28.2相似三角形（2）课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（2） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 课堂引入 全等三角形 定义 性质 判定 相似三角形 类比 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似. A B C A1 B1 C1 △ABC和△A1B1C1相似，记作△ABC∽△A1B1C1. 性质 三角形相似的传递性：如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 判定 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似. 2 课堂引入 SAS SSS ASA AAS 全等三角形 定义 性质 判定 两角对应相等的两个三角形相似. 两边对应成比例的两个三角形相似. 相似三角形 定义 性质 判定 类比 3 课堂引入 SAS SSS ASA AAS 三边对应成比例的两个三角形相似. 全等三角形 定义 性质 判定 两角对应相等的两个三角形相似. 两边对应成比例且一角对应相等的两个三角形相似. 相似三角形 定义 性质 判定 类比 ★两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. ★两边对应成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似. 4 ①相似三角形的定义； ②三角形相似的传递性； ③相似三角形的预备定理； ④两角对应相等的两个三角形相似. 新知讲授 A B C A1 B1 C1 图1 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 猜想2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 5 新知讲授 猜想1 两边对应成比例的两个三角形相似. A B C A1 B1 C1 能够举出反例，它一定是假命题. △ABC和△A1B1C1显然不相似. 6 新知讲授 未知 化归 已知 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. A B C A1 B1 C1 图1 猜想2 构造相似 证明全等 7 A B C A1 B1 C1 D 新知讲授 分析 在AB上截取AD = A1B1，并过点 D 作DE∥BC，DE交AC于点 E. E 图1 方法1： DE∥BC △ADE ∽△ABC ∠A =∠A1 △ADE ≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1 AD =A1B1 AE =A1C1 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 8 新知讲授 证明 在AB上截取AD = A1B1，并过点 D 作DE∥BC，DE交AC于点 E. ∴ . ∴△ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1. ∴△ADE ∽ △ABC. ∵DE∥BC， ∴AE = A1C1. ∵∠A =∠A1，AD = A1B1， ∵ ，AD = A1B1， A B C A1 B1 C1 D E 图1 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 9 新知讲授 还有不同的证明方法吗？ A B C A1 B1 C1 D E 图1 构造相似 证明全等 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 10 新知讲授 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理 符号语言：如图1，在△ABC与△A1B1C1中， ∴△ABC∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 图1 ∵ 11 A B C A1 B1 C1 新知讲授 在AB上截取AD = A1B1，作∠ADE=∠B，交AC于点 E. E 图1 D ∠ADE=∠B △ADE ∽△ABC AE =A1C1 ∠A =∠A1 △ADE ≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1 ∠A =∠A AD =A1B1 分析 方法2： 如图1，已知：在△ABC和△A1B1C1中，∠A =∠A1， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 12 新知讲授 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理 符号语言：如图1，在△ABC与△A1B1C1中， ∴△ABC∽△A1B1C1. ∵ A B C A1 B1 C1 图1 13 A B C D O 例题讲解 如图2，已知：四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，OA = 1， OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2 . 求证：△OAD 与 △OBC 是相似三角形. ①相似三角形的定义； ②三角形相似的传递性； ③相似三角形的预备定理； ④两角对应相等的两个三角形相似； ⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 分析 例1 图2 1 2 1.5 3 14 新知讲授 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理 符号语言：如图1，在△ABC与△A1B1C1中， ∴△ABC∽△A1B1C1. ∵ A B C A1 B1 C1 图1 15 A B C D O 例题讲解 如图2，已知：四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，OA = 1， OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2 . 求证：△OAD 与 △OBC 是相似三角形. 分析 ∠AOD =∠BOC △OAD∽△OBC 例1 图2 1 2 1.5 3 较短边 较长边 16 例题讲解 如图2，已知：四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，OA = 1， OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2 . 求证：△OAD 与 △OBC 是相似三角形. 证明 ∵OA = 1，OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2， ∴ ， . 由此得 . 在△OAD 与 △OBC中， ∴△OAD∽△OBC. 例1 A B C D O 图2 17 例题讲解 如图2，已知：四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，OA = 1， OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2 . 求证：△OAD 与 △OBC 是相似三角形. 例1 A B C D O 你能求出 的值吗？ 图中还有其他的相似三角形吗？ 证明 ∵OA = 1，OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2， ∴ ， . 由此得 . 在△OAD 与 △OBC中， ∴△OAD∽△OBC. 图2 18 如图2，已知：四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，OA = 1， OB = 1.5 ，OC = 3，OD = 2 . 求证：△OAD 与 △OBC 是相似三角形. 例题讲解 例1 A B C D O E 图2 ∠AOB =∠DOC △AOB∽△DOC 分析 如果延长CB、DA交于一点E，还存在其他的相似三角形吗？ 19 新知讲授 A B C A1 B1 C1 在运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似时，要注意角与边之间的位置特征. D 猜想3 两边对应成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似. 假命题 20 新知讲授 如图3，已知：在△ABC和△A1B1C1中， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. DE∥BC △ADE ∽△ABC △ABC∽△A1B1C1 分析 在AB上截取AD = A1B1，并过点 D 作DE∥BC，DE交AC于点 E. A B C A1 B1 C1 E 图3 D 三边对应成比例的两个三角形相似. 猜想4 DE =B1C1 AE =A1C1 AD =A1B1 △ADE ≌△A1B1C1 21 新知讲授 证明 在AB上截取AD = A1B1，并过点 D 作DE∥BC，DE交AC于点 E. ∴ . ∴△ADE≌△A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1. ∴△ADE ∽ △ABC. ∵DE∥BC， ∴DE = B1C1，AE = A1C1. ∵ ， AD = A1B1， A B C A1 B1 C1 D E 图3 如图3，已知：在△ABC和△A1B1C1中， . 求证：△ABC ∽ △A1B1C1. 22 新知讲授 三边对应成比例的两个三角形相似. 定理 符号语言：如图3，在△ABC与△A1B1C1中， ∴△ABC∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 图3 ∵ ， 23 例题讲解 A B C D F E 证明 ∵D、E分别是△ABC的边BC、CA的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴ ，即 . 同理可得 在△DEF与△ABC中， ∵ ， ∴△DEF∽△ABC. 还有其他的证明方法吗？ 如图4，已知：D、E、F 分别是 △ABC 的边 BC、CA、AB 的中点. 求证：△DEF∽△ABC. 例2 图4 24 例题讲解 如图4，已知：D、E、F 分别是 △ABC 的边 BC、CA、AB 的中点. 求证：△DEF∽△ABC. A B C D F E 分析 D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 DE、EF、FD是△ABC的中位线 △DEF∽△ABC 例2 图4 25 例题讲解 A B C D F E 如图4，已知：D、E、F 分别是 △ABC 的边 BC、CA、AB 的中点. 求证：△DEF∽△ABC. 分析 D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 DE、EF、FD是△ABC的中位线 DE∥AB △DEF∽△ABC EF∥BC FD∥CA 四边形DEFB、CDFE是平行四边形 ∠B=∠DEF ∠C=∠DFE 例2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.. 图4 两角对应相等的两个三角形相似. 26 例题讲解 如图4，已知：D、E、F 分别是 △ABC 的边 BC、CA、AB 的中点. 求证：△DEF∽△ABC. A B C D F E 三角形的三条中位线将三角形分成的几个三角形之间是什么关系？ 这几个三角形与原三角形之间有什么关系？ 例2 图4 △DEF、△AFE、△FBD、△EDC全等. △DEF、△AFE、△FBD、△EDC和△ABC相似. 这几个三角形与原三角形的周长、面积之间是否也存在一定的关系呢？ 27 课堂小结 相似三角形的判定定理 相似三角形判定的注意事项 1.注意边、角的对应关系； 2.在运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似时，要注意角与边之间的位置特征； 3.运用相似三角形可以判断边角关系. 数学思想 类比 化归 课堂小结 从一般 到特殊 直角三角形 判定 全等三角形 ASA AAS SAS SSS HL 相似三角形 判定 1.两角对应相等的两个三角形相似. 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似. 一般的三角形 判定定理 三角形相似的传递性 相似三角形的预备定理 相似三角形的定义 ... 特殊情况 一般化 结束语 今天我们不仅收获了两个新的相似三角形的判定定理，更重要的是经历了一场“猜想—验证—归纳—应用”的完整探究之旅，在类比中发现和提出问题，在转化中分析和解决问题。希望你们带着这份探究的勇气和智慧，继续走进相似三角形知识领域的深处。 30 null 6912.0 null 37668.598 $