相等，推导出，由得，可求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点，如图 ，， ， ， 由得 ， ， ． 47．如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ； (2)． 【分析】（1）由，证明，即可证明 ； （2）根据得到，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， ， 即的度数为． 48．如图，与相交于点，连接，，已知，．点从点出发，沿路径，以的速度运动；点从点出发，沿方向，以速度运动．点，同时从各起点出发，当点返回到点时，点刚好到达点．设点的运动时间为．解答下列问题： (1)用含的代数式表示线段． (2)求证：． (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)因为点M，N同时从各起点出发，当点M返回到点D时，点N刚好到达点A． ∴， ∴， ∵，， ∴． (3)或 【分析】（1）根据运动速度列出代数式即可； （2）先根据运动情况证明，再根据“”证明即可； （3）证明，得出，根据或，，列出方程，解方程即可；另外当时，与重合，也经过点O． 【详解】（1）解：∵点从点出发，沿方向，以速度运动， ∴； （2）略 （3）解：连接，当经过点O时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵或，， ∴（舍去），或， ∴； 当时，与重合，也经过点O，符合题意； 综上，当线段经过点时，或． 49．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) (3)或或 【分析】本题考查作图—画轴对称图形，坐标与图形的变化—轴对称，轴对称的性质，全等三角形的判定，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点，关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求，再根据平面直角坐标系写出点P坐标即可； （3）根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在（1）基础上，连接，交轴于点P，则点P即为使的距离最小的点． 由图可知； （3）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． 50．如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)（依据）（答案不唯一，符合题意即可） (2)添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 【详解】（1）可添加 依据 ；也可添加 或 ，任写一种即可． （2）略 51．【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是____________．（填判定依据） (2)由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为____________． (3)【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长、，交于点F，根据全等三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，再由线段和差求解． 【详解】（1）解：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长、，交于点F， ∵平分， ∴,， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵M是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 【答案】(1)如图，线段即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)方法一：已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∴； 方法二：已知：如图，，，； 求证：且． 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ (3)如图，线段即为所求作， 延长，截取，交的延长线于点，截取，交的延长线于点， 点为上一点，连接， 以点为圆心，以为半径作弧，以点为圆心，以为半径作弧，两弧相交于点， 连接并延长交与点， 截取，连接，即为所求作， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 【分析】（1）在，上分别截取，，连接，即为所求作； （2）通过证明三角形全等，找到对应边和对应角相等，进一步得到两直线平行； （3）延长，截取，作，得到，与交点为点，在上截取，连接，可证得，则得到，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 53．截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 【答案】解：方法一：如图①，在上截取，使，连接． 在和中， ， ． 在中，，即， ． 方法二：如图②，延长到，使，连接． 在和中， ， ． 在中，， 即， ． 【分析】（1）截长法：在上截取，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． （2）补短法：延长至点使，连接．在和中，、、，由证，得．在中，由三角形三边关系，其中，，代入得． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形性质与判定及应用期中复习讲义 1.理解全等图形、全等三角形的概念，掌握全等三角形的符号表示；能准确找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，清楚书写全等式时，对应顶点必须写在对应位置。 2.掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；会利用性质求线段长度、角度大小，识别全等三角形中的对应中线、对应角平分线、对应高相等。 3.熟练掌握三角形全等的四个判定基本事实：SSS、SAS、ASA、AAS；明确判定的条件要求，区分各个判定方法的适用条件；知道SSA 不能判定三角形全等，这是高频易错点。 4.能根据题目给出的条件，灵活选择合适的判定方法证明两个三角形全等；会从图中挖掘隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等。 5.掌握证明全等的规范书写格式，先找条件，再写明在哪两个三角形中，列出三组条件，最后得出全等结论；推理步骤有理有据。 6.会用三角形全等证明线段相等、角相等，进一步推导线段平行、垂直等位置关系，学会 “证全等→得边角相等” 的转化思路。 7.掌握简单的全等模型：平移型、翻折型、旋转型全等，能从复杂图形中分离出全等的基础三角形。 8.能结合角平分线、中线、高、平行线、三角形内角外角知识进行全等综合推理；会处理需要先推导条件，再证明全等的题型。 9.易错点梳理： 写全等表达式顶点不对应，导致找错对应边角； SAS 判定里，角必须是两边的夹角，误用 SSA； 证明时条件罗列混乱、缺少关键条件； 混淆判定定理，错用条件证明全等。 题型 考察方向 难度 题型一 图形的全等 ★ 题型二 全等三角形的概念与性质 ★★ 题型三 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型四 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型六 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型八 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型九 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型十 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十一 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十二 灵活选用判定方法证全等 ★★★★ 题型十三 倍长中线模型 ★★★★ 题型十四 全等三角形综合问题 ★★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 3.对应元素查找规律 长边对长边、短边对短边；大角对大角、小角对小角； 公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； 平移、翻折、旋转前后的三角形全等，变换前后重合部分为对应元素。 知识点02:全等三角形的性质 知识点03:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点04:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点05:全等三角形证明标准书写格式 1.准备条件：利用已知、中点、角平分线、平行等推出边 / 角相等； 2.书写框架： 3.后续推导：由全等得对应边相等、对应角相等。 知识点06.几何通用标准模型（核心构造方法） 模型 1：倍长线段法（SAS 型，几何通用基础模型） 核心特征 无角的预设条件，通过倍长截取等长线段利用对顶角天然相等，凑齐 SAS 条件，是初中几何线段构造的通用基础模型，适配两点间有障碍物的距离测量（隔河、隔建筑测两点距离），也是倍长中线法的核心原理。 构造步骤 1.设待测距离为线段AC，取BC的中点D（D为可同时连接A、C的公共点）； 2.延长AD至E，使DE=AD； 3.连接BE，测量BE长度即为AC长度。 全等依据 △ADC≅△EDB（SAS）：AD=ED（倍长构造），∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD（D为BC中点）。 模型 2：一线三等角模型（直角型，ASA/AAS 型，几何通用核心模型） 核心特征 一线：以某条直线l（如河岸、公路）为公共边所在直线； 三等角：直线上有一个公共角∠BAC，直线两侧各有一个相等的直角（BD⊥l，CE⊥l，即三垂直，是一线三等角最常见的特殊形式）；天然利用等角（直角）+ 互余关系凑齐 AAS/ASA 条件，适配点到直线的垂直距离测量（测点到河岸、公路的距离），是该类测距的几何通用标准模型。 构造步骤 1.设待测点B到直线l的垂直距离为BD（BD⊥l，垂足D可达，直线l为 “一线”）； 2.在直线l上取点A，作∠BAC=90∘，过C作CE⊥l于E（形成三个直角∠BDA=∠BAC=∠AEC=90∘，即 “三等角”）； 3.测量AE长度即为BD长度（或测量AD长度即为CE长度） 全等依据 △ABD≅△CAE（AAS）：∠BDA=∠AEC=90∘（垂直定义）， ∠ABD=∠CAE（同角的余角相等：∠ABD+∠BAD=90∘，∠CAE+∠BAD=90∘），AB=CA（构造条件）； 若构造为直线同侧的直角，可通过 ASA 判定（∠ABC=∠DBC=90∘，BC=BC，∠ACB=∠DCB）。 知识点07:高频易错点 易错内容 错误表现 正确做法 判定误用 用 SSA、AAA 证明全等 严格对照 5 个判定定理，缺条件不能证全等 SAS 夹角出错 用两边和其中一边对角证全等 必须锁定两边中间的夹角 HL 乱用 非直角三角形使用 HL 判定 HL 只适用于 Rt△，普通三角形选用 SSS/SAS/ASA/AAS 对应元素找错 书写全等时顶点乱序，导致边角找错 按重合顺序书写全等符号，定点定边角 证明跳步 缺少关键条件直接得出全等 把已知、隐含条件逐一写明，条件凑齐再证全等 题型一、图形的全等 1．下列四组图形中，与所给图形全等的是（     ） A． B． C． D． 2．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 3．下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 题型二、全等三角形的概念与性质 4．下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，，若 ，则______，______． 6．如图，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，对于以下结论： ①AB与CD是对应边；②AC与CA是对应边；③点A与点A是对应顶点；④点C与点C是对应顶点；⑤∠ACB与∠CAD是对应角， 其中正确的是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型三、尺规作图 —— 作三角形 8．已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 9．如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 10．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型四、用 SSS 证明三角形全等 11．工人师傅常用角平分尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线便是的平分线，由此作法可得，其依据为（     ） A． B． C． D． 12．我们把顶点在小正方形顶点上的三角形叫做格点三角形，在如图所示的方格纸中，除了格点三角形外，可画出与全等的格点三角形共有______个． 13．如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 题型五、全等的性质和 SSS 综合 14．将和按如图方式放置，与交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，，，，是上两点，，，，则的度数为________． 16．如图，在与中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型六、用 SAS 证明三角形全等 17．如图，两根钢条，的中点连在一起，，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，平分交于点，，，，则的长为________． 19．数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（    ） A． B． C． D． 题型七、全等的性质和 SAS 综合 20．如图，图中有三个正方形，则全等三角形有（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 21．如图，中，，，，平分交于点，在上截取，则的周长为_______． 22．如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 题型八、用 ASA（AAS）证明三角形全等 23．如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（   ） A． B． C． D． 24．如图，等腰中，，平分，于，若，则的周长是______． 25．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（   ） A．m B． C． D． 题型九、全等的性质和 ASA（AAS）综合 26．如图，在中，，．若，，则（） A．6 B．7 C．8 D． 27．如图，，．，，垂足分别是点D，E，，，则的长是________． 28．如图，工人师傅要在竖直墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即，平行于地面），点与地面的距离为，要使钻头从墙壁对面距地面的点处打出（）．工人师傅的具体做法如下：在与地面平行的方向上截取，再过点作，连结，然后沿着的方向打孔，要使钻头正好从满足要求的点处打出，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十、利用全等图形求正方形网格中角度之和 29．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 31．如图是由个相同的小正方形组成的网格图，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十一、添加条件使三角形全等 32．如图，在和中，已有条件，还需要添加两个条件才能使．不能添加的一组条件是（     ） A．， B．， C．， D．， 33．如图，点，在上，，，，要使，则还需要添加的一个条件是________（写出一个即可）． 34．如图，已知，，、、、四点在同一条直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型十二、灵活选用判定方法证全等 35．下列说法中，不正确的是（   ） A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两条边分别相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 36．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 37．根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型十三、倍长中线模型 38．如图，，，分别是的边，，上的中线，三条中线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点是的重心 B．和的面积相等 C． D． 39．在中，，，则中线的取值范围是_______． 40．如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．不能确定 题型十四、全等三角形综合问题 41．如图，相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 43．如图，给出下列4组条件： ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 其中能使的条件共有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解答题 44．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 45．如图，在与中，点D在边上，，，，求证：． 46．如图，，，，与相交于点O． (1)求证：． (2)若，求的度数． 47．如图，在中，，D是BC上一点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 48．如图，与相交于点，连接，，已知，．点从点出发，沿路径，以的速度运动；点从点出发，沿方向，以速度运动．点，同时从各起点出发，当点返回到点时，点刚好到达点．设点的运动时间为．解答下列问题： (1)用含的代数式表示线段． (2)求证：． (3)连接，当线段经过点时，求的值． 49．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 50．如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 51．【问题情境】课外数学社团开展活动时，提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，求中线的取值范围． 【方法探究】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下方法：延长到E，使，连接，如图1，请根据小明同学的方法思考： (1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是____________．（填判定依据） (2)由“三角形的三边关系”，可以得到中线的取值范围为____________． (3)【拓展迁移】如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，求的长度． 52．如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 53．截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或者旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．请用这两种方法分别解决下列问题： 如图①，②，已知在中，，，为上任一点．求证：． 方法一：截长法 方法二：补短法 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $