第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用三角形三边关系、内角和定理与外角性质进行边角计算，能解决折叠、旋转中的角度问题 · 掌握三角形高、中线、角平分线的功能，会利用中线分面积、角平分线转移距离求解压轴题 · 综合运用全等三角形的判定与性质（SSS、SAS、ASA、AAS），能处理倍长中线、动点、新定义等综合证明 · 灵活运用角平分线与线段垂直平分线的性质及逆定理，解决最短路径与等腰三角形转化问题 · 会尺规作图并能规范书写证明过程，在新定义、探究题中提取模型、迁移方法 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与角 · 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三边取值范围 · 内角和定理：三角形三个内角和等于180°；直角三角形两锐角互余 · 外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个不相邻内角 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等、对应边相等，结合内角和列方程求解 概念辨析例题：三角形两边长为3和7，第三边x的取值范围是____；若为等腰三角形，周长为____ 答案：4<x<10；周长为17 解析：由三边关系7-3<x<7+3得4<x<10；等腰时第三边只能为7（3不能作腰，因3+3<7），故周长为3+7+7=17。 ☆ 2.三角形的重要线段 · 高：顶点到对边所在直线的垂线段；钝角三角形有两条高在三角形外部 · 中线：顶点到对边中点的线段，把三角形分成面积相等的两部分；重心分中线为2:1 · 角平分线：平分内角且交对边的线段；角平分线上的点到两边距离相等 · 多条中线组合时按份数求面积，遇中点常构造倍长中线模型 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，△ABC面积为20，则△ABD的面积为____ 答案：10 解析：中线分三角形为等底同高两部分，面积相等，故S△ABD=1/2S△ABC=10。 ☆ 3.全等三角形 · 全等三角形对应边相等、对应角相等；记法按对应顶点顺序书写 · 判定：SSS、SAS、ASA、AAS；SSA与AAA不能作为判定依据 · 证明思路：先找已知条件，再找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），最后补所需条件 · 倍长中线、截长补短是构造全等的常用辅助线手段 概念辨析例题：已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC 答案：△ABC≌△ADC（SSS） 解析：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS可判定两三角形全等。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 · 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等；反之亦然 · 线段垂直平分线：线上的点到线段两端点距离相等；反之亦然 · 见垂直平分线常连接线上点与两端，构造等腰三角形 · 最短路径问题用轴对称把同侧两点化为异侧，连线与直线交点即为所求点 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=3，则PD=____ 答案：3 解析：由角平分线性质定理，角平分线上的点到角两边距离相等，故PD=PC=3。 ☆ 5.尺规作图与命题证明 · 基本作图：作线段等于已知线段、作角等于已知角、作角平分线、作垂直平分线、过一点作垂线 · 命题由条件和结论组成；假命题只需举一个满足条件但不满足结论的反例 · 证明题先分清已知与求证，画图后步步有据地书写过程 · 格点三角形中，全等三角形按公共边分类计数，注意不含本身 概念辨析例题：命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题？若是假命题请举反例 答案：假命题；反例略 解析：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角，故该命题为假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成看较短两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角等于不相邻两内角和 折叠问题抓对应角相等 中线与面积 中线分三角形为面积相等两部分 重心分中线2:1；倍长中线构全等 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS SSA、AAA不能判定 角平分线性质 角平分线上的点到两边距离相等 距离指垂线段长度 垂直平分线 线上点到线段两端点距离相等 常转化为等腰三角形 最短路径 轴对称化同侧为异侧后连线 交点即为所求点 命题与证明 命题由条件和结论组成 举反例即可判假 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系与内外角（第1-4题） · 判断三边能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 · 求第三边范围用|两边差|<第三边<两边和；等腰三角形分类讨论哪条边作腰 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，结合内角和180°列方程 · 角度计算先在一个三角形内用内角和，再结合平行线、对顶角转化 1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】连接，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵， ∴，即， ∴两点之间的距离可能是． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 【知识点】列代数式、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）略 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 【考点2】三角形的重要线段与面积（第5-7题） · 中线分三角形为等面积两部分，多条中线按份数求面积 · 高是顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形有两条高在外部 · 角平分线上的点到两边距离相等，常用作垂线段转移长度 · 重心分中线2:1；见中点想倍长中线构造全等 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 【答案】5 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【知识点】列代数式、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 【考点3】全等三角形的性质与判定（第8-15题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，按记法顺序找对应 · 判定按SSS、SAS、ASA、AAS选择，优先找已知等边等角及夹角夹边 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · 证明线段或角相等，通常转化为证明所在两三角形全等 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图， ， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，进而得到，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作于H， 由等腰三角形三线合一的性质先证明，由全等三角形的性质得出，结合已知条件以及线段的和差关系得出，进一步即可得出答案． 【详解】解：过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：5． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 12．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形判定与性质， 根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解∶∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， 故答案为∶3． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为________． 【答案】2或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得，，，则有两种情况，当时，，当时，，根据的长度建立方程求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可得， ∵， ∴； ∵点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动， ∴； ∴当与全等时，只存在和两种情况， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上所述，t的值为2或， 故答案为：2或． 14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有_________．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵，， ∴， ∴，，即是的中线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 15．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长交于点，先证明，则，，而，则，再由即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点4】全等三角形综合与辅助线模型（第16-28题） · 倍长中线模型：遇中线延长一倍构造全等三角形，集中分散条件 · 新定义题先提取定义中的等量关系，再对照基本模型套用 · 动点问题抓住运动过程中的不变量（等腰、三线合一）建立方程 · 等腰、等边三角形常与全等结合，利用等边对等角找条件 · 证明过程先写「在△××与△××中」，列三条件后写判定依据 16．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），； （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）； （4）； （5）且；理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）略 （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）略 17．（25-26八年级上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 【答案】（1）② （2），理由如下： 如图中，作交延长线于点于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）8 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线性质及全等三角形判定，结合等腰三角形性质进行线段转化． （1）利用角平分线的性质直接得出结论； （2）如图中，作交延长线于点于点，证明，从而证明； （3）如图，在上截取，连接，利用前面结论得到，结合等腰三角形性质求出的长度． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：②； （2）解：略； （3）如图，在上截取，连接， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 由（2）的结论得， ， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），； （2），， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ② 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）①略 ②解：由①可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)运动的速度为或或或． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得 ； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得 ； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得 ； ∴运动的速度为或或或． 20．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1) 证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； (2)①；② (3)1或2或3或6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3) 且，理由如下： 如下图所示， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）由，可证，根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）（1）解：， ， ， 在和中，， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 23．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 【答案】（1）， （2）解：（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）， 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）． 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 24．（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【答案】（1）B；（2）C； （3），理由如下： 如图，延长到，使得，连接，    由（1）得， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由是边上的中线，得出，结合，，可利用证明，得出答案即可； （2）延长到，使，连接，得出，由（1）得，得出，再根据三角形的三边关系得出答案即可； （3）延长到，使得，连接，由（1）得，得，，推出，得出，进一步推出，利用证明，得出，结合，进一步推出即可． 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 由已知和作图能得到的理由是， 故选：B； （2）如图，延长到，使，连接， ， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故选：C； （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 25．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)当等于或或时，是等腰三角形 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 26．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）①； ② 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据平行线性质得，由，可得，得,可得，可得 （2）①过点D作，交于点G，可得是等边三角形，证明，得,可得，可得；②连接并延长，交于点H，根据“和合”三角形定义知，得，得，可得垂直平分，可得，得，得，根据，得． 【详解】（1）略 （2）①∵是等边三角形， ∴， 过点D作，交于点G， 则， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    ②连接并延长，交于点H， 当与是“和合”三角形时，， ∵， ∴， ∴， 由①知，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当的值为时，与是“和合”三角形．    【点睛】本题考查了新定义——“和合”三角形．熟练掌握新定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，是解题有关键． 27．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) 证明： ， ， ， ， ； (2) 解：，证明： 如下图所示， 是的外角， ， 在中，， ， ， ， ， ， ； (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补，可得，根据，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可证结论成立； (2)根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，根据和垂直定义可得； (3)设，则，根据平行线的性质可知，由(2)可知，可得关于的方程，解方程可以求出，再根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定与性质． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第29-40题） · 角平分线+垂直立刻转移垂线段长度到另一边 · 见垂直平分线连接线上点与两端，构造等腰三角形 · 最短路径问题作对称点把同侧化异侧，连线与直线交点即所求 · 两者逆定理用于判定点在角平分线或垂直平分线上 · 角度问题结合等边对等角、内角和定理列方程求解 29．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 30．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】垂线段最短、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解：过作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 31．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 【答案】2 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 32．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则__________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知是的垂直平分线，故以G为圆心、为半径画弧得从而利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为；根据及得出的度数，进而计算出的度数；最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：由题意得到：垂直平分， ∴，又由作图知， ∴， ∴，， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 【答案】20 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 34．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为 (2)的长为 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 即， ∴． 35．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 【答案】（1）;（2）；（3）；（4） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长，交于点，同（2）可得，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （4）求解，，可得，由（1）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； 故答案为：． （3）延长，交于点， ∵，， 同（2）可得， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （4）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 36．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【知识点】最短路径问题、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 37．（23-24八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，平分，过点O作交线段的延长线于点P，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】设，则，根据三角的内角和得出，则，根据，推出，最后根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，角平分线，外角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 38．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 【答案】/50度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 【答案】26 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到 ，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 40．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 【答案】 /27度 /56度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键． （1）由题意易得，则有，，，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由条件可知， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）得，，， 由条件可知， 即， ∵， ∴， ∵的垂直平分线相交于点H， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【考点6】尺规作图、命题与格点综合（第41-42题） · 作角平分线、垂直平分线、过一点作垂线，保留作图痕迹 · 格点三角形中全等三角形按公共边分类计数，注意排除本身 · 假命题举一个满足条件但不满足结论的反例即可 · 综合题先作图再利用图形性质推理，步步有据 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 【答案】 如图：即为所作． 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作出的余角，再作，在上截取，以B为顶点，为一边作，则即为所作． 【详解】略 42．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边角关系是基础，折叠、旋转角度问题都回到180°与外角性质 · 中线分面积、重心2:1、角平分线转移距离，三条重要线段功能要分清 · 全等判定认准SSS、SAS、ASA、AAS，综合题善用倍长中线等辅助线 · 角平分线、垂直平分线性质都是距离相等，最短路径用轴对称转化 · 新定义与探究题先提取模型，再迁移基本方法，书写规范步步有据 【作业1】．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 【作业3】．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键． ，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：，．理由如下： 在与中，， ， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中，， ， ∴． 在与中， ， ∴． 在与中，， ∴． 故选：D 【作业4】．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【作业5】．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简______ 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 【作业6】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是______． 【答案】7 【知识点】两点之间线段最短、三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，根据三角形三边关系可得，可知当点F与点D重合时，周长取最小值． 【详解】解：如图，连接， 直线垂直平分的边， ， ， ，当点F与点D重合时等号成立， ， 周长的最小值是7． 故答案为：7． 【作业7】．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 【作业8】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为_______． 【答案】2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】据全等三角形的性质可得，进而可得，再由，，即可求出的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 即， ∵，， ， 即， ， 故答案为：2． 【作业9】．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 【答案】18 【知识点】线段中点的有关计算、线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵的周长是，， ∴． 故答案：18． 【作业10】．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【知识点】垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 【作业11】．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； (2)证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）小红的证明如下：     如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； （2）略； （3）解：∵平分，， ， 设，则，，     ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【作业12】．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； (2) 解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； (3)3 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． （1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【作业13】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）如图①，即为所求．（2）；（3）  ，； （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1） 略 （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4） 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． 【作业14】．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用三角形三边关系、内角和定理与外角性质进行边角计算，能解决折叠、旋转中的角度问题 · 掌握三角形高、中线、角平分线的功能，会利用中线分面积、角平分线转移距离求解压轴题 · 综合运用全等三角形的判定与性质（SSS、SAS、ASA、AAS），能处理倍长中线、动点、新定义等综合证明 · 灵活运用角平分线与线段垂直平分线的性质及逆定理，解决最短路径与等腰三角形转化问题 · 会尺规作图并能规范书写证明过程，在新定义、探究题中提取模型、迁移方法 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与角 · 三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此确定第三边取值范围 · 内角和定理：三角形三个内角和等于180°；直角三角形两锐角互余 · 外角性质：一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个不相邻内角 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等、对应边相等，结合内角和列方程求解 概念辨析例题：三角形两边长为3和7，第三边x的取值范围是____；若为等腰三角形，周长为____ 答案：4<x<10；周长为17 解析：由三边关系7-3<x<7+3得4<x<10；等腰时第三边只能为7（3不能作腰，因3+3<7），故周长为3+7+7=17。 ☆ 2.三角形的重要线段 · 高：顶点到对边所在直线的垂线段；钝角三角形有两条高在三角形外部 · 中线：顶点到对边中点的线段，把三角形分成面积相等的两部分；重心分中线为2:1 · 角平分线：平分内角且交对边的线段；角平分线上的点到两边距离相等 · 多条中线组合时按份数求面积，遇中点常构造倍长中线模型 概念辨析例题：AD是△ABC的中线，△ABC面积为20，则△ABD的面积为____ 答案：10 解析：中线分三角形为等底同高两部分，面积相等，故S△ABD=1/2S△ABC=10。 ☆ 3.全等三角形 · 全等三角形对应边相等、对应角相等；记法按对应顶点顺序书写 · 判定：SSS、SAS、ASA、AAS；SSA与AAA不能作为判定依据 · 证明思路：先找已知条件，再找隐含条件（公共边、公共角、对顶角），最后补所需条件 · 倍长中线、截长补短是构造全等的常用辅助线手段 概念辨析例题：已知AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC 答案：△ABC≌△ADC（SSS） 解析：在△ABC与△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC为公共边，由SSS可判定两三角形全等。 ☆ 4.角平分线与线段垂直平分线 · 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等；反之亦然 · 线段垂直平分线：线上的点到线段两端点距离相等；反之亦然 · 见垂直平分线常连接线上点与两端，构造等腰三角形 · 最短路径问题用轴对称把同侧两点化为异侧，连线与直线交点即为所求点 概念辨析例题：OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=3，则PD=____ 答案：3 解析：由角平分线性质定理，角平分线上的点到角两边距离相等，故PD=PC=3。 ☆ 5.尺规作图与命题证明 · 基本作图：作线段等于已知线段、作角等于已知角、作角平分线、作垂直平分线、过一点作垂线 · 命题由条件和结论组成；假命题只需举一个满足条件但不满足结论的反例 · 证明题先分清已知与求证，画图后步步有据地书写过程 · 格点三角形中，全等三角形按公共边分类计数，注意不含本身 概念辨析例题：命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题？若是假命题请举反例 答案：假命题；反例略 解析：角平分线分成的两个角相等，但它们不是对顶角，故该命题为假命题。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断能否构成看较短两边之和 内角和/外角 内角和180°；外角等于不相邻两内角和 折叠问题抓对应角相等 中线与面积 中线分三角形为面积相等两部分 重心分中线2:1；倍长中线构全等 全等判定 SSS、SAS、ASA、AAS SSA、AAA不能判定 角平分线性质 角平分线上的点到两边距离相等 距离指垂线段长度 垂直平分线 线上点到线段两端点距离相等 常转化为等腰三角形 最短路径 轴对称化同侧为异侧后连线 交点即为所求点 命题与证明 命题由条件和结论组成 举反例即可判假 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系与内外角（第1-4题） · 判断三边能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 · 求第三边范围用|两边差|<第三边<两边和；等腰三角形分类讨论哪条边作腰 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，结合内角和180°列方程 · 角度计算先在一个三角形内用内角和，再结合平行线、对顶角转化 1．（25-26八年级上·江西宜春·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【考点2】三角形的重要线段与面积（第5-7题） · 中线分三角形为等面积两部分，多条中线按份数求面积 · 高是顶点到对边所在直线的垂线段，钝角三角形有两条高在外部 · 角平分线上的点到两边距离相等，常用作垂线段转移长度 · 重心分中线2:1；见中点想倍长中线构造全等 5．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，若的面积为3，的面积为2，则的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 7．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【考点3】全等三角形的性质与判定（第8-15题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，按记法顺序找对应 · 判定按SSS、SAS、ASA、AAS选择，优先找已知等边等角及夹角夹边 · 公共边、公共角、对顶角是隐含的相等条件 · 证明线段或角相等，通常转化为证明所在两三角形全等 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图， ， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，E为垂足，点D在上，且，若，，则的长为________． 11．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 12．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图，和都是等边三角形，且点D，E，F分别在边，，上，若的周长为12，，则_____． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知在正方形中，，点在边上，且，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为________． 14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有_________．（填序号） 15．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，D为内一点，平分，则_____（用a，b的代数式表示）． 【考点4】全等三角形综合与辅助线模型（第16-28题） · 倍长中线模型：遇中线延长一倍构造全等三角形，集中分散条件 · 新定义题先提取定义中的等量关系，再对照基本模型套用 · 动点问题抓住运动过程中的不变量（等腰、三线合一）建立方程 · 等腰、等边三角形常与全等结合，利用等边对等角找条件 · 证明过程先写「在△××与△××中」，列三条件后写判定依据 16．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 17．（25-26八年级上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，2，在四边形中，如果，对角线平分，我们称为这种四边形为“分角对补四边形”． 【特例感知】 （1）如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________；（填序号） ①中线的性质；②角平分线的性质；③垂直平分线的性质；④高线的性质 【猜想论证】 （2）如图2，当为任意角时，猜想与的数量关系，并给予证明； 【探究应用】 （3）如图3，在等腰中，，平分，点在上，，求的长度． 18．（24-25八年级上·江西赣州·期中）八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 19．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 20．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 21．（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________． (2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 23．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 24．（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 25．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 26．（24-25八年级上·浙江台州·期末）【概念呈现】 有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．    【性质探究】 （1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点． 请证明； 【拓展应用】 （2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接． ①若，求的度数； ②当的值为多少时，与是“和合”三角形． 27．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 28．（25-26九年级上·浙江杭州·自主招生）已知：点在射线上，． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第29-40题） · 角平分线+垂直立刻转移垂线段长度到另一边 · 见垂直平分线连接线上点与两端，构造等腰三角形 · 最短路径问题作对称点把同侧化异侧，连线与直线交点即所求 · 两者逆定理用于判定点在角平分线或垂直平分线上 · 角度问题结合等边对等角、内角和定理列方程求解 29．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 30．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 31．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 32．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交，于点F，G．以G为圆心，长为半径画弧，交于点H，连接，．则__________． 33．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 34．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求的长． 35．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【问题探究】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是______． （2）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． 【拓展与应用】 （3）如图3，在四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，求的度数；（用含，的式子表示） （4）如图4．平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，则______． 36．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 37．（23-24八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，平分，过点O作交线段的延长线于点P，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 39．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为___________． 40．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，的垂直平分线相交于点H，连接． （1）若，，则的度数为________ ． （2）若，则的度数为________ ． 【考点6】尺规作图、命题与格点综合（第41-42题） · 作角平分线、垂直平分线、过一点作垂线，保留作图痕迹 · 格点三角形中全等三角形按公共边分类计数，注意排除本身 · 假命题举一个满足条件但不满足结论的反例即可 · 综合题先作图再利用图形性质推理，步步有据 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段a，直角和锐角，求作直角三角形，使，，． 42．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边角关系是基础，折叠、旋转角度问题都回到180°与外角性质 · 中线分面积、重心2:1、角平分线转移距离，三条重要线段功能要分清 · 全等判定认准SSS、SAS、ASA、AAS，综合题善用倍长中线等辅助线 · 角平分线、垂直平分线性质都是距离相等，最短路径用轴对称转化 · 新定义与探究题先提取模型，再迁移基本方法，书写规范步步有据 【作业1】．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【作业3】．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（    ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【作业4】．（20-21七年级下·河南信阳·期末）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 【作业5】．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简______ 【作业6】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，直线垂直平分分别交、于点D，E，点F为直线上任意一点，，，则周长的最小值是______． 【作业7】．（26-27八年级上·四川成都·开学考试）如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【作业8】．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在上，且，若，，则的长为_______． 【作业9】．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为______． 【作业10】．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是______．（填写命题的序号即可） 【作业11】．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【作业12】．（22-23八年级上·浙江台州·阶段检测）已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； (3)如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长． 【作业13】．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【作业14】．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $