专题01 三角形（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01 三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 三角形的基本概念 考点二 命题与证明 考点三 全等三角形及判定 考点四 角平分线与垂直平分线 05 重难题型突破 题型一 三角形的基本概念 题型二 三角形的内角和问题 题型三 三角形的三边关系 题型四 三角形的高、中线与角平分线 题型五 命题的判断 题型六 命题真假的判断 题型七 全等图形 题型八 全等三角形的定义 题型九 全等三角形的性质 题型十 全等三角形的判定 题型十一 全等三角形的性质与判定综合 题型十二 垂直平分线的性质与判定 题型十三 角平分线的性质与判定 题型十四 全等三角形的动点问题 题型十五 全等三角形的综合问题 题型十六 尺规作图问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是从“算”走向“证”的转折章。常考考点：三角形的三边关系（判断能否构成三角形、求第三边取值范围）；三角形内角和定理与外角性质；三角形的三条重要线段（中线、高、角平分线）；定义与命题（区分条件与结论、改写为“如果……那么……”的形式、判断真假并举反例）；证明的表述格式与依据填写；全等三角形的性质；全等的四种判定 、、、；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。题型覆盖选择、填空与解答，其中全等三角形的证明是必考解答题（6—10 分），三边关系与内角和常出选择、填空，约 30%—38%。 难易度 难度系数约 0.70。基础题集中在三边关系判断、内角和与外角计算、判定方法的选择；中档题集中在“先证全等、再证线段或角相等（或平行、垂直）”的两步证明，以及需要添加辅助线（倍长中线、截长补短）的题目；压轴多以“全等＋动态点”或全等探究的形式出现在卷末。本章最大的失分点不是不会证，而是书写不规范——跳步、不写判定依据、对应关系写错。 识记 ① 能说出三角形的边、顶点、内角与三角形的表示方法，记住三角形内角和等于 ，以及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 ② 能说出三角形的三条重要线段（中线、高、角平分线）的定义，知道三条中线交于一点、三条角平分线交于一点。 ③ 能说出全等三角形的定义与性质（对应边相等、对应角相等），记住四种判定方法 、、、，知道“边边角”不能判定全等。 ④ 能说出线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等。 理解 ① 理解三边关系的依据（两点之间线段最短），能由两边长确定第三边的取值范围：。 ② 理解命题的结构（条件与结论），会把命题改写成“如果……那么……”的形式，能判断真假并举例说明。 ③ 理解证明的必要性及“每一步都要有依据”的书写要求，能说明添加辅助线（构造全等三角形）的作用。 ④ 理解外角性质与内角和定理的联系，能用外角性质简化角度计算，避免每次都列方程组。 应用 ① 能判断三条线段能否构成三角形，并求第三边或周长的取值范围（注意取整与实际意义）。 ② 能根据题意正确选择判定方法完成全等三角形的证明，并按“找条件—写判定—得结论”的格式书写。 ③ 能用全等三角形的性质证明线段相等或角相等，处理“先证全等、再证平行或垂直”的两步问题。 ④ 能运用线段垂直平分线、角平分线的性质解决线段相等与距离类问题，并完成基本的尺规作图（作线段垂直平分线、作已知角的平分线）。 考点一 三角形的基本概念 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 考点二 命题与证明 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. ⚠️概念辨析 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 考点三 全等三角形及判定 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 ⚠️易错易混 关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. ⚠️记忆口诀 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 考点四 角平分线与垂直平分线 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE ⚠️概念辨析 ①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 垂直平分线的性质 1. 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 题型一 三角形的基本概念 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】抓住点与角的区别、三角形角平分线的属性，结合对角、中线的定义逐一判断． 【详解】解：①的顶点是点，是角，二者不相同，故①错误； ②三角形一边的对角是该边所对的角，即另外两边的夹角，故②正确； ③三角形的中线是一顶点与它对边中点连接的线段，符合中线定义，故③正确； ④三角形的角平分线是线段，不是射线，故④错误； 综上所述，正确的有②③． 💡破题要诀 ① 记住结构：三条边、三个内角、三个顶点，共六个基本元素。 ② 记法 中，顶点字母可按任意顺序书写，但一旦写定，对应关系就随之确定。 ③ 按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 ④ 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ⑤ 构成三角形的两个必要条件：三条线段首尾顺次相接，且三条线段不在同一直线上。 迁移应用 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 【变式1-3】（26-27八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，共有______个三角形． 【答案】 【详解】解：观察图形可知，三角形有：、、、、、，共有个三角形． 题型二 三角形的内角和问题 【例2】（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义得到的度数，则可求出的度数，再根据垂线的定义和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵在中，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 💡破题要诀 ① 根本结论：三角形三个内角的和恒等于 180°。 ② 已知两角直接相减：。 ③ 含比例关系时设一份为 ，如「三个角之比为 2:3:4」设成 ，列和为 180° 的方程。 ④ 直角三角形可直接用「两锐角互余」，省一步计算。 ⑤ 涉及外角时记住：一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 【答案】/35度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（2022·湖南张家界·模拟预测）如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴． ∴． ∴． 题型三 三角形的三边关系 【例3】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】比较每组两短边长度和与最长边的大小，判断能否构成三角形． 【详解】解： ，，， 、、选项均不能构成三角形． ， 选项能构成三角形． 💡破题要诀 ① 定理内容：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ② 判定时只需验一次：把三边从小到大排好，检验「较小两边之和 > 最长边」即可。 ③ 求第三边 的范围：已知两边 、，则 。 ④ 为整数时，先写出不等式再把范围内的整数逐个列出，端点不能取。 ⑤ 等腰三角形已知一边长求周长，必须按「这已知边是腰还是底」分类，并对每种情况用三边关系检验。 迁移应用 【变式3-1】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）下列长度的3根小木棒能搭成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较较短两边长度之和与最长边长度，判断能否构成三角形． 【详解】解：A.∵，∴能构成三角形； B.∵，∴不能构成三角形； C.∵，∴不能构成三角形； D.∵，∴不能构成三角形． 【变式3-2】（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 【变式3-3】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边之间的关系求出x的范围，再对照选项筛选即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为． 由三角形三边之间的关系得． 即． 四个选项中只有符合该范围． 题型四 三角形的高、中线与角平分线 【例4】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，是的中线，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【详解】解：∵是的中线，， ∴． 💡破题要诀 ① 高：从顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足的线段。钝角三角形有两条高在三角形外部。 ② 中线：连接顶点与对边中点的线段，它把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。 ③ 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段。 ④ 三线共点规律：三条高交于一点、三条中线交于一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）。 ⑤ 面积计算：，已知面积求高时可反过来用。 迁移应用 【变式4-1】（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴； ∵E为的中点， ∴； 又∵F为的中点， ∴． 【变式4-2】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 【变式4-3】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义求出，再根据高线的定义及直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：，， ． 平分， ． 是的高， ． ． 【变式4-4】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，D、E分别是边、上的点，，，、相交于点F．若四边形的面积为10，则的面积为_______． 【答案】24 【分析】连接，利用三角形的中线平分三角形的面积结合同高三角形的面积比等于底边比，设，根据面积间的关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，，，， 设，则， ∵四边形的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，则， ∴． 【变式4-5】（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)30 (2)24 【分析】（1）先根据中线的定义得到的长度，然后根据三角形面积公式解答即可； （2）先根据中线的性质可知，然后根据三角形面积公式，据此即可求得的长． 【详解】（1）解：是的边上的中线，，， ， 的面积为； （2）解：由题意得， ，， ． 题型五 命题的判断 【例5】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】明确定义是对概念含义的描述规定，需与事实、性质类命题区分． 【详解】解：A、两点确定一条直线，是基本事实，不属于定义； B、两点之间的所有连线中，线段最短，是基本事实，不属于定义； C、对“两点之间的距离”的含义作出明确规定，属于定义； D、三角形中任意两边的和大于第三边，是三角形的性质定理，不属于定义． 💡破题要诀 ① 定义：判断一件事情的句子叫做命题，必须有明确的「是」或「不是」。 ② 结构两部分：题设（已知事项）+ 结论（由已知推出的事项）。 ③ 改写技巧：先补成「如果……那么……」的形式，「如果」之后是题设，「那么」之后是结论。 ④ 不是命题的三类：疑问句、祈使句（作图语句）、描述性定义。 ⑤ 找不到结论时，问自己「这句话在断言什么」，答案就是结论。 迁移应用 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 【变式5-2】（21-22八年级下·重庆南岸·开学考试）下列语句不是命题的是（     ） A．自然数是整数 B．两锐角的和是直角 C．同角的余角相等 D．作射线 【答案】D 【详解】解：A、自然数是整数，故不符合题意； B、两锐角的和是直角，故不符合题意； C、同角的余角相等，故不符合题意； D、作射线，不是命题，故符合题意． 题型六 命题真假的判断 【例6】（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题； ②对顶角相等，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；原说法缺少前提，是假命题； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法缺少前提，是假命题； 即真命题有2个． 💡破题要诀 ① 两条路径不同：证真命题需要给出证明；证假命题只需举出一个反例。 ② 举反例的要求：这个例子必须满足命题的题设，但不满足结论——两者缺一不可。 ③ 突破口常在绝对词：含「一定」「都」「任意」的命题，优先试着找反例。 ④ 常用的反例来源：特殊角（直角、0°）、特殊位置（共线、重合）、特殊数（0、负数）。 ⑤ 说明假命题时，要把反例的具体数值代入并算出矛盾，不能只说「不一定」。 迁移应用 【变式6-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 【变式6-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 【变式6-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 【答案】(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）． (2)真命题 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 题型七 全等图形 【例7】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列是几组教学用具的简图，其中是全等形的一组是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形叫作全等形，逐一分析各选项． 【详解】解：A选项：两个瓶子的瓶身高度略有差异，大小不一致，不符合题意； B选项：一个是锥形瓶，一个是烧杯，形状完全不同，不符合题意； C选项：两个三角尺的形状、角度、边长比例完全不同，不符合题意； D选项：两个地球仪的形状、大小完全相同，符合题意． 💡破题要诀 ① 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 ② 本质两条：形状相同、大小相等，二者缺一不可。 ③ 与位置、方向无关：经过平移、翻折、旋转后的图形与原图形全等。 ④ 周长相等、面积相等都是全等的必要条件而非充分条件，不能反推。 ⑤ 判断方法：想象能否通过平移、翻折、旋转使二者完全重合。 迁移应用 【变式7-1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： A．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； B．两个图形的形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形的形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状大小都不同，不是全等图形，不符合题意． 【变式7-2】（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：符合全等图形的只有C选项，A、B、D的图形都不是全等形． 【变式7-3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【答案】C 【分析】全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，面积、周长相等不一定全等，据此求解即可． 【详解】解：A.两个面积相等的长方形不一定是全等图形； B.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形； C.能够完全重合的两个图形是全等图形； D.两个大小相近的正方形不一定是全等图形. 题型八 全等三角形的定义 【例8】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 💡破题要诀 ① 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 ② 记法讲究：写 时，对应顶点必须写在对应的位置上（ 对 、 对 、 对 ）。 ③ 由记法可直接读出对应关系：按顺序对应的顶点、边、角分别对应。 ④ 对应边相等、对应角相等，这是全等的两条基本性质。 ⑤ 书写时字母顺序一旦确定，后面所有的推理都要沿用这套对应关系。 迁移应用 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 题型九 全等三角形的性质 【例9】（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形外角的性质求出的度数，则由角平分线的定义得到的度数，再由全等三角形的性质得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 💡破题要诀 ① 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ② 延伸性质：对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等，周长相等、面积也相等。 ③ 找对应边的四招：最长边对最长边；最大角对最大角；公共边是对应边；对顶角所对的边是对应边。 ④ 用法：先由记法或已知条件确定对应关系，再据此写出等式。 ⑤ 两个三角形摆放方向不同时，先旋转或翻转想象成同向，再找对应。 迁移应用 【变式9-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，，和是对应角，在中，是最长边．在中，是最长边，且，．则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质进行线段的和差计算即可． 【详解】解： ，， ， ， ． 【变式9-2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式9-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，点E在上，已知，，，， 求： (1)的长度； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答即可． （2）根据全等三角形对应角相等结合三角形的外角的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 题型十 全等三角形的判定 【例10】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：在和中， ． 💡破题要诀 ① 先列条件：把手上已知的三个条件（边或角）列出来，看匹配哪一条判定。 ② 四条判定：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及一角的对边）。 ③ 挖隐藏条件（最关键）：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等、中点带来的线段相等。 ④ 两个陷阱：SSA（两边及其中一边的对角）和 AAA（三角）都不能判定全等。 ⑤ 书写格式：先写「在 与 中」，再逐条列出三个条件，最后写结论并注明依据。 迁移应用 【变式10-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ，即． 在和中， ， ． 【详解】略 【变式10-2】（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：平分， ． 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）由平分，可得，再结合，即可证明； （2）根据已知条件，结合三角形内角和定理求出，再由平分求得，最后在中使用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 平分， ． 在中，． 【变式10-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴． 【分析】先证明，再根据“”证明即可． 【详解】略 题型十一 全等三角形的性质与判定综合 【例11】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在中，于点． (1)过顶点画出的高线； (2)若交于，当时，求证：． 【答案】(1)的高线如图所示： (2)证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【分析】（1）根据高线的定义画图即可； （2）由已知条件说明即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 💡破题要诀 ① 固定三步走：先证全等（找齐三个条件）→ 再用性质（写对应边/角相等）→ 最后代入求出所求量。 ② 要证两条线段相等，首选证明它们所在的两个三角形全等。 ③ 需要两次全等时，把第一次全等得到的结论当作第二次的已知条件。 ④ 书写必须步步有据，每一步后面注明用的是哪条判定或性质。 ⑤ 算完后检查：对应关系是否与判定依据一致，所求量是否真由对应相等推出。 迁移应用 【变式11-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据证明即可得出结论； （2）根据证明，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式11-2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【答案】证明： ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ． 【分析】先用平行线得到两组相等角，再由推导出，利用证明三角形全等，最后得到． 【详解】略 【变式11-3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，点D、E分别在、上，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：如图， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：由（1）可得， ∴． 【分析】（1）证明即可； （2）由全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略； （2）略． 题型十二 垂直平分线的性质与判定 【例12】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______． 【答案】18 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点E、D，， ∴， ∵， ∴的周长． 💡破题要诀 ① 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 ② 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ③ 用法口诀：见「垂直平分线」就联想「连出两条相等的线段」，据此设未知数列方程。 ④ 三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），它到三个顶点的距离相等。 ⑤ 区分方向与判定：要证「线段相等」用性质；要证「点在垂直平分线上」用判定，不要张冠李戴。 迁移应用 【变式12-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【答案】3 【分析】由线段垂直平分线的性质得，则，由的周长即可求解． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点N， ∴， ∴， ∵的周长是， 即， ∴． 【变式12-2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，利用等量代换可得的周长即为线段与之和． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴的周长为． 【变式12-3】（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 【答案】8 【分析】证明，得到，，然后利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 题型十三 角平分线的性质与判定 【例13】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 💡破题要诀 ① 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ② 判定：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ③ 关键动作：必须先作出「到两边的垂线段」，有了垂线段才有「距离」，也才有相等。 ④ 三角形三条角平分线交于一点（内心），它到三边的距离相等，常用于面积法。 ⑤ 面积法技巧：内心到三边距离为 时，，可求内切圆半径。 迁移应用 【变式13-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据条件利用，证明，即判定出①②；再利用三角形的内角和定理判定③；构造全等三角形对应边上的高，利用证明直角三角形全等，即可判定④． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴①，②正确； ③如图所示，与相交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分， 故④正确； 综上，正确的结论有个． 【变式13-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和垂直平分线的性质解答即可． 【详解】垂直平分， ， 平分、、， ， ． 【变式13-3】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作，垂足为F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； (2)解：，理由如下： 如图2，过点C作，垂足为F， ∵平分， ∴ ∵，， ∴ ∵，， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴ ∴； (3) 【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，则，先证明，再证明，再进行角度推导求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∴， ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴ ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴． 题型十四 全等三角形的动点问题 【例14】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 💡破题要诀 ① 设时间为 ，用含 的式子表示各相关线段的长度，并注明 的取值范围。 ② 确定对应关系：通常要按「哪条边与哪条边对应」分类讨论，一般有 2 种情况。 ③ 按分类后的对应关系列方程（直角三角形的题常从直角边对应入手）。 ④ 解出 后必须检验：是否 、动点是否还在边上（不超出线段长度）。 ⑤ 注意「相遇」「到达端点」导致的分段，速度方向改变时要重新列式。 迁移应用 【变式14-1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 【变式14-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形判定与动点问题，解题关键是分情况讨论时，同时验证点的运动边界条件． 【详解】解：设运动时间为秒，则：，，，且，． ， 与均为直角三角形，全等需两组直角边对应相等，分两种情况：   情况一：且， 解得， 此时，点超出边界，舍去． 情况二：且， 解得，． 此时，，符合运动范围，有效． 综上，唯一符合条件的解为． 故答案为：． 【变式14-3】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 【答案】或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 题型十五 全等三角形的综合问题 【例15】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 💡破题要诀 ① 先识别基本图形：公共边型、平移型、翻折型、旋转型（手拉手）、一线三等角（K 字型）、半角模型。 ② 手拉手模型的特征：两个三角形共顶点、有两组相等的线段、且夹角相等。 ③ 常用辅助线：倍长中线、截长补短、作平行线、作垂线。 ④ 证「两条线段的和等于第三条」用截长补短：在长线段上截取一段（截长），或把短线段延长（补短），转化为证两条线段相等。 ⑤ 添加辅助线后要说清作法，并在后续推理中明确用到了它的哪个性质。 迁移应用 【变式15-1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)；；； (2)证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据已知条件证明，得出，则，由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式15-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【答案】(1) 证明：过作于， ． ，， ． ． (2) 解：， 理由：如图，过作交于， ，，． ∵点恰为线段中点， ． ． ． ，， ． ． ． (3)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、三角形面积公式、平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）过作交于，利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证； （3）参考（2）的方法构造全等，设，则，，由的面积是30，即可求出的值，即为的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长交于点，过作， 是角平分线， ． ， ． ， ． ，． ， ，． 是中线， ． ． ， ． ． 设，则，， ． ， 整理得：， ． ， ． ． 【变式15-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)求证：或． 【答案】(1)； (2) 证明：过点A作于点M，于点N，如图所示． ， ，， ， ， 点A在的平分线上， ． 又∵，， ， 平分． (3) 结论：， 证明：在OD上截取，连接，如图所示． 由（1）（2）得，且， ， 是等边三角形， ，， ． 又 ， ， ． ． 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题； （1）由可以得到，再利用三角形内角和定理即可求解． （2）根据全等三角形对应边相等，面积相等，利用等面积法可以证明点A到和边的高相等，则平分，从而平分． （3）用截长补短法把几条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系． 【详解】（1） ，都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ，． ． （2）略 （3）略 题型十六 尺规作图问题 【例16】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 【答案】(1)解：如图即为所作， (2)解：如图即为所作， 【分析】（1）找出的中点，连接即可； （2）根据三边对应相等找出点，即可得． 【详解】（1）略 （2）解：图略 由图可得， ． 💡破题要诀 ① 掌握五大基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 ② 作三角形的三种情形：已知三边（SSS）、已知两边及夹角（SAS）、已知两角及夹边（ASA）。 ③ 作垂直平分线时，分别以两端点为圆心、以大于 线段长为半径画弧，两弧交于两点。 ④ 必须保留作图痕迹（弧线、辅助线都不能擦掉），并在图旁写出结论。 ⑤ 要能说出依据：如作垂直平分线的依据是「到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上」。 迁移应用 【变式16-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 【变式16-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】所作图形如图所示： 【分析】分别以点B、C为圆心，大于为半径画弧，然后交于两点，过这两点作直线交于点，进而问题可求解． 【详解】略 【变式16-3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知． (1)用尺规作图作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点在射线上，于点，于点，且，求的长，并说明依据． 【答案】(1) (2) 【分析】（）以为圆心、任意长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，则即为的平分线； （）根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，依据如下： ∵平分，，，且点在上， ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，平分，在上取一点，使得，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、利用邻补角求度数，先由邻补角计算得出，然后证明，则，由三角形内角和定理计算出，由此即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∴， 又， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如果一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能是（        ） A．4 B．1 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算第三边的取值范围． 【详解】解：设第三边为， 两边长分别为和， ，即． 选项中A．4满足条件，B．1不在范围内，C．7不在范围内，D．8不在范围内， 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：A、，能围成三角形，故本选项符合题意； B、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能围成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 【答案】C 【分析】本题考查了举反例． 反例需满足命题条件（两角互补）但不满足结论（两角相等），即两角之和为但两角不相等． 【详解】解：反例需与互补，且． 选项A：且，满足结论，不是反例； 选项B：，不满足条件，不是反例； 选项C：，但，满足条件但不满足结论，是反例； 选项D：，不满足条件，不是反例； 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 【答案】 /27度 /56度 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． （1）由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由条件可知， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，，， 由条件可知， 即， ∵， ∴， ∵的垂直平分线相交于点H， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______ ． 【答案】（或或（答案不唯一）） 【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：，， 当添加，； 当添加或时，； 当添加时，； 故答案为：（或或（答案不唯一）） 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，．已知与的周长分别是17和11，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵的周长是11， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是17， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 ． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先求出，再由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的____（填序号），射线是的_____（填序号）；（①角平分线；②垂直平分线） (2)在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 【答案】(1)②，①； (2)2． 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形面积的计算，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据基本作图的方法即可得到结论； （2）过E作于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）解：由作图痕迹知，直线是的线段的垂直平分线，射线是的平分线． 故答案为：②，①； （2）解：过E作于H， ∵是的平分线， ∴ ∴的面积． 11．（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，，，，求证：．    【答案】 证明： ， ， 即， 在与中， ， ， ． 【分析】本题考查根据全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由易得，再由，，可证明，即可证明． 【详解】略 12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： 【分析】本题考查垂直平分线的性质，两点之间最短距离，熟练掌握垂直平分线的性质和“将军饮马”模型是解题的关键， （1）连接，作的垂直平分线，交于点D，点D即为所求； （2）作A的对称点，连接交于点E，点E即为所求． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线，交于点D． （2）解：作A的对称点，连接交于点E． 13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识， （1）先证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据（1）可得，根据三角形外角的性质得出进而得出，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ，， ． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 【答案】A 【分析】①利用“是高”得直角三角形两锐角互余，再结合角平分线定义，求出的度数，最后根据三角形内角和定理算出，判断结论①错误．②根据现有条件，没有足够依据证明三边相等，所以判定不是等边三角形．③延长构造全等三角形和，得出，将转化为，再利用三角形外角性质和“大角对大边”，得出，从而判断结论③错误．④证明，得到面积相等关系，再结合和是角平分线的性质，对三角形面积进行转化，得出，判定结论④正确．通过这样逐一分析每个结论，最终确定正确结论的个数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰三角形，条件不足，无法得到为等边三角形，故②错误； 如图，延长交于点， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在和中， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定（、）及性质，三角形外角性质，“大角对大边”定理，三角形面积的计算与转化．解题思想方法有转化思想（将角的关系、面积的关系进行转化），数形结合思想（结合图形分析角和线段的关系）．解题关键为熟练运用全等三角形的判定与性质，结合角平分线、高的性质，对三角形的角、边、面积进行分析转化．易错点是在分析角的关系时，容易忽略三角形外角性质或“大角对大边”的应用条件；证明三角形全等时，易找错对应角或对应边． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系． 由已知得，，则，所以，则，即可求得． 【详解】∵平分且于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，的周长， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______． 【答案】/9度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， 同理得：， ， ， 即， ，， △△， ， ， ， △中，， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法证得，得，从而证得是等腰直角三角形，因此①正确；过点D作于F，利用全等三角形的判定方法证得，得，，因此②正确；设，则，，，从而证得，因此③正确；由，可证得，而点N并不是的中点，因此④错误，据此解题即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故①正确； ②由①知，， 过点D作于F， 则， ， ， 点E是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，即：； 故②正确； ③由，， 设，则， ，， ， 故③正确； ， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故答案为：①②③． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 三角形的基本概念 考点二 命题与证明 考点三 全等三角形及判定 考点四 角平分线与垂直平分线 05 重难题型突破 题型一 三角形的基本概念 题型二 三角形的内角和问题 题型三 三角形的三边关系 题型四 三角形的高、中线与角平分线 题型五 命题的判断 题型六 命题真假的判断 题型七 全等图形 题型八 全等三角形的定义 题型九 全等三角形的性质 题型十 全等三角形的判定 题型十一 全等三角形的性质与判定综合 题型十二 垂直平分线的性质与判定 题型十三 角平分线的性质与判定 题型十四 全等三角形的动点问题 题型十五 全等三角形的综合问题 题型十六 尺规作图问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是从“算”走向“证”的转折章。常考考点：三角形的三边关系（判断能否构成三角形、求第三边取值范围）；三角形内角和定理与外角性质；三角形的三条重要线段（中线、高、角平分线）；定义与命题（区分条件与结论、改写为“如果……那么……”的形式、判断真假并举反例）；证明的表述格式与依据填写；全等三角形的性质；全等的四种判定 、、、；线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。题型覆盖选择、填空与解答，其中全等三角形的证明是必考解答题（6—10 分），三边关系与内角和常出选择、填空，约 30%—38%。 难易度 难度系数约 0.70。基础题集中在三边关系判断、内角和与外角计算、判定方法的选择；中档题集中在“先证全等、再证线段或角相等（或平行、垂直）”的两步证明，以及需要添加辅助线（倍长中线、截长补短）的题目；压轴多以“全等＋动态点”或全等探究的形式出现在卷末。本章最大的失分点不是不会证，而是书写不规范——跳步、不写判定依据、对应关系写错。 识记 ① 能说出三角形的边、顶点、内角与三角形的表示方法，记住三角形内角和等于 ，以及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”。 ② 能说出三角形的三条重要线段（中线、高、角平分线）的定义，知道三条中线交于一点、三条角平分线交于一点。 ③ 能说出全等三角形的定义与性质（对应边相等、对应角相等），记住四种判定方法 、、、，知道“边边角”不能判定全等。 ④ 能说出线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等。 理解 ① 理解三边关系的依据（两点之间线段最短），能由两边长确定第三边的取值范围：。 ② 理解命题的结构（条件与结论），会把命题改写成“如果……那么……”的形式，能判断真假并举例说明。 ③ 理解证明的必要性及“每一步都要有依据”的书写要求，能说明添加辅助线（构造全等三角形）的作用。 ④ 理解外角性质与内角和定理的联系，能用外角性质简化角度计算，避免每次都列方程组。 应用 ① 能判断三条线段能否构成三角形，并求第三边或周长的取值范围（注意取整与实际意义）。 ② 能根据题意正确选择判定方法完成全等三角形的证明，并按“找条件—写判定—得结论”的格式书写。 ③ 能用全等三角形的性质证明线段相等或角相等，处理“先证全等、再证平行或垂直”的两步问题。 ④ 能运用线段垂直平分线、角平分线的性质解决线段相等与距离类问题，并完成基本的尺规作图（作线段垂直平分线、作已知角的平分线）。 考点一 三角形的基本概念 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 三角形的内角和 三角形的内角和为180°． 注意：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 三角形的分类 按角分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点归纳： (1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点归纳：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 要点归纳：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 考点二 命题与证明 命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. ⚠️概念辨析 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 考点三 全等三角形及判定 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等； ②全等三角形的周长相等，面积相等；③平移、翻折、旋转前后的图形全等 ⚠️易错易混 关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 全等三角形的判定 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 全等三角形判定3——“角边角” 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. ⚠️记忆口诀 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 考点四 角平分线与垂直平分线 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE ⚠️概念辨析 ①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 垂直平分线的性质 1. 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 2. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 题型一 三角形的基本概念 【例1】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）①的顶点就是；②三角形一边的对角也是另外两边的夹角；③三角形的中线就是一顶点与它对边中点连接的线段；④三角形的角平分线是射线，以上说法中，正确的是（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 💡破题要诀 ① 记住结构：三条边、三个内角、三个顶点，共六个基本元素。 ② 记法 中，顶点字母可按任意顺序书写，但一旦写定，对应关系就随之确定。 ③ 按边分：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）。 ④ 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ⑤ 构成三角形的两个必要条件：三条线段首尾顺次相接，且三条线段不在同一直线上。 迁移应用 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，共有______个三角形． 题型二 三角形的内角和问题 【例2】（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，平分，，垂足为D．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 根本结论：三角形三个内角的和恒等于 180°。 ② 已知两角直接相减：。 ③ 含比例关系时设一份为 ，如「三个角之比为 2:3:4」设成 ，列和为 180° 的方程。 ④ 直角三角形可直接用「两锐角互余」，省一步计算。 ⑤ 涉及外角时记住：一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 迁移应用 【变式2-1】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 【变式2-2】（2022·湖南张家界·模拟预测）如图所示，在中，，，，则的度数是________． 【变式2-3】（26-27八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，是的边上的高，平分，若，求的度数． 题型三 三角形的三边关系 【例3】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 💡破题要诀 ① 定理内容：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 ② 判定时只需验一次：把三边从小到大排好，检验「较小两边之和 > 最长边」即可。 ③ 求第三边 的范围：已知两边 、，则 。 ④ 为整数时，先写出不等式再把范围内的整数逐个列出，端点不能取。 ⑤ 等腰三角形已知一边长求周长，必须按「这已知边是腰还是底」分类，并对每种情况用三边关系检验。 迁移应用 【变式3-1】（26-27八年级上·浙江宁波·阶段检测）下列长度的3根小木棒能搭成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点O，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）钉一个三角形木框，现有和长的两根木棒，下面四根木棒中，只能选的是（     ） A． B． C． D． 题型四 三角形的高、中线与角平分线 【例4】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，是的中线，若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．4 💡破题要诀 ① 高：从顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足的线段。钝角三角形有两条高在三角形外部。 ② 中线：连接顶点与对边中点的线段，它把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。 ③ 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段。 ④ 三线共点规律：三条高交于一点、三条中线交于一点（重心）、三条角平分线交于一点（内心）。 ⑤ 面积计算：，已知面积求高时可反过来用。 迁移应用 【变式4-1】（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，是的边上的中线，，分别是，的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】（26-27七年级上·山东烟台·开学考试）如图，，分别是的角平分线和高，若，，则的度数为_____． 【变式4-4】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，D、E分别是边、上的点，，，、相交于点F．若四边形的面积为10，则的面积为_______． 【变式4-5】（26-27八年级上·河北沧州·阶段检测）如图，、分别为的边上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 题型五 命题的判断 【例5】（26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 💡破题要诀 ① 定义：判断一件事情的句子叫做命题，必须有明确的「是」或「不是」。 ② 结构两部分：题设（已知事项）+ 结论（由已知推出的事项）。 ③ 改写技巧：先补成「如果……那么……」的形式，「如果」之后是题设，「那么」之后是结论。 ④ 不是命题的三类：疑问句、祈使句（作图语句）、描述性定义。 ⑤ 找不到结论时，问自己「这句话在断言什么」，答案就是结论。 迁移应用 【变式5-1】（25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【变式5-2】（21-22八年级下·重庆南岸·开学考试）下列语句不是命题的是（     ） A．自然数是整数 B．两锐角的和是直角 C．同角的余角相等 D．作射线 题型六 命题真假的判断 【例6】（26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 💡破题要诀 ① 两条路径不同：证真命题需要给出证明；证假命题只需举出一个反例。 ② 举反例的要求：这个例子必须满足命题的题设，但不满足结论——两者缺一不可。 ③ 突破口常在绝对词：含「一定」「都」「任意」的命题，优先试着找反例。 ④ 常用的反例来源：特殊角（直角、0°）、特殊位置（共线、重合）、特殊数（0、负数）。 ⑤ 说明假命题时，要把反例的具体数值代入并算出矛盾，不能只说「不一定」。 迁移应用 【变式6-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【变式6-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【变式6-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 题型七 全等图形 【例7】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列是几组教学用具的简图，其中是全等形的一组是（     ）． A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 ② 本质两条：形状相同、大小相等，二者缺一不可。 ③ 与位置、方向无关：经过平移、翻折、旋转后的图形与原图形全等。 ④ 周长相等、面积相等都是全等的必要条件而非充分条件，不能反推。 ⑤ 判断方法：想象能否通过平移、翻折、旋转使二者完全重合。 迁移应用 【变式7-1】（26-27八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（     ） A．   B．   C．   D．   【变式7-3】（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 题型八 全等三角形的定义 【例8】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 💡破题要诀 ① 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 ② 记法讲究：写 时，对应顶点必须写在对应的位置上（ 对 、 对 、 对 ）。 ③ 由记法可直接读出对应关系：按顺序对应的顶点、边、角分别对应。 ④ 对应边相等、对应角相等，这是全等的两条基本性质。 ⑤ 书写时字母顺序一旦确定，后面所有的推理都要沿用这套对应关系。 迁移应用 【变式8-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．全等的两个三角形周长一定相等 C．任意两个三角形一定不全等 D．等边三角形一定全等 【变式8-3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 题型九 全等三角形的性质 【例9】（26-27八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 基本性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 ② 延伸性质：对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等，周长相等、面积也相等。 ③ 找对应边的四招：最长边对最长边；最大角对最大角；公共边是对应边；对顶角所对的边是对应边。 ④ 用法：先由记法或已知条件确定对应关系，再据此写出等式。 ⑤ 两个三角形摆放方向不同时，先旋转或翻转想象成同向，再找对应。 迁移应用 【变式9-1】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，，和是对应角，在中，是最长边．在中，是最长边，且，．则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．7 D．10 【变式9-3】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，点E在上，已知，，，， 求： (1)的长度； (2)的度数． 题型十 全等三角形的判定 【例10】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先列条件：把手上已知的三个条件（边或角）列出来，看匹配哪一条判定。 ② 四条判定：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及一角的对边）。 ③ 挖隐藏条件（最关键）：公共边、公共角、对顶角、平行线带来的同位角/内错角相等、中点带来的线段相等。 ④ 两个陷阱：SSA（两边及其中一边的对角）和 AAA（三角）都不能判定全等。 ⑤ 书写格式：先写「在 与 中」，再逐条列出三个条件，最后写结论并注明依据。 迁移应用 【变式10-1】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，为上两点，已知，，．求证：． 【变式10-2】（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式10-3】（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在和中，，，．求证：． 题型十一 全等三角形的性质与判定综合 【例11】（26-27八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，在中，于点． (1)过顶点画出的高线； (2)若交于，当时，求证：． 💡破题要诀 ① 固定三步走：先证全等（找齐三个条件）→ 再用性质（写对应边/角相等）→ 最后代入求出所求量。 ② 要证两条线段相等，首选证明它们所在的两个三角形全等。 ③ 需要两次全等时，把第一次全等得到的结论当作第二次的已知条件。 ④ 书写必须步步有据，每一步后面注明用的是哪条判定或性质。 ⑤ 算完后检查：对应关系是否与判定依据一致，所求量是否真由对应相等推出。 迁移应用 【变式11-1】（26-27八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式11-2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，、、、在同一直线上，，，且．求证：． 【变式11-3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）在中，，点D、E分别在、上，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：． 题型十二 垂直平分线的性质与判定 【例12】（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、D，，，那么的周长_______． 💡破题要诀 ① 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 ② 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ③ 用法口诀：见「垂直平分线」就联想「连出两条相等的线段」，据此设未知数列方程。 ④ 三角形三条边的垂直平分线交于一点（外心），它到三个顶点的距离相等。 ⑤ 区分方向与判定：要证「线段相等」用性质；要证「点在垂直平分线上」用判定，不要张冠李戴。 迁移应用 【变式12-1】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点N，的周长是，则的长为______． 【变式12-2】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，为上一点，垂直平分，交于点，连接、，，若，，则的周长为__________． 【变式12-3】（2026八年级上·江苏淮安·专题练习）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为___． 题型十三 角平分线的性质与判定 【例13】（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ② 判定：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ③ 关键动作：必须先作出「到两边的垂线段」，有了垂线段才有「距离」，也才有相等。 ④ 三角形三条角平分线交于一点（内心），它到三边的距离相等，常用于面积法。 ⑤ 面积法技巧：内心到三边距离为 时，，可求内切圆半径。 迁移应用 【变式13-1】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在和中，，，，直线，交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式13-2】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【变式13-3】（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）已知点是平分线上一点，的两旁、分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，，求的度数． 题型十四 全等三角形的动点问题 【例14】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 💡破题要诀 ① 设时间为 ，用含 的式子表示各相关线段的长度，并注明 的取值范围。 ② 确定对应关系：通常要按「哪条边与哪条边对应」分类讨论，一般有 2 种情况。 ③ 按分类后的对应关系列方程（直角三角形的题常从直角边对应入手）。 ④ 解出 后必须检验：是否 、动点是否还在边上（不超出线段长度）。 ⑤ 注意「相遇」「到达端点」导致的分段，速度方向改变时要重新列式。 迁移应用 【变式14-1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【变式14-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在长方形中，为边上一点，其中，，．动点从开始，以的速度沿路线运动到点停止，从点开始运动的同一时刻动点以的速度从点出发沿边运动，到点停止．当为_____时，在某一时刻与全等． 【变式14-3】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 题型十五 全等三角形的综合问题 【例15】（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 💡破题要诀 ① 先识别基本图形：公共边型、平移型、翻折型、旋转型（手拉手）、一线三等角（K 字型）、半角模型。 ② 手拉手模型的特征：两个三角形共顶点、有两组相等的线段、且夹角相等。 ③ 常用辅助线：倍长中线、截长补短、作平行线、作垂线。 ④ 证「两条线段的和等于第三条」用截长补短：在长线段上截取一段（截长），或把短线段延长（补短），转化为证两条线段相等。 ⑤ 添加辅助线后要说清作法，并在后续推理中明确用到了它的哪个性质。 迁移应用 【变式15-1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）解决下列问题： (1)阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是________，另外他还得到了和的位置关系是________；若，，他还求出了的取值范围为________； (2)问题解决：如图，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； (3)问题拓展：如图，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，请直接写出和的数量关系． 【变式15-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础． 【问题初探】 (1)构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程： 【类比分析】 (2)通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点为边上一点，点为边延长线上一点，连结与边交于点，若点恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 (3)如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点作与线段的延长线交于点，与边的延长线交于点，已知的面积是30，线段的长为8，求的长． 【变式15-3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，，都是等边三角形，与相交于点O，连接并延长交于点G． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)求证：或． 题型十六 尺规作图问题 【例16】（25-26七年级下·江西抚州·期末）如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） (1)在图1中，画出边上的中线； (2)在图2中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合）． 💡破题要诀 ① 掌握五大基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。 ② 作三角形的三种情形：已知三边（SSS）、已知两边及夹角（SAS）、已知两角及夹边（ASA）。 ③ 作垂直平分线时，分别以两端点为圆心、以大于 线段长为半径画弧，两弧交于两点。 ④ 必须保留作图痕迹（弧线、辅助线都不能擦掉），并在图旁写出结论。 ⑤ 要能说出依据：如作垂直平分线的依据是「到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上」。 迁移应用 【变式16-1】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【变式16-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知四边形．请你用尺规作图法在边上找一点，使得点是的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式16-3】（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，已知． (1)用尺规作图作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若点在射线上，于点，于点，且，求的长，并说明依据． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，平分，在上取一点，使得，连接，若，，则为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如果一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能是（        ） A．4 B．1 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列各组线段中能围成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．14，8，6 C．1，1，3 D．2，3，6 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 5．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______ ，的长为______ ． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______ ． 8．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，．已知与的周长分别是17和11，则的长为______． 9．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，于，若，，则的度数为___________． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的____（填序号），射线是的_____（填序号）；（①角平分线；②垂直平分线） (2)在图①中过点E作的垂线，垂足为G，如图②，若，求的面积． 11．（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知：如图，点B、D、C、E在同一条直线上，，，，求证：．    12．（25-26八年级上·浙江台州·期中）为了更好的运送快递，要在街道上修建菜鸟驿站．（请根据条件要求尺规作图，保留作图痕迹） (1)如图①若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离相等？ (2)如图②若菜鸟驿站向小区送快递，则菜鸟驿站应建在什么地方，才能使它到小区的距离之和最短？ 13．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等边三角形；③；④．其中，正确的结论是（　　） A．④ B．①④ C．②③ D．③ 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在和中，，，，，则的度数为______． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的序号是______． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 6．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $