28.2 相似三角形（3）-课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（3） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 相似三角形的判定 相似三角形预备定理 两角对应相等的两个三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 复习巩固 全等三角形的判定 相似三角形的定义 ASA、AAS、SAS、SSS 类比 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似 . 类比 相似三角形的传递性 2 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点. 求证：∠FDB=∠FEC . 例题 公共角∠A 相似三角形对应角相等 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 乘积式 比例式 等式性质 在△DBF中 在△ECF中 分析 ∽ 相似三角形判定 角 等量关系 证明 例题讲解 三角形内角和定理 3 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点. 求证：∠FDB=∠FEC . 例题 公共角∠A 在△DBF中 在△ECF中 分析 证明 是否还有其他方法？ 相似三角形判定 角 等量关系 证明 例题讲解 ， ， 三角形内角和定理 4 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点. 求证：∠FDB=∠FEC . 例题 公共角∠A 在△DBF中 在△ECF中 分析 相似三角形判定 角 等量关系 证明 三角形内角和定理 三角形外角性质 平角的定义 例题讲解 5 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点 . 求证：∠FDB=∠FEC . 例题 公共角∠A 点D在线段AB上（不与端点重合），点E在射线AC上 其余条件不变 ? 点E在线段AC上 点E和点C重合 点E在线段AC延长线上 例题讲解 条件不变，动点改变图形结构，相似结论不变. 6 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点 . 求证：∠FDB=∠FEC . 例题 公共角∠A 点D在线段AB上（不与端点重合），点E在射线AC上 其余条件不变 点E在线段AC上 点E和点C重合 点E在线段AC延长线上 F是直线BE与直线DC的交点，∠FDB与∠FEC相等的结论还成立吗？ 条件不变，动点改变图形结构，相似结论不变. 例题讲解 7 对顶角 ∠DFE=∠BFC 对顶角 ∠DFB=∠EFC 连接DE、BC，图中还有哪些相似三角形？ 例题 公共角∠A 公共角∠A 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点 . 求证：∠FDB=∠FEC . 一对相似三角形，可推出角相等、边成比例，进一步生成新的相似三角形 . 例题讲解 8 如图，已知：点D、E分别在线段AB和AC上，AD·AB=AE·AC，F是BE与CD的交点 . 求证：∠FDB=∠FEC . 对顶角 ∠DFE=∠BFC 对顶角 ∠DFB=∠EFC 连接DE、BC，图中还有哪些相似三角形？ 例题 公共角∠A 公共角∠A 如果BE⊥AC、CD⊥AB，图中还有哪些相似三角形？ 公共角 ∠DBF ∠BDF=∠BEA 例题讲解 9 如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. 求证： . . 例题讲解 例题 分析 ∽ CD是边AB上的高 相似三角形判定 边 比例关系 证明 无法得到 ∠DAC＝∠DCB ∠DAC+∠B＝∠DCB+∠B=90° ✓ 已知条件 已知条件得到条件 由一组对应角相等，找另一组对应角相等或夹这组角的两边对应成比例 基本思路 边 乘积式 10 如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. 求证： . . 例题讲解 例题 分析 ∽ CD是边AB上的高 无法得到 ∠DAC＝∠DCB ∠DAC+∠B＝∠DCB+∠B=90° ✓ 已知条件 已知条件得到条件 相似三角形判定 边 比例关系 证明 证明 ∴△ACD∽△CBD . 11 如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. 求证： . . 相似三角形 传递性 在这个图形中，你还能得到类似 这样的线段乘积关系式吗？ 例题讲解 例题 相似三角形判定 边 比例关系 证明 ∠A=∠A ∠ADC=∠ACB ∠B=∠B ∠BDC=∠BCA 观察这两个比例变形得到的等式，结合图形，你可以想到什么？ ? 12 如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. 求证： . 例题讲解 例题 ? 利用乘积结论证明勾股定理 利用勾股定理推导乘积结论 ? ✓ ✓ ✓ 13 如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高. 求证： . 例题讲解 例题 利用相似三角形判定推导乘积结论 利用勾股定理推导乘积结论 ∠DAC＝∠DCB 同一几何命题，可以选择不同知识工具来证明； 相似侧重于几何图形关系， 勾股定理侧重于代数运算推导. 证明 我们用了两种不同方法，请对比这两种证法， 说说它们在思路上有什么区别？ 14 证明 课堂小结 相似三角形的判定方法 相似三角形判定运用 问题解决 数学思想 相似三角形判定 角等量关系 证明 相似三角形判定 边比例关系 三角形内角和定理 三角形外角性质 平角的定义 乘积式 已知 结论 转化、特殊到一般、分类、图形分解与组合 15 结束语 一个专心的思考者，会从问题的解决过程中提炼能够迁移运用的方法，而不只是收获一个答案 . —— 波利亚 16 $