第2章·特殊三角形·期中复习培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第2章·特殊三角形·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等腰三角形的轴对称性，掌握等腰三角形「等边对等角」与「三线合一」性质及其判定 · 掌握等边三角形的性质与判定，理解直角三角形两锐角互余及斜边上中线等于斜边一半 · 熟练运用勾股定理求边长、面积，能在网格、折叠与弦图背景中构造直角三角形求解 · 掌握勾股定理的逆定理，能判定直角三角形并解决实际应用与最短路径问题 · 理解角平分线与线段垂直平分线的性质定理，能解决轴对称、折叠与动点综合探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质与判定 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；性质定理2：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 等腰三角形边长、角度问题常需分类讨论：已知边为腰还是底、已知角为顶角还是底角 概念辨析例题：等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为____ 答案：50°或80° 解析：分两种情况：若50°为顶角，则顶角就是50°；若50°为底角，则顶角为180°-2×50°=80°。故顶角为50°或80°。 ☆ 2.等边三角形与直角三角形 等边三角形三边相等、三个内角都等于60°；判定：三个角相等的三角形，或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反之，若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为____ 答案：5 解析：斜边c===10；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故中线长为=5。 ☆ 3.勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理应用：已知两边求第三边、求面积、求高、在网格中求线段长、折叠问题中建立方程 勾股定理的逆定理：若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，如3、4、5；5、12、13；8、15、17 概念辨析例题：三角形三边长分别为7、24、25，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？ 答案：是，25所对的角是直角 解析：因为72+242=49+576=625=252，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形，最长边25所对的角是直角。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；反之，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），它到三个顶点的距离相等 作图：会用尺规作角平分线和线段的垂直平分线，注意保留作图痕迹 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为____ 答案：4 解析：CD=BC-BD=10-6=4；因为AD是角平分线，DC⊥AC，由角平分线的性质知点D到AB的距离等于CD=4。 ☆ 5.轴对称、折叠与最短路径 轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合；成轴对称的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，常结合勾股定理建立方程求解 最短路径问题：直线同侧两点到直线上一点距离之和最小，用轴对称将同侧转化为异侧，再由两点之间线段最短求解 镜面对称与电子钟读数：左右相反，可利用作对称图形还原实际时刻 概念辨析例题：将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C落在AB边上，若∠1=40°，则∠2=____ 答案：100° 解析：折叠前后对应角相等，由平角定义与平行线性质可得∠2=180°-2∠1=180°-80°=100°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形 等边对等角；三线合一 求边长角度须分类讨论 等边三角形 三边相等，三角均为60° 有一个60°的等腰三角形即等边 直角三角形 两锐角互余；斜边中线= 斜边是最长边 勾股定理 a2+b2=c2 仅适用于直角三角形 勾股逆定理 a2+b2=c2⇒直角三角形 先找最长边再验证 角平分线 角平分线上的点到两边距离相等 距离是垂线段长 垂直平分线 线上点到两端点距离相等 常与等腰三角形结合 最短路径 轴对称转化后两点连线最短 注意对称点的作法 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质与角度计算（第1-8题） · 见到等腰三角形立刻联想「等边对等角」与「三线合一」，优先用底角相等列方程 · 角度计算常用三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和建立关系式 · 已知等腰三角形的边或角时先分类讨论：边分腰与底，角分顶角与底角，并用三角形三边关系检验 · 三线合一可直接把顶角平分线、底边中线、底边高互相转化，省去证明 · 遇含中线、面积的问题，把中线作为底边上的高（三线合一）可简化计算 1．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 2．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、根据等角对等边证明等腰三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、等边对等角、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角，掌握相关知识点是解题的关键． 在上取点F，使得，证，得到，根据等腰三角形的性质，三角形的外角证，求得，即可求解． 【详解】解：如图，在上取点F，使得， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 【答案】16 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定 【分析】由直角三角形的性质可得，由垂直的定义及平角的定义可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可证明，再利用三角形的周长公式可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的周长为： ． 5．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 __． 【答案】50 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，逐步推导得出角度．此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【详解】解：，，，， ，，，， ， ， ， ． 故答案为：50． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个底角是，那么顶角是______． 【答案】100 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形的性质成为解题的关键． 先根据等边对等角可得另一个底角为，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角是， ∴另一个底角为， ∴顶角是． 故答案为：100． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 8．（2015·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【答案】 证明：如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【知识点】三线合一、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直平分线的性质．通过证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质和垂直平分线的性质来证明线段相等，需要用到的概念有全等三角形的判定条件和垂直平分线的性质． 【详解】略 【考点2】等腰三角形的判定与等边三角形（第9-15题） · 判定等腰三角形用「等角对等边」：找到两个相等的角，所对边即相等 · 等边三角形判定三法：三边相等、三角相等、有一个60°的等腰三角形 · 等腰三角形边长问题先用三角形三边关系（两边之和大于第三边）取舍可能的解 · 绝对值、平方的非负性与等腰结合：由|a-3|+(b-7)2=0得两边长，再分类求周长 · 证明边相等优先考虑全等，再考虑等角对等边 9．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，过点A作，先运用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可得到，根据等腰三角形的性质进而求得的值．本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形底边上的高、底边上的中线相互重合是解题的关键．注意等积法的应用． 【详解】解：连接，过点A作，如图所示： ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵过点作于点，作于点， ∴结合图形，根据等面积法，得， 即：， ∴， 可得：， 故选：B． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要涉及直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的判定与性质．先用勾股定理求出的长度．然后通过角度关系和等腰三角形的判定与性质推出，，再根据得到．从而得出的长度，进而在中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：， ． ，， ． ， ， ∴， ∴， ，则． ， ． ． ． ． ， ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】15 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查非负数的性质，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，先根据绝对值、平方的非负性求出x和y，再根据三角形的三边关系确定腰长、底长，即可求解． 【详解】解： ， ，， 解得，， 当3为腰长，6为底边长时，三条边长为3，3，6，，不符合三角形三边关系，即这种情况不存在； 当6为腰长，3为底边长时，三条边长为3，6，6，符合三角形三边关系， ∴周长为： 故答案为：15． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形． 【答案】等边/正 【知识点】等边三角形的判定、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 由题意知，，可求，进而可得是等边三角形，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查等边、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 在上取点，使，连接，先得到，进而说明是等边三角形，再证，继而得到，则，代入长度即可求解． 【详解】如图，在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， , ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为________． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理等知识，根据等腰三角形的定义和勾股定理求出，，，再根据勾股定理求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 15．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，在的同一侧作与，与交于点．已知，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边． 根据等角对等边得到，证明，即可得到． 【详解】略 【考点3】直角三角形与勾股定理（第16-26题） · 勾股定理a2+b2=c2使用前先确认三角形是直角三角形，c为最长边 · 已知两边求第三边：分清求直角边还是斜边，必要时设未知数列方程 · 斜边中线等于斜边一半：见到直角三角形斜边中点，立刻连中线得倍分关系 · 网格中求线段长：把线段看作直角三角形斜边，数格子得两直角边再用勾股 · 弦图问题利用四个直角三角形全等，结合面积法建立两直角边和与积的关系 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，把未知量归入同一直角三角形用勾股列方程 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理．由，为，，根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得的长，然后由勾股定理求得的长．解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为． 故选：C． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是勾股定理网格问题，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：当在正方形的边上时，的长为：，，， 当在格点的对角线上时，如图， ，，， ，，， 综上，只有A符合题意． 故选：A． 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）直角三角形中，点为中点，，，则长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在直角三角形中，点为中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 19．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 21．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 【答案】或 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时． 【详解】解：①当P运动到时，如图所示： 在和中， ， ∴， 即； ②当P运动到与C点重合时，如图所示： 在和中， ， ∴）， 即． 综上所述，的长度是或． 故答案为：或． 22．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、垂线的定义理解、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角形两锐角互余得，继而求得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；直角三角形两锐角互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，．为边的中点，于点．则的长度为_____．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用二次根式的性质化简，多次运用勾股定理求解是解题的关键． 过点作于点，对，，运用勾股定理以及等面积法进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图．   在中，， ， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ； ， 故答案为：． 24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查赵爽弦图的性质，勾股定理，结合弦图结构推导边长是解题关键． 设，利用是中点的条件求出和，再根据勾股定理求出，进而求出大正方形面积和小正方形面积，最终算出面积比． 【详解】解：设， ∵点为的中点， ∴， 是直角三角形， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， 正方形的面积与正方形的面积之比为． 故答案为：． 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得交于点， (1)若，求的度数； (2)若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) ①证明：如图，过点H作于点M，则，， 在中，， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质， （1）根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，即可求解； （2）①过点H作于点M，则，，根据直角三角形的性质，可得，从而得到，，继而得到，可证明，即可；②设交于点K，交于点N，先证得，可得，再根据勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）①略 ②解：设交于点K，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，是上的一点，作于点． (1)求证：平分． (2)若．求的长度． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． (2)7.5 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线． （1）证明，即可得出结论． （2）先由勾股定理求出，再由（1），得，，从而求得，再在中，根据勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，由勾股定理，得 ， ∴ ∵ ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得 解得：， ∴． 【考点4】勾股定理的逆定理及实际应用（第27-32题） · 用逆定理判定直角三角形：先找最长边c，再验证较短两边平方和是否等于c2 · 实际应用（选址、台风影响、距离相等）：画出示意图，把实际量归入直角三角形 · 求最短路径：立体图形展开成平面，沿展开图两点间线段用勾股求长 · 列方程解勾股应用：设未知数表示两直角边，由勾股定理建立方程 · 判断受影响类问题：求点到直线的垂线段距离，再与影响范围比较 27．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 28．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 29．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵，，， ∴． ∴是直角三角形， ∴； (2)解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 30．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 31．（24-25八年级上·浙江·期中）某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表： 课题 测量池塘两端A，B的距离 测量工具 皮尺，标杆 测量方案示意图 测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得． 任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长； 任务二 请你证明． 【答案】任务一：； 任务二：证明：在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】该题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 任务一：勾股定理逆定理求出，再利用勾股定理即可求出的长． 任务二：证明，即可解答． 【详解】解：任务一：∵，，，且， 即， ∴， ∵，， ∴； 任务二：略 32．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】(1)海港C受台风影响 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． （2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第33-39题） · 角平分线上的点到角两边的距离相等：见到角平分线+垂直，立刻转移垂线段长度 · 线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，可把折线段转化到同一直线上 · 与全等结合：角平分线提供一组等角，加上HL/AAS可证三角形全等 · 尺规作角平分线、垂直平分线要保留痕迹，并能写出作图依据 · 综合题中把垂直平分线性质转化为等腰三角形，再用等边对等角求角 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、等边对等角、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理得到，利用角平分线性质得到，利用三角形内角和定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，进而得到，再证明，利用全等三角形性质得到，即可求得的长． 【详解】解： ，， ， 是的角平分线，于点，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 34．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 35．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握方程思想是解题关键． 过点作，利用角平分线性质证明全等三角形进而得到，设，然后表示出，，再在中用勾股定理列方程求出的长度，进而求出． 【详解】解：如图，过点作，则， ，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 可得， 解得，． 故选：． 36．（19-20八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图，作于T．由，推出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于T． ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【知识点】作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了尺规作图—基本作图、角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，由即可判断①；证明即可判断②． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确， 故选：A． 38．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为______． 【答案】20 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠中的角度计算，根据折痕是角平分线，结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∴，即：， ∴； 故答案为：20． 39．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）请用直尺和圆规作的角平分线交于点D，再过点D用尺规做的垂线交于E （2）若，在（1）情况下，求的长． 【答案】（1）如图所示： （2）5 【知识点】用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质、勾股定理． （1）利用角平分线的尺规作图求解可得； （2）由勾股定理得出的长，设，由等面积法即可求解． 【详解】（1）略 （2） ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得． ． 【考点6】轴对称、折叠与几何综合探究（第40-52题） · 折叠问题抓住对应边相等、对应角相等，把分散条件集中到一个直角三角形中 · 平行线+折叠求角：利用折叠角相等和平行线内错角、同旁内角关系列方程 · 最短路径问题：作对称点把同侧两点化异侧，连线与直线交点即为所求点 · 动点与函数图象：分析动点在不同阶段对应的图形变化，抓住不变量（三线合一、等腰） · 一次函数与几何综合：先由坐标求线段长，再用勾股定理建立方程求解 · 倍长中线模型：遇中线延长一倍构造全等三角形，把分散条件集中到同一三角形 40．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质得出，再根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，进而解答即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 41．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等和折叠角相等． 根据由折叠可得，平行线的性质可得，再根据平角定义可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵折叠可得： ∵ ∴ ∴ 故选：B. 42．（21-22八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】 如图，连接，，根据等腰三角形三线合一性质推出是的垂直平分线，得，继而得到当点、、三点共线时，的最小值是的长，证明是等边三角形，再结合线段的中点可推出，，最后根据勾股定理得即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴是边上的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点、、三点共线时，的最小值是的长， ∵在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，即， ∴． 43．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中，则_________． 【答案】/135度 【知识点】等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角的性质，等边三角形性质，根据三角形的外角和求出，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 44．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为________． 【答案】/36度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，最后根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 45．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为___________． 【答案】/55度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据角的和差可得，则可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵在长方形纸片中，， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题重点考查勾股定理与折叠问题，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解，熟练掌握折叠的原理和勾股定理是完成本题的关键． 第一步先利用折叠原理，得到为直角三角形，求得的值，并得到的值；第二步，求解，先设，得到，利用第一步的结论，通过勾股定理得到的值；第三步过作交于，利用直角三角形的性质和勾股定理计算得到的值，第四步用三角形的面积公式，利用前两步的结论计算完成求解． 【详解】解：由已知条件和折叠可知，为直角三角形，，， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 过作交于，如下图， 由翻转的性质知，为直角三角形， ∴，， 根据直角三角形的面积公式得， ∴， 故的高为的长，底边为， ∴， 故答案为：． 47．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，把沿着直线翻折得到，过点A作交于点D，连接．若，是以为腰的等腰三角形，则此时的长＝______． 【答案】10或11 【知识点】用勾股定理解三角形、根据平行线的性质探究角的关系、三线合一、折叠问题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．先由翻折以及平行线的性质得到，再分情况讨论，结合等腰三角形的性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由翻折得，， ， ， ， ． 是以为腰的等腰三角形， 当时，； 当时，如图，过点作于点， 则， 在中，． ，， ， ． 综上，或． 故答案为：10或11． 48．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， 点是直线在第二象限内的一点，点B在轴正半轴上，且．线段平移得到线段，点A 的对应点是点 D，点B的对应点是点，，， 交于点 G． (1)当时， 求点B坐标． (2)已知点，，若的面积为，是否存在点G，使的值最小?若不存在，请说明理由；若存在，求出点G的坐标． 【答案】(1)点B坐标 (2)点 的坐标为 【知识点】用勾股定理解三角形、由平移方式确定点的坐标、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与几何综合 【分析】本题考查函数的图像和性质，平移的性质，轴对称的应用，两点间的距离，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据两点间的距离可以得到，然后根据点的位置得到点B的坐标即可； （2）先得到点A的坐标为，然后根据点可知轴，然后根据三角形的面积得到，进而求出点 的坐标为，作点N关于直线的对称点点，则的坐标为，连接，则当点G在上时，的值最小，最小为长，然后求出解析式，把代入即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∴， 又∵，点B在轴正半轴上， ∴点B坐标． （2）解：由题可知点A的坐标为， ∴， ∴，， 又∵点， ∴轴， ∴的面积为， 解得或， 又∵， ∴，即 由平移可得点G是的中点， ∴点G的坐标为， 作点N关于直线的对称点点，则的坐标为， 连接，则当点G在上时，的值最小，最小为长， 设的直线解析式为，代入和得： ，解得， ∴， 把代入得， 解得（舍去）或， ∴点 的坐标为． 49．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与勾股定理的几何综合题，熟练掌握待定系数法求解析式和勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求得答案； （2）连接，交轴于点，此时三点共线，的长度最小，求得直线的解析式，令即可得到点的坐标； （3）根据画出图形，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴由勾股定理可得：，； （2）解：连接，交轴于点，如图所示： 当三点共线，的长度最小， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， 令，， ∴； （3）解：设，，，根据题意构图得： 由图可得：，， 当三点共线，有最小值，即的长， 延长作于点， ∴由勾股定理可得：， ∴代数式的最小值为． 50．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且． (1)求； (2)求点A的坐标及p的值； (3)若，求直线的表达式． 【答案】(1)4 (2)，6 (3) 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理： （1）直接利用三角形面积公式，把数值代入计算即可作答； （2）由（1）知，得到的值，故得到A点坐标，设直线的解析式为，把A点坐标和点C的坐标代入，得出，然后再把点代入，即可作答． （3）过点P作轴，结合勾股定理，得出的值，结合P点的坐标，运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∴ ∴ ∵ ∴ 故点A的坐标为； ∴直线的解析式为， 把和代入 得 解得 ∴ 则当时，； ∴ （3）解：过点P作轴，如图所示： ∵， 则设， ∴ 即 解得 ∴ ∴直线的解析式为， 把和代入， 得 解得 ∴ 51．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点为边上异于的一个动点，作点关于的对称点，连接，交直线于点． (1)若是边上的高线． ①求线段的长； ②当时，求线段的长； (2)在的情况下，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2)或 【知识点】等边对等角、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案； ②根据题意可知点Q与点E重合，又根据对称性可知，结合①中，即可得到的长； （2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；先利用轴对称的性质得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点E， 在中，， ∵是边上的高线， ， 即， 解得：； ②根据题意，如图所示： ∵点关于对称点为， ∴， ∵，是边上的高线， ∴点Q与点E重合， 由①知， 则， ∴； （2）解：当是等腰三角形时，分三种情况：①；②；③； ①当时， ∵点关于对称点为，， ， 在中，， ∵是的一个外角， ， 即； ②当时，， ∵点关于对称点为，， ， 在中，， ∵是的一个外角， ， 即； ③当时， ∵点关于对称点为， ， ∵是的一个外角， ， 即（舍去）， 综上所述，在的情况下，或． 【点睛】本题考查了等面积法求高、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 52．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，M是边的中点，于点H，平分．    (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1) 证明：在中，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 即， 平分； (2) ①证明：， ， ， ， ， ； ②是等腰直角三角形， 证明：， ， 是直角三角形， 垂直平分， ， 是等腰三角形， 是等腰直角三角形． 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论； （2）①根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论； ②根据，于是得到，推出是直角三角形，由于垂直平分，得到得到结论． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形求边、求角先分类讨论，并用三角形三边关系和内角和检验 · 勾股定理使用前先确认直角，斜边是最长边；折叠问题用对应边相等列方程 · 判定直角三角形用逆定理：先找最长边，再验证较短两边平方和 · 角平分线、垂直平分线的性质都是「距离相等」，注意是垂线段长度 · 轴对称折叠题先找对应边对应角，综合题多联想全等与勾股结合 【作业1】．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，三角形的面积公式，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， 、在和中， ， ∴， ∴，原选项结论正确，不符合题意； 、设点到的距离为， ∴，， 则 ∴，原选项结论正确，不符合题意； 、设点到的距离为， ∴， ∴，原选项结论正确，不符合题意； 、设点到的距离为， ∴，， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以弦图为背景的计算题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质．连接，，则点，，，，在同一条直线上，且，设，依题意得，，证和相似得，则，进而可求出，，则，然后在中由勾股定理求出，则，据此可得的值． 【详解】解：连接，，如下图所示： ，，是的四等分点 点，，，，在同一条直线上， ， 设， 依题意得：，， ， ∴， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ． 故选：B． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．过C作交于F，先根据已知条件和等腰直角三角形的性质证明，从而证明，可得，再求出，最后根据求解即可． 【详解】证明：如图， 过C作交于F， ． 和均为等腰直角三角形， ，，． ， 即． 在和中， ， ， ． ，， ，． ∴． ， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 【作业4】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有几个(    ) ①；②若，则；③若，，则；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】①是的中线，即可求解；②，则，则，即可求解；③勾股定理求得，即可求解；④勾股定理求得，进而根据是的中线，即可求解． 【详解】解①，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；故①正确； ②∵， ， ， 则，故②正确； ③ ，， ， 设，则 解得： 故③不正确； ④，，则， 故④正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是翻折变换(折叠问题)，涉及到直角三角形中线定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【作业5】．（2025·甘肃平凉·一模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．30 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象、三线合一 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 【作业6】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“美好三角形”，这条中线为“美好中线”．如图，在中，，较短的一条直角边，且是“美好三角形”，则的“美好中线”的长为______    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据三角形中线求长度 【分析】“美好中线”分三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3，但是不符合较短的一条直角边边长为3，只能为另一条直角边上的中线，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：“美好中线”有三种情况： 若“美好中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意； 若“美好中线”为边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立； 若“美好中线”为另一直角边上的中线，如图所示，，    设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得： ， 则的“美好中线”的长等于． 【作业7】．（25-26九年级上·江西·阶段检测）如图，在长方形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与射线交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________． 【答案】或或 【知识点】折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论与，的夹角情况，再利用折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：①当与的夹角为时， 即，如图： ，， ， ， ； ②当与的夹角为时，或， 若，如图： ，， ， ， ； 若，如图： ，， ， ， ； 综上，的度数可以是或或． 故答案为：或或． 【作业8】．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）用13根火柴棒摆成一个等腰三角形（不能将火柴棒折断），可摆出不同的等腰三角形共______种． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，根据三角形三边关系以及等腰三角形的定义即可得出结论． 【详解】解：∵等腰三角形两个腰相等，且周长为13， ∴底边长必须为奇数， 根据三角形三边关系，能摆成三种不同的等腰三角形，分别为： 第一种，底边1根火柴棒，腰根火柴棒； 第二种，底边3根火柴棒，腰根火柴棒； 第三种，底边5根火柴棒，腰根火柴棒； 当底边7根火柴棒时，腰根火柴棒，但是，不够成三角形， ∴可摆出不同的等腰三角形共种． 故答案为：． 【作业9】．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求解是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分类讨论点的位置和的等腰情况，利用三角形内角和定理计算角度． 【详解】在等腰中，，，则，点在直线上（不与、重合），为等腰三角形，分情况讨论： （1）当时， ①点在线段上，， 由得， 故； ②点在线段延长线上， ，由得， 故； （2）当时，点在线段上， ，由得， 故； 综上，为或或 ． 故答案是：或或． 【作业11】．（重难点提优03等腰三角形中的分类讨论（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ___________． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 【作业12】．（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角形周长即可 【详解】解：，且平方与绝对值均为非负数， ，， 解得，， 分两种情况讨论： 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去； 当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， 此时三角形的周长为 【作业13】．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 【作业14】．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、列方程 【分析】（1）已知直角三角形斜边和一条直角边，用勾股定理求出另一条直角边； （2）利用直角三角形两种面积表达式相等列等式，解方程算出斜边上的高． 【详解】（1）解： ，，， ． （2）解： ，，，， ， ， 解得． 【作业15】．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． (1)画出的中线； (2)作出关于直线对称的； (3)在直线上找到一点，使的值最小． 【答案】(1)即为所求；    (2)即为所求；    (3)点即为所求． 【知识点】画轴对称图形、最短路径问题 【分析】（1）根据网格特点，找出中点，然后连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （3）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【详解】（1）如图，找出中点，然后连接， （2）如图，利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， （3）如图， 连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短即可， 【作业16】．（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【答案】(1)，Ⅱ (2)， (3) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （）利用圆柱形木块的高为，底面半径为，即可得出沿爬行的路程长并比较大小； （）构造方程即可得到结论． 【详解】（1）解：图中画出蚂蚁爬行的最短路径为： 展开后，半圆长为， 根据勾股定理，此时最短路程为 ∵， 由此可知，蚂蚁爬行的最短路径为路线Ⅱ； 故答案为：，Ⅱ； （2）解：， ∵． ∴表格中表示的大小关系是， 故答案为：，； （3）解：根据题意可得， 即， ∴， 故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 【作业17】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由． 小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图． 定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成个等腰三角形，把这种分法叫做这个三角形的等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图． (1)如图2，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的4等分线的示意图． (2)请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出一种符合条件的这个正三角形的4等分线图． 【答案】(1)如图， (2)有三种方法： 如图， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质； （1）取三边的中点，，，并连接，即可画出一个这个的等分线的示意图； （2）①如图，取三边的中点，，，得个等边三角形；②作于点，取和的中点，，连接，，得和是等边三角形，和是底角为的等腰三角形；③如图，在上取点，在上取点，使，，再取的中点，连接，，是等边三角形，是等腰三角形，和是等腰三角形． 【详解】（1）取三边的中点，，，并连接，得个等腰三角形； （2）有三种方法： ①如图，取三边的中点，，，得个等边三角形； ②如图，作于点，取和的中点，，连接，，得和是等边三角形，和是底角为的等腰三角形； ③如图，在上取点，在上取点，使，，再取的中点，连接，， 所以是等边三角形，是等腰三角形， 和是等腰三角形． 【作业18】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）； （2），理由如下： 延长到H使得，连接， ∵，，； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，掌握倍长中线构造全等是解题的关键； （1）延长交的延长线于点G，根据勾股定理求出，证明，求出，再根据勾股定理求出，即可得解； （2）延长到H使得，连接，证明，再证明，即可得证． 【详解】解：（1）延长交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∵， ∴， ∵，； ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·特殊三角形·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解等腰三角形的轴对称性，掌握等腰三角形「等边对等角」与「三线合一」性质及其判定 · 掌握等边三角形的性质与判定，理解直角三角形两锐角互余及斜边上中线等于斜边一半 · 熟练运用勾股定理求边长、面积，能在网格、折叠与弦图背景中构造直角三角形求解 · 掌握勾股定理的逆定理，能判定直角三角形并解决实际应用与最短路径问题 · 理解角平分线与线段垂直平分线的性质定理，能解决轴对称、折叠与动点综合探究问题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形的性质与判定 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；性质定理2：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 等腰三角形边长、角度问题常需分类讨论：已知边为腰还是底、已知角为顶角还是底角 概念辨析例题：等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为____ 答案：50°或80° 解析：分两种情况：若50°为顶角，则顶角就是50°；若50°为底角，则顶角为180°-2×50°=80°。故顶角为50°或80°。 ☆ 2.等边三角形与直角三角形 等边三角形三边相等、三个内角都等于60°；判定：三个角相等的三角形，或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；反之，若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的中线长为____ 答案：5 解析：斜边c===10；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故中线长为=5。 ☆ 3.勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理应用：已知两边求第三边、求面积、求高、在网格中求线段长、折叠问题中建立方程 勾股定理的逆定理：若三角形中两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，如3、4、5；5、12、13；8、15、17 概念辨析例题：三角形三边长分别为7、24、25，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪条边所对的角是直角？ 答案：是，25所对的角是直角 解析：因为72+242=49+576=625=252，由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形，最长边25所对的角是直角。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；反之，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），它到三个顶点的距离相等 作图：会用尺规作角平分线和线段的垂直平分线，注意保留作图痕迹 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为____ 答案：4 解析：CD=BC-BD=10-6=4；因为AD是角平分线，DC⊥AC，由角平分线的性质知点D到AB的距离等于CD=4。 ☆ 5.轴对称、折叠与最短路径 轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合；成轴对称的两个图形全等，对应点连线被对称轴垂直平分 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，常结合勾股定理建立方程求解 最短路径问题：直线同侧两点到直线上一点距离之和最小，用轴对称将同侧转化为异侧，再由两点之间线段最短求解 镜面对称与电子钟读数：左右相反，可利用作对称图形还原实际时刻 概念辨析例题：将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C落在AB边上，若∠1=40°，则∠2=____ 答案：100° 解析：折叠前后对应角相等，由平角定义与平行线性质可得∠2=180°-2∠1=180°-80°=100°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 等腰三角形 等边对等角；三线合一 求边长角度须分类讨论 等边三角形 三边相等，三角均为60° 有一个60°的等腰三角形即等边 直角三角形 两锐角互余；斜边中线= 斜边是最长边 勾股定理 a2+b2=c2 仅适用于直角三角形 勾股逆定理 a2+b2=c2⇒直角三角形 先找最长边再验证 角平分线 角平分线上的点到两边距离相等 距离是垂线段长 垂直平分线 线上点到两端点距离相等 常与等腰三角形结合 最短路径 轴对称转化后两点连线最短 注意对称点的作法 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质与角度计算（第1-8题） · 见到等腰三角形立刻联想「等边对等角」与「三线合一」，优先用底角相等列方程 · 角度计算常用三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角之和建立关系式 · 已知等腰三角形的边或角时先分类讨论：边分腰与底，角分顶角与底角，并用三角形三边关系检验 · 三线合一可直接把顶角平分线、底边中线、底边高互相转化，省去证明 · 遇含中线、面积的问题，把中线作为底边上的高（三线合一）可简化计算 1．（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，直角三角形中，，，，D是边上一点，且，过点D作，交边于点E，则的周长是_______． 5．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）如图钢架中，度，焊上等长的钢条，，，来加固钢架，若，那么是 __． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）等腰三角形的一个底角是，那么顶角是______． 7．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 8．（2015·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，，，，．求证：． 【考点2】等腰三角形的判定与等边三角形（第9-15题） · 判定等腰三角形用「等角对等边」：找到两个相等的角，所对边即相等 · 等边三角形判定三法：三边相等、三角相等、有一个60°的等腰三角形 · 等腰三角形边长问题先用三角形三边关系（两边之和大于第三边）取舍可能的解 · 绝对值、平方的非负性与等腰结合：由|a-3|+(b-7)2=0得两边长，再分类求周长 · 证明边相等优先考虑全等，再考虑等角对等边 9．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点，则的长为（   ） A．16 B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，过点B作，在上取一点E使得，若，则的长度为___________． 11．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知一个等腰三角形的其中两边长分别为x，y，且满足，则这个等腰三角形的周长为_______． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是a，b，c，且满足，则是______三角形． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在等腰三角形中，，，D为边上一点，满足，点E，B位于直线的同侧．若是等边三角形，连结，则的长为_____． 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，以的各边为斜边分别向外作等腰直角三角形，已知点在线段上，，，记面积为，面积为，则的值为________． 15．（25-26八年级上·浙江温州·期末）如图，在的同一侧作与，与交于点．已知，．求证：． 【考点3】直角三角形与勾股定理（第16-26题） · 勾股定理a2+b2=c2使用前先确认三角形是直角三角形，c为最长边 · 已知两边求第三边：分清求直角边还是斜边，必要时设未知数列方程 · 斜边中线等于斜边一半：见到直角三角形斜边中点，立刻连中线得倍分关系 · 网格中求线段长：把线段看作直角三角形斜边，数格子得两直角边再用勾股 · 弦图问题利用四个直角三角形全等，结合面积法建立两直角边和与积的关系 · 折叠问题抓住折叠前后对应边、对应角相等，把未知量归入同一直角三角形用勾股列方程 16．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，为的中点，于点，若，，则为（   ）． A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（   ）． A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）直角三角形中，点为中点，，，则长度是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是______． 21．（23-24七年级下·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等． 22．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，直线，点在直线上，连接，满足，若，则_____．    23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，．为边的中点，于点．则的长度为_____．    24．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图所示是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，若点刚好为的中点，则正方形的面积与正方形的面积之比为_________． 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以为底边向上作等腰，使得交于点， (1)若，求的度数； (2)若． ①求证：； ②设，求的长（用含的代数式表示）． 26．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，是上的一点，作于点． (1)求证：平分． (2)若．求的长度． 【考点4】勾股定理的逆定理及实际应用（第27-32题） · 用逆定理判定直角三角形：先找最长边c，再验证较短两边平方和是否等于c2 · 实际应用（选址、台风影响、距离相等）：画出示意图，把实际量归入直角三角形 · 求最短路径：立体图形展开成平面，沿展开图两点间线段用勾股求长 · 列方程解勾股应用：设未知数表示两直角边，由勾股定理建立方程 · 判断受影响类问题：求点到直线的垂线段距离，再与影响范围比较 27．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 28．（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 29．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ 30．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 31．（24-25八年级上·浙江·期中）某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表： 课题 测量池塘两端A，B的距离 测量工具 皮尺，标杆 测量方案示意图 测量步骤及数据 （1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得，然后找到了点N，且，； （2）测得，再在的延长线方向确定点E，测得； （3）在的延长线方向确定点D，使得； （4）确定点C、点A和点E三点共线，测得；（5）测得． 任务一 请你根据上述测量方案及数据，求出的长； 任务二 请你证明． 32．（24-25八年级下·浙江台州·期中）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第33-39题） · 角平分线上的点到角两边的距离相等：见到角平分线+垂直，立刻转移垂线段长度 · 线段垂直平分线上的点到两端点距离相等，可把折线段转化到同一直线上 · 与全等结合：角平分线提供一组等角，加上HL/AAS可证三角形全等 · 尺规作角平分线、垂直平分线要保留痕迹，并能写出作图依据 · 综合题中把垂直平分线性质转化为等腰三角形，再用等边对等角求角 33．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 35．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，，，平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．（19-20八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，平分，，，于D，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，给出结论：①；结论②．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 38．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在处，为折痕，再将另一角斜折过去，使边落在内部，折痕为，点D的对应点为，设，则的大小为______． 39．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）请用直尺和圆规作的角平分线交于点D，再过点D用尺规做的垂线交于E （2）若，在（1）情况下，求的长． 【考点6】轴对称、折叠与几何综合探究（第40-52题） · 折叠问题抓住对应边相等、对应角相等，把分散条件集中到一个直角三角形中 · 平行线+折叠求角：利用折叠角相等和平行线内错角、同旁内角关系列方程 · 最短路径问题：作对称点把同侧两点化异侧，连线与直线交点即为所求点 · 动点与函数图象：分析动点在不同阶段对应的图形变化，抓住不变量（三线合一、等腰） · 一次函数与几何综合：先由坐标求线段长，再用勾股定理建立方程求解 · 倍长中线模型：遇中线延长一倍构造全等三角形，把分散条件集中到同一三角形 40．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图），折痕分别为，，若，且，则为（　　） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（    ） A． B． C． D． 42．（21-22八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，在中，，，于点，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D．3 43．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段检测）一个等边三角形，一个直角三角形，一个等腰三角形按如图方式摆放，其中，则_________． 44．（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）如图，长方形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为________． 45．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长方形纸片，，将纸片沿着折叠，使点落在点处，点落在点处，若，则的度数为___________． 46．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，连接，将长方形沿翻折，点C落在点处，点D落在点处，且边恰好经过点A，再将沿翻折，点落在点处，连接，则的面积为________． 47．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，把沿着直线翻折得到，过点A作交于点D，连接．若，是以为腰的等腰三角形，则此时的长＝______． 48．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， 点是直线在第二象限内的一点，点B在轴正半轴上，且．线段平移得到线段，点A 的对应点是点 D，点B的对应点是点，，， 交于点 G． (1)当时， 求点B坐标． (2)已知点，，若的面积为，是否存在点G，使的值最小?若不存在，请说明理由；若存在，求出点G的坐标． 49．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，点C为x轴上一动点，点A的坐标，点E的坐标，作轴，连接、． (1)设，试用含x的代数式表示______；______ (2)试求当的长度最小时点的坐标； (3)根据前面的启发，请构图求出代数式的最小值． 50．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且． (1)求； (2)求点A的坐标及p的值； (3)若，求直线的表达式． 51．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点为边上异于的一个动点，作点关于的对称点，连接，交直线于点． (1)若是边上的高线． ①求线段的长； ②当时，求线段的长； (2)在的情况下，当是等腰三角形时，求的度数． 52．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，M是边的中点，于点H，平分．    (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形求边、求角先分类讨论，并用三角形三边关系和内角和检验 · 勾股定理使用前先确认直角，斜边是最长边；折叠问题用对应边相等列方程 · 判定直角三角形用逆定理：先找最长边，再验证较短两边平方和 · 角平分线、垂直平分线的性质都是「距离相等」，注意是垂线段长度 · 轴对称折叠题先找对应边对应角，综合题多联想全等与勾股结合 【作业1】．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，是的角平分线，，分别是，的高，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，连接交，，于点，，，若，，是的四等分点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如下图，和均为等腰直角三角形，点在同一直线上，连接．若，求线段的长是（    ） A． B． C．4 D． 【作业4】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有几个(    ) ①；②若，则；③若，，则；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业5】．（2025·甘肃平凉·一模）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．30 【作业6】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“美好三角形”，这条中线为“美好中线”．如图，在中，，较短的一条直角边，且是“美好三角形”，则的“美好中线”的长为______    【作业7】．（25-26九年级上·江西·阶段检测）如图，在长方形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与射线交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是________． 【作业8】．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）用13根火柴棒摆成一个等腰三角形（不能将火柴棒折断），可摆出不同的等腰三角形共______种． 【作业9】．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知等腰中，，，是直线上一点（不与、重合），连接，若是等腰三角形，则______． 【作业11】．（重难点提优03等腰三角形中的分类讨论（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版））定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ___________． 【作业12】．（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______． 【作业13】．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【作业14】．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）如图，在中，，于．若，， (1)求的长度； (2)求的长度． 【作业15】．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题，的三个顶点都在格点上（用无刻度的直尺画图）． (1)画出的中线； (2)作出关于直线对称的； (3)在直线上找到一点，使的值最小． 【作业16】．（24-25八年级上·福建泉州·期末）问题探究：在圆柱表面上，蚂蚁如何爬行的路程最短？（本题所有均取3） (1)如图1，圆柱体的高，底面直径，下底点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线爬行路径记为“路径Ⅰ”，则该蚂蚁爬行路程是；若将圆柱沿着侧面展开得到图2．请在图2中画出蚂蚁爬行的路径，记为“路径Ⅱ”，并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁爬行的最短路程应是路径_______．（填“Ⅰ”或“Ⅱ”） (2)如图3所示，开展实践探究需要使用器材包括：底面直径为，高为的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来衡量爬行的路线）和直尺，通过调节橡皮筋可以改变圆柱的高度． 路线Ⅰ、路线Ⅱ两种路径的路程如下表．（单位：） 圆柱高度 沿路径Ⅰ路程 沿路径Ⅱ路程 比较与的大小 5 11 4 10 3 求出表格中的值是________，表格中表示的大小关系是__________； (3)设圆柱的半径为，圆柱的高为．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ）的路程相等，求圆柱半径为与圆柱的高度的数量关系． 【作业17】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由． 小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图． 定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成个等腰三角形，把这种分法叫做这个三角形的等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图． (1)如图2，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的4等分线的示意图． (2)请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出一种符合条件的这个正三角形的4等分线图． 【作业18】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）【模型呈现】：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线也是全等三角形中的重要模型．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【模型应用】：（1）如图1，中，为边上的中线，过B点作，过A点作，交于点E，若，，，求的长； 小明受倍长中线法的启发：认为如果没有平行线夹中点就直接倍长中线；中点夹在两条平行线之间直接延长与对边相交于点G；解答（1）需要延长交BE的延长线于G点，通过证明就可得到，再用勾股定理求出，进而求出的长． 请您参考小明的思路求出的长 【变式迁移】：（2）如图2，中，为边上的中线，分别以和为边在外部作等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，；连接EF．试探究与的数量关系，并说明理由； 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $