成对数据的统计分析专项训练-2027届高三数学一轮复习

成对数据的统计分析 一、知识点梳理 （一）成对数据与样本相关系数 把两个变量的 组观测值一一配对，就得到成对数据。研究成对数据先看有没有「一起动」的趋势：把每对数据画成点，横轴放 、纵轴放 ，若整体从左下往右上走，称正相关；从左上往右下走，称负相关。教材把这类问题放在选择性必修第三册第八章「成对数据的统计分析」里，先看趋势、再算相关系数、最后建模型或做检验，三步的顺序不能颠倒。 样本相关系数 把「趋势的强弱与方向」压缩成一个数，它的取值在 与 之间： 正相关， 负相关， 越接近 线性相关程度越强，越接近 越弱。 与 表示所有点都落在一条直线上，只是方向相反。要注意 只说明「没有线性相关」，两个变量之间仍可能有别的函数关系，例如在对称区间上取点时 的 就近似为 。 用 有两个常见误区。一是拿符号比大小： 看上去比 「更负」，但它的线性相关程度更强，比较强弱一律看 。二是把相关当成因果：相关只说两个变量一起变，不说明谁引起谁。此外 由全部数据算得，个别异常点就能把它明显拉偏，所以看到 之前先看数据的大致走向。 （二）一元线性回归模型与经验回归方程 一元线性回归模型假设 与 之间大致是直线关系，写成 ，其中 是随机误差。 与 未知，要用样本估计。教材给出的估计准则是让残差平方和 取到最小，满足这一条的解就是 与 ，这套做法叫最小二乘法。 记 、 为两个变量的样本平均数，则 ，。把 的式子移项，立刻得到一条重要性质：经验回归直线一定过样本中心点 。做题时凡给出中心点，就不必再算 。 的实际含义是「 每增加 个单位， 平均增加 个单位」，其中的「平均」不能省——它是统计意义上的平均变化，不是每个个体都这样变。若 ，说明两个变量负相关，这与 是一致的。方程只适用于样本所在的范围，把 代到很远的数值上做外推，结论没有保证。 （三）残差与决定系数 残差 是实际值与预测值之差，它衡量模型在哪一点上偏了多少。把全部残差按横坐标画出来就是残差图：点均匀地散布在横轴两侧、没有明显的弯曲趋势，说明直线模型合适；若残差呈现明显的弧形，说明该换非线性模型。残差平方和 越小，拟合效果越好，教材就是用残差图与残差平方和这两个工具来评价模型。 决定系数 ，分母是 的总偏差平方和。它的取值在 与 之间，含义是「 的变化中被回归方程解释掉的比例」。例如 表示有 的部分被解释，剩下 没有被解释；比值部分越小， 越接近 。 一元线性回归中 成立，两者可以互相验算，但它们说的不是一回事： 描述两个变量线性相关的强弱， 描述模型对数据的解释比例。 大并不代表模型一定合适——若数据本来是非线性关系，硬套一条直线也可能得到不小的 ，这时要看残差图有没有系统性偏差。 （四）列联表与独立性检验 两个分类变量是否有关，用 列联表整理数据：把样本按两个变量的类别各分成两类，四个格子分别记频数 、、、，右下角是样本容量 。独立性检验先假设「两个变量相互独立」，这个假设叫零假设 ，再用数据的偏离程度去检验它，这是教材第八章最后一节给出的做法。 检验统计量 。若 成立， 应当比较小；实际算得的 越大，说明数据与「相互独立」差得越远， 成立的可能性就越小。分子里的 与平方都不能漏，分母是四个和相乘，其中 、 是两行的和，、 是两列的和。 判断要用临界值表： 超过哪个临界值，就在对应的概率档位上认为两变量有关。结论的标准说法是「在犯错误概率不超过 的前提下，认为 与 有关」，不能说成「 与 一定有关」。反过来， 小于 时不能断言两者无关，只能说「没有充分证据认为它们有关」，这两种表述在阅卷时判得不一样。 相关系数与决定系数都看「是不是接近 」，比较相关强弱一律取绝对值；经验回归直线必过样本中心点，给出中心点就不必再算斜率； 算完对照临界值表说话，越过哪一档就说到哪一档。 二、典型例题 例1　 的符号定方向，绝对值定强弱 已知变量 与 的样本相关系数 ，则下列结论正确的是 A． 与 正相关，线性相关程度很强 B． 与 正相关，线性相关程度很弱 C． 与 负相关，线性相关程度很强 D． 与 负相关，线性相关程度很弱 ①看符号　，说明 增大时 总体上减小，是负相关。 ②看绝对值　 很接近 ，说明线性相关程度很强。 ③合起来　负相关且相关程度很强，对应的是「负相关，线性相关程度很强」。 注： 的正负只说方向，强弱只看 。 与 的线性相关程度一样强，只是方向相反，所以不能因为它是负数就说「关系弱」。 【答案】C。 因为 ，所以 与 负相关。 又 接近 ，所以线性相关程度很强。 故选 C。 变式1　比较相关强弱只看绝对值 四组数据的样本相关系数分别为 、、、，则线性相关程度最强的一组是 A．第一组 B．第三组 C．第四组 D．第二组 ①全部取绝对值　四组依次为 、、、。 ②找最大的绝对值　最大的是 ，对应第二组。 ③回到原题　第二组的相关系数是 ，负号只表示方向，不影响强弱。 注：拿符号比大小是常见失分点： 比 小，但它的线性相关程度更强。题目问「程度」时，一律先取绝对值再比较。 【答案】D。 四组相关系数的绝对值依次为 、、、。 其中 最大，故第二组的线性相关程度最强。 故选 D。 例2　先算中心，再算两个和 已知变量 与 的 5 组数据为 、、、、，则 关于 的经验回归方程 中， 的值为 A． B． C． D． ①先求样本中心　，。 ②算分子　。 ③算分母再相除　，故 。 注：分母是 而不是 ，这一步写错是本题最常见的错误。另外分子与分母都用「离差」，先把中心算出来，后面两组和才不会算错。 【答案】B。 ，。 ，。 故 。故选 B。 变式2　回归直线一定过样本中心点 已知变量 与 的样本中心点为 ，且经验回归方程为 ，则 的值为 A． B． C． D． ①用中心点这条性质　经验回归直线过 ，即 时 。 ②代入方程　。 ③解出 　。 注：不必再去算 ——中心点这条性质是最快的验算工具，它等价于 。若算出 ，那是把符号弄反了。 【答案】A。 经验回归直线过样本中心点 。 代入 得 。 解得 。故选 A。 例3　斜率说的是「平均增加多少」 已知某种产品的产量 （单位：吨）与成本 （单位：万元）的经验回归方程为 ，则产量每增加 吨，成本 A．平均增加 万元 B．平均增加 万元 C．平均增加 万元 D．平均减少 万元 ①认清两个系数的分工　 是一次项系数， 是常数项。 ②一次项系数的含义　 每增加 ， 增加 ，这正是「平均增加 万元」。 ③排除两个干扰项　 是 时的预测值； 是把两个系数相加得来的，都没有实际含义。 注：一次项系数说的是「平均变化率」，常数项说的是「起点」。「平均」二字不能省，因为它是全部样本意义上的平均，不是每一吨都恰好增加这么多。 【答案】B。 经验回归方程中 ，说明 每增加 个单位， 平均增加 个单位。 故产量每增加 吨，成本平均增加 万元。 故选 B。 变式3　代入方程求预测值 已知某地区居民年收入 （单位：万元）与年支出 （单位：万元）的经验回归方程为 。若某家庭的年收入为 万元，则其年支出的预测值为 A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 ①把 代进去　。 ②先乘后加　，再加 。 ③得预测值　，即年支出约为 万元。 注：预测值是「估计」，不是必然结果：收入同为 万元的家庭，实际支出各有高低，回归方程给出的是平均意义上的水平。若某家庭收入 万元，代进去也照样能算出数，但那是外推，结论并不可靠。 【答案】D。 把 代入 。 得 。 故年支出的预测值为 万元。故选 D。 例4　残差是「实际减预测」 已知 关于 的经验回归方程 。当 时观测到 ，则该点处的残差为 A． B． C． D． ①先算预测值　把 代入得 。 ②按定义作差　残差 。 ③核对顺序　是「实际减预测」，不是「预测减实际」，顺序反了符号就错。 注：残差的定义方向只有一个：实际值减预测值。选项中的 是预测值， 是把顺序写反的结果， 与本题无关。残差为负，表示这一点实际值低于预测值。 【答案】C。 当 时，。 故残差 。 故选 C。 变式4　残差平方和越小，拟合越好 用两个经验回归方程拟合同一组数据，残差平方和分别为 与 ，则拟合效果较好的是 A．第一个方程 B．第二个方程 C．两个一样好 D．无法判断 ①想清残差平方和是什么　它是全部残差平方之和，衡量预测值与实际值整体上差多少。 ②比较大小　，第一个方程的偏离更小。 ③下结论　残差平方和越小拟合效果越好，故选第一个方程。 注：残差平方和是「没有被模型解释掉的部分」，越小说明预测值贴得越紧。两个方程拟合的是同一组数据，总偏差相同，所以可以直接比残差平方和；若换了一组数据，这种直接比较就不成立了。 【答案】A。 残差平方和越小，预测值与实际值整体上越接近，拟合效果越好。 因为 ，所以第一个方程的拟合效果较好。 故选 A。 例5　决定系数用两个平方和相除来算 已知一组数据的残差平方和为 ，总偏差平方和为 ，则决定系数 的值为 A． B． C． D． ①写出公式　决定系数等于 减去「残差平方和与总偏差平方和的商」。 ②代入两个数　。 ③算出结果　。 注： 是残差平方和占的比例，也就是「没被解释掉的部分」， 恰好是它的补数。把 当成答案，等于把「解释不了的比例」说成了「解释了的比例」。 【答案】D。 由决定系数的定义，。 ，故 。 故选 D。 变式5　反着问：由决定系数回求残差平方和 已知一组数据的总偏差平方和为 ，决定系数 ，则这组数据的残差平方和为 A． B． C． D． ①把公式移项　由 减去「残差平方和与总偏差平方和的商」，移项得残差平方和 总偏差平方和。 ②算没被解释的比例　，即还有 没有被解释。 ③相乘　，故残差平方和为 。 注： 说的是「解释了 」，剩下 就是残差平方和占的比例。选项里的 是把 直接乘 得到的，那是「被解释的部分」，问残差平方和时要取它的补数。 【答案】B。 由 反推：残差平方和 。 。 故残差平方和为 。故选 B。 例6　卡方：先算交叉相乘之差 某校随机调查 100 名学生是否喜欢某项运动，其中男生 50 人中有 35 人喜欢，女生 50 人中有 15 人喜欢。根据这些数据算得的 约为 A． B． C． D． ①先填四格　男生喜欢 人不喜欢 人，女生喜欢 人不喜欢 人，即 、、、，。 ②算交叉相乘之差　。 ③代入公式　。 注：公式里有三个容易漏的地方：分子上的 、 的平方、分母的四个和。本题四个和都等于 ，计算最省事；若行列和不等，就要把 、、、 分别写出来。 【答案】C。 列联表的四格频数为 、、、，。 ，，四个和依次为 、、、。 。故选 C。 变式6　越过哪个临界值，就说到哪一档 某次独立性检验中算得 ，附表中 、、，则下列结论正确的是 A．在犯错误概率不超过 的前提下，认为两变量有关 B．在犯错误概率不超过 的前提下认为两变量有关，但不能说不超过 C．两变量一定有关 D．没有充分证据认为两变量有关 ①拿 从大到小比　，最大的那一档也越过了。 ②越过最大的一档说明什么　说明在犯错误概率不超过 的前提下就可以认为两变量有关。 ③排除其余三项　已经能说到 ，B 的说法过弱；检验是概率判断，不能说「一定」，C 错； 远大于临界值，D 错。 注：临界值是从严到宽读的： 对应 ， 对应 ， 对应 。 越大，能说到的那一档就越严；能过严的一档，当然也过得了宽的一档。 【答案】A。 因为 ，所以 这一档被越过。 即在犯错误概率不超过 的前提下，认为两变量有关。 检验给出的是概率意义上的判断，不能说「一定有关」。故选 A。 三、巩固练习 1．已知变量 与 的样本相关系数 ，变量 与 的样本相关系数 ，则下列说法正确的是 A． 与 相关更强 B．程度相同，方向相反 C． 与 相关更弱 D．无法比较两者的相关程度 【答案】B。 两个相关系数的绝对值都是 ，线性相关程度相同。 为正相关， 为负相关，方向相反。 故选 B。 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 的值为 A． B． C． D． 【答案】D。 经验回归直线过样本中心点 。 代入得 。 解得 。故选 D。 3．已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 的预测值为 A． B． C． D． 【答案】A。 把 代入方程。 。 故选 A。 4．某班随机调查 40 名学生，其中男生 20 人中有 14 人喜欢篮球，女生 20 人中有 6 人喜欢篮球。根据这些数据算得的 约为 A． B． C． D． 【答案】C。 四格频数为 、、、，。 ，，四个和都是 。 。故选 C。 5．已知变量 与 的样本相关系数 ，则经验回归方程 中， 的符号 A．一定为正 B．一定为负 C．可能为正也可能为负 D．一定为 【答案】B。 与 的符号一致： 时 与 负相关，回归直线自左上向右下倾斜。 故 一定为负。 故选 B。 6．用两个模型拟合同一组数据，决定系数分别为 、，则 A．模型 拟合得更好 B．两个模型拟合得一样好 C．模型 拟合得更好 D．无法比较两者的拟合效果 【答案】C。 决定系数越接近 ，残差平方和占总偏差平方和的比例越小，拟合效果越好。 ，所以模型 拟合得更好。 故选 C。 学科网（北京）股份有限公司 $ 成对数据的统计分析 一、知识点梳理 （一）成对数据与样本相关系数 把两个变量的 组观测值一一配对，就得到成对数据。研究成对数据先看有没有「一起动」的趋势：把每对数据画成点，横轴放 、纵轴放 ，若整体从左下往右上走，称正相关；从左上往右下走，称负相关。教材把这类问题放在选择性必修第三册第八章「成对数据的统计分析」里，先看趋势、再算相关系数、最后建模型或做检验，三步的顺序不能颠倒。 样本相关系数 把「趋势的强弱与方向」压缩成一个数，它的取值在 与 之间： 正相关， 负相关， 越接近 线性相关程度越强，越接近 越弱。 与 表示所有点都落在一条直线上，只是方向相反。要注意 只说明「没有线性相关」，两个变量之间仍可能有别的函数关系，例如在对称区间上取点时 的 就近似为 。 用 有两个常见误区。一是拿符号比大小： 看上去比 「更负」，但它的线性相关程度更强，比较强弱一律看 。二是把相关当成因果：相关只说两个变量一起变，不说明谁引起谁。此外 由全部数据算得，个别异常点就能把它明显拉偏，所以看到 之前先看数据的大致走向。 （二）一元线性回归模型与经验回归方程 一元线性回归模型假设 与 之间大致是直线关系，写成 ，其中 是随机误差。 与 未知，要用样本估计。教材给出的估计准则是让残差平方和 取到最小，满足这一条的解就是 与 ，这套做法叫最小二乘法。 记 、 为两个变量的样本平均数，则 ，。把 的式子移项，立刻得到一条重要性质：经验回归直线一定过样本中心点 。做题时凡给出中心点，就不必再算 。 的实际含义是「 每增加 个单位， 平均增加 个单位」，其中的「平均」不能省——它是统计意义上的平均变化，不是每个个体都这样变。若 ，说明两个变量负相关，这与 是一致的。方程只适用于样本所在的范围，把 代到很远的数值上做外推，结论没有保证。 （三）残差与决定系数 残差 是实际值与预测值之差，它衡量模型在哪一点上偏了多少。把全部残差按横坐标画出来就是残差图：点均匀地散布在横轴两侧、没有明显的弯曲趋势，说明直线模型合适；若残差呈现明显的弧形，说明该换非线性模型。残差平方和 越小，拟合效果越好，教材就是用残差图与残差平方和这两个工具来评价模型。 决定系数 ，分母是 的总偏差平方和。它的取值在 与 之间，含义是「 的变化中被回归方程解释掉的比例」。例如 表示有 的部分被解释，剩下 没有被解释；比值部分越小， 越接近 。 一元线性回归中 成立，两者可以互相验算，但它们说的不是一回事： 描述两个变量线性相关的强弱， 描述模型对数据的解释比例。 大并不代表模型一定合适——若数据本来是非线性关系，硬套一条直线也可能得到不小的 ，这时要看残差图有没有系统性偏差。 （四）列联表与独立性检验 两个分类变量是否有关，用 列联表整理数据：把样本按两个变量的类别各分成两类，四个格子分别记频数 、、、，右下角是样本容量 。独立性检验先假设「两个变量相互独立」，这个假设叫零假设 ，再用数据的偏离程度去检验它，这是教材第八章最后一节给出的做法。 检验统计量 。若 成立， 应当比较小；实际算得的 越大，说明数据与「相互独立」差得越远， 成立的可能性就越小。分子里的 与平方都不能漏，分母是四个和相乘，其中 、 是两行的和，、 是两列的和。 判断要用临界值表： 超过哪个临界值，就在对应的概率档位上认为两变量有关。结论的标准说法是「在犯错误概率不超过 的前提下，认为 与 有关」，不能说成「 与 一定有关」。反过来， 小于 时不能断言两者无关，只能说「没有充分证据认为它们有关」，这两种表述在阅卷时判得不一样。 相关系数与决定系数都看「是不是接近 」，比较相关强弱一律取绝对值；经验回归直线必过样本中心点，给出中心点就不必再算斜率； 算完对照临界值表说话，越过哪一档就说到哪一档。 二、典型例题 例1　 的符号定方向，绝对值定强弱 已知变量 与 的样本相关系数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 与 正相关，线性相关程度很强 B． 与 正相关，线性相关程度很弱 C． 与 负相关，线性相关程度很强 D． 与 负相关，线性相关程度很弱 变式1　比较相关强弱只看绝对值 四组数据的样本相关系数分别为 、、、，则线性相关程度最强的一组是（　　） A．第一组 B．第三组 C．第四组 D．第二组 例2　先算中心，再算两个和 已知变量 与 的 5 组数据为 、、、、，则 关于 的经验回归方程 中， 的值为（　　） A． B． C． D． 变式2　回归直线一定过样本中心点 已知变量 与 的样本中心点为 ，且经验回归方程为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 例3　斜率说的是「平均增加多少」 已知某种产品的产量 （单位：吨）与成本 （单位：万元）的经验回归方程为 ，则产量每增加 吨，成本（　　） A．平均增加 万元 B．平均增加 万元 C．平均增加 万元 D．平均减少 万元 变式3　代入方程求预测值 已知某地区居民年收入 （单位：万元）与年支出 （单位：万元）的经验回归方程为 。若某家庭的年收入为 万元，则其年支出的预测值为（　　） A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元 例4　残差是「实际减预测」 已知 关于 的经验回归方程 。当 时观测到 ，则该点处的残差为（　　） A． B． C． D． 变式4　残差平方和越小，拟合越好 用两个经验回归方程拟合同一组数据，残差平方和分别为 与 ，则拟合效果较好的是（　　） A．第一个方程 B．第二个方程 C．两个一样好 D．无法判断 例5　决定系数用两个平方和相除来算 已知一组数据的残差平方和为 ，总偏差平方和为 ，则决定系数 的值为（　　） A． B． C． D． 变式5　反着问：由决定系数回求残差平方和 已知一组数据的总偏差平方和为 ，决定系数 ，则这组数据的残差平方和为（　　） A． B． C． D． 例6　卡方：先算交叉相乘之差 某校随机调查 100 名学生是否喜欢某项运动，其中男生 50 人中有 35 人喜欢，女生 50 人中有 15 人喜欢。根据这些数据算得的 约为（　　） A． B． C． D． 变式6　越过哪个临界值，就说到哪一档 某次独立性检验中算得 ，附表中 、、，则下列结论正确的是（　　） A．在犯错误概率不超过 的前提下，认为两变量有关 B．在犯错误概率不超过 的前提下认为两变量有关，但不能说不超过 C．两变量一定有关 D．没有充分证据认为两变量有关 三、巩固练习 1．已知变量 与 的样本相关系数 ，变量 与 的样本相关系数 ，则下列说法正确的是（　　） A． 与 相关更强 B．程度相同，方向相反 C． 与 相关更弱 D．无法比较两者的相关程度 2．已知变量 与 的样本中心点为 ，经验回归方程为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 3．已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 的预测值为（　　） A． B． C． D． 4．某班随机调查 40 名学生，其中男生 20 人中有 14 人喜欢篮球，女生 20 人中有 6 人喜欢篮球。根据这些数据算得的 约为（　　） A． B． C． D． 5．已知变量 与 的样本相关系数 ，则经验回归方程 中， 的符号（　　） A．一定为正 B．一定为负 C．可能为正也可能为负 D．一定为 6．用两个模型拟合同一组数据，决定系数分别为 、，则（　　） A．模型 拟合得更好 B．两个模型拟合得一样好 C．模型 拟合得更好 D．无法比较两者的拟合效果 学科网（北京）股份有限公司 $