2026-2027学年湘教版数学八年级上册阶段测试（第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式）

阶段测试 （第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式） 测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 解：∵6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3＝3a2b2（2a﹣1﹣4b），∴多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是3a2b2．故选：D． 2.若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．1 解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2．故选：C． 3.计算的结果是（　　） A．2 B． C． D． 解：根据分式的基本性质可得：.故选：B． 4.若3m＝4，3n＝8，则32m﹣n+2的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 解：根据题意可知，32m＝（3m）2＝16，又∵3n＝8， ∴原式＝32m÷3n×32＝16÷8×9＝2×9＝18．故选：D． 5.下列因式分解正确的是（　　） A．a2b﹣2ab＝a（ab﹣2b） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C．ab﹣ab2＝ab（1﹣b2） D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） 解：A、a2b﹣2ab＝ab（a﹣2），原式分解错误，不符合题意； B、﹣a2b+2ab＝﹣ab（a﹣2），原式分解错误，不符合题意； C、ab﹣ab2＝ab（1﹣b），原式分解错误，不符合题意； D、﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b），原式分解正确，符合题意； 故选：D． 6.2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地 震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000 名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的 方程为（　　） A． B． C． D． 解：由题意得：.故选：A． 7.把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 解：∵，解得：a＜0，∴原式．故选：C． 8.已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 解：分母有理化，可得a＝2，b＝2，∴a﹣b＝（2）﹣（2）＝2，故A选项错误； a+b＝（2）+（2）＝4，故B选项错误； ab＝（2）×（2）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2）2＝4+43＝7+4，b2＝（2）2＝4﹣43＝7﹣4，∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 9.如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2 解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1， 移项，合并同类项得：x＝m+1， ∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2， 故选：D． 10.已知：，B＝b0+b1x+b2x2+…+bnxn（其中m、n为正整数，a0、a1、a2…、 am，b0、b1、b2、…、bn为整数，ambn≠0），以下说法正确的有（　　）个． ①A与B的积A•B最后结果是m+n次整式； ②若A与B的商的结果是整式，则m≥n； ③若A＝﹣5+3x，B＝﹣2+tx，关于x的方程（k为正整数）无解，则t＝2． A．0 B．1 C．2 D．3 解：∵A为m次多项式，B为n次多项式，ambn≠0，∴A与B的积A•B最后结果是m+n次整式，∴①的结论正确； ∵A与B的商的结果是整式，∴m≥n，∴②的结论正确； ∵A＝﹣5+3x，B＝﹣2+tx，∴，去分母得：﹣5+3x+2﹣tx＝kx﹣3k， 移项，合并同类项得：（3﹣t﹣k）x＝3﹣3k， ∵关于x的方程（k为正整数）无解，∴x＝3或3﹣t﹣k＝0且3﹣3k≠0， ∴3（3﹣t﹣k）＝3﹣3k或t＝k﹣3且k≠1，∴t＝2或t＝k﹣3且k≠1．∴③的结论不正确．∴正确的结论有2个．故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．计算： （1）3﹣2＝　 　； （2）　　 ； （3）　 　． 解：（1）根据任何非零数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数可得： ，故答案为：； （2）根据任何非零数的零次幂等于1可得：，故答案为：1； （3）根据分式的乘方法则，．故答案为：． 12.多项式6x3y2﹣3x2y3的公因式是　 ． 解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y，x的最低指数是2，y的最低指数是2， ∴该多项式的公因式为：3x2y2．故答案为：3x2y2． 13.若多项式x2+pxy+qy2＝（x﹣3y）（x+3y），则p的值为　 　． 解：由x2+pxy+qy2＝（x﹣3y）（x+3y），∴x2+pxy+qy2＝x2﹣9y2，∴p＝0，q＝﹣9， 故答案为：0． 14.式，，的最简公分母是 ． 解：，，． 故答案为：2（a+2）（a﹣2） 15.A，B两地相距160km，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车 早到30min，求甲车的平均速度．设甲车平均速度为4xkm/h，则所列的方程是　 　． 解：设甲车的速度为4x千米/时，则乙车的速度为5x千米/时， 根据题意，得． 故答案为：． 16.对于，当是整数时，最小的正整数a＝　　 ． 解：∵540＝22×33×5，是整数，∴540a是完全平方数，∴最小的正整数a＝3×5＝15， 故答案为：15． 17.若关于x的方程无解，则m的值为　 　． 解：，去分母得：2（2x+1）＝mx， 4x+2＝mx，（4﹣m）x＝﹣2， ∵方程无解，可分为以下两种情况： ①分式方程有增根时，x＝0或，此时m＝0. ②整式不成立时，4﹣m＝0，∴m＝4，故答案为：0或4． 18.甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要　 　分钟可以注满全池． 解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟．根据题意得：，三式相加得：2（）＝，∴＝， 则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．故答案为：10． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）因式分解： （1）x2y﹣y3． （2）2x2﹣4x+2． （2）x2+5x+6. （3）3x2﹣11x+10. 解：（1）原式=y（x+y）（x﹣y）. （2）原式=2（x﹣1）2. （3）原式=(x+2)(x+3). （4）原式=(x-2)(3x-5). 20．（6分）计算与化简： （1）； （2）． （3）． （4）． 解：（1）原式. （2）原式•． （3）原式＝（121）•＝8＝8a． （4）原式＝＝. 21．（8分）化简求值： （1）先化简，再求值：，其中x＝3． （2）先化简，再求值：，其中． 解：（1）原式＝＝＝， 当x＝3时，原式＝＝． （2）原式＝（）• • ， 当a1时，原式． 22．（8分）解方程： （1）． （2）． 解：（1）方程两边同乘2（x﹣1），得：2+2x﹣2＝3． 解得：x＝． 检验：把x＝代入2（x﹣1）＝1≠0， ∴原方程的解为x＝． （2）方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0． 解得：x＝7． 检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根． 23．（9分）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进 时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x， 根据题意得：， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元； （2）（元）， 答：该商店两次购进吉祥物的总利润为1700元． 24．（9分）小明在解决问题：已知，求a2﹣4a+1的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．所以a2﹣4a＝﹣1． 所以a2﹣4a+1＝a2﹣4a+1＝﹣1+1＝0． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　； （2）计算：； （3）若，求4a2﹣8a+1的值． 解：（1）． 故答案为：； （2） ＝9； （3）∵， ∴， ∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴4a2﹣8a+1 ＝4（a2﹣2a）+1 ＝4×1+1 ＝5． 25．（10分）例：对多项式x2+x﹣m分解因式时有一个因式为（x﹣1），求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当x＝1时，x2+x﹣m＝0，代入原式，得m＝2， ∴原多项式即为对x2+x﹣2进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 综上得：m＝2，另一个因式为（x+2）． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式6x2﹣7x+m有一个因式为（2x﹣3），则m＝　 　； （2）若ax2+bx﹣8分解因式后，有两个因式（x﹣1）和（x+2），求a﹣b的值； （3）无论k取何值，点（m，n）满足方程（2k﹣1）m﹣m﹣n+2k+1＝0恒成立，求关于x的不等式：3mx+n＜0的解集． 解：（1）∵二次三项式6x2﹣7x+m有一个因式为（2x﹣3），∴当2x﹣3＝0时，6x2﹣7x+m＝0， ∴当时，6x2﹣7x+m＝0，∴， ∴m＝﹣3；故答案为：﹣3； （2）∵ax2+bx﹣8分解因式后，有两个因式（x﹣1）和（x+2）， ∴当x﹣1＝0时，ax2+bx﹣8＝0， 当x+2＝0时，ax2+bx﹣8＝0， ∴， ∴②﹣①得3a﹣3b＝0，∴a﹣b＝0； （3）∵（2k﹣1）m﹣m﹣n+2k+1＝0， ∴（m+1）2k﹣2m﹣n+1＝0， ∵无论k取何值，点（m，n）满足方程（2k﹣1）m﹣m﹣n+2k+1＝0恒成立， ∴，解得， ∴不等式3mx+n＜0，即为不等式﹣3x+3＜0，∴x＞1． 26．（10分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“阳光区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“阳光区间”为（1，2），的“阳光区间”为（﹣2，﹣1）． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是　 　；的“阳光区间”是　 　； （2）若无理数为正整数）的“阳光区间”为（﹣3，﹣2），的“阳光区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 解：（1）∵32＜15＜42，42＜23＜52， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是（3，4），的“阳光区间”是（﹣5，﹣4）； 故答案为：（3，4），（﹣5，﹣4）； （2）由题意可得：， ∴22＜a＜32，即4＜a＜9， ∵的“阳光区间”为（3，4）， ∴， ∴32＜a+3＜42，即9＜a+3＜16， ∴6＜a＜13， ∴6＜a＜9， ∵a为正整数， ∴a＝7或a＝8， 当a＝7时，， 当a＝8时，， ∴的值为或3； （3）由题意可得： ∴x+y﹣2026≥0，2026﹣x﹣y≥0， ∴x+y﹣2026＝0， ∴x+y＝2026， ∴， ∴2x+3y﹣m＝0，3x+4y﹣2m＝0， 两式相减，得x+y﹣m＝0， ∴m＝x+y＝2026， ∴m的算术平方根为， ∵452＜2026＜462， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是（45，46）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段测试 （第一章因式分解、第二章分式、第三章二次根式） 测试试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．把多项式6a3b2﹣3a2b2﹣12a2b3因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a3b3 D．3a2b2 2.若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　） A．﹣1 B．0 C．4 D．1 3.计算的结果是（　　） A．2 B． C． D． 4.若3m＝4，3n＝8，则32m﹣n+2的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 5.下列因式分解正确的是（　　） A．a2b﹣2ab＝a（ab﹣2b） B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C．ab﹣ab2＝ab（1﹣b2） D．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） 6.2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地 震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000 名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的 方程为（　　） A． B． C． D． 7.把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 8.已知：a，b，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 9.如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2 10.已知：，B＝b0+b1x+b2x2+…+bnxn（其中m、n为正整数，a0、a1、a2…、 am，b0、b1、b2、…、bn为整数，ambn≠0），以下说法正确的有（　　）个． ①A与B的积A•B最后结果是m+n次整式； ②若A与B的商的结果是整式，则m≥n； ③若A＝﹣5+3x，B＝﹣2+tx，关于x的方程（k为正整数）无解，则t＝2． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．计算： （1）3﹣2＝　 　； （2）　　 ； （3）　 　． 12.多项式6x3y2﹣3x2y3的公因式是　 ． 13.若多项式x2+pxy+qy2＝（x﹣3y）（x+3y），则p的值为　 　． 14.式，，的最简公分母是 ． 15.A，B两地相距160km，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从A地出发到B地，乙车比甲车 早到30min，求甲车的平均速度．设甲车平均速度为4xkm/h，则所列的方程是　 　． 16.对于，当是整数时，最小的正整数a＝　　 ． 17.若关于x的方程无解，则m的值为　 　． 18.甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要　 　分钟可以注满全池． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）因式分解： （1）x2y﹣y3． （2）2x2﹣4x+2． （2）x2+5x+6. （3）3x2﹣11x+10. 20．（6分）计算与化简： （1）； （2）． （3）． （4）． 21．（8分）化简求值： （1）先化简，再求值：，其中x＝3． （2）先化简，再求值：，其中． 22．（8分）解方程： （1）． （2）． 23．（9分）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进 时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个． （1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？ （2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？ 24．（9分）小明在解决问题：已知，求a2﹣4a+1的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以 所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．所以a2﹣4a＝﹣1． 所以a2﹣4a+1＝a2﹣4a+1＝﹣1+1＝0． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：　 　； （2）计算：； （3）若，求4a2﹣8a+1的值． 25．（10分）例：对多项式x2+x﹣m分解因式时有一个因式为（x﹣1），求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当x＝1时，x2+x﹣m＝0，代入原式，得m＝2， ∴原多项式即为对x2+x﹣2进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 综上得：m＝2，另一个因式为（x+2）． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： （1）已知二次三项式6x2﹣7x+m有一个因式为（2x﹣3），则m＝　 　； （2）若ax2+bx﹣8分解因式后，有两个因式（x﹣1）和（x+2），求a﹣b的值； （3）无论k取何值，点（m，n）满足方程（2k﹣1）m﹣m﹣n+2k+1＝0恒成立，求关于x的不等式：3mx+n＜0的解集． 26．（10分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“阳光区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“阳光区间”为（1，2），的“阳光区间”为（﹣2，﹣1）． 请解答下列问题： （1）的“阳光区间”是　 　；的“阳光区间”是　 　； （2）若无理数为正整数）的“阳光区间”为（﹣3，﹣2），的“阳光区间”为（3，4），求的值； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $