28.2 相似三角形（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 （第1课时）相似三角形与两角判定 年 级：九年级上册 学 科：数学（沪教版） 情境引入 照片放大以后，什么保持不变？ 同一三角形图案等比例放大，三个角和三条边分别怎样变化？ 答：角的大小不变，各边按同一倍数变化。 放大改变长度，不改变角的大小。 本课用角相等、边成比例描述形状。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 相似三角形的定义 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似。 抓住条件 三个角与三条边都要按对应关系核对。 新知讲授 符号与对应顺序 记法：，符号“∽”读作“相似于”。 对应顶点：，，。 对应边：，，。 例题讲解 从中位线得到相似 在中，分别是的中点。说明与相似。 答：。 中位线给出，三个角对应相等。 。 根据定义，两三角形相似。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 相似比 定义：两个相似三角形的对应边的比值叫作这两个相似三角形的相似比。 表示：与的相似比为。 注意：相似比有先后顺序，交换顺序后取倒数。 例题讲解 同一对三角形，两种相似比 已知，，。分别求前者与后者、后者与前者的相似比。 答：；。 前者与后者：。 交换顺序：。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 交换顺序后的相似比 关系 设与的相似比为，则与的相似比为。 注意 先写“谁与谁”的顺序，再选择对应边的比。 新知讲授 相似与全等 特殊情况 当两个相似三角形的相似比等于时，这两个相似三角形就成为全等三角形。 反过来 反过来，两个全等三角形一定是相似比等于的相似三角形。 结论 显然，全等三角形是相似三角形的特殊情形。 新知讲授 相似的传递性 性质 如果两个三角形都与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。 推理 对应角分别等于同一个角；对应边比可通过第三个三角形转化。 顺序 传递对应关系时仍要核对顶点顺序。 新知讲授 传递相似比 已知与的相似比为，与的相似比为。求与的相似比。 答：。 解 取对应边。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 相似三角形的预备定理 定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 适用范围 “两边所在的直线”包括边及其延长线。 例题讲解 预备定理证明：补出第三组边比 已知分别在的边上，。求证：。 答：先得到。 过作，交于。 四边形为平行四边形。 所以。 方法：作一条平行线，把内侧线段移到底边。 注意：辅助线出现后，再使用平行四边形性质。 例题讲解 预备定理证明：由定义收束 已知分别在的边上，。求证：。 答：。 平行线分线段成比例给出。 用替换；三个角对应相等。 由相似定义，得到结论。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 平行截线的直接应用 在中，，，，，。求。 答：。 。 ，得。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 截在延长线上仍能使用 如图，共线，共线，。写出两相似三角形的对应顺序。 答：。 ，为对顶角。 平行线还给出另一组对应角相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 新知讲授 两角判定 定理 两角对应相等的两个三角形相似。 使用 找出两组对应相等的角，即可判定。 说明 由三角形内角和，第三组角也对应相等。 例题讲解 两角判定证明：构造全等 在与中，，。求证：。 答：构造。 不妨设；取，作。 。 结合，由ASA得全等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 两角判定证明：连接相似 在与中，，。求证：。 答：。 由预备定理，。 由全等，。 利用传递性；等长情形可直接用ASA。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 示例：已知两角 中；中。判断是否相似并写出顺序。 答：。 。 ，。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 变式 示例变式：一组角不够 两个三角形都有一个角，能否判定相似？请举一组角度反例。 答：不能；可取与。 反例中都有角。 另外两角无法对应相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 公共角模型：对应关系会交换 ，且。写出相似三角形的顺序，并写含的比例。 答：；。 。 ，，不要按位置配对。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 例题讲解 辨析 辨析：相似顺序与判定 （1）全等三角形一定相似。 √ 三个角相等，三个对应边比均为1。 （2）只有一组对应角相等就能判定相似。 × 还需要另一组角相等。 （3）两个直角三角形一定相似。 × 锐角大小可能不同。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 课堂练习 练习1 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点。图中有哪几对相似三角形？ 答：。 ，共线。 ，为公共角。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习1 如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点。图中有哪几对相似三角形？ 答：另有，。 ，。 利用平行线和对顶角判定。 三角形共三个，组成三对。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂练习 练习2 如图，已知：分别是的边上的点，且。求证：。 答：。 公共，故。 。 交叉相乘，得到所证等式。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂活动 活动：把乘积还原为比例 已知，各线段均非零。写出与和对应顺序一致的比例。 答：。 与对应。 与对应；分子同属小三角形。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 课堂总结 相似三角形 两角判定 定义与记法 角对应相等，边对应成比例 顶点顺序表示对应关系 相似比 对应边之比 交换次序取倒数 预备定理 平行截得三角形相似 边所在直线也含延长线 两角判定 两组角对应相等 公共角、对顶角、平行线 特别提醒：先判定相似，再按对应顺序列比例。 针对训练 训练1 选择：对应边 已知，与对应的边是（　）。 A. EF B. ED C. FD D. 无法确定 答：B。 解 ，。 因此。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练2 判断与纠错 （1）相似比为1的相似三角形全等。 √ 三个对应边都相等。 （2）所有等边三角形互相相似。 √ 各角都是60°。 （3）所有等腰三角形互相相似。 × 顶角可能不同。 方法：逐条核对判定所需的全部条件。 注意：不能由图形外观代替已知条件。 针对训练 训练3 填空：求角并配对 的角为；中。写出相似顺序。 答：。 。 按相等角配对：。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 对应关系的两种定位法 方法1　按角定位 ① 先写相等角的顶点。 ② 沿相同顺序读出三角形。 方法2　按符号定位 ① 逐位对应两个三角形的字母。 ② 线段两端点同时替换。 针对训练 训练4 计算：边长与相似比 ，。求。 答：。 相似比。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练5 计算：整段与部分 ，，。求。 答：。 先求。 。 方法：先把整条对应边补齐。 注意：不能把AD:DB当成相似比。 针对训练 训练6 证明：公共角的交换 ，。证明。 答：。 公共角给出。 ，交叉相乘。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 列比例前的两项检查 方法1　补足整段 ① 找出对应的是整边还是一部分。 ② 用线段和或差补出整边。 方法2　检查角的对应 ① 公共顶点不代表另外两点按位置对应。 ② 由第二组等角确定顺序。 针对训练 训练7 选择：还缺哪个角 。要由两角判定得到，下列哪个条件可直接使用？ A. ∠B=∠E B. AB=DE C. AC=DF D. ∠B=∠F 答：A。 解 顺序规定。 补充即可。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练8 推理：互余得到相等 两个直角三角形中，一个锐角为，另一个三角形的某锐角为。证明两三角形相似。 答：两三角形相似。 第二个三角形的另一锐角为。 有一组直角和一组锐角对应相等。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练9 逆向求数 ，，。求。 答：。 ，得。 。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 方法总结 角与长度的转化 方法1　互余找等角 ① 直角三角形两锐角互余。 ② 同角的余角相等可补足AA。 方法2　从比例求局部 ① 先用对应边求出整边。 ② 再按题意求差或求和。 针对训练 训练10 开放题：设计两组角 写出一组与三内角为的三角形相似的三角形角度条件，只给两个角。 答：例如两个角分别为。 第三个角自动为。 任意选取其中两种角度都可。 方法：先找对应顶点，再写比例式。 注意：每个等号都要有已知条件或定理作依据。 针对训练 训练11 应用：同一时刻的影长 同一水平地面上，阳光方向相同。一根米直杆的影长为米，一棵树的影长为米。树高多少米？ 答：米。 垂直地面得到直角，太阳光形成的锐角相等。 ，得。 方法：用两个直角和相同光线方向判定相似。 注意：须在同一时刻且地面水平。 针对训练 训练12 应用：模型三角支架 设计图中的三角支架与实物相似。图上两条对应边长为厘米、厘米，实物中前一条边为米。求后一条实物边长。 答：米。 图上两边比为。 实物边长米。 方法：图与实物相似，利用同组对应边的比。 注意：若直接计算相似比，先统一长度单位。 方法总结 把实际情境转为相似 方法1　建立三角形 ① 找垂直关系及相等的锐角。 ② 先说明两角为何对应相等。 方法2　保留数量意义 ① 明确哪个长度对应哪个实物。 ② 单位统一后列比例并作答。 $