1.5 专题特训四 构建全等三角形的三种常用方法-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（浙教版·新教材）

第1章三角形 专题特训四 构建全等三角形的三种常用方法 类型一遇角平分线和垂直时构造全等三角形的方法 基本模型 模型特征 AD平分∠BAC,AD⊥CD,此时延长CD交AB于点 E E,可得△ADC≌△ADE B 1.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD,垂足是D.求证：∠2=∠1+∠C B (第1题) 类型二用“倍长中线法”构造全等三角形 基本模型 模型特征 1.“倍长中线法”是指将三角形的中线延长一倍，以便 构造全等三角形 2.当题目中出现中点或中线时，可考虑利用该方法 解题 2.*如图，CD=AB,∠BAD=∠BDA,AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE, E D (第2题) 3.如图，在△ABC和△A'B'C'中，AM,AM分别是边BC,BC上的中线，AB=A'B',AC=A'C', AM=AM'.求证：△ABC≌△A'B'C'. (第3题) 23 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 类型三用“截长补短法”构造全等三角形 基本模型 模型特征 1.“截长”是指在长线段中截取一段等于短线段；“补短”是指 将短线段延长，使延长后的线段等于长线段， 2.两种辅助线的作法都是得到三角形全等，然后利用全等得 到线段的关系或角的关系 4.-题多解如图，在△ABC中，AB>AC,∠1=∠2，P为AD上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC. D (第4题) 5.一题多解如图，AB/CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上.求证：BC=AB十CD. D (第5题) 6.如图，在△ABC中，∠A=60°，BD平分∠ABC,交∠ACB的平分线CE于点O,点D,E分别在 边AC,AB上.试用等式表示BE,CD,BC之间的数量关系，并说明理由. 0 (第6题) 24 “答案与解析”见PI3专题特训四构建全等三角形的三种常用方法 1.延长AD交BC于点H.因为AD⊥BD,所以∠BDA= ∠BDH=90°.因为BD平分∠ABC,所以∠ABD= ∠ABD=∠HBD, ∠HBD.在△BDA和△BDH中，因为BD=BD, ∠BDA=∠BDH, 所以△BDA≌△BDH(ASA).所以BA=BH,∠2= ∠BHD.因为∠BHD=∠1+∠C,所以∠2=∠1十+∠C. 2.如图，延长AE至点F,使EF=AE,连结DF.因为AE 为△ABD的中线，所以BE=DE.在△ABE和△FDE中， BE=DE, 因为X∠AEB=∠FED,所以△ABE2△FDE(SAS).所 AE-FE, 以AB=FD,∠B=∠EDF,∠BAE=∠F.因为CD= AB,所以FD=CD.因为∠ADC=∠B+∠BAD, ∠ADF=∠BDA+∠BDF,∠BAD=∠BDA,∠B= ∠BDF,所以∠ADF=∠ADC.在△ADF和△ADC中， (AD=AD, 因为∠ADF=∠ADC,所以△ADF≌△ADC(SAS).所 DF=DC, 以AP=AC.又因为AE=EF=号AF,所以AC=2AE. B E (第2题) 方法归纳 运用“倍长中线”法解决与中线有关的问题 如果图中给出的已知条件中线段或角的位置相对 比较分散，而三角形又给出了中线，我们可以成倍延长 这条中线，使得分散的条件在图形中能够相对集中，再 运用其中的线段、角之间隐含的数量关系解决问题」 3.如图，分别延长AM和A'M至点E和E',使ME= AM,M'E'=A'M',连结BE,B'E'.因为AM,A'M分别是 边BC,B'C'上的中线，所以BM=CM,B'M'=C'M' AM-EM. 在△AMC和△EMB中，因为∠AMC=∠EMB,所以 CM=BM, △AMC2△EMB(SAS).所以AC=EB,∠MAC=∠E. 同理，可得△A'M'C'≌△E'MB',所以A'C'=EB', ∠MA'C'=∠E.因为AC=A'C',所以BE=B'E.因为 AE=2AM,A'E=2A'M',且AM=A'M,所以AE= (AE-AE', A'E.在△ABE和△A'BE中，因为BE=B'E',所以 AB=A'B', △ABE≌△A'B'E'(SSS.所以∠BAE=∠B'A'E', ∠E=∠E'.又因为∠MAC=∠E,∠MA'C'=∠E',所以 ∠MAC=∠M'A'C'.所以∠BAM+∠MAC=∠B'A'M+ ∠MA'C',即∠BAC=∠B'A'C.在△ABC和△A'B'C中， (AB=A'B', 因为∠BAC=∠B'A'C',所以△ABC≌△A'B'C'(SAS). AC=A'C', B (第3题) 4.解法一（补短法）：如图①，延长AC至点M,使AM= AB,连结PM.在△ABP和△AMP中，因为AB=AM, ∠1=∠2，AP=AP,所以△ABP≌△AMP(SAS).所以 PB=PM.在△PCM中，根据三角形的三边关系，得CMC> PM-PC,所以AM-AC>PB-PC.所以AB-AC> PB一PC.解法二（截长法）：如图②，在AB上取一点E, 使AE=AC,连结PE.在△AEP和△ACP中，因为 AE=AC, ∠1=∠2，所以△AEP2△ACP(SAS).所以PE=PC. AP=AP, 因为AE=AC,所以BE=AB-AE=AB-AC.在△PBE 中，根据三角形的三边关系，得BE>PB一PE,所以AB一 AC>PB-PC. E M B D ② (第4题) 5.解法一（截长法）：如图①，在BC上截取BF=AB,连结 EF.因为BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,所以∠ABE= ∠FBE,∠FCE=∠DCE.在△ABE和△FBE中，因为 (AB=FB, ∠ABE=∠FBE,所以△ABE≌△FBE(SAS).所以 BE=BE, ∠A=∠BFE.因为AB/∥CD,所以∠A+∠D=180°.所以 ∠BFE+∠D=180°.因为∠BFE+∠CFE=180°，所以 ∠CFE=∠D.在△FCE和△DCE中，因为 ∠CFE=∠D, ∠FCE=∠DCE,所以△FCE≌△DCE(AAS).所以 CE=CE, CF=CD.所以BC=BF十CF=AB十CD.解法二（补短 法)：如图②，延长CD至点G,使CG=BC,连结EG.因为 CE平分∠BCD,所以∠BCE=∠GCE,∠CBE=∠G.在 BC=GC, △BCE和△GCE中，因为∠BCE=∠GCE,所以△BCE≌ CE=CE, △GCE(SAS).所以BE=GE.因为BE平分∠ABC,所以 ∠ABE=∠CBE.所以∠ABE=∠G.因为ABCD,所以 ∠A=∠EDG, ∠A=∠EDG.在△ABE和△DGE中，因为∠ABE=∠G, BE-GE, 所以△ABE≌△DGE(AAS).所以AB=DG.所以BC= CG-CD+DG-CD+AB C B ① ② (第5题) 6.BC=BE+CD.理由：在BC上截取BF=BE,连结 OF.因为BD平分∠ABC,所以∠EBO=∠FBO.在△EBO BE=BF, 和△FBO中，因为〈∠EBO=∠FBO,所以△EBO≌ BO=BO, △FBO(SAS).所以∠EOB=∠FOB.因为∠A=60°，BD, CE分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠BOC=180° ∠0BC-∠0CB=180-2∠ABC-3∠ACB=180° 2(180°-∠A)=120°.所以∠D0C=∠E0B=180°- ∠BOC=60°.所以∠FOB=60°.所以∠FOC=∠DOC= 60°.因为CE平分∠DCB,所以∠DCO=∠FCO.在 ∠DO=∠FCO, △DCO和△FCO中，因为OC=OC, 所以△DCO≌ ∠DOC=∠FOC, △FCO(ASA).所以CD=CF.所以BC=BF+CF= BE+CD. 1.6线段垂直平分线的性质 1.B由给出的作图步骤可知，MN是CB的垂直平分线， 所以CD=BD.所以CD十AD=BD十AD=AB.故B正确 2.12因为DE是AB的垂直平分线，所以AB=2AE= 2X1=2(cm),DB=DA.又因为△ACD的周长=AC+ CD+DA=10cm,所以△ABC的周长=BA+AC+CD+ DB=BA+(AC+CD+DA)=2+10=12(cm). 3.6因为EF是线段BC的垂直平分线，所以CE=BE, CF=BF.因为CE=2AE,所以BE=2AE.因为SAAx= 18,所以SAm=号Sae=12因为CF=BF,所以 1 SABEF=2S△B=6, 4.连结AC.因为E是BC的中点，AE⊥BC,所以AE是 线段BC的垂直平分线.所以AB=AC.同理，可得AC= AD,所以AB=AD. 5.B 思路导引 ∠B=72°，∠C=35° DE垂直平分线段AC 三角形的 内角和 ∠BAC-180°-∠B-∠C AD-DC,AE-CE DE=DE △ADE≌△CDE ∠DAE=∠C ∠BADF∠BAC-∠DAE 因为∠B=72°，∠C=35°，所以∠BAC=180°-72°-35°= 73°.因为DE是线段AC的垂直平分线，所以DA=DC, (AD=CD, AE=EC.在△ADE和△CDE中，因为AE=CE,所以 DE=DE, △ADE≌△CDE(SSS).所以∠DAE=∠C=35°.所以 ∠BAD=73°-35°=38， 6.15因为BD=DC,AD⊥BE,所以AB=AC.因为点C 在AE的垂直平分线上，所以AC=CE.因为△ABC的周 长是30，所以AC+AB+BD+CD=30.所以AC+CD= 15.所以DE=CD+CE=CD+AC=15. 7.因为DE是AB的垂直平分线，所以AE=BE,AD= BD=号AB.因为△BCE的周长是2cm,所以BC+ BE+EC=22cm.所以BC+AE+EC=22cm,即AC+ BC=22cm.因为△ABC的周长是36cm,所以AB+AC+ BC=36cm.所以AB=36-22=14(cm).所以AD=