专题04 线段垂直平分线与角平分线 期中复习讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题04线段垂直平分线与角平分线期中复习讲义 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；能分清定理的条件与结论，会用几何语言规范书写推理过程。 2.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；会利用逆定理判定点在线段垂直平分线上，理解线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 3.理解角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；分清 “距离” 指垂线段长度，这是易错点；会用定理直接得到线段相等，不用再证全等。 4.掌握角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；会用逆定理判定角平分线。 5.会尺规作图：作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线，理解作图原理，能保留作图痕迹，说明作图依据。 6.能够结合全等三角形知识证明线段垂直平分线、角平分线的相关结论；能从复杂图形中识别垂直平分线、角平分线的基本模型，利用性质转化相等线段、相等垂线段。 7.会解决简单的最值问题（将军饮马基础模型）：利用线段垂直平分线的性质实现线段转化，求两条线段和的最小值。 8.综合运用两个性质解决几何证明、线段求值、角度计算题型，区分两类性质的使用场景：垂直平分线→到线段两端距离相等；角平分线→到角两边垂线段相等，避免混淆。 9.梳理易错点：①角平分线性质里必须是垂线段才相等；②逆定理中角平分线要强调 “角的内部”；③作图忘记保留痕迹；④混淆两个性质的结论，乱用定理。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型四 作垂线 ★★ 题型五 角平分线的性质定理 ★★ 题型六 角平分线的判定定理 ★★ 题型七 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型八 作角平分线 ★★ 题型九 线段垂直平分线的最值问题 ★★★★ 题型十 角平分线的最值问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06：高频易错点汇总 错误表述 正确内容 错误原因 点在垂直平分线上，则点到线段两边距离相等 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 混淆垂直平分线与角平分线的距离对象 角平分线上的点到角两边线段相等 必须是垂线段相等，斜线段不相等 忽略 “垂直” 这个必要条件 PA=PB，则PM⊥AB，AM=MB PA=PB只能说明P在垂直平分线上，不能直接推出PM平分、垂直，需补充条件 逆定理只能判定点在线上，不能直接得到垂直平分 内心到三角形三个顶点距离相等 内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等 混淆内心、外心性质 三角形角平分线是射线 三角形角平分线是线段；单纯角平分线是射线 概念混淆 只要距离相等，点就在角平分线上 点必须在角内部才成立，外部不适用 忽略逆定理限制条件 题型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得，结合三角形的周长概念即可求解 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 3．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，，根据的周长为，求出，即可求得的周长． 【详解】解：根据题意得垂直平分， ，, 的周长， ， ， ，即的周长． 故选：D． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 【答案】12 【分析】根据AB＝AC，OB＝OC，可知直线AO是线段BC的垂直平分线，由AO与BC交于点D，BD＝6，从而可以得到BC的长，本题得以解决． 【详解】解：∵AB＝AC，OB＝OC， ∴点A，点O在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AO是线段BC的垂直平分线， ∵AO与BC交于点D， ∴BD＝CD， ∵BD＝6， ∴BC＝2BD＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的判定定理解答问题． 6．如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为9，可得，从而求出的周长，即可解答． 【详解】∵点D是的中点， ∴， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈” 现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在（       ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的实际应用．根据线段垂直平分线的性质即可确定选项，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， ∴便民服务中心应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：． 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】10 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，然后根据周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可得，垂直且平分， ∴， ∴， 故答案为：10． 9．如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，垂直平分线判定，准确理解题意是解题的关键． 在上找一点使得，必须使得，所以作线段的垂直平分线即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∴作线段的垂直平分线， 故选：D． 题型四、作垂线 10．如图，甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线．其中作法正确的（   ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的判定，根据作图与线段的垂直平分线的判定方法可得答案． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的判定： 甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线都正确； 故选：D 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，，再得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 12．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵由作图可知， ∴， ∴． 题型五、角平分线的性质定理 13．如图 ，平分，于点，于点．若，则 的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由角平分线的性质解答即可． 【详解】解：∵ 平分，且于点，于点， ∴． 14．如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 【答案】 【分析】根据角平分线定理，三角形面积公式直接计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， ∵， ∴． 15．如图，的面积为20，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同高（等高）三角形的面积比等于底边比，进行求解即可. 【详解】解：∵，面积为2， ∴的面积为4， ∴的面积为， ∵点为的中点， ∴的面积为的面积的2倍，即为， ∵的面积为20， ∴的面积为； ∵的平分线交于点， ∴点到和的距离相等， ∴. 题型六、角平分线的判定定理 16．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握是解题关键． 【详解】解：两把直尺相同， 直尺的宽度相等， 点到、的距离相等， 平分，依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． 17．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 【答案】18 【分析】如图，延长到F，首先得到平分，然后证明出平分，可得，由三角形外角的性质，可得，，继而求得答案． 【详解】解：如图，延长到F， ∵在中，，， ∴，， ∴ ∴平分， 又∵的平分线交边于点E， ∴点E到边，，的距离相等， ∴点E在的平分线上，即平分， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴得： ∴ ． 故答案为：18． 【点睛】考查三角形外角的性质以及角平分线的性质和判定定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 18．如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，判断平分，再结合的度数求出的度数． 【详解】解：，，， 是的平分线． ， ． 故选：B． 题型七、角平分线性质的实际应用 19．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．边的中点 【答案】C 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 20．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______． 【答案】50 【分析】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【详解】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【点晴】考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 21．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 题型八、作角平分线 22．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 23．我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是______． 【答案】 【分析】由作法可知：，根据全等三角形的判定定理，以及角平分线定义分析判断即可． 【详解】解：如图连接， 由作法可知，， 又， ， ， 射线为的角平分线． 24．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 题型九、线段垂直平分线的最值问题 25．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 26．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 27．已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，即的最小值为的长度，最后再根据面积法求解即可． 【详解】解：点G在的垂直平分线上， ， ∴， 过点C作于点H，交的垂直平分线于点G，此时，如图： ∴的最小值为的长度． ∵的面积为， 又∵三角形面积为， ∴， 解得， ∴的最小值为． 题型十、角平分线的最值问题 28．如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连接、，若平分，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，，取得最小值，最小值为． 29．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、垂线段最短、全等三角形的判定和性质，过点G作于点H，证明，得到，则，利用垂线段最短可知，当点P与点H重合时，有最小值，即此时． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ∵， ∴ 由作图可知，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，有最小值，即此时， 故选：B． 30．如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【分析】过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点P，Q分别为，上一个动点，得到当P在上，Q与E重合时，最小． 【详解】解：过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，， ，为的平分线，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当P在上时， 点P，Q分别为，上一个动点， 当P在上，Q与E重合时，最小． 解答题 31．在下图的每个三角形中，分别按要求画图： (1)在图①中用尺规作出中线；（保留痕迹，写出结论） (2)在图②中用尺规作出角平分线；（保留痕迹，写出结论） (3)在图③中画出高线．（写出结论） 【答案】(1)如图，即为所作． (2)如图，即为所作． (3)如图，即为所作． 【分析】（1）分别以点、为圆心，长为半径作弧，连接两弧交点，交于，连接，即为所求； （2）先以为圆心，任意长为半径作弧，交、于、两点，分别以、两点为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，连接，交于，即为所求； （3）过点作的垂线，交延长线于，即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 32．尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点即为所求， 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ∴的周长等于； （2）解：作线段的垂直平分线交于点，连接，再作线段的垂直平分线交于点，连接， 则点即为所求，图略． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， 分别垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上； (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到的周长等于的长； （2）连接，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，得证结论； （3）根据垂直平分线的性质得到，，进而得到答案． 【详解】（1）解：的垂直平分线分别交于点， ， ， 的周长，即， ； （2）略； （3）解：如图，连接， 分别垂直平分， ，，且，， ，， ， ． 34．如图，已知的外角、的平分线、相交于点P． (1)求证：点P在的平分线上． (2)直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明：过点P分别作于点M，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 点P在的平分线上． (2)． 【分析】（1）过点P分别作于点M，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知，，故，再根据角平分线的判定定理即可证明； （2）由角平分线的性质证明，，故，再由四边形的内角和即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：，， ， ， 平分， ， ，， ， ， 同理， ， ， ， ． 35．如图（1）点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、． (1)图（1）中面积相等的三角形有______对； (2)利用（1）中的结论解决下面两个问题： ①将图（1）中的、进行以下操作： 第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、 第二步，先将图（2）中的、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图（3）所示位置．若直线与相交于点，连接．求证：平分． ②如图（4），折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）． 【答案】(1)3 (2) ①证明：过点分别作于，于，如图： 根据题意可知，的面积的面积， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； ②解：步骤：连接，过点作的平行线交于点，则为所求的直路． 如图： 证明：∵， ∴， ∴，， ∴甲、乙的面积前后不发生改变． 【分析】（1）根据两条平行线之间的距离相等，即可得出答案； （2）①过点分别作于，于，根据题意可知，的面积的面积，根据面积公式可得，即可得出结论； ②连接，过点做的平行线交于点，则为所求的直路，根据两条平行线之间的距离相等，可得． 【详解】（1）解：∵， ∴、间的距离相等， 设、间的距离为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故面积相等的三角形有和，和，和，共3对． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04线段垂直平分线与角平分线期中复习讲义 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；能分清定理的条件与结论，会用几何语言规范书写推理过程。 2.掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；会利用逆定理判定点在线段垂直平分线上，理解线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 3.理解角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；分清 “距离” 指垂线段长度，这是易错点；会用定理直接得到线段相等，不用再证全等。 4.掌握角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；会用逆定理判定角平分线。 5.会尺规作图：作一条线段的垂直平分线、作一个角的平分线，理解作图原理，能保留作图痕迹，说明作图依据。 6.能够结合全等三角形知识证明线段垂直平分线、角平分线的相关结论；能从复杂图形中识别垂直平分线、角平分线的基本模型，利用性质转化相等线段、相等垂线段。 7.会解决简单的最值问题（将军饮马基础模型）：利用线段垂直平分线的性质实现线段转化，求两条线段和的最小值。 8.综合运用两个性质解决几何证明、线段求值、角度计算题型，区分两类性质的使用场景：垂直平分线→到线段两端距离相等；角平分线→到角两边垂线段相等，避免混淆。 9.梳理易错点：①角平分线性质里必须是垂线段才相等；②逆定理中角平分线要强调 “角的内部”；③作图忘记保留痕迹；④混淆两个性质的结论，乱用定理。 题型 考察方向 难度 题型一 线段垂直平分线的性质 ★★ 题型二 线段垂直平分线的判定 ★★ 题型三 作已知线段的垂直平分线 ★★ 题型四 作垂线 ★★ 题型五 角平分线的性质定理 ★★ 题型六 角平分线的判定定理 ★★ 题型七 角平分线性质的实际应用 ★★★ 题型八 作角平分线 ★★ 题型九 线段垂直平分线的最值问题 ★★★★ 题型十 角平分线的最值问题 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点02：尺规作图：作线段的垂直平分线 已知：线段 AB。 知识点03:角平分线 1. 定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言： ∵ 射线 OC 把 ∠AOB 分成两个相等的角，即 ∠1=∠2，∴ 射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 知识点04：尺规作图：作已知角的平分线 已知∠BAC（如图所示），用直尺和圆规作∠BAC 的平分线AD 注意：要以大于EF的长为半径作圆弧。 若半径小于EF，两圆弧没有交点，无法确定角平分线上的点； 若半径等于EF，两圆弧仅有一个交点，作图精度差、不易操作。 知识点05:两者对比（超好用总结） 内容 线段垂直平分线 角平分线 线上点的性质 到线段两端点距离相等 到角两边距离相等 判定 到两端点等距 ⇒ 在垂直平分线上 到两边等距 ⇒ 在角平分线上 三角形交点 外心（到三顶点等距） 内心（到三边等距） 适用图形 线段 角 知识点06：高频易错点汇总 错误表述 正确内容 错误原因 点在垂直平分线上，则点到线段两边距离相等 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等 混淆垂直平分线与角平分线的距离对象 角平分线上的点到角两边线段相等 必须是垂线段相等，斜线段不相等 忽略 “垂直” 这个必要条件 PA=PB，则PM⊥AB，AM=MB PA=PB只能说明P在垂直平分线上，不能直接推出PM平分、垂直，需补充条件 逆定理只能判定点在线上，不能直接得到垂直平分 内心到三角形三个顶点距离相等 内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等 混淆内心、外心性质 三角形角平分线是射线 三角形角平分线是线段；单纯角平分线是射线 概念混淆 只要距离相等，点就在角平分线上 点必须在角内部才成立，外部不适用 忽略逆定理限制条件 题型一、线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，的周长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 3．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与、分别相交于点E和点D，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型二、线段垂直平分线的判定 4．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 5．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝OC，连接AO并延长交边BC于点D，如果BD＝6，那么BC的值为__． 6．如图，在中，点D是的中点，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F，直线交于点E，连接，若，的周长为9，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 题型三、作已知线段的垂直平分线 7．河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈” 现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在（       ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为________． 9．如图，在中，，用尺规作图在边上确定一点P，使，则一定符合要求的选项是（   ） A． B． C． D． 题型四、作垂线 10．如图，甲、乙、丙三位同学作线段的垂直平分线．其中作法正确的（   ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙 11．如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为________． 12．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为，，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型五、角平分线的性质定理 13．如图 ，平分，于点，于点．若，则 的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．如图，是的角平分线，，，，的面积为，则_________． 15．如图，的面积为20，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型六、角平分线的判定定理 16．如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（     ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 17．如图，在中，，的平分线交边于点E，在边取点D，使，连接，则的大小 __________（度）． 18．如图，点在一块直角三角板上，其中，于点，于点，连接．若，则的度数是（    ） A．10° B．15° C．20° D．30° 题型七、角平分线性质的实际应用 19．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．边的中点 20．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是______． 21．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 题型八、作角平分线 22．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 23．我们知道，用直尺和圆规可以画出一个角的角平分线：以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边相交于两点，再分别以D、E为圆心，大于一半长作为半径作圆弧，两圆弧交于点O，如图射线即为的角平分线，它的画法依据是______． 24．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 题型九、线段垂直平分线的最值问题 25．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． 26．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 27．已知中，，，边上的高，点G是边的垂直平分线上任一点，H是边上一动点，那么的最小值是___________． 题型十、角平分线的最值问题 28．如图，在四边形中，，，点是边上的动点，连接、，若平分，则的最小值为______． 29．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．1 C． D． 30．如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 解答题 31．在下图的每个三角形中，分别按要求画图： (1)在图①中用尺规作出中线；（保留痕迹，写出结论） (2)在图②中用尺规作出角平分线；（保留痕迹，写出结论） (3)在图③中画出高线．（写出结论） 32．尺规作图 (1)在边上找一点，使的周长等于 (2)在边上找一点，使得 33．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，的垂直平分线分别交，于点，的延长线交于点． (1)若，则长为______； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，，则_____． 34．如图，已知的外角、的平分线、相交于点P． (1)求证：点P在的平分线上． (2)直接写出与的数量关系． 35．如图（1）点、点在直线上，点、点在直线上，且，连接、、、． (1)图（1）中面积相等的三角形有______对； (2)利用（1）中的结论解决下面两个问题： ①将图（1）中的、进行以下操作： 第一步，分别复制、，粘贴，如图（2）所示的、 第二步，先将图（2）中的、的顶点、重合，再将绕点旋转到如图（3）所示位置．若直线与相交于点，连接．求证：平分． ②如图（4），折线型小路，将四边形苗圃分成甲、乙两块，为了方便管理，要将折线型小路改为经过点的直线型小路，使得甲、乙的面积前后不发生改变．请你在图（4）中画出直线型小路（不需要尺规作图，但要规范，并简单说明作图的关键步骤）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $