第3章·一元一次不等式·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第3章·一元一次不等式·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解不等式的意义，掌握不等式的三条基本性质，能对不等式进行正确变形与比较大小 · 会解一元一次不等式（组），并能在数轴上直观地表示其解集 · 会根据不等式（组）的解集情况确定字母参数的取值范围，会求其整数解 · 能列一元一次不等式（组）解决实际问题，进行可行方案与最优方案的决策 · 体会数形结合、分类讨论与转化思想，提升分析问题与数学建模的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与基本性质 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子；使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，所有解的集合叫解集 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c 性质2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc 性质3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc 传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；比较大小常用作差法，差大于0则被减式大 概念辨析例题：若a＞b，且c＜0，则下列各式中一定成立的是（ ） A．ac＞bc B．a+c＜b+c C．ac＜bc D．＜ 答案：C 解析：由a＞b，c＜0，根据不等式性质3，两边乘负数c后不等号方向改变，得ac＜bc，故选C；A与性质3矛盾，B应为a+c＞b+c，D中c为负数，除以c后不等号反向，应为＞。 ☆ 2.一元一次不等式（组）的解法 一元一次不等式：只含一个未知数且未知数次数为1；解法步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时不要漏乘不含分母的项；系数化为1时若乘除负数，不等号方向必须改变 一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式组成；解集是各不等式解集的公共部分 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 概念辨析例题：解不等式：-≥1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x≤-1 解析：去分母得2(2x-1)-3(5x+1)≥6；去括号得4x-2-15x-3≥6；移项、合并同类项得-11x≥11；系数化为1时两边除以-11，不等号变向，得x≤-1。 ☆ 3.解集在数轴上的表示 数轴表示规则：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈 不等式组的解集是各不等式解集在数轴上的公共重叠部分 借助数轴可直观判断不等式组有解、无解，以及整数解的个数和边界能否取等 概念辨析例题：不等式组 x＞-1，x≤2 的解集是（ ） A．x＞-1 B．x≤2 C．-1＜x≤2 D．无解 答案：C 解析：x＞-1表示在-1处画空心圆圈向右，x≤2表示在2处画实心圆点向左，两个解集的公共部分为-1与2之间（含2不含-1），即-1＜x≤2，故选C。 ☆ 4.一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式解应用题步骤：审题设未知数→抓住关键词找不等关系→列不等式（组）→求解→检验是否符合实际 常见关键词：「至少、不低于、不少于」对应≥，「至多、不超过、不足」对应≤ 方案设计问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定可行方案，必要时比较选出最优方案 实际问题的结果必须是符合题意的非负整数或合理数量 概念辨析例题：某商店购进A、B两种商品共100件，A每件利润20元，B每件利润30元。若总利润不低于2500元，则A种商品最多购进多少件？ 答案：A最多购进50件 解析：设A购进x件，则B购进(100-x)件。由题意20x+30(100-x)≥2500，化简得-10x≥-500，即x≤50，故A种商品最多购进50件。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式性质2 两边乘除同一个正数，不等号方向不变 c＞0时同号同向 不等式性质3 两边乘除同一个负数，不等号方向改变 最易错，必须变号 一元一次不等式 一个未知数、次数为1的不等式 去分母勿漏乘常数项 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 口诀：同大取大、同小取小 数轴表示 界点实心/空心，方向左小右大 含等号实心，不含空心 含参整数解 先求解集再在其中取整数 借数轴判断边界能否取等 实际应用 找不等关系列不等式（组） 结果须为合理非负整数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式的概念与基本性质（第1-6题） · 紧扣三条性质判断变形：加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数必变向 · 判断某式是否一定成立时常用举反例法，特别注意所乘除字母的正负 · 不等式两边乘除含字母的式子前，必须先判断该式为正还是为负 · 比较两个式子的大小可作差：差大于0则被减式大，差小于0则减式大 1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、不等式的性质、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 2．（2023·浙江杭州·二模）若，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】A选项：已知，，当时，，故A选项的不等式不一定成立； B选项：若，，此时，但，故B选项的不等式不一定成立； C选项：∵，， ∴，， ∴． 故C选项的不等式一定成立； D选项：若，，，则，故D选项的不等式不一定成立． 故选：C 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查的是不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 依据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不等式的两边加的不是同一个数字，所以式子不一定成立，故此选项不符合题意； B、不等式的两边同时减去9，不等号的方向不变，所以式子一定成立，故此选项符合题意； C、不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向要改变，所以式子不成立，故此选项不符合题意； D、不等式的两边同时乘以一个正数，不等号的方向不改变，当，则， ，所以式子不一定成立，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键．不等式两边同时加或减去同一个数字或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数字或整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的数字或整式，不等号方向改变．据此逐项分析判定即可． 【详解】解：∵， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 5．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】不等式的性质、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【知识点】不等式的性质、倒数、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的性质、平方运算、倒数关系、绝对值比较及不等式性质的综合应用，解题的关键是通过举反例或逻辑推导验证每个结论的正确性，尤其要注意符号对运算结果的影响． 通过对每个结论逐一分析：①利用平方相等的两数关系判断；②由分式等式推导出两数关系验证；③通过举正负不同的有理数反例判断；④结合两数大小和和的符号分析绝对值关系；⑤根据给定的、范围，利用不等式性质比较各代数式大小． 【详解】解：①由，根据平方性质，互为相反数的两数平方相等，故，①正确； ②由得（），故，②正确； ③若，，满足，但，故③错误； ④因且，若，则，矛盾，故，④正确； ⑤由，得，；，即；，即；， 故，⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【考点2】一元一次不等式（组）的解法与数轴表示（第7-14题） · 解不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1五步进行，乘除负数要变号 · 解不等式组先分别解出每个不等式，再用「同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到」取公共部分 · 数轴表示：大于向右、小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈 · 把解集在数轴上表示出来，是检验求解是否正确的直观手段 7．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段检测）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是：， 其解集在数轴上表示如下： ， 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】此题考查了不等式的解集在数轴上表示，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出的取值范围． 【详解】解：不等式组， 解得：， 解集在数轴上表示： 故选：A． 9．（22-23八年级下·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为，从而可求解． 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：， ， ． 在数轴上表示为： ． 故选：． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)， 将解集表示在数轴上，如图所示： (2)， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）以及在数轴上表示不等式（组）的解集： （1）先移项，再合并、系数化1可得到不等式的解集，然后用数轴表示其解集； （2）分别解两个不等式得到和，则利用大小小大中间找得到不等式组的解集，然后用数轴表示其解集． 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ∴原不等式的解集为． （2）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． （2）分别解两个不等式，再按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示如下所示： 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为. 13．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）解不等式组并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】， 在数轴上表示解集如图： 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示不等式的解集，分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 14．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集． （1）移项、合并同类项，系数化为1，即可求得答案； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 【考点3】含参不等式（组）的整数解与求参数（第15-25题） · 先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解、解集为某范围等条件倒推参数 · 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 · 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 · 不等式组无解即「大大小小」，也就是两个解集没有公共部分 15．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】先解出第一个不等式的解集，再根据即可确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵不等式组的解集为， ∴． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，关键是根据整数解的个数确定参数的取值范围． 先解不等式组，得到解集的范围，根据恰有2个整数解的条件确定m的取值范围，然后求出所有整数m的和． 【详解】解：对于不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组恰有2个整数解，且，整数解为和， ∴， ∵，得， 又∵，得， ∴m的取值范围为：， ∵为整数， ∴， 所有符合条件的整数m的和为：， 故选：D． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解、由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 18．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】根据解不等式组的方法，解出题目所给的不等式组的解，再根据不等式组恰有2个整数解即可求出a的取值范围. 【详解】解：， 解得：， 解得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有2个整数解， ∴不等式组的2个整数解为， ∴a的取值范围是. 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数． 先解不等式组，得到解集为 ，该解集恰有3个整数解，即整数解为 ，因此， 必须大于 1（以确保 被包含），且小于或等于 2（以确保 不被包含）． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ； 所以不等式组的解集为 ， 由于解集恰有3个整数解，即整数解为， 因此需满足 ． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ________． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围． 解：∵一元一次不等式组的解集为， ， 解得． 故答案为：． 22．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 __________，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 __________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数值，先将不等式组化简求出取值范围，然后根据解的情况可求得结果，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 若不等式有解，则，即， 若不等式刚好有两个整数解，得到两个整数解为：， 此时，解得， 故答案为：；． 23．（23-24八年级上·浙江金华·期中）关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是______． 【答案】/ 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集为，则利用同大取大可得到a的范围． 【详解】解：解不等式，得， 而不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是_____________． 【答案】①④/④① 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式组，从而求出的范围． 【详解】解：， 解不等式①，得． 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ①若它的解集是，则， 解得，故结论正确； ②当时，． 不等式组无解，故结论不正确； ③若它的整数解仅有3个，则，解得． 则的取值范围是，故结论不正确； ④若它有解，． 解得，故结论正确． 综上可知，正确的有①④． 故答案为：①④． 【考点4】不等式（组）与方程、函数、几何的综合（第26-40题） · 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 · 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） · 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） · 与分式方程结合：先解出方程并保证分母不为0，再由解为正、负列不等式 26．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形三边的关系，解不等式组，先根据题意得到，由三角形三边关系定理得：，得到不等式组的解集是，即可得到答案． 【详解】解：由点在数轴上的位置得：， ∵线段能围成三角形， ∴由三角形三边关系定理得：， 不等式①恒成立， 由不等式②得：， 由不等式③得：， ∴不等式组的解集是， 故选：C． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 28．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是得出关于k的不等式． （1）将方程组中的两个方程相加，即可得到用含k的代数式表示出，然后根据，即可求得k的取值范围 (2)先用含k的式子表示出方程组的解，再根据x，y均为正整数，且，即可得到该方程组的解． 【详解】解：（1） ①+②，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由解得 ， ∵均为正整数，且， ∴当时，； 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不符合题意，都舍去， 由上可得，该方程组的解为． 故答案为：． 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知正整数a，b，c均小于5，存在整数m满足，则的值为______． 【答案】或 【知识点】含乘方的有理数混合运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次不等式组的解法，求出m与的值是解题的关键． 首先根据正整数a，b，c均小于5，得出，，即，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出，那么．观察得只有，，求出或9，计算即可． 【详解】解：∵正整数a，b，c均小于5， ∴，， ∴， ∴， ∵m为整数， ∴， ∴． ∵正整数a，b，c均小于5， ∴的取值只能为2，4，8，16， ∵，， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有________对． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再解一元一次不等式得，即可得到，从而得到正整数解即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正整数解为：三个， ∴这样的全等三角形有对， 故答案为： ． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系，求不等式组的解集等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 根据题意得出，消去t得，在中，代入计算得出． 【详解】解：∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是________．（只填序号） 【答案】①④ 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数，求不等式的解集，先求出方程组的解，再根据各选项的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：解，得：， ∴当时，，方程为， 把代入，得到，故①正确； ∵， ∴，故②错误； 若，则：， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故④正确； 故答案为：①④． 34．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式组，由题意可得，推出，由一次函数不经过第四象限得出，求出，结合，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到，再根据方程的解为负数以及分母不为0列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵分母不为0， ∴， ∴， ∴； 综上所述，且， 故答案为：且． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点在同一直线上，设的度数为度，度数为度，当时，的取值范围为______． 【答案】 【知识点】等边对等角、求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质定理以及三角形的内角和定理和解不等式组的知识，根据可得，进而得，利用三角形得内角和定理可得，由x得范围即可解决． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵度数为y度， ∴， 则：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是___． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一次函数图像与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图像在一、二、三象限；当的图像在一、三、四象限；当的图像在一、二、四象限；当的图像在二、三、四象限． 故此得到不等式组求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过一、三、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 39．（25-26七年级下·吉林长春·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离为_____，点到点的距离与点到点的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当满足_____时，有最小值，最小值为_____． (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式的解集是或； 由图2可得出：绝对值不等式的解集是；则，不等式的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式的解集是_____． 【答案】(1)3， (2)，最小值为1 (3)①或；②或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）利用绝对值的意义计算和表示相应距离即可； （2）分析出的意义，结合数轴找到合适的值即可； （3）①仿照所给例即可求解；②分三种情况，并结合数轴求解． 【详解】（1）解：点B到点C的距离为； 点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为； （2）解：表示数轴上x与3和x与2的距离之和，    故当时，取最小值，且最小值为； （3）解：①的解集为或； ②当时，， ∴； 当时，， ∴x无解； 当时，， ∴； 综上所述：或． 40．（2024·江苏常州·模拟预测）方程和不等式组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组的基本解法． （1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：把代入最简公分母， 原方程的解为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 【考点5】一元一次不等式（组）的实际应用（第41-52题） · 审题抓住关键词：「至少、不超过、最多、不足」分别对应相应不等号 · 方案问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定所有可行方案 · 求最优方案时，在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 · 结果必须检验是否为符合实际的非负整数、人数件数等合理数量 41．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（     ）人． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设这个班的学生有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐人数为，由“还不足名同学在操场上踢足球”可得：，解题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 【详解】设这个班的学生有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐人数为， 由“还不足名同学在操场上踢足球”可得：， ∴， ∵能被、、整除且为正数， ∴最大为， 则这个班的学生最多有人， 故选：． 42．（23-24七年级下·全国·期中）市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了不等式的应用，设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆，根据车队需要一次运输沙石165吨以上列不等式求解即可． 【详解】解：设购买甲种卡车x辆，则购买乙种卡车辆． 依题意得：， 解得． 根据题意，x为非负整数，所以，，． 所以车队有3种购买方案： 方案一：不购买甲种卡车，购买乙种卡车6辆； 方案二：购买甲种卡车1辆，购买乙种卡车5辆； 方案三：甲种卡车2辆，购买乙种卡车4辆． 故选：C． 43．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，进而列出不等式组解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为， 则， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． 44．（23-24八年级上·浙江温州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 探究奖项设置和奖品采购的方案 素材1 如图，某学校举办“迎亚运庆国庆”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品，已知一盒水笔比一本笔记本的单价多10元，6盒水笔和3本笔记本的总价为150元． 素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表： 素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表： 获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 调整前人数（单位：个） 5 15 30 调整后人数（单位：个） m 20 n 注：调整后增加一等奖人数，且学校购买奖品的预算经费控制在2050元之内． 素材3 调整后开始采购，了解到A,B两家超市均在搞促销活动．A超市买4盒水笔送1本笔记本，B超市所有商品九折出售． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务2 探究设奖方案 求m,n所有可能的值． 任务3 选择最优方案 【答案】任务一：一盒水笔20元，一本笔记本10元； 任务二：共有两种可能，分别是或； 任务三：选择A超市购买比较合算 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，解题的关键是理解题意； 任务一：设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，然后根据题意可列方程，进而求解即可； 任务二：由题意易得，然后进行分类讨论即可求解； 任务三：由任务二及题意可分类求出所需费用，然后问题可求解． 【详解】任务一：解：设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元， 根据题意得：， 解得， 答：一盒水笔20元，一本笔记本10元． 任务二：根据题意，得：， 需要的水笔数量为盒， 需要的笔记本为：本， ∴， 解得：． ∵m是整数， ∴或7， ∴共有两种可能，分别是或； 任务三：①当，时，需要的水笔数量为：（盒）， 需要的笔记本为：（本）， A超市：买水笔82盒，需支付（元），送20本笔记本，再买12本笔记本，需支付（元），共支付（元）； B超市：（元） ∵， ∴选择去A超市购买比较合算． ②当，时，需要的水笔数量为：（盒）， 需要的笔记本为：（本）， A超市：买水笔84盒，需支付（元），送21本笔记本，再买13本笔记本，需支付（元），共支付（元）； B超市：（元） ∵， ∴选择去A超市购买比较合算， ∴两种情形均选择去A超市购买比较合算． 45．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元 (2)购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据题意建立不等式组，解不等式组可得x的取值范围，再结合为正整数可得m所有可能的取值，然后根据（1）的结果逐个计算总费用，找出总费用最少的购买方案即可． 【详解】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元， 根据题意得：，解得：． ∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元． （2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱， ∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍， ∴，解得：， ∵x为整数， ∴当，19或20 ∴当时，此时，费用为（元）： 当时，此时，费用为（元）； 当时，此时，费用为（元）： ∵ ∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元． 46．（浙江七年级下期末真题精选（压轴60题19个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点 重难点讲练与测试（浙教版））宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． (1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； (2)当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ ②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值； (3)为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？ 【答案】(1)a的值为20 (2)①圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮；②b的值为9或18 (3)每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一元一次方程的应用)、分式方程和差倍分问题 【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可； （2）①设圆篮共包装了x篮，则方篮共包装y 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于m和n的方程组，根据n为正整数，可以求出b的大致范围以及b为9的倍数，从而得到b的值； （3）每辆大货车运送方形杨梅p篮，则每辆中货车运送方形杨梅篮，再根据运送完这批杨梅大中货车运送车次比为列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， 答：a的值为20． （2）解：①设圆篮共包装了x篮，方篮共包装y 篮， 由题意，得， 解得：， 答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮． ②设此时出售了m篮圆篮，n篮方篮杨梅， 由题意得， 解这个关于m和n的方程组，可得：， ∵n为正整数， ∴，且b应为9的倍数， 解得：， ∴b的值为9或18． （3）解：设设每辆大货车运送方形杨梅p篮，则每辆中货车运送方形杨梅篮， 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴ 答：每辆大货车运送方形杨梅120篮，每辆中货车运送方形杨梅90篮． 【点睛】本题主要考查了本二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式和分式方程的实际应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般． 47．（2025·江西·模拟预测）2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 (1)求甲、乙两款玩具战机的进货单价； (2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 【答案】(1)甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元； (2)商家最少需购进甲款玩具战机60件． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元，列出方程组然后求解即可； （2）设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件，列出不等式然后求解即可． 【详解】（1）解：设甲款玩具战机的进货单价为元，乙款玩具战机的进货单价为元。 根据题意，得：， 解得； 答：甲款玩具战机的进货单价为80元，乙款玩具战机的进货单价为50元． （2）解：设商家购进甲款玩具战机件，则购进乙款玩具战机件， 根据题意，得：， 解得； 答：商家最少需购进甲款玩具战机60件． 48．（21-22七年级下·浙江温州·阶段检测）今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)饮用水和蔬菜分别为200件和120件； (2)应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、不等式组的方案选择问题 【分析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据题意列方程求解即可； （2）设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆，根据题意列不等式组，求出整数解得到不同方案，再计算不同方案所需的运费，比较后确定方案即可． 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件． 由题意，得， 解得． ∴． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）解：设租用甲型货车m辆，则租用乙型货车辆． 由题意，得， 解得． ∵m为正整数， ∴或3或4， ∴安排甲、乙两种型号货车时有3种方案，分别为： ①甲型货车2辆，乙型货车6辆； ②甲型货车3辆，乙型货车5辆； ③甲型货车4辆，乙型货车4辆； 3种方案的运费分别为： ①（元）； ②（元）； ③（元）； ∵， ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：应选择甲型货车2辆，乙型货车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 49．（24-25八年级上·浙江温州·期中）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元． (1)分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价； (2)某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？ 【答案】(1)30元；70元 (2)2瓶 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，结合1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元，再建立方程组求解即可； （2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买瓶“岩灰”，结合购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元， 由题意等：， 解得：， 答：“岩灰”的销售单价为30元，“石绿”的销售单价为70元； （2）解：设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买瓶“岩灰”， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为2， 答：该同学最多可以购买2瓶“石绿”． 50．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的经济问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 51．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． (1)求A、B两种芒果的单价； (2)顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 【答案】(1)A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤 (2)共有3种购买方案，分别是：①购买A款15斤，B款4斤；②购买A款10斤，B款8斤；③购买A款5斤，B款12斤 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用)、分式方程的经济问题 【分析】（1）设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据总花费列出二元一次方程，求方程的正整数解，即可得到所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解：设A款芒果的单价为元/斤，则B款芒果的单价为元/斤， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：A款芒果单价为12元/斤，B款芒果单价为15元/斤； （2）设购买A款芒果斤，购买B款芒果斤，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得 ， 均为正整数， 为整数， ∴是4的倍数， ∵得， 解得， 又， ∴的可取值为， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：共有三种购买方案，分别是：购买A款芒果15斤，B款芒果4斤；购买A款芒果10斤，B款芒果8斤；购买A款芒果5斤，B款芒果12斤． 52．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段检测）学校将周二下午的“阳光体育社团”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳的单价贵4元，且购买4条长跳绳与购买6条短跳绳的费用相同． (1)求两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过1860元的现金购买长、短跳绳共200条，那么学校至少需要购买多少条短跳绳？ 【答案】(1)长跳绳的单价为12元，短跳绳的单价为8元； (2)学校至少需要购买135条短跳绳． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设短跳绳的单价为x元，则长跳绳的单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可； （2）设学校购买y条短跳绳，则学校购买条长跳绳，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y的解集即可解答． 【详解】（1）解：设短跳绳的单价为x元，则长跳绳的单价为元， 根据题意有， 解得：， ， 答：长跳绳的单价为12元，短跳绳的单价为8元； （2）解：设学校购买y条短跳绳，则学校购买条长跳绳， 根据题意有， 解得：， 答：学校至少需要购买135条短跳绳． 💯 课后巩固 复习建议 · 不等式两边乘除同一个负数时不等号必须变向，这是本章最易错的地方 · 解不等式组要先分别求解，再借助数轴和口诀取解集的公共部分 · 含参问题先解出范围，再借助数轴数整数解，特别注意边界能否取等 · 与方程、函数、几何的综合题，先把条件转化为不等式（组）再求解 · 实际应用问题解完要检验结果是否符合实际意义（非负整数、方案可行） 【作业1】．（2024·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由不等式①得，， 由不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为， 故选：C． 【作业2】．（24-25七年级下·湖南·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 【作业3】．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 【答案】D 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他们要登的山峰距出发点千米，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设他们要登的山峰距出发点千米， 由题意得，， 解得， ∴他们最远能登上山， 故选：． 【作业4】．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 【作业6】．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业7】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标变化，各个象限内点的坐标特点，解不等式组． 先求点P关于x轴的对称点坐标，再根据第三象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，且该对称点在第三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【作业8】．（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求出不等式①的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得． ∵不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分， ∴， 移项并合并同类项得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 【作业9】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 【作业10】．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解、求一元一次不等式的整数解 【分析】先将方程的解代入原方程，得到，根据非负整数的定义确定的所有可能取值，再计算对应的，比较得到最小值． 【详解】解：将代入得：， 整理得， ∵为非负整数， ∴，， 解得， ∵为非负整数， ∴的可能取值为． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． ， ∴的最小值为． 【作业11】．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是_______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据题意和题目中的运算程序可以得到，然后求解即可． 本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：． 【作业12】．（23-24七年级下·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为____． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，确定消费金额与彩券数量的不等关系是解题的关键． 首先根据题意可知，美美拿到3张摸彩券的意思即是消费金额大于等于300元小于400元，小仪拿到4张摸彩券的意思即是消费金额大于等于400元小于500元，根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：美美拿到3张彩券说明消费金额达到了300元，但是不足400元，小仪拿到了4张彩券说明消费金额达到了400元，但是不足500元，由此可得， 解得： 故答案为：． 【作业13】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点，分别表示数，，则的取值范围是______．    【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查解一元一次不等式，数轴，根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【作业14】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的一般步骤； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1即可得解． （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 【作业15】．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？ (3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？ 【答案】(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元 (2)共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台． (3)选择方案三最省钱，即购买电脑17台．需要28万元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用． （1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可； （2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答； （3）根据（2）的结果，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）解：设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台， 则， 解得：，即，16，17． 故共有三种方案： 方案一：购进电脑15台，电子白板15台； 方案二：购进电脑16台，电子白板14台； 方案三：购进电脑17台，电子白板13台． （3）解：方案一：总费用为万元； 方案二：总费用为万元； 方案三：总费用为万元． ∴方案三费用最低． 【作业16】．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段检测）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 其解集在数轴上表示如下所示： 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的一般步骤． 根据解一元一次不等式的一般步骤，求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【作业17】．（25-26七年级下·广东广州·期末）解方程组、解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、求一元一次不等式的解集 【详解】（1）解：， 得 ， 将代入①得， 解得， 方程组的解为； （2）解： ． 【作业18】．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·一元一次不等式·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解不等式的意义，掌握不等式的三条基本性质，能对不等式进行正确变形与比较大小 · 会解一元一次不等式（组），并能在数轴上直观地表示其解集 · 会根据不等式（组）的解集情况确定字母参数的取值范围，会求其整数解 · 能列一元一次不等式（组）解决实际问题，进行可行方案与最优方案的决策 · 体会数形结合、分类讨论与转化思想，提升分析问题与数学建模的能力 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与基本性质 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子；使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，所有解的集合叫解集 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式），不等号方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c 性质2：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc 性质3：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc 传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；比较大小常用作差法，差大于0则被减式大 概念辨析例题：若a＞b，且c＜0，则下列各式中一定成立的是（ ） A．ac＞bc B．a+c＜b+c C．ac＜bc D．＜ 答案：C 解析：由a＞b，c＜0，根据不等式性质3，两边乘负数c后不等号方向改变，得ac＜bc，故选C；A与性质3矛盾，B应为a+c＞b+c，D中c为负数，除以c后不等号反向，应为＞。 ☆ 2.一元一次不等式（组）的解法 一元一次不等式：只含一个未知数且未知数次数为1；解法步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 去分母时不要漏乘不含分母的项；系数化为1时若乘除负数，不等号方向必须改变 一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式组成；解集是各不等式解集的公共部分 解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 概念辨析例题：解不等式：-≥1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x≤-1 解析：去分母得2(2x-1)-3(5x+1)≥6；去括号得4x-2-15x-3≥6；移项、合并同类项得-11x≥11；系数化为1时两边除以-11，不等号变向，得x≤-1。 ☆ 3.解集在数轴上的表示 数轴表示规则：大于向右画，小于向左画；含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈 不等式组的解集是各不等式解集在数轴上的公共重叠部分 借助数轴可直观判断不等式组有解、无解，以及整数解的个数和边界能否取等 概念辨析例题：不等式组 x＞-1，x≤2 的解集是（ ） A．x＞-1 B．x≤2 C．-1＜x≤2 D．无解 答案：C 解析：x＞-1表示在-1处画空心圆圈向右，x≤2表示在2处画实心圆点向左，两个解集的公共部分为-1与2之间（含2不含-1），即-1＜x≤2，故选C。 ☆ 4.一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式解应用题步骤：审题设未知数→抓住关键词找不等关系→列不等式（组）→求解→检验是否符合实际 常见关键词：「至少、不低于、不少于」对应≥，「至多、不超过、不足」对应≤ 方案设计问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定可行方案，必要时比较选出最优方案 实际问题的结果必须是符合题意的非负整数或合理数量 概念辨析例题：某商店购进A、B两种商品共100件，A每件利润20元，B每件利润30元。若总利润不低于2500元，则A种商品最多购进多少件？ 答案：A最多购进50件 解析：设A购进x件，则B购进(100-x)件。由题意20x+30(100-x)≥2500，化简得-10x≥-500，即x≤50，故A种商品最多购进50件。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式性质2 两边乘除同一个正数，不等号方向不变 c＞0时同号同向 不等式性质3 两边乘除同一个负数，不等号方向改变 最易错，必须变号 一元一次不等式 一个未知数、次数为1的不等式 去分母勿漏乘常数项 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 口诀：同大取大、同小取小 数轴表示 界点实心/空心，方向左小右大 含等号实心，不含空心 含参整数解 先求解集再在其中取整数 借数轴判断边界能否取等 实际应用 找不等关系列不等式（组） 结果须为合理非负整数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式的概念与基本性质（第1-6题） · 紧扣三条性质判断变形：加减不变向，乘除正数不变向，乘除负数必变向 · 判断某式是否一定成立时常用举反例法，特别注意所乘除字母的正负 · 不等式两边乘除含字母的式子前，必须先判断该式为正还是为负 · 比较两个式子的大小可作差：差大于0则被减式大，差小于0则减式大 1．（2025·北京·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·二模）若，，则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④，，则；⑤若，则．其中正确的是______．（填序号） 【考点2】一元一次不等式（组）的解法与数轴表示（第7-14题） · 解不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1五步进行，乘除负数要变号 · 解不等式组先分别解出每个不等式，再用「同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到」取公共部分 · 数轴表示：大于向右、小于向左，含等号用实心点，不含等号用空心圈 · 把解集在数轴上表示出来，是检验求解是否正确的直观手段 7．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段检测）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·四川成都·期中）把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）并把解表示在数轴上： (1) (2) 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）解下列不等式（组）． (1)； (2)． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）解不等式组并把不等式组的解集表示在数轴上． 14．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 (1)解不等式； (2)不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【考点3】含参不等式（组）的整数解与求参数（第15-25题） · 先把参数看作常数解出解集，再根据整数解个数、有解无解、解集为某范围等条件倒推参数 · 已知整数解个数时，借助数轴在解集中「数格子」，确定参数的上界与下界 · 边界能否取等是高频易错点，应单独把端点值代入验证是否满足题意 · 不等式组无解即「大大小小」，也就是两个解集没有公共部分 15．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于x的不等式组恰有2个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（    ） A．0 B． C． D． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 18．（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围为_________． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ________． 22．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 __________，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 __________． 23．（23-24八年级上·浙江金华·期中）关于x的不等式组的解集是，那么a的取值范围是______． 24．（23-24九年级上·浙江·期末）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为__________． 25．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知关于的不等式组下面四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则；④若它有解，则．其中正确的结论序号是_____________． 【考点4】不等式（组）与方程、函数、几何的综合（第26-40题） · 与方程组结合：先解方程组用参数表示x、y，再代入题给不等关系求参数范围 · 与一次函数结合：由图象经过的象限确定k、b的符号，列出不等式（组） · 与几何结合：利用三角形三边关系、点所在象限、等腰三角形性质等列出不等式（组） · 与分式方程结合：先解出方程并保证分母不为0，再由解为正、负列不等式 26．（2024·河南郑州·二模）已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为，1，x，7，点C在线段上且不与端点重合，若线段能围成三角形，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组（k为常数）． （1）若该方程组的解x，y满足，则k的取值范围为________． （2）若该方程组的解x，y均为正整数，且，则该方程组的解为_________． 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知正整数a，b，c均小于5，存在整数m满足，则的值为______． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有________对． 31．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若x，y满足（t为参数），则称点为“好点”．在的范围内，若直线上存在“好点”，则c的取值范围为__________． 32．（24-25八年级上·重庆江北·期末）若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是______． 33．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）已知关于、的方程组 ①当时，方程组的解也是的解；②若，则；③若，则；④无论取何值，、的值都不可能互为相反数． 以上结论正确的是________．（只填序号） 34．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）一次函数的图象经过点，且不经过第四象限，则的取值范围是_______． 35．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围为______． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是_____． 37．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点在同一直线上，设的度数为度，度数为度，当时，的取值范围为______． 38．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）已知一次函数的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是___． 39．（25-26七年级下·吉林长春·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题： 材料：在学习绝对值时，一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．例如：数轴上与3对应的点之间的距离为． (1)点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离为_____，点到点的距离与点到点的距离之和可表示为_____（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究：当满足_____时，有最小值，最小值为_____． (3)①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式； 由图1可得出：绝对值不等式的解集是或； 由图2可得出：绝对值不等式的解集是；则，不等式的解集是_____； ②利用数轴直接写出不等式的解集是_____． 40．（2024·江苏常州·模拟预测）方程和不等式组： (1) (2) 【考点5】一元一次不等式（组）的实际应用（第41-52题） · 审题抓住关键词：「至少、不超过、最多、不足」分别对应相应不等号 · 方案问题常先用二元一次方程组求出单价，再用不等式（组）确定所有可行方案 · 求最优方案时，在可行解中结合一次函数增减性或逐一比较各方案费用 · 结果必须检验是否为符合实际的非负整数、人数件数等合理数量 41．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（     ）人． A．人 B．人 C．人 D．人 42．（23-24七年级下·全国·期中）市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重为8 吨的卡车5辆、10吨的卡车7辆，该工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备再购买这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则购买方案有（　） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 43．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． 44．（23-24八年级上·浙江温州·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 探究奖项设置和奖品采购的方案 素材1 如图，某学校举办“迎亚运庆国庆”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品，已知一盒水笔比一本笔记本的单价多10元，6盒水笔和3本笔记本的总价为150元． 素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表： 素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表： 获奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 调整前人数（单位：个） 5 15 30 调整后人数（单位：个） m 20 n 注：调整后增加一等奖人数，且学校购买奖品的预算经费控制在2050元之内． 素材3 调整后开始采购，了解到A,B两家超市均在搞促销活动．A超市买4盒水笔送1本笔记本，B超市所有商品九折出售． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出每盒水笔和每本笔记本的价格． 任务2 探究设奖方案 求m,n所有可能的值． 任务3 选择最优方案 45．（24-25八年级上·浙江金华·期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元． (1)A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？ (2)若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 46．（浙江七年级下期末真题精选（压轴60题19个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点 重难点讲练与测试（浙教版））宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． (1)若销售a篮圆篮和a篮方篮共收入8600元，求a的值； (2)当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ ②若杨梅大户留下b（b＞0）篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求b的值； (3)为了让更多的人及时吃到杨梅，几家种植大户联合，一起拼车用大、中两种快递送货车运送方形篮杨梅720篮，大车每车比中车每车多送30篮，若一半杨梅用大车送货，一半杨梅用中车装．运送完这批杨梅大中货车运送车次比为，求每辆大、中货车各运送方形杨梅几篮？ 47．（2025·江西·模拟预测）2024年12月26日，我国一架形似银杏叶的划时代飞行器，在一架歼的伴随下飞上天空，引爆全网，震惊世界．某商家借助这一热点，购进如图所示的甲、乙两款玩具战机进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价分别相同）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 (1)求甲、乙两款玩具战机的进货单价； (2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款玩具战机共100件，若每件甲款玩具战机的售价为160元，每件乙款玩具战机的售价为110元，且销售完这100件玩具战机所获得的利润不低于7200元，则商家最少需购进甲款玩具战机多少件？ 48．（21-22七年级下·浙江温州·阶段检测）今年夏天，某地区遭受罕见的水灾，“水灾无情人有情”，某单位给该地区某中学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往受灾地区某中学，已知每辆甲型货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙型货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，如果甲型货车每辆需付运费400元，乙型货车每辆需付运费360元，某单位应如何安排甲型，乙型货车使运费最少？最少运费是多少？ 49．（24-25八年级上·浙江温州·期中）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元． (1)分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价； (2)某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？ 50．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 51．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）一位顾客到精品水果店选购A款芒果和B款芒果，他对比发现：花费360元买到的A款芒果重量，和花费450元买到的B款芒果重量完全相同，且B款芒果的单价比A款贵3元/斤． (1)求A、B两种芒果的单价； (2)顾客计划恰好用240元购买这两种芒果，两种芒果均需购买，且购买重量均为整数斤，有哪些购买方案？ 52．（24-25八年级下·辽宁丹东·阶段检测）学校将周二下午的“阳光体育社团”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳的单价贵4元，且购买4条长跳绳与购买6条短跳绳的费用相同． (1)求两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过1860元的现金购买长、短跳绳共200条，那么学校至少需要购买多少条短跳绳？ 💯 课后巩固 复习建议 · 不等式两边乘除同一个负数时不等号必须变向，这是本章最易错的地方 · 解不等式组要先分别求解，再借助数轴和口诀取解集的公共部分 · 含参问题先解出范围，再借助数轴数整数解，特别注意边界能否取等 · 与方程、函数、几何的综合题，先把条件转化为不等式（组）再求解 · 实际应用问题解完要检验结果是否符合实际意义（非负整数、方案可行） 【作业1】．（2024·湖南·模拟预测）不等式组的解集在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25七年级下·湖南·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【作业3】．（20-21七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（    ） A．山 B．山 C．山 D．山 【作业4】．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25八年级上·浙江金华·期中）若不等式组无解，则m的值可能（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【作业6】．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为________． 【作业7】．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知点关于x轴的对称点在第三象限，则的取值范围是_____． 【作业8】．（25-26七年级下·黑龙江伊春·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【作业9】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则_______． 【作业10】．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）已知是二元一次方程的非负整数解，则的最小值为________． 【作业11】．（23-24七年级下·山东日照·期末）如图，这是李强同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个x值“到判断“结果是否≥15为一次运行过程，如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是_______． 【作业12】．（23-24七年级下·全国·期末）美美和小仪到超市购物，且超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知美美一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；小仪一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券．若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为150元，则x的范围为____． 【作业13】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在数轴上点，分别表示数，，则的取值范围是______．    【作业14】．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）解下列不等式（组）： (1)； (2) 【作业15】．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？ (3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？ 【作业16】．（22-23七年级上·江苏苏州·阶段检测）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【作业17】．（25-26七年级下·广东广州·期末）解方程组、解不等式： (1)； (2)． 【作业18】．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解不等式组：． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $