专题20 统计与成对数据分析 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题20　统计与成对数据的统计分析 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题20　统计与成对数据分析 一、核心知识 1．三种抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）适用于总体个数较少；系统抽样适用于总体个数较多且分布均衡；分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成。 2．分层抽样按比例分配：每一层抽取的个数与该层个体总数的比都等于样本容量与总体容量的比。 3．频率分布直方图：横轴为样本数据分组区间，纵轴为 频率组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形面积之和为 1。 4．由频率分布直方图估计特征数：众数取最高矩形底边的中点；中位数使左右两侧面积各为 ；平均数用各组区间中点值乘以该组频率后求和。 5．平均数刻画数据的集中趋势，方差与标准差刻画数据的离散程度；方差越小，数据越稳定。 6．方差公式：。 7．线性变换性质：若 ，则 ，。 8．百分位数：把数据从小到大排列，计算 %，若 不是整数则取第 个数据，若 是整数则取第 个与第 个数据的平均数。 9．成对数据的相关性：散点图中的点集中在某条直线附近说明线性相关，从左到右上升为正相关、下降为负相关。 10．样本相关系数 ，满足 ， 越接近 1 线性相关越强。 11．一元线性回归：，其中 ，，回归直线必过样本中心点 。 12．独立性检验：对 列联表，， 越大，认为两个分类变量有关系的把握越大。 二、题型精练 题型一　抽样方法与用样本估计总体 【方法与技巧】 先判断总体特点再选方法：个体数少用简单随机抽样，个体数多且均匀用系统抽样，个体差异明显用分层抽样。 分层抽样按比例分配：该层抽取数该层总数样本容量总体容量，列方程即可求出每层应抽的个数。 系统抽样先算分段间隔 总体容量样本容量，再在第一段中随机取一个编号，依次加上 得到其余编号。 【例题精讲】 1．某学校有高一学生 600 人、高二学生 500 人、高三学生 400 人，现用分层抽样抽取容量为 75 的样本，则高一年级应抽取（　　） A．30 人 B．25 人 C．20 人 D．35 人 2．从编号为 1~50 的 50 件产品中，用系统抽样抽取 5 件，若抽到的第一件编号为 3，则下列编号中不会被抽到的是（　　） A．17 B．13 C．23 D．43 3．下列抽样方式中，属于简单随机抽样的是（　　） A．从 20 名学生中逐个不放回地抽取 5 名，且每次抽取时每个学生被抽到的机会相等 B．先按性别分成两组再各抽若干名 C．抽取学号为 1、5、9、13、17 的 5 名 D．抽取学号最小的 5 名 【变式训练】 1．总体容量为 1200，样本容量为 60，则抽样比为（　　） A．1:20 B．1:10 C．1:12 D．1:60 2．分层抽样中，某层有 300 个个体，总体有 1500 个个体，样本容量为 100，则该层应抽取（　　） A．20 个 B．30 个 C．15 个 D．25 个 3．系统抽样中，总体容量为 1000，样本容量为 50，则分段间隔为（　　） A．20 B．50 C．100 D．25 4．采用系统抽样从 60 个个体中抽取 6 个，已知编号为 5 的个体被抽到，则下列编号也被抽到的是（　　） A．25 B．20 C．30 D．10 5．要调查某市高中生的视力情况，考虑到城乡与年级差异明显，最适合的抽样方法是（　　） A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．以上都不适合 6．关于简单随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．每个个体被抽到的机会相等 B．总体必须是无限的 C．必须是有放回抽样 D．样本容量必须大于 30 【巩固练习】 1．某单位有老年人 20 人、中年人 40 人、青年人 60 人，用分层抽样抽取容量为 36 的样本，则老年人应抽取（　　） A．6 人 B．4 人 C．8 人 D．12 人 2．总体有 900 个个体，样本容量为 45，则抽样比是（　　） A．1:20 B．1:45 C．1:9 D．1:30 3．从 1000 件产品中抽取 50 件做质量检查，若采用系统抽样，则分段间隔为（　　） A．20 B．50 C．25 D．100 4．分层抽样与简单随机抽样相比，主要优点是（　　） A．样本的代表性更好 B．操作更简单 C．样本容量可以更小 D．不需要对个体编号 5．某班有男生 30 人、女生 20 人，用分层抽样抽取 10 人，则女生应抽（　　） A．4 人 B．5 人 C．6 人 D．3 人 6．用随机数表法抽样时，第一步应该（　　） A．将总体中的个体编号 B．确定样本容量 C．计算抽样比 D．把个体分组 7．某厂生产 A、B、C 三种型号产品共 1200 件，数量之比为 3:4:5，用分层抽样抽取 60 件，则 A 型应抽（　　） A．15 件 B．20 件 C．25 件 D．12 件 8．从编号为 1~100 的个体中用系统抽样抽取 10 个，若第一个被抽到的编号是 6，则最后一个编号是　　　　。 题型二　统计图表与频率分布 【方法与技巧】 频率分布直方图中，小矩形的高是 频率组距，面积才是频率，读图时不要误把高当成频率。 所有小矩形的面积之和为 1，利用这一点可以反求未知矩形的高或某个组的频率。 茎叶图保留了原始数据的信息，便于比较两组数据的分布；扇形图适合表示各部分所占的比例。 【例题精讲】 1．频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于（　　） A．1 B．样本容量 C．组距 D． 2．某组数据的频率分布直方图中，一个小矩形的高为 ，组距为 10，则该组的频率为（　　） A． B． C．3 D． 3．容量为 100 的样本的频率分布直方图中，某组的频率为 ，则该组的频数为（　　） A．20 B． C．2 D．200 【变式训练】 1．频率分布直方图中，横轴表示（　　） A．样本数据的分组区间 B．频率 C．频数 D．组数 2．频率分布直方图中，纵轴表示（　　） A．频率组距 B．频率 C．频数 D．累计频率 3．一组数据分成 5 组，第 3 组的频率为 ，样本容量为 200，则第 3 组的频数为（　　） A．60 B．30 C．50 D．20 4．样本容量为 50，某组的频数为 10，则该组的频率为（　　） A． B． C．2 D．10 5．在频率分布直方图中估计中位数时，中位数应使左右两侧的面积（　　） A．各为 B．左边 右边 C．各为 1 D．左边 右边 6．关于茎叶图，下列说法正确的是（　　） A．保留了原始数据的信息 B．适合样本容量非常大的情形 C．只能表示一组数据 D．不能反映分布是否对称 【巩固练习】 1．频率分布表中，各组的频率之和为（　　） A．1 B．样本容量 C．100 D．0 2．某组数据的极差为 40，若分成 8 组，则组距为（　　） A．5 B．8 C．4 D．10 3．样本容量为 80，某组频率为 ，则该组频数为（　　） A．20 B．25 C．4 D．32 4．频率分布直方图中，最高矩形底边的中点可作为（　　）的估计值 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 5．已知样本数据落在 内的频率为 ，样本容量为 100，则该区间内的频数为（　　） A．40 B．4 C． D．400 6．把容量为 的样本分成若干组，若某组频数为 30、频率为 ，则 （　　） A．100 B．90 C．30 D．10 7．要直观反映各部分在总体中所占的比例，宜选用（　　） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．频率分布直方图 8．一组数据共 100 个，落在某组的频率为 ，则该组的频数为　　　　。 题型三　平均数、方差与百分位数 【方法与技巧】 平均数 反映集中趋势，中位数不受极端值影响，众数反映出现最多的数据。 方差 ，也可用 简化计算，标准差是方差的算术平方根。 若 ，则 ，：加减常数不改变方差，乘常数使方差变为原来的平方倍。 【例题精讲】 1．数据 2，4，6，8，10 的平均数为（　　） A．6 B．5 C．7 D．8 2．数据 1，2，3，4，5 的方差为（　　） A．2 B．10 C． D． 3．一组数据的平均数为 5、方差为 4，若每个数据都乘以 2 再加 3，则新数据的方差为（　　） A．16 B．8 C．19 D．4 【变式训练】 1．数据 3，5，7，9 的中位数为（　　） A．6 B．5 C．7 D． 2．数据 2，2，3，3，3，4，4 的众数为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 3．数据 0，2，4，6，8 的标准差为（　　） A． B．4 C．2 D．8 4．若数据 … 的平均数为 3、方差为 2，则数据 的平均数为（　　） A．5 B．6 C．3 D．2 5．有 10 个数据已从小到大排列，则第 75 百分位数是（　　） A．第 8 个数据 B．第 7 个数据 C．第 7 个与第 8 个数据的平均数 D．第 9 个数据 6．甲、乙两组数据的平均数相同，甲的方差为 、乙的方差为 ，则（　　） A．甲组数据更稳定 B．乙组数据更稳定 C．两组一样稳定 D．无法判断 【巩固练习】 1．数据 1，3，5，7，9 的平均数为（　　） A．5 B．4 C．6 D．3 2．数据 4，4，5，5，5，6，6 的方差为（　　） A． B． C．4 D． 3．一组数据的方差为 9，则标准差为（　　） A．3 B．9 C．81 D． 4．数据 1，2，3，…，10 的平均数为（　　） A． B．5 C．6 D．10 5．若一组数据都加上同一个常数 ，则其方差（　　） A．不变 B．增加 C．变为原来的 倍 D．减少 6．样本数据 3，7，8，9，13 的中位数为（　　） A．8 B．7 C．9 D． 7．某组数据的平均数为 10、标准差为 2，若每个数据都扩大为原来的 3 倍，则新数据的标准差为（　　） A．6 B．2 C．18 D．12 8．数据 2，4，6，8 的方差为　　　　。 题型四　成对数据的相关性与回归分析 【方法与技巧】 先画散点图判断能否用线性模型，再计算相关系数 定量刻画线性相关程度的强弱。 相关系数 与回归系数 同号： 为正相关、回归直线上升； 为负相关、回归直线下降。 回归直线一定经过样本中心点 ，求 时直接代入 最省事。 【例题精讲】 1．若散点图中的点从左下角分布到右上角，则这两个变量（　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．成函数关系 2．已知样本中心点为 ，回归直线的斜率为 2，则截距 为（　　） A． B．1 C．11 D．5 3．关于相关系数 ，下列说法正确的是（　　） A． 越接近 1，线性相关性越强 B． 越大，相关性越强 C． 表示两个变量不相关 D． 也可能出现 【变式训练】 1．样本相关系数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若两个变量的样本相关系数 ，则说明（　　） A．负线性相关且很强 B．正线性相关且很强 C．几乎不相关 D．成反比例函数关系 3．回归直线一定经过（　　） A．样本中心点 B．坐标原点 C．任意一个样本点 D．中位数对应的点 4．已知 ，，，则 （　　） A．1 B． C．13 D．7 5．已知回归方程为 ，则当 时 的预测值为（　　） A．7 B．6 C．3 D．4 6．若 ，，则 （　　） A．2 B． C．10 D．200 【巩固练习】 1．下列两个变量中，通常呈正相关的是（　　） A．人的身高与体重 B．气温与羽绒服销量 C．行驶速度与全程耗时 D．商品价格与销量 2．样本相关系数 表示两个变量（　　） A．不存在线性相关关系 B．完全无关 C．成正比例关系 D．成反比例关系 3．回归系数 的符号与相关系数 的符号（　　） A．相同 B．相反 C．无关 D．有时相同有时相反 4．已知 ，，则 （　　） A．2 B． C．25 D．1250 5．已知 ，，，则该组数据的回归方程为（　　） A． B． C． D． 6．散点图中的点分布越集中在某条直线附近，则 （　　） A．越接近 1 B．越接近 0 C．越接近 D．保持不变 7．已知回归方程为 ，则当 时的预测值为（　　） A．8 B．6 C．2 D．5 8．若 ，，，则 　　　　。 题型五　列联表与独立性检验 【方法与技巧】 先把数据整理成 列联表，算出四个格子数 、、、 及四个边际合计 、、、。 代入 ，其中 ，计算时先算 可避免出错。 把 与临界值比较： 时有 99% 的把握认为两者有关， 时有 95% 的把握， 时有 90% 的把握。 【例题精讲】 1．在 列联表中，四个格子的数据分别为 、、、，则样本容量 （　　） A． B． C． D． 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．100 B．50 C．60 D．90 3．关于 统计量，下列说法正确的是（　　） A． 越大，认为两个变量有关系的把握越大 B． 越小，把握越大 C． 一定为负数 D． 与样本容量无关 【变式训练】 1．独立性检验用于判断（　　） A．两个分类变量是否有关 B．两个数值变量的线性相关性 C．两个总体的平均数是否相等 D．两个总体的方差是否相等 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．500 B．100 C．900 D．400 3．已知 ，，，则 （　　） A．50 B．100 C．200 D．500 4．独立性检验中，若 的计算值恰好等于临界值 ，则（　　） A．有 99% 的把握认为两者有关 B．有 95% 的把握认为两者有关 C．没有把握认为两者有关 D．无法判断 5．列联表中 表示（　　） A．第一行的合计 B．第一列的合计 C．样本容量 D．总频数的一半 6．在其他比例不变、只增大样本容量时， 通常（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小 【巩固练习】 1．独立性检验的步骤中，第一步是（　　） A．列出 列联表 B．计算平均数与方差 C．画散点图 D．求回归方程 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．40 B．50 C．60 D．100 3．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．40 B．50 C．60 D．100 4．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A． B．100 C．525 D．625 5． 公式的分母是四个边际合计的乘积，这四个合计是（　　） A． B．abcd C． D． 6．若 的计算值小于临界值，则应得出的结论是（　　） A．没有充分证据认为两个变量有关 B．两个变量一定无关 C．两个变量一定有关 D．必须换用其他检验 7．独立性检验结论的正确表述是（　　） A．有把握认为两个变量有关，但不是绝对确定 B．两个变量一定有关 C．两个变量一定无关 D．可以求出两者有关的概率 8．已知 ，，且 ，则 　　　　。 题型六　统计综合与统计决策 【方法与技巧】 综合题的通用顺序：读图表得频率与频数 算平均数（比较水平高低） 算方差（比较稳定性） 下结论。 用样本估计总体必须说明前提：样本是随机抽取的，且样本容量足够大。 决策类问题要落到数字上：水平用平均数衡量，稳定用方差衡量，相关性用 衡量，把握程度用 衡量。 【例题精讲】 1．从容量为 100 的样本中，某组的频数为 25，则用样本频率估计该组在总体中的比例约为（　　） A． B．25 C． D．100 2．甲、乙两种水稻的亩产量平均数相同，甲的方差为 120、乙的方差为 200，从产量稳定性看应选用（　　） A．甲 B．乙 C．两种都一样 D．无法判断 3．用样本的平均数估计总体的平均数时，样本容量越大，估计通常（　　） A．越可靠 B．越不可靠 C．与样本容量无关 D．一定等于真值 【变式训练】 1．用样本估计总体时，样本必须（　　） A．是随机抽取的 B．容量大于 1000 C．按优劣顺序排列的 D．由专家指定的 2．要比较两名射击运动员成绩的稳定性，除平均数外还应比较（　　） A．方差 B．众数 C．中位数 D．频数 3．某公司从 1000 件产品中随机抽取 100 件，发现 95 件合格，则合格率的估计值为（　　） A． B．95 C． D．100 4．下列说法中正确的是（　　） A．用样本的频率分布估计总体分布，样本容量越大越精确 B．样本平均数一定等于总体平均数 C．样本方差一定小于总体方差 D．抽样方式不影响估计效果 5．在进行统计决策时，最关键的依据是（　　） A．数据的分析结果 B．个人经验 C．样本个数的奇偶 D．调查的先后顺序 6．甲组数据的平均数为 80、方差为 9，乙组数据的平均数为 85、方差为 4，若要求成绩高且稳定，宜选（　　） A．乙组 B．甲组 C．两组一样 D．无法判断 【巩固练习】 1．从 500 名学生中随机抽取 50 名，测得平均身高为 165 cm，则估计全校学生的平均身高约为（　　） A．165 cm B．500 cm C．50 cm D．无法确定 2．随机抽取 200 件产品，其中合格 190 件，则合格率的估计值为（　　） A． B． C．190 D．200 3．要比较两个班数学成绩的集中程度，最合适的统计量是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．频数 4．用样本估计总体，下列说法正确的是（　　） A．估计结果存在误差 B．估计结果一定准确 C．样本可以随意选取 D．只需抽取 1 个个体 5．某射手 10 次射击环数的平均数为 、方差为 ，另一射手平均数也为 、方差为 ，则（　　） A．后者发挥更稳定 B．前者发挥更稳定 C．两人一样稳定 D．无法判断 6．统计学中，把“用样本的频率分布估计总体的分布”称为（　　） A．统计推断 B．确定性推理 C．函数拟合 D．相关分析 7．某商场随机抽取 100 名顾客，其中 60 人对服务满意，据此估计满意率，估计合理的理由是（　　） A．样本是随机抽取的且容量较大 B．商场规模大 C．调查持续时间长 D．只调查了部分顾客 8．一组数据的平均数为 12、方差为 5，若每个数据都减去 3，则新数据的平均数为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．分层抽样中，总体由 A、B 两层组成，两层个体数之比为 2:3，样本容量为 50，则 A 层应抽取（ ） A．20 个 B．30 个 C．25 个 D．10 个 2．频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为（　　） A．1 B．样本容量 C． D．组距 3．数据 1，2，3，4，5 的方差为（　　） A．2 B．10 C． D． 4．一组数据的平均数为 6、方差为 3，若把每个数据都变为 ，则新数据的方差为（　　） A．12 B．6 C．3 D．7 5．回归直线一定经过（　　） A．样本中心点 B．坐标原点 C．第一个样本点 D．最后一个样本点 6．两个变量的样本相关系数 ，说明这两个变量（　　） A．正线性相关且很强 B．负线性相关且很强 C．几乎不相关 D．成函数关系 7．独立性检验中， 的计算值越大，说明（　　） A．认为两个变量有关系的把握越大 B．两个变量一定无关 C．样本容量越小 D．计算一定有错 8．某组数据的频率为 ，样本容量为 150，则该组的频数为（　　） A．30 B．20 C． D．75 【多项选择题】 9．关于抽样方法，下列说法正确的有（　　） A．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等 B．分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成 C．系统抽样要先把总体分成均衡的若干部分 D．分层抽样中每个个体被抽到的机会一定不相等 10．关于平均数与方差，下列说法正确的有（　　） A．数据都加上同一个常数，方差不变 B．数据都乘以同一个非零常数 ，方差变为 倍 C．方差越小，数据越稳定 D．平均数一定是这组数据中的某一个数 11．关于回归分析与独立性检验，下列说法正确的有（　　） A．回归直线经过样本中心点 B． 越接近 1，线性相关性越强 C． 越大，认为两个变量有关系的把握越大 D．相关系数 可以大于 1 【填空题】 12．数据 5，7，9，11 的平均数为　　　　。 13．样本容量为 200，某组的频率为 ，则该组的频数为　　　　。 14．已知 ，，回归直线的斜率 ，则截距 　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题20　统计与成对数据的统计分析 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题20　统计与成对数据分析 一、核心知识 1．三种抽样方法：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）适用于总体个数较少；系统抽样适用于总体个数较多且分布均衡；分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成。 2．分层抽样按比例分配：每一层抽取的个数与该层个体总数的比都等于样本容量与总体容量的比。 3．频率分布直方图：横轴为样本数据分组区间，纵轴为 频率组距，每个小矩形的面积等于该组的频率，所有小矩形面积之和为 1。 4．由频率分布直方图估计特征数：众数取最高矩形底边的中点；中位数使左右两侧面积各为 ；平均数用各组区间中点值乘以该组频率后求和。 5．平均数刻画数据的集中趋势，方差与标准差刻画数据的离散程度；方差越小，数据越稳定。 6．方差公式：。 7．线性变换性质：若 ，则 ，。 8．百分位数：把数据从小到大排列，计算 %，若 不是整数则取第 个数据，若 是整数则取第 个与第 个数据的平均数。 9．成对数据的相关性：散点图中的点集中在某条直线附近说明线性相关，从左到右上升为正相关、下降为负相关。 10．样本相关系数 ，满足 ， 越接近 1 线性相关越强。 11．一元线性回归：，其中 ，，回归直线必过样本中心点 。 12．独立性检验：对 列联表，， 越大，认为两个分类变量有关系的把握越大。 二、题型精练 题型一　抽样方法与用样本估计总体 【方法与技巧】 先判断总体特点再选方法：个体数少用简单随机抽样，个体数多且均匀用系统抽样，个体差异明显用分层抽样。 分层抽样按比例分配：该层抽取数该层总数样本容量总体容量，列方程即可求出每层应抽的个数。 系统抽样先算分段间隔 总体容量样本容量，再在第一段中随机取一个编号，依次加上 得到其余编号。 【例题精讲】 1．某学校有高一学生 600 人、高二学生 500 人、高三学生 400 人，现用分层抽样抽取容量为 75 的样本，则高一年级应抽取（　　） A．30 人 B．25 人 C．20 人 D．35 人 【答案】A 【详解】总体容量为 ，抽样比为 ，高一应抽 人。选 A。 2．从编号为 1~50 的 50 件产品中，用系统抽样抽取 5 件，若抽到的第一件编号为 3，则下列编号中不会被抽到的是（　　） A．17 B．13 C．23 D．43 【答案】A 【详解】分段间隔 ，抽到的编号为 3、13、23、33、43，故 17 不会被抽到。选 A。 3．下列抽样方式中，属于简单随机抽样的是（　　） A．从 20 名学生中逐个不放回地抽取 5 名，且每次抽取时每个学生被抽到的机会相等 B．先按性别分成两组再各抽若干名 C．抽取学号为 1、5、9、13、17 的 5 名 D．抽取学号最小的 5 名 【答案】A 【详解】简单随机抽样要求逐个不放回抽取且每个个体被抽到的机会相等；B 是分层抽样，C 是系统抽样，D 不是随机抽样。选 A。 【变式训练】 1．总体容量为 1200，样本容量为 60，则抽样比为（　　） A．1:20 B．1:10 C．1:12 D．1:60 【答案】A 【详解】抽样比为 60::20。选 A。 2．分层抽样中，某层有 300 个个体，总体有 1500 个个体，样本容量为 100，则该层应抽取（　　） A．20 个 B．30 个 C．15 个 D．25 个 【答案】A 【详解】抽样比为 ，该层应抽 个。选 A。 3．系统抽样中，总体容量为 1000，样本容量为 50，则分段间隔为（　　） A．20 B．50 C．100 D．25 【答案】A 【详解】。选 A。 4．采用系统抽样从 60 个个体中抽取 6 个，已知编号为 5 的个体被抽到，则下列编号也被抽到的是（　　） A．25 B．20 C．30 D．10 【答案】A 【详解】间隔 ，抽到的编号为 5、15、25、35、45、55，故 25 被抽到。选 A。 5．要调查某市高中生的视力情况，考虑到城乡与年级差异明显，最适合的抽样方法是（　　） A．分层抽样 B．简单随机抽样 C．系统抽样 D．以上都不适合 【答案】A 【详解】总体由差异明显的几部分组成时，用分层抽样可提高样本的代表性。选 A。 6．关于简单随机抽样，下列说法正确的是（　　） A．每个个体被抽到的机会相等 B．总体必须是无限的 C．必须是有放回抽样 D．样本容量必须大于 30 【答案】A 【详解】简单随机抽样的核心是每个个体被抽到的机会相等，且通常是不放回抽样。选 A。 【巩固练习】 1．某单位有老年人 20 人、中年人 40 人、青年人 60 人，用分层抽样抽取容量为 36 的样本，则老年人应抽取（　　） A．6 人 B．4 人 C．8 人 D．12 人 【答案】A 【详解】总体 120 人，抽样比 ，老年人应抽 人。选 A。 2．总体有 900 个个体，样本容量为 45，则抽样比是（　　） A．1:20 B．1:45 C．1:9 D．1:30 【答案】A 【详解】45::20。选 A。 3．从 1000 件产品中抽取 50 件做质量检查，若采用系统抽样，则分段间隔为（　　） A．20 B．50 C．25 D．100 【答案】A 【详解】。选 A。 4．分层抽样与简单随机抽样相比，主要优点是（　　） A．样本的代表性更好 B．操作更简单 C．样本容量可以更小 D．不需要对个体编号 【答案】A 【详解】分层抽样充分考虑了总体的层次差异，使样本结构与总体结构更接近，代表性更好。选 A。 5．某班有男生 30 人、女生 20 人，用分层抽样抽取 10 人，则女生应抽（　　） A．4 人 B．5 人 C．6 人 D．3 人 【答案】A 【详解】抽样比 ，女生应抽 人。选 A。 6．用随机数表法抽样时，第一步应该（　　） A．将总体中的个体编号 B．确定样本容量 C．计算抽样比 D．把个体分组 【答案】A 【详解】随机数表法的第一步是给总体中的每个个体编号，使号码位数一致。选 A。 7．某厂生产 A、B、C 三种型号产品共 1200 件，数量之比为 3:4:5，用分层抽样抽取 60 件，则 A 型应抽（　　） A．15 件 B．20 件 C．25 件 D．12 件 【答案】A 【详解】A 型占 ，应抽 件。选 A。 8．从编号为 1~100 的个体中用系统抽样抽取 10 个，若第一个被抽到的编号是 6，则最后一个编号是　　　　。 【答案】96 【详解】间隔 ，依次抽到 6、16、26、…、96，最后一个是 96。 题型二　统计图表与频率分布 【方法与技巧】 频率分布直方图中，小矩形的高是 频率组距，面积才是频率，读图时不要误把高当成频率。 所有小矩形的面积之和为 1，利用这一点可以反求未知矩形的高或某个组的频率。 茎叶图保留了原始数据的信息，便于比较两组数据的分布；扇形图适合表示各部分所占的比例。 【例题精讲】 1．频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于（　　） A．1 B．样本容量 C．组距 D． 【答案】A 【详解】每个小矩形的面积等于相应组的频率，各组频率之和为 1。选 A。 2．某组数据的频率分布直方图中，一个小矩形的高为 ，组距为 10，则该组的频率为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】频率高组距。选 A。 3．容量为 100 的样本的频率分布直方图中，某组的频率为 ，则该组的频数为（　　） A．20 B． C．2 D．200 【答案】A 【详解】频数容量频率。选 A。 【变式训练】 1．频率分布直方图中，横轴表示（　　） A．样本数据的分组区间 B．频率 C．频数 D．组数 【答案】A 【详解】横轴是样本数据的分组区间，纵轴才是频率与组距的比值。选 A。 2．频率分布直方图中，纵轴表示（　　） A．频率组距 B．频率 C．频数 D．累计频率 【答案】A 【详解】纵轴是频率除以组距，这样矩形面积才恰好等于频率。选 A。 3．一组数据分成 5 组，第 3 组的频率为 ，样本容量为 200，则第 3 组的频数为（　　） A．60 B．30 C．50 D．20 【答案】A 【详解】频数。选 A。 4．样本容量为 50，某组的频数为 10，则该组的频率为（　　） A． B． C．2 D．10 【答案】A 【详解】频率。选 A。 5．在频率分布直方图中估计中位数时，中位数应使左右两侧的面积（　　） A．各为 B．左边 右边 C．各为 1 D．左边 右边 【答案】A 【详解】中位数把数据分成个数相等的两部分，故两侧面积各为 。选 A。 6．关于茎叶图，下列说法正确的是（　　） A．保留了原始数据的信息 B．适合样本容量非常大的情形 C．只能表示一组数据 D．不能反映分布是否对称 【答案】A 【详解】茎叶图把每个数据都写出来，保留了原始信息，也便于比较两组数据，但样本容量很大时不适用。选 A。 【巩固练习】 1．频率分布表中，各组的频率之和为（　　） A．1 B．样本容量 C．100 D．0 【答案】A 【详解】各组频率之和恒为 1。选 A。 2．某组数据的极差为 40，若分成 8 组，则组距为（　　） A．5 B．8 C．4 D．10 【答案】A 【详解】组距极差组数。选 A。 3．样本容量为 80，某组频率为 ，则该组频数为（　　） A．20 B．25 C．4 D．32 【答案】A 【详解】。选 A。 4．频率分布直方图中，最高矩形底边的中点可作为（　　）的估计值 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】众数是出现次数最多的数据，在直方图中对应最高矩形的底边中点。选 A。 5．已知样本数据落在 内的频率为 ，样本容量为 100，则该区间内的频数为（　　） A．40 B．4 C． D．400 【答案】A 【详解】。选 A。 6．把容量为 的样本分成若干组，若某组频数为 30、频率为 ，则 （　　） A．100 B．90 C．30 D．10 【答案】A 【详解】。选 A。 7．要直观反映各部分在总体中所占的比例，宜选用（　　） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．频率分布直方图 【答案】A 【详解】扇形统计图用圆心角大小反映各部分所占比例，最直观。选 A。 8．一组数据共 100 个，落在某组的频率为 ，则该组的频数为　　　　。 【答案】15 【详解】。 题型三　平均数、方差与百分位数 【方法与技巧】 平均数 反映集中趋势，中位数不受极端值影响，众数反映出现最多的数据。 方差 ，也可用 简化计算，标准差是方差的算术平方根。 若 ，则 ，：加减常数不改变方差，乘常数使方差变为原来的平方倍。 【例题精讲】 1．数据 2，4，6，8，10 的平均数为（　　） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】。选 A。 2．数据 1，2，3，4，5 的方差为（　　） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．一组数据的平均数为 5、方差为 4，若每个数据都乘以 2 再加 3，则新数据的方差为（　　） A．16 B．8 C．19 D．4 【答案】A 【详解】由 ，新方差为 （加常数不影响方差）。选 A。 【变式训练】 1．数据 3，5，7，9 的中位数为（　　） A．6 B．5 C．7 D． 【答案】A 【详解】共 4 个数据，取中间两个的平均数：。选 A。 2．数据 2，2，3，3，3，4，4 的众数为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】3 出现了 3 次，次数最多，故众数为 3。选 A。 3．数据 0，2，4，6，8 的标准差为（　　） A． B．4 C．2 D．8 【答案】A 【详解】，，故标准差为 。选 A。 4．若数据 … 的平均数为 3、方差为 2，则数据 的平均数为（　　） A．5 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【详解】新平均数。选 A。 5．有 10 个数据已从小到大排列，则第 75 百分位数是（　　） A．第 8 个数据 B．第 7 个数据 C．第 7 个与第 8 个数据的平均数 D．第 9 个数据 【答案】A 【详解】% 不是整数，向上取整得 8，故取第 8 个数据。选 A。 6．甲、乙两组数据的平均数相同，甲的方差为 、乙的方差为 ，则（　　） A．甲组数据更稳定 B．乙组数据更稳定 C．两组一样稳定 D．无法判断 【答案】A 【详解】方差越小数据越集中、越稳定，故甲组更稳定。选 A。 【巩固练习】 1．数据 1，3，5，7，9 的平均数为（　　） A．5 B．4 C．6 D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 2．数据 4，4，5，5，5，6，6 的方差为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．一组数据的方差为 9，则标准差为（　　） A．3 B．9 C．81 D． 【答案】A 【详解】标准差。选 A。 4．数据 1，2，3，…，10 的平均数为（　　） A． B．5 C．6 D．10 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若一组数据都加上同一个常数 ，则其方差（　　） A．不变 B．增加 C．变为原来的 倍 D．减少 【答案】A 【详解】加减常数只改变平均数，不改变数据的离散程度，方差不变。选 A。 6．样本数据 3，7，8，9，13 的中位数为（　　） A．8 B．7 C．9 D． 【答案】A 【详解】已从小到大排列，共 5 个数，中间的第 3 个是 8。选 A。 7．某组数据的平均数为 10、标准差为 2，若每个数据都扩大为原来的 3 倍，则新数据的标准差为（ ） A．6 B．2 C．18 D．12 【答案】A 【详解】标准差也扩大为原来的 3 倍，即 6。选 A。 8．数据 2，4，6，8 的方差为　　　　。 【答案】5 【详解】，。 题型四　成对数据的相关性与回归分析 【方法与技巧】 先画散点图判断能否用线性模型，再计算相关系数 定量刻画线性相关程度的强弱。 相关系数 与回归系数 同号： 为正相关、回归直线上升； 为负相关、回归直线下降。 回归直线一定经过样本中心点 ，求 时直接代入 最省事。 【例题精讲】 1．若散点图中的点从左下角分布到右上角，则这两个变量（　　） A．正相关 B．负相关 C．不相关 D．成函数关系 【答案】A 【详解】一个变量增大另一个也随之增大，这种关系称为正相关。选 A。 2．已知样本中心点为 ，回归直线的斜率为 2，则截距 为（　　） A． B．1 C．11 D．5 【答案】A 【详解】回归直线过点 ，故 ，解得 。选 A。 3．关于相关系数 ，下列说法正确的是（　　） A． 越接近 1，线性相关性越强 B． 越大，相关性越强 C． 表示两个变量不相关 D． 也可能出现 【答案】A 【详解】，且 越接近 1 线性相关性越强； 为负但绝对值很大时相关性也很强，故 B 错。选 A。 【变式训练】 1．样本相关系数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由柯西不等式可得 ，取值范围是 。选 A。 2．若两个变量的样本相关系数 ，则说明（　　） A．负线性相关且很强 B．正线性相关且很强 C．几乎不相关 D．成反比例函数关系 【答案】A 【详解】 为负说明负相关， 接近 1 说明线性相关很强。选 A。 3．回归直线一定经过（　　） A．样本中心点 B．坐标原点 C．任意一个样本点 D．中位数对应的点 【答案】A 【详解】由 可知回归直线必过样本中心点。选 A。 4．已知 ，，，则 （　　） A．1 B． C．13 D．7 【答案】A 【详解】。选 A。 5．已知回归方程为 ，则当 时 的预测值为（　　） A．7 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 6．若 ，，则 （　　） A．2 B． C．10 D．200 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．下列两个变量中，通常呈正相关的是（　　） A．人的身高与体重 B．气温与羽绒服销量 C．行驶速度与全程耗时 D．商品价格与销量 【答案】A 【详解】一般情况下身高越高体重越重，属正相关；B、C、D 均为一个增大另一个减小，属负相关。选 A。 2．样本相关系数 表示两个变量（　　） A．不存在线性相关关系 B．完全无关 C．成正比例关系 D．成反比例关系 【答案】A 【详解】 只说明没有线性相关关系，两个变量仍可能有非线性关系。选 A。 3．回归系数 的符号与相关系数 的符号（　　） A．相同 B．相反 C．无关 D．有时相同有时相反 【答案】A 【详解】两者都由 的符号决定，故同号。选 A。 4．已知 ，，则 （　　） A．2 B． C．25 D．1250 【答案】A 【详解】。选 A。 5．已知 ，，，则该组数据的回归方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故回归方程为 。选 A。 6．散点图中的点分布越集中在某条直线附近，则 （　　） A．越接近 1 B．越接近 0 C．越接近 D．保持不变 【答案】A 【详解】点越集中在一条直线附近，线性相关性越强， 越接近 1。选 A。 7．已知回归方程为 ，则当 时的预测值为（　　） A．8 B．6 C．2 D．5 【答案】A 【详解】。选 A。 8．若 ，，，则 　　　　。 【答案】2 【详解】。 题型五　列联表与独立性检验 【方法与技巧】 先把数据整理成 列联表，算出四个格子数 、、、 及四个边际合计 、、、。 代入 ，其中 ，计算时先算 可避免出错。 把 与临界值比较： 时有 99% 的把握认为两者有关， 时有 95% 的把握， 时有 90% 的把握。 【例题精讲】 1．在 列联表中，四个格子的数据分别为 、、、，则样本容量 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】样本容量等于四个格子数据之和，也等于各行（列）合计之和。选 A。 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．100 B．50 C．60 D．90 【答案】A 【详解】。选 A。 3．关于 统计量，下列说法正确的是（　　） A． 越大，认为两个变量有关系的把握越大 B． 越小，把握越大 C． 一定为负数 D． 与样本容量无关 【答案】A 【详解】 是非负数，其值越大说明“两个变量无关”这一假设越难成立，故把握越大。选 A。 【变式训练】 1．独立性检验用于判断（　　） A．两个分类变量是否有关 B．两个数值变量的线性相关性 C．两个总体的平均数是否相等 D．两个总体的方差是否相等 【答案】A 【详解】独立性检验研究的是两个分类变量是否相互独立（即是否有关）。选 A。 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．500 B．100 C．900 D．400 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知 ，，，则 （　　） A．50 B．100 C．200 D．500 【答案】A 【详解】。选 A。 4．独立性检验中，若 的计算值恰好等于临界值 ，则（　　） A．有 99% 的把握认为两者有关 B．有 95% 的把握认为两者有关 C．没有把握认为两者有关 D．无法判断 【答案】A 【详解】 时，有 99% 的把握认为两个变量有关。选 A。 5．列联表中 表示（　　） A．第一行的合计 B．第一列的合计 C．样本容量 D．总频数的一半 【答案】A 【详解】、 在同一行，故 是第一行的合计。选 A。 6．在其他比例不变、只增大样本容量时， 通常（　　） A．变大 B．变小 C．不变 D．先变大后变小 【答案】A 【详解】 的分子含 ，各格子数按同比例放大后 也随之变大，故样本容量越大越容易检验出关系。选 A。 【巩固练习】 1．独立性检验的步骤中，第一步是（　　） A．列出 列联表 B．计算平均数与方差 C．画散点图 D．求回归方程 【答案】A 【详解】先整理数据列出 列联表，再计算 。选 A。 2．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．40 B．50 C．60 D．100 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A．40 B．50 C．60 D．100 【答案】A 【详解】。选 A。 4．已知列联表中 ，，，，则 （　　） A． B．100 C．525 D．625 【答案】A 【详解】。选 A。 5． 公式的分母是四个边际合计的乘积，这四个合计是（　　） A． B．abcd C． D． 【答案】A 【详解】分母为两个行合计与两个列合计的乘积，即 。选 A。 6．若 的计算值小于临界值，则应得出的结论是（　　） A．没有充分证据认为两个变量有关 B．两个变量一定无关 C．两个变量一定有关 D．必须换用其他检验 【答案】A 【详解】小于临界值只能说明证据不足，不能断言一定无关。选 A。 7．独立性检验结论的正确表述是（　　） A．有把握认为两个变量有关，但不是绝对确定 B．两个变量一定有关 C．两个变量一定无关 D．可以求出两者有关的概率 【答案】A 【详解】独立性检验给出的是“有多大把握”的判断，结论具有统计意义而非绝对确定。选 A。 8．已知 ，，且 ，则 　　　　。 【答案】4 【详解】。 题型六　统计综合与统计决策 【方法与技巧】 综合题的通用顺序：读图表得频率与频数 算平均数（比较水平高低） 算方差（比较稳定性） 下结论。 用样本估计总体必须说明前提：样本是随机抽取的，且样本容量足够大。 决策类问题要落到数字上：水平用平均数衡量，稳定用方差衡量，相关性用 衡量，把握程度用 衡量。 【例题精讲】 1．从容量为 100 的样本中，某组的频数为 25，则用样本频率估计该组在总体中的比例约为（　　） A． B．25 C． D．100 【答案】A 【详解】样本频率为 ，用它估计总体比例即为 。选 A。 2．甲、乙两种水稻的亩产量平均数相同，甲的方差为 120、乙的方差为 200，从产量稳定性看应选用（　　） A．甲 B．乙 C．两种都一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】平均数相同时方差小的更稳定，故选方差为 120 的甲。选 A。 3．用样本的平均数估计总体的平均数时，样本容量越大，估计通常（　　） A．越可靠 B．越不可靠 C．与样本容量无关 D．一定等于真值 【答案】A 【详解】样本容量越大，样本的代表性越强，估计越可靠，但仍不一定等于真值。选 A。 【变式训练】 1．用样本估计总体时，样本必须（　　） A．是随机抽取的 B．容量大于 1000 C．按优劣顺序排列的 D．由专家指定的 【答案】A 【详解】只有随机抽取的样本才具有代表性，才能用来估计总体。选 A。 2．要比较两名射击运动员成绩的稳定性，除平均数外还应比较（　　） A．方差 B．众数 C．中位数 D．频数 【答案】A 【详解】方差刻画数据的波动大小，是比较稳定性的合适统计量。选 A。 3．某公司从 1000 件产品中随机抽取 100 件，发现 95 件合格，则合格率的估计值为（　　） A． B．95 C． D．100 【答案】A 【详解】样本合格率为 ，用它估计总体合格率。选 A。 4．下列说法中正确的是（　　） A．用样本的频率分布估计总体分布，样本容量越大越精确 B．样本平均数一定等于总体平均数 C．样本方差一定小于总体方差 D．抽样方式不影响估计效果 【答案】A 【详解】样本容量越大估计越精确；样本平均数一般不等于总体平均数；抽样方式直接影响估计效果。选 A。 5．在进行统计决策时，最关键的依据是（　　） A．数据的分析结果 B．个人经验 C．样本个数的奇偶 D．调查的先后顺序 【答案】A 【详解】统计决策强调用数据说话，以数据分析结果为主要依据。选 A。 6．甲组数据的平均数为 80、方差为 9，乙组数据的平均数为 85、方差为 4，若要求成绩高且稳定，宜选（　　） A．乙组 B．甲组 C．两组一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】乙组平均数更高（）且方差更小（），既高又稳定，故选乙组。选 A。 【巩固练习】 1．从 500 名学生中随机抽取 50 名，测得平均身高为 165 cm，则估计全校学生的平均身高约为（　） A．165 cm B．500 cm C．50 cm D．无法确定 【答案】A 【详解】用样本平均数 165 cm 估计总体平均数。选 A。 2．随机抽取 200 件产品，其中合格 190 件，则合格率的估计值为（　　） A． B． C．190 D．200 【答案】A 【详解】。选 A。 3．要比较两个班数学成绩的集中程度，最合适的统计量是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．频数 【答案】A 【详解】方差反映数据的集中（离散）程度。选 A。 4．用样本估计总体，下列说法正确的是（　　） A．估计结果存在误差 B．估计结果一定准确 C．样本可以随意选取 D．只需抽取 1 个个体 【答案】A 【详解】用样本估计总体属于统计推断，结果必然存在误差。选 A。 5．某射手 10 次射击环数的平均数为 、方差为 ，另一射手平均数也为 、方差为 ，则（　　） A．后者发挥更稳定 B．前者发挥更稳定 C．两人一样稳定 D．无法判断 【答案】A 【详解】平均数相同，方差 ，故后者更稳定。选 A。 6．统计学中，把“用样本的频率分布估计总体的分布”称为（　　） A．统计推断 B．确定性推理 C．函数拟合 D．相关分析 【答案】A 【详解】由部分推断整体属于统计推断。选 A。 7．某商场随机抽取 100 名顾客，其中 60 人对服务满意，据此估计满意率，估计合理的理由是（　　） A．样本是随机抽取的且容量较大 B．商场规模大 C．调查持续时间长 D．只调查了部分顾客 【答案】A 【详解】随机抽样保证了代表性，较大的样本容量保证了精度，故估计合理。选 A。 8．一组数据的平均数为 12、方差为 5，若每个数据都减去 3，则新数据的平均数为　　　　。 【答案】9 【详解】新平均数。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．分层抽样中，总体由 A、B 两层组成，两层个体数之比为 2:3，样本容量为 50，则 A 层应抽取（　　） A．20 个 B．30 个 C．25 个 D．10 个 【答案】A 【详解】A 层占 ，应抽 个。选 A。 2．频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为（　　） A．1 B．样本容量 C． D．组距 【答案】A 【详解】每个矩形面积是该组频率，各组频率之和为 1。选 A。 3．数据 1，2，3，4，5 的方差为（　　） A．2 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 4．一组数据的平均数为 6、方差为 3，若把每个数据都变为 ，则新数据的方差为（　　） A．12 B．6 C．3 D．7 【答案】A 【详解】新方差。选 A。 5．回归直线一定经过（　　） A．样本中心点 B．坐标原点 C．第一个样本点 D．最后一个样本点 【答案】A 【详解】由 可知回归直线必过样本中心点。选 A。 6．两个变量的样本相关系数 ，说明这两个变量（　　） A．正线性相关且很强 B．负线性相关且很强 C．几乎不相关 D．成函数关系 【答案】A 【详解】 接近 1 且为正，说明正线性相关很强。选 A。 7．独立性检验中， 的计算值越大，说明（　　） A．认为两个变量有关系的把握越大 B．两个变量一定无关 C．样本容量越小 D．计算一定有错 【答案】A 【详解】 越大，否定“两个变量无关”的理由越充分。选 A。 8．某组数据的频率为 ，样本容量为 150，则该组的频数为（　　） A．30 B．20 C． D．75 【答案】A 【详解】。选 A。 【多项选择题】 9．关于抽样方法，下列说法正确的有（　　） A．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等 B．分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成 C．系统抽样要先把总体分成均衡的若干部分 D．分层抽样中每个个体被抽到的机会一定不相等 【答案】ABC 【详解】A、B、C 分别是三种抽样方法的基本特征；D 错误，按比例分配的分层抽样中每个个体被抽到的机会也相等。故选 ABC。 10．关于平均数与方差，下列说法正确的有（　　） A．数据都加上同一个常数，方差不变 B．数据都乘以同一个非零常数 ，方差变为 倍 C．方差越小，数据越稳定 D．平均数一定是这组数据中的某一个数 【答案】ABC 【详解】A、B 是方差的线性变换性质，C 是方差的意义；D 错误，平均数不一定等于某个原始数据。故选 ABC。 11．关于回归分析与独立性检验，下列说法正确的有（　　） A．回归直线经过样本中心点 B． 越接近 1，线性相关性越强 C． 越大，认为两个变量有关系的把握越大 D．相关系数 可以大于 1 【答案】ABC 【详解】A、B、C 都正确；D 错误，。故选 ABC。 【填空题】 12．数据 5，7，9，11 的平均数为　　　　。 【答案】8 【详解】。 13．样本容量为 200，某组的频率为 ，则该组的频数为　　　　。 【答案】30 【详解】。 14．已知 ，，回归直线的斜率 ，则截距 　　　　。 【答案】4 【详解】。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $