期中真题重组卷（湖北专用，新教材人教版九上25-27章：一元二次方程+二次函数+反比例函数）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 2．（湖北省荆州市监利市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）已知关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值是（   ） A．4 B．-4 C．8 D．-8 3．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．（湖北省宜昌市宜都市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 5．（湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 6．（湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 7．（湖北省十堰市丹江口市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 8．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 9．（湖北省孝感市汉川市2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题含答案）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，另一条与平行，其余部分是种植面积．已知该矩形基地的长为16米，宽为9米，种植总面积为112平方米，设小路的宽为x米，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 10．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（湖北武汉外国语学校2025-2026学年上学期九年级学情调研（三）数学试卷）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 12．（湖北省夷陵区实验初中2025--2026学年九年级上学期期中数学试题）m，n是方程的两个根，则________． 13．（湖北省孝感市汉川市2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题含答案）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为____________． 14．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，则 _________． 15．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）解方程： (1) (2) 17．（6分） （湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）规定．例如． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．（6分） （湖北省十堰市实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学模拟卷一）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 19．（8分） （湖北省荆州市监利市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，判断方程是几倍根方程？ (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值． 20．（8分） （湖北省孝感市大悟县2025-2026学年上学期期中学情调研检测九年级数学试卷）形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 21．（8分） （湖北省恩施土家族苗族自治州利川市恩施“112”教联体2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 22．（10分） （湖北省宜昌五中教联体2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题）【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 23．（11分） （湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）抛物线与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线，且为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为抛物线上第四象限的一动点，若，求点的坐标； (3)过动点作交线段于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求出此时的最大值． 24．（12分） （湖北省恩施土家族苗族自治州利川市恩施“112”教联体2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）如图①，直线与抛物线交于点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．该抛物线为顶点式，其对称轴为直线，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，抛物线的对称轴是， 故选：B． 2．（湖北省荆州市监利市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）已知关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值是（   ） A．4 B．-4 C．8 D．-8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于a和b的等式，然后通过代数变换求值． 【详解】∵是方程 的根， ∴ 代入得：， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 3．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过判别式判断根的情况． 对于一元二次方程，根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．分别计算各选项的即可判断． 【详解】解：A、，，因为，所以方程无实数根； B、，因为，所以方程无实数根； C、，因为，所以方程有两个不相等的实数根； D、，因为，所以方程有两个相等的实数根． 故选：C． 4．（湖北省宜昌市宜都市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式． 通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定公式中的系数a、b、c，从而匹配对应方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且给定公式为， ∴，， 因此，方程为， 故选：C． 5．（湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟记平移规律是解题的关键． 根据抛物线平移规则，“左加右减”针对x，“上加下减”针对常数项，即可解答． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移3个单位可得； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移2个单位可得． 故选：A． 6．（湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，通过观察表格数据，发现当时，当时，因此函数在和之间与x轴有交点，即方程有一个根在此区间内． 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 7．（湖北省十堰市丹江口市2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题）若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，准确的计算是解决本题的关键． 通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴，，， 故． 故选B． 8．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）红星厂一月份生产手提电脑200台，为满足消费者需求，计划二、三月份共生产750台电脑．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 二月份和三月份的总产量为750台，利用平均增长率x表示各月产量，列出方程即可． 【详解】解：∵一月份产量为200台，月平均增长率为x， ∴二月份产量为，三月份产量为， 又∵二、三月份共生产750台， ∴． 故选：A． 9．（湖北省孝感市汉川市2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题含答案）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同样宽的小路，使其中两条与 平行，另一条与平行，其余部分是种植面积．已知该矩形基地的长为16米，宽为9米，种植总面积为112平方米，设小路的宽为x米，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形面积的计算，掌握图形平移的性质，正确列式是关键． 运用图形平移的方法得到长为米，宽为米，由此即可求解． 【详解】解：该矩形基地的长为16米，宽为9米，设小路的宽为x米， ∴小路平移后种植地的长为米，宽为米， ∵种植总面积为112平方米， ∴， 故选：B． 10．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系等．用含a的式子表示出b，c是解题的关键． 由抛物线开口向下知，对称轴得，与x轴交于得另一交点为，从而，据此逐一判断各结论． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵与x轴交于，对称轴， ∴另一交点为， 设， ∴，． ①， ∵， ∴， 故，①错误． ③当时，， ∵， ∴，为最大值，故③正确． ④方程化为， 判别式． ∵无实数根， ∴，即，， ∵， ∴，则， ∴， 又， ∴，故④正确． 综上，只有①错误，错误的结论有1个． 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（湖北武汉外国语学校2025-2026学年上学期九年级学情调研（三）数学试卷）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 【答案】 【分析】图象在第二、四象限可得，再由且为整数，即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 且为整数， 且为整数， ． 12．（湖北省夷陵区实验初中2025--2026学年九年级上学期期中数学试题）m，n是方程的两个根，则________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴． 故答案为：4． 13．（湖北省孝感市汉川市2025-2026学年上学期九年级11月期中数学试题含答案）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为____________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可． 【详解】解： 将代入抛物线解析式， ． 故答案为：． 14．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 15．（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分） （湖北省咸宁市崇阳县大集中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （）利用配方法将式子凑成完全平方式，即可求解； （）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解： ．······（3分） ∴． （2） ． ∴．······（3分） 17．（6分） （湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）规定．例如． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查新定义运算和解一元二次方程，准确应用新定义运算规则是解题关键． （1）根据定义，将、、、分别代入计算即可； （2）根据定义，将原式展开为一元二次方程，采用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ． 答：．······（3分） （2）解：， ， ， 解得，． 答：的值为或．······（3分） 18．（6分） （湖北省十堰市实验中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学模拟卷一）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数为； (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： 一次函数的图象过，， ，， ，， 点坐标为两点点坐标为两点， 把代入，求得， 反比例函数为；······（4分） （2）解：观察图象，若，则的取值范围是或．······（2分） 19．（8分） （湖北省荆州市监利市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是和，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，判断方程是几倍根方程？ (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值． 【答案】(1)方程是4倍根方程 (2)或24 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法求出的两根即可得到答案； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 方程是4倍根方程；······（4分） （2）方程的解为， 方程是“二倍根方程”， 或12， 当时，， 当时，， 的值为或24．······（4分） 20．（8分） （湖北省孝感市大悟县2025-2026学年上学期期中学情调研检测九年级数学试卷）形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查二次函数的应用．用配方法把代数式整理成完全平方的形式是解决本题的关键． （1）把配方，配成完全平方式，可得当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； （2）设为x米，则，可得面积，进而整理成完全平方式，可得为多少米时，围成的长方形花园面积最大及最大面积． 【详解】（1）解：， 时，代数式有最小值，最小值为；······（3分） （2）解：设，长方形的面积为y，则，． ， 又， ． ，抛物线的开口向下， 时，y随x的增大而减小． 时，y有最大值为． 故时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是．······（5分） 21．（8分） （湖北省恩施土家族苗族自治州利川市恩施“112”教联体2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）某公园修建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根顶部带有喷水头的水管如图①，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心的水平距离也为， (1)如图②所示建立的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为___________．水管的原设计高度应为___________m． (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等），求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先认真分析题意，得出抛物线的顶点坐标为，设关系式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先理解题意，结合①不改变喷水头的角度，将水管长度增加，得出，求出又因为②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，且两种调试的水珠落地点相同，即把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式为， 观察图②得出抛物线与轴的交点坐标为， 则 ∴， ∴；······（1分） 依题意，令，则， 即水管的原设计高度应为；······（1分） （2）解：由（1）得， ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加； 则， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），······（3分） ∵②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足．且要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等）， ∴把代入， 得 ∴ 解得．······（3分） 22．（10分）（湖北省宜昌五中教联体2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题）【综合与实践】为了更好推广宜昌特色美食，让我们一起制定销售方案吧． 主题：宜昌特色美食销售方案制定问题 宜昌美食历史悠久，尤其是“炸广椒炒肥肠”和“红油包子”，前者酸辣脆爽、妥妥的下饭神器；后者香辣多汁、早餐界的扛把子！为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某美食店推出“炸广椒炒肥肠”，“红油包子”两个镇店招牌美食． 素材1 炸广椒炒肥肠 红油包子 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该美食店5月份“炸广椒炒肥肠”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“红油包子”7月份销售量为600份． 素材3 为尽快减少库存，决定8月份对“红油包子”作降价促销，已知每份“红油包子”的成本为9元．经试验，发现该款包子每降价2元，月销售量就会增加200份． 问题解决 任务1 求该美食店“炸广椒炒肥肠”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为使该店8月份“红油包子”总利润达到6300元，求该款包子应该降价多少元？ 【答案】任务1：5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：该款包子应该降价3元 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 任务1：假设增长率为，根据题意列出方程求解即可； 任务2：假设该款包子应该降价元，根据销售方案列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：假设增长率为，根据题意得， ， 解得，或（负值舍去）， ∴5月份到7月份销售量的月平均增长率是；······（5分） 任务2：假设该款包子应该降价元，根据题意得， 解得或， 为尽快减少库存，选择， ∴该款包子应该降价3元．······（5分） 23．（11分） （湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）抛物线与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线，且为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点为抛物线上第四象限的一动点，若，求点的坐标； (3)过动点作交线段于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求出此时的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点求出点，运用二次函数的对称性求出点，，再利用待定系数法求解即可； （2）设直线与轴交于点，则，利用正切值相等求出的长度，得到点的坐标，可求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式即可求出点的坐标； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，连接，过点作轴交于点，设点，，可得；由得，从而，是关于的一元二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，， 则点， ∵， ∴点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则点， 将点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为；······（3分） （2）在中，， 设直线与轴交于点， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为抛物线上第四象限的一动点， ∴， 解得或（舍去）， ∴，······（4分） （3）设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 连接，过点作轴交于点， 设点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值．······（4分） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 24．（12分） （湖北省恩施土家族苗族自治州利川市恩施“112”教联体2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）如图①，直线与抛物线交于点，点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当取最大值时，求的值； (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时．若抛物线的顶点在内（包括边界）并与直线有一个交点，请写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，有最大值； (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、最值问题及平移后的交点与范围问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合二次函数性质分析最值与范围． （1）将两点坐标代入抛物线解析式，列方程组求解； （2）先求直线解析式，用h表示的长度，转化为二次函数求最值； （3）先求抛物线平移后的解析式，结合直线的交点情况与顶点位置，确定m的范围． 【详解】（1）解：把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 抛物线的解析式为；······（4分） （2）解：设直线的解析式为， 把点，点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，且点在抛物线上， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为，代入， 可得：，解得：， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值为；······（4分） （3）解：设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：，解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 当时，可得：， 直线对应的点为， 如下图所示， 设抛物线的图像向上平移个单位长度得到抛物线为， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组，得到：，（不符合题意，舍去）， 此时抛物线与线段有个公共点， 如下图所示， 当抛物线经过点时，可得：， 解得：， 抛物线为， 解方程组， 得到：，， 此时抛物线与线段有个公共点， 解方程组：， 可得：， 整理得：，可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有， 当时，如果抛物线与直线有个交点，则有或， 当时，如果抛物线与直线没有交点，则有或， 又抛物线的顶点在内（包括边界）， . 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B C C C A B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.-1 12.4 9 13.4 14.2 15.-1或5 三、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(6分) 【详解】(1)解：x2+4x-1=0 x2+4x+4-4-1=0 (x+22=5 x+2=±V5 …(3分) :=-2+5,5=-2-5 (2)x(x-5)=2x-10 x(x-5)-2(x-5)=0 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-2)(x-5)=0 :5=255 …(3分) 17.(6分) a b ad-bc 【详解】(1)解：cd 3引=2x(4)-(-3)x5=-8+15=7 2 5- 答：7.…(3分) x2-7x =0 (2)解：610， .x2-7-6x=0 .(x-7)(x+1)=0 1=7x2=-1 解得 答：x的值为7或-1.…(3分) 18.(6分) 【详解】(1)解：一次函数%=2x+3的图象过4-2，m,B,-》 1 8m=2(-2)+3,-1= 2+3 .m=4,n=8. A点坐标为(-2,4两点B点坐标为（⑧，-）两点， 、 把4-2,4代入为=x,求得k=-8, 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :反比例函数为⅓=一2；…4分) 8 (2)解：观察图象，若%>片，则的取值范围是<-2或0<<8.…(2分) 19.(8分) 【详解】(1)解：x2-10x+16=0, ∴(x-2)(x-8)=0 x=2,x32=8 x2=4x x2-10x+16=0 方程 是4倍根方程；…(4分) (2)方程-mx-6)= 的解为=m,书=6 （x-m)x-6)=0 方程 是“二倍根方程”， ∴.m=3或12， 当m=3时，3m-2m=3-6=-3, 1 当m=12时，写m-2m=48-24=24, 1 “m2-2m的值为-3或24.…(4分) 3 20.(8分) 【详解】(1)解：-8x+10=(-4-6 ∴x=4时，代数式有最小值，最小值为6；…(3分) (2)解：设1B=m,长方形的面积为y,则CD=m,BC=(40-2y)m 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x(40-2x)=-2(x-10)}+200 又0<40-2x≤16， .12≤x<20 :-2<0,抛物线的开口向下， x>10时，y随x的增大而减小. ∴.x=12 192m2 时，y有最大值为 故AB=12m时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是192m.…(5分) 21.(8分) 1,3) 【详解】(1)解：由图①和图②得出抛物线的顶点坐标为 .设抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式为 y=a(x-1)2+3 观察图®得出抛物线与*轴的交点坐标为30) 则0=a×3-1+3 .a=-0.75. y=-0.75(-1旷+3，…4分) 依题意，令x=0,则y=-0.75×(0-1少'+3=0.75+3=2.25 即水管的原设计高度应为2.25m;…(1分) (2)解：由(1)得y=-0.75(x-1)}'+3 ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加0.63m: 则y=-0.75(x-°+3+0.63=0.75(x-+3.63 4/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令y=0, -0.75(x-1+3.63=0 :0.75x-1=3.6 (r-1)=4.84 .x-1=t2.2, =3.2,x2=-1.2 解得 (舍去)，…(3分) :②政变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足”=a-12+36.且要使两种调试的水珠落 地点相同（即水柱落地时与池中心的距离相等）， ∴把y=0,x=3.2代入y=a(x-1.2+3.6 得0=a×3.2-12}+3.6 ∴.0=4a+3.6 解得a=0.9.…(3分) 22.（10分) 【详解】解：任务1：假设增长率为x,根据题意得， 480×(1+x}=750 9 解得x=25%,或x=-4(负值舍去)， 5月份到7月份销售量的月平均增长率是25%；…(5分) 任务2：假设该款包子应该降价'元，根据题意得， 19-9-y)× 解得y=3或y=1, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为尽快减少库存，选择y=3, 该款包子应该降价3元.…(5分) 23.（11分) 【详解】(1)解：令x=0,y=3, 则点C(0,3) .OA=OC, (-3,0) 点 ·抛物线的对称轴为直线x=-1, :。=-1x2-(-3)=1 则点红0) [0=9a-3b+3 将点A(-3,0),B(1,0)代入y=ar2+bx+3得0=a+b+3, a=-1 解得b=-2, 则抛物线的解析式为”=-r-2+3 :…(3分) (2)在R1△BOC中，an∠BC0=OB-{ 0C3 设直线AM与'轴交于点E, 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E M .∠MAB=∠BCO ∴∠EAO=∠BCO: tan∠EAo=OE1 0A3 .OE=1, 设直线AM的解析式为y=c-1, 将点1(-3,0)代入y=-1得0=-3-1， 解得、1 3 ·直线AM的解析式为y=3-1, ,点M为抛物线上第四象限的一动点， y=-x-1 3 ∴y=-x2-2x+3” 4 X= 3 B或x=-3(舍去)， 解得 -9y=0 …(4分) (3)设直线AC的解析式为y=mr+3, 将点1(3,0)代入y=mr+3得0=-3m+3, 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得m=1, ∴.直线AC的解析式为y=x+3 连接PC,过点P作PO‖y轴交AC于点Q, 0 B 设点P(,-P-2p+3).Q(p,p+3) ,P9=-p2-2p+3-（p+3)=-p2-3p .PD∥BC, S&PBD=S△PCD S=S.PAD+S.PBD =S.PAD+SPCD=S.PAC s-P0-0a=(r-3p小-p++ 3 2 <0 3 27 当P=2时，S有最大值8.…(4分) 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，熟知二次函数 的相关知识是解题的关键. 24.(12分) 【详解】(1)解：托点1(40，点BL-6 的坐标代入'=ar+hx(a≠0) 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16a+4b=0 a=2 可得：a+b=-6,解得：b=-8, M ·抛物线的解析式为 =2x2-8x ;…(4分) (2)解：设直线1B的解析式为'=+6(k≠0)， 把点1(4.0，点B,- 的坐标代入'=c+b(k≠0) [4k+b=0 [k=2 可得：k+b=6,解得：b=-8, “直线1B的解析式为 =2x-8 “点C的横坐标为，且点C在抛物线"=2-8x上， ·点C的坐标为 h,2h2-8h) ·CD∥x轴， D h2-8h y=2x-8 点”的纵坐标为 ,代入 可得：2x-8=2h2-8h,解得：x=h2-4h+4, ∴.CD=h-(h2-4h+4) 整理得： 9 :当h=2时，CD有最大值，最大值为4：…(4分) (3)解：设直线1E的解析式为'=r+n, E点140和点E0的坐标代入=+n 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [4k+n=0 k=1 可得：n=-4,解得：n=4, AE y=x-4 直线“的解析式为 3 4=-5 3 当x=2时，可得：y=X-4 2 2 35 “直线AE对应的点P为22 5 当x=2时，可得：y=X-4= -4-3 线板对密价巴为侵引 如下图所示， 设抛物线M的图像向上平 移m(m>0)个单位长度得到抛物线 M,为y=2r-8x+m, 35 2× 3)2 当抛物线M2经过点(22)时，可得： 2+ma-5 -8× 3 2, 解得：m=5, M2y=2x2-8x+5 六抛物线为 y=x-4 3 解方程组=2x2-8x+5,得到：=2，，=3（不符合题意，舍去）， 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M2 小此时抛物线 与线段有个公共点， 如下图所示， 53 当放物线M,轻过点22时，可得： -8× 解得：m=6, ·抛物线“为 =2x2-8x+6 y=x-4 解方程组y=2x2-8x+6, 得到：无=2，=2， ·此时抛物线 M, P92 与线段 有个公共点， y=x-4 解方程组： y=2x2-8x+m, 可得：x-4=2x2-8x+m, 整理得：2-9x+m+4=0,可得，△=-4ac=（--4x2x(m+4)=-8m+49 当-8m+49=0时，解得：m=9 8, 当-8m+49>0时，解得：m<49 8 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 :当2Ss 时，如果抛物线从，与直线1B有2个交点，则有6≤m< 8 当sx 3 49 2时，如果抛物线M,与直线AE有1个交点，则有m=8或5≤m<6, 3 49 2时，如果抛物线M,与直线4E没有交点，则有m>8或m<5, 又抛物线的顶点在△内（包括边界）4≤m≤6， M .5≤m<6.…(4分) 12/12