28.2 相似三角形（第6课时）课件 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 （第6课时）相似三角形的应用 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 新知讲授 在三角形里放入一个正方形 情境：正方形底边落在三角形底边上，上方两个顶点落在另外两边上。 问题：已知三角形的底和高，能算出正方形边长吗？ 线索：正方形的上边平行于三角形底边。 新知讲授 从正方形读出解题所需的信息 平行：，而在上，所以。 等长：设正方形边长为，则。 高度：上方小三角形的高是整条高减去正方形边长。 例题讲解 例 8 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上。已知的边长为 cm，高为 cm。求正方形的边长。 答：。 正方形给出。 因此两个三角形的对应角相等。 由两角相等得到。 方法：先把正方形边转成平行线条件。 注意：小三角形的底为DG，不是EF。 例题讲解 例 8 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上。已知的边长为 cm，高为 cm。求正方形的边长。 答： cm。 设边长为 cm，与交于。 正方形两平行边间距为，故。 因此。 方法：沿同一条高写整体等于两部分之和。 注意：AP与AH才是一组对应高。 例题讲解 例 8 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上。已知的边长为 cm，高为 cm。求正方形的边长。 答：正方形的边长为 cm。 对应高与底成同比：。 得，所以。 因此正方形边长为 cm。 方法：高比与底边比都按小比大书写。 注意：不能把PH与AH误当成对应高之比。 例题讲解 例 8 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上。已知的边长为 cm，高为 cm。求正方形的边长。 答： cm，两组比均为。 代入，得。 。 ，符合。 方法：回代时同时核对长度差与相似比例。 注意：正方形边长应小于三角形的底和高。 新知讲授 把这一模型写成一般关系 设量：三角形底为、高为，内接正方形边长为。 列式：。 整理：，所以。 使用：先识别同样的放置方式，再由比例列方程。 例题讲解 模型练习 改变三角形的尺寸 正方形的在上，分别在上。 若 cm， cm，求正方形边长。 答：正方形边长为 cm。 设边长，则小三角形高为。 。 解得。 方法：先写剩余高，再写对应的底边比。 注意：分母20和30分别对应整高和整底。 新知讲授 为什么比例中的高必须是h-x 正确的对应 。 小底对应大底。 小高对应大高。 常见的错配 把正方形的高当成小三角形的高。 写成。 PH不从小三角形顶点A出发。 找对应高时，先确认它属于哪一个三角形。 例题讲解 例 9 如图，已知：在中，平分。求证：。 答：过点作，交的延长线于点。 过作，与延长线交于。 这样可把放进一对相似三角形。 方法：目标有BP与PC，尝试在AP两侧构造相似。 注意：E在AP经过P后的延长线上。 例题讲解 例 9 如图，已知：在中，平分。求证：。 答：。 过作，交延长线于。 由平行和对顶角，。 所以。 方法：按B↔C、P↔P、E↔A写对应。 注意：BE尚不是AB，还需继续用角平分线。 例题讲解 例 9 如图，已知：在中，平分。求证：。 答：。 作，交延长线于。 平行给出。 角平分线给出，故。 方法：把两个半角分别转移到同一个三角形内。 注意：等角所对的边是AB与BE。 例题讲解 例 9 如图，已知：在中，平分。求证：。 答：。 作，交延长线于。 由相似得，又。 代换即得。 方法：相似负责比例，等腰负责把辅助边换回已知边。 注意：结尾不应保留辅助线段BE。 新知讲授 从例9提炼可用的关系 条件：在中，在上，平分。 结论：。 对应：靠近的分段对应，另一段对应。 限制：角平分线通常不平分对边；相邻两边相等时才平分。 例题讲解 比例应用 把整条底边分成两段 在中，平分，，，。求。 答：，。 。 整条底边共份，每份为。 故，。 方法：先求两段的比，再用总长求每一份。 注意：不是把BC平均分成两段。 例题讲解 反向应用 由底边分段求邻边 在中，平分，，，。求。 答：，。 。 两边长共份，每份为。 所以，。 方法：由分段比反向得到邻边比。 注意：解出两边后也应符合三角形三边关系。 例题讲解 辨析 辨析 角平分线一定是中线吗 在中，平分，，，。小明说，对吗？ 答：不对，，。 。 由于两邻边不等，两段也不等。 用总长求得。 方法：通过分段比例检验是否为中线。 注意：角的平分不等于边长的平分。 课堂练习 练习1 如图，已知：在四边形中，对角线交于点，。求证：。 答：。 已知。 又为对顶角。 故。 方法：先选用含已知等角和对顶角的两三角形。 注意：对角线交点O帮助连接两组相似。 课堂练习 练习1 如图，已知：在四边形中，对角线交于点，。求证：。 答：。 前页得。 整理为。 又，由两边及夹角得相似。 方法：为第二对三角形重新整理比例。 注意：不能把比例中分子分母任意换位。 课堂练习 练习1 如图，已知：在四边形中，对角线交于点，。求证：。 答：。 由，得。 共线，共线。 所以。 方法：相似先得到小角，再用共线恢复原角名称。 注意：角ADO的顶点仍然是D。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，点在边上，。求证：。 答：。 由，得。 。 是外角，等于同样的和。 方法：把夹在两条线之间的已知角写成角的和。 注意：使用图中B、E、F、C的先后顺序。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，点在边上，。求证：。 答：。 ，都是等腰三角形底角。 前页已得。 所以。 方法：逐一列出对应顶点，防止同一字母位置误导。 注意：这里B对应C，A对应E，F对应A。 课堂练习 练习2 如图，已知：在中，，点在边上，。求证：。 答：。 由，得。 交叉相乘，。 再用，得。 方法：乘积目标可先改写成对应边比例。 注意：平方来自AB=AC，不能提前忽略这一步。 课堂练习 变式 练习2 如图，已知：在中，，点在边上，。求证：。若，，，求。 答：。 。 由已证结论，。 所以。 方法：先用整边减去一段，得到乘积中的另一段。 注意：BF的结果应大于BE且小于BC。 新知讲授 两类证明中，相似怎样接力 交叉图形 已知等角与对顶角 → 第一对相似。 比例换位 将所得比例整理 → 第二对相似 → 目标角。 等腰图形 等腰底角与外角和 → 相似 → 线段乘积。 共同思路 先让目标线段或目标角出现在一对对应三角形中。 课堂总结 相似三角形 的应用 内接正方形 平行提供相似 小高＝整高－边长 角平分线 作平行线构造相似 等腰关系消去辅助边 复杂证明 先找等角或比例 必要时连续证明两对相似 实际问题 明确长度与位置条件 列比例、解方程、验结果 特别提醒：计算前先写对应关系；辅助线须说明作法与交点。 针对训练 训练1 选择 内接正方形边长 如图，三角形底为、高为，内接正方形边长为（　）。 A. B. C. D. 答：B。 设边长，则。 解得。 方法：用剩余高对应正方形上边。 注意：不能直接取底与高的平均值。 针对训练 训练2 填空 角平分线分段 在中，平分，，，。则____，____。 答：，。 由角平分线关系得。 每份为，两段分别为。 方法：两邻边的比决定对边分段的比。 注意：BP应对应邻边AB。 针对训练 训练3 判断并说明理由 （1）内接正方形边长为，整高为，则上方小三角形高为。 √ 正方形占去高度，剩余高度为。 （2）角平分线一定将对边分成相等两段。 × 邻边相等时才分成相等两段。 （3）若平分，则。 √ 这是本课例9已经证明的关系。 （4）相似计算得正方形边长大于整高时，也可直接使用。 × 边长应小于整高，需要检查方程和对应。 方法：从几何位置与已证关系分别检验。 注意：代数解还应满足正长度和实际位置。 方法总结 两个基本模型怎样列式 方法1　正方形模型 ① 从正方形的平行边确认相似。 ② 把小三角形的高写成整高减边长。 方法2　角平分线模型 ① 先把邻边比对应到对边两段之比。 ② 再用两段之和等于整边列方程。 针对训练 训练4 计算 边长与面积 正方形的在上，分别在上。，高。求正方形边长和面积。 答：边长为；面积为。 设边长，。 解得。 正方形面积为。 方法：先求边长，再用正方形面积公式。 注意：这里面积为正方形面积，不是小三角形面积。 针对训练 训练5 计算 比例与总长 在中，平分，，，。求及。 答：，；。 ，整边共5份。 每份为4，故两段为8、12。 所以。 方法：区分两段之比与一段对整体之比。 注意：BP∶PC与BP∶BC的后项不同。 针对训练 训练6 证明 从邻边关系推出分段关系 在中，平分，。证明；若，求。 答：；。 由角平分线关系，。 故，由得。 。 方法：把倍数关系写成比例，再转回长度等式。 注意：BC是两段相加，不是只取长的一段。 方法总结 求解后再判断结果含义 方法1　区分线段与区域 ① 求边长先使用比例方程。 ② 求面积再使用相应图形的面积公式。 方法2　区分分段比与整体比 ① 两段之比为，整边为份。 ② 一段与整边之比要使用全部份数。 针对训练 训练7 逆向计算 已知正方形求整高 如图，正方形内接于三角形，边长为，三角形底为。求三角形对应的高。 答：三角形的高为。 设高为，则。 得。 所以。 方法：整高未知时，同样用整高减边长表示小高。 注意：解得的整高必须大于12。 针对训练 训练8 证明 中位线上的分段比 在中，平分，分别是的中点，与交于。证明。 答：。 ，故也平分。 在中，。 由中点知。 方法：把已证的角平分线关系用到新的小三角形。 注意：使用前确认Q确实在小三角形的对边上。 针对训练 训练9 综合 正方形上方的面积 正方形按图内接于，，。求上方与整个的面积比，并求。 答：面积比；。 正方形边长为，相似比为。 面积比为，整体面积为。 。 方法：先求正方形边长，才能得到顶部三角形的相似比。 注意：顶部三角形面积不是正方形面积。 方法总结 逆向问题与复合图形 方法1　未知量改变，关系不变 ① 已知边长求整高，仍从同一相似比例出发。 ② 列式前明确谁是整量、谁是剩余量。 方法2　选择合适的小三角形 ① 角平分线关系可在小三角形中继续使用。 ② 计算面积比时把相似比平方。 针对训练 训练10 综合 等腰图形的乘积 在中，，。在上且依次为，，。求。 答：。 由课堂练习结论，。 由，得。 。 方法：先把等长条件转化到乘积中的两个因子。 注意：相加时，被计算了两次。 针对训练 训练11 应用 三角形展示板裁方板 一块三角形展示板底边长 cm，对应高为 cm。要按图裁出一个正方形，使一边在底边上，另两个顶点分别落在另外两边上。求正方形边长及其面积。 答：边长 cm；面积 cm²。 设边长，。 解得。 面积为 cm²。 方法：把实物的边界对应到内接正方形模型。 注意：本题放置方向由题目指定，不能任意旋转。 针对训练 训练12 应用 花园分区与面积 三角形花园中， m， m， m。小路平分并交于。求；若花园面积为 m²，求的面积。 答： m， m； m²。 ，两段为 m、 m。 两分区同高，面积比为。 m²。 方法：角平分线定底比，同高定面积比。 注意：这两块未必相似，面积比不平方。 方法总结 应用题中区分不同的面积依据 方法1　内接正方形的面积 ① 用三角形相似求正方形边长。 ② 再将正方形边长平方求面积。 方法2　同高三角形的面积 ① 同高时面积比直接等于底边比。 ② 只有已确认相似时，才能使用相似比平方。 $