第1章·三角形·期中复习培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章·三角形·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形及有关概念，掌握三角形三边关系、内角和定理与外角性质，能进行角度与边长的计算 · 认识三角形的高、中线、角平分线与重心，会画并能利用它们进行线段与面积的计算 · 掌握全等三角形的性质与判定（SSS、SAS、ASA、AAS），能有条理地进行全等证明 · 理解角平分线的性质定理与线段垂直平分线的性质，能解决相关的计算与证明问题 · 掌握基本尺规作图，了解命题、定理与证明的含义，能规范地写出证明过程 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与角 三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成，按边可分为不等边三角形和等腰三角形，按角可分为锐角、直角、钝角三角形 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此可确定第三边的取值范围 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；直角三角形两锐角互余 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长x的取值范围是____；若该三角形是等腰三角形，则其周长为____ 答案：4<x<10；周长为17 解析：由三边关系得7-3<x<7+3，即4<x<10；若为等腰三角形，则第三边只能为7（3不能作腰，因3+3<7），故周长为3+7+7=17。 ☆ 2.三角形的重要线段 高：从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段；三条高所在直线交于一点 中线：连接一个顶点与它对边中点的线段；三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 重心：三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，若△ABC的面积为20，则△ABD的面积为____ 答案：10 解析：中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，故S△ABD=S△ABC=10。 ☆ 3.全等三角形 全等三角形能够完全重合，对应边相等、对应角相等；记两个三角形全等时通常把对应顶点写在对应位置上 判定方法：三边分别相等（SSS）、两边及其夹角相等（SAS）、两角及其夹边相等（ASA）、两角及其中一角对边相等（AAS） 「SSA」和「AAA」不能作为三角形全等的判定依据；判定时注意「夹角」「夹边」的对应 证明思路：先找已知条件，再找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），最后确定还需补充的条件 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC 答案：△ABC≌△ADC（SSS） 解析：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS可判定两三角形全等。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线：垂直于一条线段并且平分它的直线；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 反之，到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=3，则PD=____ 答案：3 解析：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PD=PC=3。 ☆ 5.尺规作图与命题证明 基本尺规作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线 命题由条件和结论两部分组成，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；判断假命题只需举一个反例 定理与证明：经过推理证实得到的真命题叫定理；证明一个命题要先分清条件和结论，再画出图形、写出已知求证并给出证明 证明过程要步步有据，推理规范；反例要满足命题的条件但不满足命题的结论 概念辨析例题：命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题？若是假命题请举反例 答案：假命题；反例略 解析：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角，故该命题为假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成三角形看较短两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角等于不相邻两内角和 外角只与不相邻内角比较 中线与面积 中线分三角形为面积相等两部分 重心分中线2:1 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS SSA、AAA不能判定全等 角平分线性质 角平分线上的点到两边距离相等 距离指垂线段长度 垂直平分线 线上点到线段两端点距离相等 反之亦然 命题与证明 命题由条件和结论组成 举反例即可判假 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系与分类（第1-10题） · 判断三条线段能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 · 求第三边范围用|两边差|<第三边<两边和；等腰三角形要分类讨论哪条边作腰 · 角度计算先在一个三角形内用内角和180°，再结合平行线、对顶角转化 · 外角等于不相邻两内角之和，遇折叠问题抓住折叠前后对应角相等 1．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题关键．由垂直可知，，进而得出，再由全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 延长和相交于点F，设，根据列方程求出x的值，再求出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】如图，延长和相交于点F，    ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）已知是的边所在直线上的一点，与不重合，过分别作交所在直线于， 交所在直线于．若，则的度数是_______． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能画出符合条件的所有情况是解此题的关键．分为三种情况，画出图形，根据三角形的内角和定理求出，再根据平行线的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：分为三种情况： 第一种情况：如图①，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 第二种情况：如图②，∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 第三种情况：如图③，∵， ∴， ∵ ， ， ∴，， ∴． 故答案为：或． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为____________． 【答案】60 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质；以为边在其下方作等边，连接，证明，则得，在中利用三角形三边关系即可求得的最大值与最小值，从而求得结果． 【详解】解：如图，以为边在其下方作等边，连接， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 在中，， ∴， 即， ∴当三点共线时，取最大值与最小值分别为与， 而， 故答案为：60． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则__． 【答案】103 【知识点】折叠问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形外角的定义及性质，由折叠的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案． 【详解】解：∵， 由折叠可知，． 又∵， ∴． 故答案为：103． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 【答案】53°/53度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识，解题关键是牢记相关概念．本题先求出，再利用角平分线的定义求出后即可求解． 【详解】解：∵于点E， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故答案为： ． 8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点B的对应点是点，则的度数是______．    【答案】/164度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了三角形的内角和为180度，平行线的性质，折叠的性质：折叠前后对应角相等． 先求出的度数，再根据平行线的性质求出，最后根据折叠的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在直线上，点F在直线上，连结．点G是射线上一点（不与点F重合），过点G作交线段于点H，且． （1）的度数为________． （2）已知点P，Q在直线之间，点M在射线上，连结，使线段经过点H．若，则的度数为________． 【答案】 /度 或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质和三角形内角和定理， （1）先求出，根据求出结论即可； （2）过点P作，过点H作，分两种情况：当点Q在右侧时或当点Q在左侧时，分别根据平行线性质求出即可． 【详解】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）过点P作，过点H作， ， ， 当点Q在右侧时， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ； 当点Q在左侧时， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、与平行线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 【考点2】三角形的重要线段（第11-15题） · 中线分三角形为等面积两部分，多条中线组合时按份数求面积 · 高是顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形有两条高在三角形外部 · 重心把每条中线分成2:1两部分，可用于求线段长度 · 角平分线与中线、高不要混淆：角平分线分角，中线分边，高作垂直 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 12．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半． 【详解】解：∵点是的中点，（阴影部分）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， ∴的面积等于． 故选：B． 13．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，且，， ∴， ∴， ∴的面积是． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 【答案】（1）；；（2）；6；（3） 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，与三角形的高有关的计算，矩形的面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形的面积计算公式． （1）根据题干提供的信息列出方程即可； （2）根据长方形面积公式，结合，求出；根据求出结果即可； （3）设中边上的高为h，根据，得出，根据，得出，求出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即； 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即； （2）由，得； ∵， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解； （3）设中边上的高为h， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， 解得：． 【考点3】全等三角形的性质（第16-19题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，找对应关系时按记法顺序确定 · 利用全等性质求边长或角度，先把所求量转化为对应的边或角 · 注意公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · 图形较复杂时先分离出两个全等三角形再观察对应元素 16．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 17．（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【答案】①④⑤ 【知识点】全等三角形的性质、根据三角形中线求面积 【分析】结合全等三角形的性质与三角形面积的相关知识，逐个判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为和底为高为的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为和的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 18．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 【答案】6或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用．设运动时间为t秒，点Q的运动速度是厘米/秒，根据题意可得：，，，再进行分类讨论即可①当时， ②当时． 【详解】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是厘米/秒． 根据题意可得：，，， ∵厘米，点E为中点， ∴厘米， ①当，时， ， 解得：， ∴厘米， ∴厘米， ∴； ②当，时， ， 解得：， ∴点Q的运动速度为（厘米/秒）， 故答案为：6或． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和， ， ∴； (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再利用外角的性质即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【考点4】全等三角形的判定与证明（第20-34题） · 判定全等按SSS、SAS、ASA、AAS选择，优先找已知等边等角及其夹角/夹边 · 「添加条件使三角形全等」要对照已有条件，缺什么补什么，注意不能补成SSA · 证明线段或角相等，通常转化为证明它们所在的两个三角形全等 · 等腰、等边三角形常与全等结合，利用等边对等角、三线合一找条件 · 证明过程先写「在△××与△××中」，再列三个条件，最后写判定依据 20．（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、过点作，交延长线于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 21．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，又，，都无法判定，原选项符合题意； 故选：． 22．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，，能证明，符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意． 23．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）等腰中，，D是的中点，于 E，交的延长线于F，若，则的面积为______ 【答案】48 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质；根据题意得到，求出，计算即可． 【详解】解：∵于 E，交的延长线于F， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ， 故答案为：48． 24．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有________________ 【答案】①③④ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，本题中求证和是解题的关键． 证明，可得①正确；即可求得，可得②错误；再证明，可得③正确和，即可证明④正确；即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形 ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，①符合题意； ∴，， ， ∵， ∴，②不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，③符合题意； ∵， ∴是等边三角形，④符合题意； 故答案为：①③④． 25．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，，．若，则_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【知识点】三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 27．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为______． 【答案】/130度 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与重合时，的值最大， 当与重合，与重合时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) 证明：， ， 在和中， ， ∴； (2)， 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． （1）由，即可利用证得； （2）由（1）可知，得到，从而得到，同理可得，利用，即可求得，从而得到，则由 即可求得答案． 【详解】（1）略； （2）解：由知：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ∴，． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ (2)， 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）利用平行线的性质得出，然后利用证明 ，即可证明． （2）设，则，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，由三角形外角定理得出，再由三角形内角和定理求得，进一步即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）设，则， ∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定以及性质，角平分线的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 30．（2025·浙江嘉兴·二模）小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题： 如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上． 小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小嘉：小兴，你的作法有问题． 小兴：哦……我明白了！ (1)给出小嘉作法中的证明． (2)指出小兴作法中存在的问题． 【答案】(1) 证明：∵D是平分线上一点， ∴， 在和中， ， ． (2)点F的位置不唯一确定，因此不能确定 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）可利用证明，得到； （2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个， 即点F的位置不唯一确定，即不能证明三角形全等． 【详解】（1）略 （2）解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个， 即点F的位置不唯一确定，因此不能确定． 31．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知与相交于点，，，求证：． 下面是两名同学的对话： 小莲说：根据条件，找不到全等三角形． 小聪说：如果添加辅助线，那么就可以找到全等三角形． 请根据提示给出证明． 【答案】 证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边，如图，连接，证明得，再根据等角对等边即可得证．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】略 32．（24-25八年级上·浙江温州·期中）看图填空：已知：如图，，，，求证：平分． 证：，（ ① ） ② （垂直的定义） （ ③ ） 在和中 （ ⑤ ）． （ ⑥ ） 即平分． 【答案】已知，，在同一个三角形中，等角对等边，，，全等三角形对应角相等； 【知识点】垂线的定义理解、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据定理证得是解决问题的关键； 由等腰三角形的判定得到，根据定理证得，根据全等三角形的性质即可证得结论； 【详解】证明：，（已知）， (垂直定义)， ， 在和中， ， ， (全等三角形对应角相等)。 即平分， 故答案为：已知，，在同一个三角形中，等角对等边，，，全等三角形对应角相等； 33．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接交于点求证： 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，求证： ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：如图1，和是等边三角形， ，，， ， ≌， ； （2）①证明：平分， ， ，， ≌， ， ，，， ， ， ， ， ； ②6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）如图1，先根据SAS证明≌，即可解答； （2）①证明≌，得，再根据等边对等角和三角形的内角和定理即可解答； ②设，由①同理得：≌，根据勾股定理和三角形的面积即可解答． 【详解】（1） 略 （2）① 略 ②解：如图3，设， 是等腰三角形，，， ， 由①同理得：≌， ，， ， ， ， ， ， 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等边三角形的性质，三角形的面积等知识；熟练掌握以上知识点是解题的关键． 34．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证： 证明：（已知）， ______（两直线平行，同位角相等）， （已知）， ，即______． 在与中， （______）， （______）． 【答案】 ；；；；；全等三角形的对应边相等． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明即可解决问题． 【详解】略 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第35-48题） · 角平分线性质：线上点到两边距离（垂线段）相等，常用来作辅助线 · 垂直平分线性质：线上点到线段两端点距离相等，可得到等腰三角形 · 见垂直平分线常连接线上点与线段两端，构造等腰三角形 · 两者的逆定理用于判定点在角平分线或垂直平分线上 · 角度问题结合等边对等角、内角和定理列方程求解 35．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】解：∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴的周长． 36．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 37．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：D． 40．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，，则（    ） A． B．7 C．8 D．11 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，交于点，得出，借助于三角形的外角定理及得出，进而得出，据此可求出的长． 【详解】解：作的垂直平分线，交于点，连接， 则， ， ． 又， ， △是等腰三角形． 又，，， ，， ， ． 故选：D． 41．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； 作于，根据角平分线的性质可得，再利用计算求解即可． 【详解】解：作于， 平分，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 故答案为： 42．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在锐角中，已知平分交于垂直，垂足为，若，则的长是_____________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】首先延长至，使，易得垂直平分，得，由平分，可得，进而可得，易得，，继而证得，则可证得结论． 【详解】解：如图，延长至，使，连接．    ∵平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 则 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 43．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，，分别是，边上的垂直平分线，，交于点，连接，．已知，则的度数为______． 【答案】/50度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，如图所示，连接，由，分别是，的垂直平分线，得到，，，，由三角形内角和定理得到，，，再由，即可得到答案，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长，交于点F，过点A作于点E． ∵，． ∴． 又∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理， （1）根据等腰三角形的性质可得，设，，解出方程组，即可求解； （2）延长，交于点F，过点A作于点E．根据，可得 ．再由等腰三角形的性质可得    ，从而得到，，进而得到，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设，，则 解得：， 即； （2）略 45．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，边的中垂线交于点D，交于点M． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1)24° (2)11 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理可得，再根据垂直平分线的性质可得，即，最后根据角的和差即可解答； （2）根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 46．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 【答案】(1)的“双等腰线”如图所示： (2) 证明：∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，都是等腰三角形， ∴线段、是的“三等腰线”． (3)或或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解三角形的“双等腰线”，“三等腰线”的定义，属于中考创新题型． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）证明，，都是等腰三角形即可； （3）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】（1）解：如图，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴为的“双等腰线”； 如图，作的垂直平分线，交于D，交于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形， ∴是的“双等腰线”； （2）略 （3）解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ④设顶角为x， 可得，， 解得：， ∴ 故答案为：或或或． 47．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示： 图中垂直平分线即为所求； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性质是解决问题的关键． （1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，接着由三角形内角和定理求出，从而三角形结合表示出求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示： 由（1）知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ． 48．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 【答案】(1) 证明：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，为等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴为等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； (2)①当是的腰时， 如图； ②当是的底时， 如图． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，即得出，为等腰三角形，根据三角形外角的性质得出，结合题意得出，即证为等腰三角形，得出结论； （2）分类讨论：①当是的腰时和②当是的底时，分别画图求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：分类讨论：①当是的腰时， 此时，， ②当是的底时， 此时，； 【考点6】尺规作图与命题证明（第49-52题） · 作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作垂线是基本作图，保留作图痕迹 · 判断命题真假，假命题举一个满足条件但不满足结论的反例即可 · 证明题先分清条件（已知）与结论（求证），再画图、写证明，步步有据 · 综合题把作图与计算、证明结合，先按要求作图再利用图形性质推理 49．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是上一点，已知尺规作图步骤如下： ①以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点． ③画射线． ④以点为圆心，以为半径画弧交于点． ⑤连接并延长交于点． 请根据以上步骤解决下列问题： (1)求的度数． (2)求证∶ ． 【答案】(1) (2) 证明：因为平分， 所以．因为， 所以． 所以． 所以． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形等边对等角的性质以及内错角相等两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）先利用三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图步骤判断出是的角平分线，从而求出的度数． （2）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，得到内错角相等，进而证明． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为平分， 所以 （2）略 50．（2025·浙江温州·二模）小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． (1)填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”） 小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______． (2)请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 【答案】(1)正确；错误；正确 (2) 证明： 小聪的作图： 根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角， 故． 小明的作图思路： 根据题意，得，， 故． 【知识点】作垂线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理判定，根据角的平分线的交点是三角形的内心，判定，利用三角形外角性质判定解答即可． （2）利用外心，圆周角定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定： 小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确． 故答案为：正确；错误；正确． （2）略 【点睛】本题考查了基本作图，圆周角定理，内心的意义，三角形的外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 51．（26-27八年级上·全国·课后作业）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 【答案】解：如图，点即为所求． 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】作的角平分线和线段的垂直平分线即可． 【详解】略． 52．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件： (1)附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． (2)点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． (3)请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置． 【答案】(1)垂直平分线 (2)角平分线 (3) 解：如图所示，点即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】（）根据线段垂直平分线的性质即可求解； （）根据角平分线的性质即可求解； （）分别作线段的垂直平分线和的角平分线，相交于点，点即为所求； 本题考查了线段垂直平分线的性质和角平分线的性质及作图，掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； （2）解：点到两条道路的距离相等，需要作出角平分线， 故答案为：角平分线； （3）略 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边、角关系是基础，判断三边能否构成三角形、求角度都要回到180°和外角性质 · 中线分面积、重心2:1、高作垂直，三条重要线段的功能要分清 · 全等判定认准SSS、SAS、ASA、AAS，避开SSA与AAA，证明时写齐三个条件 · 角平分线、垂直平分线的性质与逆定理要会正用和逆用，善作垂线段辅助线 · 尺规作图保留痕迹，命题证明先写已知求证，推理过程步步有据 【作业1】．（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【作业2】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断命题真假、举反例 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意； B． 当时，且，命题成立，不符合题意； C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意； D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 【作业3】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、三角形的外角的定义及性质、图形的全等 【分析】本题考查了真假命题的判断，全等图形的判定，三角形外角的性质． 通过反例判断A、B、C均为假命题，D符合全等形的定义． 【详解】解：面积相等的两个三角形不一定全等，如底为4高为3与底为2高为6的三角形，面积均为6但不全等，A是假命题． 三角形的外角不一定大于每一个内角，如钝角三角形中，钝角的相邻外角小于该钝角，B是假命题． 对应角都相等的两个三角形边不一定相等，即不一定全等，C是假命题． 全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，D是真命题． 故选：D． 【作业4】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 【作业5】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】重心的概念 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 【作业6】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为_________． 【答案】5 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 延长交于点F，延长交于点G，首先根据题意证明出，得到，，同理得到，得到，，然后证明出，得到，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，延长交于点G ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 同理可得， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵的周长为6， ∴ ∴ ∴ ． 故答案为：5． 【作业7】．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是_____． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则___________． 【答案】20 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点O作，，由角平分线的性质定理得出，由题意可知，最后根据计算即可． 【详解】解：过点O作，，如下图： ∵的三条角平分线交于点，， ∴，，， ∴， 根据题意可知：， ∴ 故答案为：20 【作业9】．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为________． 【答案】/45度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键．设，，得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知和中，，若要使，可添加一个条件为___________； 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得有一角一边相等，结合全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加的条件是，证明如下： 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【作业11】．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有_____．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 【作业12】．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 【作业13】．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 【答案】21 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质．根据三角形的外角性质得到，根据圆周角定理得到，再根据三角形的外角性质列方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业14】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业15】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 【答案】 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查重心的定义，三角形中线有关的面积问题，根据三角形三条中线交点为三角形的重心，结合三角形中线有关的面积特征求解即可． 【详解】解：连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴，，是的中线， 即为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴由得到， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业16】．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在中，垂直平分，若，则的周长是______．    【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： 垂直平分， ， 的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解此题的关键． 【作业17】．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】 解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 【知识点】同位角相等两直线平行、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】略 【作业18】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在作业本上有如下题目，下面是小明的证明过程 已知：如图，点，在的边上，，，求证：． 你是否同意小明的证法，若同意他的证法，请在下面横线内打“√”，若不同意他的证法，请在下面横线内打“×”，并写出你的正确证法．______． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【答案】 解：，正确解法： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， 或， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据判定方法即可求证，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·三角形·期中复习·高效培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形及有关概念，掌握三角形三边关系、内角和定理与外角性质，能进行角度与边长的计算 · 认识三角形的高、中线、角平分线与重心，会画并能利用它们进行线段与面积的计算 · 掌握全等三角形的性质与判定（SSS、SAS、ASA、AAS），能有条理地进行全等证明 · 理解角平分线的性质定理与线段垂直平分线的性质，能解决相关的计算与证明问题 · 掌握基本尺规作图，了解命题、定理与证明的含义，能规范地写出证明过程 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与角 三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成，按边可分为不等边三角形和等腰三角形，按角可分为锐角、直角、钝角三角形 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，由此可确定第三边的取值范围 内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；直角三角形两锐角互余 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长x的取值范围是____；若该三角形是等腰三角形，则其周长为____ 答案：4<x<10；周长为17 解析：由三边关系得7-3<x<7+3，即4<x<10；若为等腰三角形，则第三边只能为7（3不能作腰，因3+3<7），故周长为3+7+7=17。 ☆ 2.三角形的重要线段 高：从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段；三条高所在直线交于一点 中线：连接一个顶点与它对边中点的线段；三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 重心：三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，若△ABC的面积为20，则△ABD的面积为____ 答案：10 解析：中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，故S△ABD=S△ABC=10。 ☆ 3.全等三角形 全等三角形能够完全重合，对应边相等、对应角相等；记两个三角形全等时通常把对应顶点写在对应位置上 判定方法：三边分别相等（SSS）、两边及其夹角相等（SAS）、两角及其夹边相等（ASA）、两角及其中一角对边相等（AAS） 「SSA」和「AAA」不能作为三角形全等的判定依据；判定时注意「夹角」「夹边」的对应 证明思路：先找已知条件，再找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），最后确定还需补充的条件 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC 答案：△ABC≌△ADC（SSS） 解析：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS可判定两三角形全等。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线：垂直于一条线段并且平分它的直线；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 反之，到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 三角形三条角平分线交于一点（内心），三边垂直平分线交于一点（外心） 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=3，则PD=____ 答案：3 解析：由角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PD=PC=3。 ☆ 5.尺规作图与命题证明 基本尺规作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线 命题由条件和结论两部分组成，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；判断假命题只需举一个反例 定理与证明：经过推理证实得到的真命题叫定理；证明一个命题要先分清条件和结论，再画出图形、写出已知求证并给出证明 证明过程要步步有据，推理规范；反例要满足命题的条件但不满足命题的结论 概念辨析例题：命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题？若是假命题请举反例 答案：假命题；反例略 解析：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角，故该命题为假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成三角形看较短两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角等于不相邻两内角和 外角只与不相邻内角比较 中线与面积 中线分三角形为面积相等两部分 重心分中线2:1 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS SSA、AAA不能判定全等 角平分线性质 角平分线上的点到两边距离相等 距离指垂线段长度 垂直平分线 线上点到线段两端点距离相等 反之亦然 命题与证明 命题由条件和结论组成 举反例即可判假 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系与分类（第1-10题） · 判断三条线段能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 · 求第三边范围用|两边差|<第三边<两边和；等腰三角形要分类讨论哪条边作腰 · 角度计算先在一个三角形内用内角和180°，再结合平行线、对顶角转化 · 外角等于不相邻两内角之和，遇折叠问题抓住折叠前后对应角相等 1．（2026·浙江台州·二模）如图，过点作中的角平分线，交的平行线于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）已知是的边所在直线上的一点，与不重合，过分别作交所在直线于， 交所在直线于．若，则的度数是_______． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，以为边作等边三角形，连接，则的最大值与最小值的和为____________． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，折痕为，则__． 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，平分，于点E，若，，则的度数为__________． 8．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，，，将沿折叠，点B的对应点是点，则的度数是______．    9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，点E在直线上，点F在直线上，连结．点G是射线上一点（不与点F重合），过点G作交线段于点H，且． （1）的度数为________． （2）已知点P，Q在直线之间，点M在射线上，连结，使线段经过点H．若，则的度数为________． 10．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【考点2】三角形的重要线段（第11-15题） · 中线分三角形为等面积两部分，多条中线组合时按份数求面积 · 高是顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形有两条高在三角形外部 · 重心把每条中线分成2:1两部分，可用于求线段长度 · 角平分线与中线、高不要混淆：角平分线分角，中线分边，高作垂直 11．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 12．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（　　） A． B． C． D． 13．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 14．（21-22八年级上·浙江宁波·期末）如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）知识拓展：解分式方程除了转化整式方程外，还有其他的解法，请仔细阅读并完成填空： （1）例题：解方程， 解法1：利用分式的基本性质，将原方程化为，由分子相同，得分母相同，即______． 解法2：分式两边通分，得，由分母相同，得分子相同，即______． （2）解法3：用图形的方式表示出来，就可以用下图来解释． 如图，，．则，，，由，得______，从而求得______． 问题解决： （3）如图所示，在三角形中，是边上的点，且，，求的长． 【考点3】全等三角形的性质（第16-19题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，找对应关系时按记法顺序确定 · 利用全等性质求边长或角度，先把所求量转化为对应的边或角 · 注意公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · 图形较复杂时先分离出两个全等三角形再观察对应元素 16．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 17．（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 18．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形中，厘米，厘米，点E为中点，已知点P在线段上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点C向点B运动，如果与恰好全等，那么点Q的运动速度是________厘米/秒． 19．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【考点4】全等三角形的判定与证明（第20-34题） · 判定全等按SSS、SAS、ASA、AAS选择，优先找已知等边等角及其夹角/夹边 · 「添加条件使三角形全等」要对照已有条件，缺什么补什么，注意不能补成SSA · 证明线段或角相等，通常转化为证明它们所在的两个三角形全等 · 等腰、等边三角形常与全等结合，利用等边对等角、三线合一找条件 · 证明过程先写「在△××与△××中」，再列三个条件，最后写判定依据 20．（24-25八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在和中，．添加下列哪个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）等腰中，，D是的中点，于 E，交的延长线于F，若，则的面积为______ 24．（24-25八年级上·山东日照·阶段检测）如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O，连接，则①；②；③；④是等边三角形．其中，正确的结论有________________ 25．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，，，．若，则_____． 26．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 27．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为______． 28．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，F是延长线上一点，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，求和的度数． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，作分别交于于点，延长至点，连接，使得，若，    (1)求证：； (2)若平分，且，求的度数． 30．（2025·浙江嘉兴·二模）小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题： 如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上． 小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小嘉：小兴，你的作法有问题． 小兴：哦……我明白了！ (1)给出小嘉作法中的证明． (2)指出小兴作法中存在的问题． 31．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知与相交于点，，，求证：． 下面是两名同学的对话： 小莲说：根据条件，找不到全等三角形． 小聪说：如果添加辅助线，那么就可以找到全等三角形． 请根据提示给出证明． 32．（24-25八年级上·浙江温州·期中）看图填空：已知：如图，，，，求证：平分． 证：，（ ① ） ② （垂直的定义） （ ③ ） 在和中 （ ⑤ ）． （ ⑥ ） 即平分． 33．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）综合与实践 【建立模型】 （1）如图（1），为等边三角形，点D在的延长线上，在的同侧以为边构造等边三角形，连接交于点求证： 【应用模型】 （2）①如图（2），在中，平分，且，点E在的延长线上，且，连接，求证： ②如图（3），和都是等腰三角形，，点C恰好在延长线上，连接若，，求的面积． 34．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．求证： 证明：（已知）， ______（两直线平行，同位角相等）， （已知）， ，即______． 在与中， （______）， （______）． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第35-48题） · 角平分线性质：线上点到两边距离（垂线段）相等，常用来作辅助线 · 垂直平分线性质：线上点到线段两端点距离相等，可得到等腰三角形 · 见垂直平分线常连接线上点与线段两端，构造等腰三角形 · 两者的逆定理用于判定点在角平分线或垂直平分线上 · 角度问题结合等边对等角、内角和定理列方程求解 35．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 36．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 39．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 40．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，，则（    ） A． B．7 C．8 D．11 41．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为______． 42．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在锐角中，已知平分交于垂直，垂足为，若，则的长是_____________． 43．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，，分别是，边上的垂直平分线，，交于点，连接，．已知，则的度数为______． 44．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 45．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，边的中垂线交于点D，交于点M． (1)求的度数． (2)求的周长． 46．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”． (1)请在如图2中，作出的“双等腰线”，并标出各内角度数或作必要的标注； (2)如图3，已知在中，，点是的中点，过点作，交的延长线于点D，边上的一点恰好在的垂直平分线上，求证：线段、是的“三等腰线”； (3)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，直接写出它的底角度数． 47．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． 48．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 【考点6】尺规作图与命题证明（第49-52题） · 作角平分线、作线段垂直平分线、过一点作垂线是基本作图，保留作图痕迹 · 判断命题真假，假命题举一个满足条件但不满足结论的反例即可 · 证明题先分清条件（已知）与结论（求证），再画图、写证明，步步有据 · 综合题把作图与计算、证明结合，先按要求作图再利用图形性质推理 49．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是上一点，已知尺规作图步骤如下： ①以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点． ③画射线． ④以点为圆心，以为半径画弧交于点． ⑤连接并延长交于点． 请根据以上步骤解决下列问题： (1)求的度数． (2)求证∶ ． 50．（2025·浙江温州·二模）小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． (1)填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”） 小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______． (2)请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 51．（26-27八年级上·全国·课后作业）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到围墙，的距离相等，且到围墙边界，的距离相等，请确定点的位置． 52．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点，需要满足以下条件： (1)附近的两栋住宅楼到智能垃圾分类投放点的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． (2)点到两条道路的距离相等，需要作出______（填“角平分线”或“垂直平分线”）． (3)请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点的位置． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边、角关系是基础，判断三边能否构成三角形、求角度都要回到180°和外角性质 · 中线分面积、重心2:1、高作垂直，三条重要线段的功能要分清 · 全等判定认准SSS、SAS、ASA、AAS，避开SSA与AAA，证明时写齐三个条件 · 角平分线、垂直平分线的性质与逆定理要会正用和逆用，善作垂线段辅助线 · 尺规作图保留痕迹，命题证明先写已知求证，推理过程步步有据 【作业1】．（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【作业2】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【作业3】．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．面积相等的两个三角形是全等图形 B．三角形的外角一定大于内角 C．对应角都相等的两个三角形全等 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【作业4】．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【作业5】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【作业6】．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点D，交于点E，连接，，，的周长为6，则的长为_________． 【作业7】．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）将两个分别含和角的直角三角板如图放置，则的度数是_____． 【作业8】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，的三条角平分线交于点，，若的周长为10，，则___________． 【作业9】．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，点为直线上一点，为射线上一点，若，，交于点，则的度数为________． 【作业10】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）已知和中，，若要使，可添加一个条件为___________； 【作业11】．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有_____．（填所有正确结论的序号） 【作业12】．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____． 【作业13】．（2024·江苏南京·二模）如图，，，，是上的四个点，，的延长线相交于点，，相交于点．若，，则的度数是____°． 【作业14】．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为______． 【作业15】．（25-26九年级上·浙江金华·期中）点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 【作业16】．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）在中，垂直平分，若，则的周长是______．    【作业17】．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【作业18】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）在作业本上有如下题目，下面是小明的证明过程 已知：如图，点，在的边上，，，求证：． 你是否同意小明的证法，若同意他的证法，请在下面横线内打“√”，若不同意他的证法，请在下面横线内打“×”，并写出你的正确证法．______． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $