第28章-第2节-相似三角形（6）-课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（6） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 问题引入 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 2 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， = DE BC AD AB = AE AC DE∥BC △ADE∽△ABC 问题引入 = C△ABC DE BC C△ADE 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形对应边 成比例 你能得到哪些结论？ 3 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， = DE BC AD AB = AE AC DE∥BC △ADE∽△ABC 问题引入 =( )2 S△ABC DE BC S△ADE 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形对应边 成比例 你能得到哪些结论？ ...... 4 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， DE∥BC = DE BC AD AB = AE AC P 相似三角形对应边 成比例 △ADP∽△ABH △ADE∽△ABC 问题引入 问题1 H 如果AH 为边BC上的高，你能得到哪些结论？ 5 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高，你能得到哪些结论？ H P △ADP∽△ABH 相似三角形对应边 成比例 △AEP∽△ACH ...... 问题引入 DE∥BC = DE BC AD AB = AE AC △ADE∽△ABC 问题1 6 相似三角形对应边 成比例 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高，你能得到哪些结论？ DE∥BC = DE BC AD AB = AE AC H P AP 为边DE上的高 = AP AH DE BC △ADE∽△ABC 问题引入 相似三角形对应高的比等于相似比. 问题1 AH 为边BC上的高 7 相似三角形对应边 成比例 B C A D E 例3 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高，你能得到哪些结论？ = DE BC AD AB = AE AC H P 问题引入 相似三角形对应高的比等于相似比. 问题1 DE∥BC AP 为边DE上的高 = AP AH DE BC △ADE∽△ABC AH 为边BC上的高 8 DE∥BC AP 为边DE上的高 = AP AH DE BC △ADE∽△ABC AH 为边BC上的高 B C A D E H P 例3 如图，在△ABC 中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高， 你能得到哪些结论？ 的中线， 问题引入 AH 为边BC的中线 AP为边DE的中线 问题2 相似三角形对应中线 的比等于相似比. 9 DE∥BC AP 为边DE上的高 = AP AH DE BC △ADE∽△ABC AH 为边BC上的高 B C A D E 例3 H P 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高， 你能得到哪些结论？ ∠BAC的平分线， H P 问题引入 AP 为边DE上的高 AH 为∠BAC的平分线 AP 为∠DAE的平分线 问题3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 10 B C A E D G F H 60 40 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 例题讲解 11 B C A E D 9 6 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上，DE∥BC， DE=6，BC=9，△ADE 的面积为16，求△ABC 的面积． 例7 复习回顾 DE∥BC △ADE∽△ABC =( )2 S△ABC DE BC S△ADE 相似三角形面积的比等于相似比的平方. =( )2 S△ABC 6 9 16 S△ABC=36 12 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称两个三角形 相似. 定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比 都等于相似比. 定理 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 复习回顾 13 B C A E D 9 6 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上，DE∥BC， DE=6，BC=9，△ADE 的面积为16，求△ABC 的面积． 问题引入 G F 问题4 矩形DEFG 的边FG在△ABC 的边BC上，那么 矩形DEFG 的面积是多少？ 14 B C A E D G F H 60 40 GF DE △BDE △FGC EF DG △ADG 分析 例题讲解 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 15 B C A E D G F H 60 40 DG∥BC 正方形DEFG 分析 例题讲解 △ADG∽△ABC GF DE △BDE △FGC EF DG △ADG 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 16 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 B C A E D G F H 60 40 DG∥BC 正方形DEFG DG P 分析 例题讲解 △ADG∽△ABC △ABC的高 AH AP △ADG的高 17 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 B C A E D G F H 60 40 DG∥BC 正方形DEFG DG P 分析 例题讲解 △ADG∽△ABC 40 60 18 = AP AH DG DE △ABC的高 △ADG的高 B C A E D G F H 60 40 DG∥BC 正方形DEFG x 40-x 设DG=x x x 40-x P DG x 分析 例题讲解 方程 40 60 △ADG∽△ABC 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 19 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式1 B C A E D G F H a h P a h 请用a、h表示 正方形DEFG的边长 . 分析 例题讲解 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG DG △ADG∽△ABC 20 ∴DG∥BC 解 ∵四边形DEFG为正方形 ∴△ADG∽△ABC BC = AP AH DG ∴ ∵AH⊥BC ,DG∥BC ∴AP⊥DG ∵PH⊥BC GF⊥BC ∴PH=GF，AP=AH-PH=AH-GF 由 BC=60cm， AH=40 cm， 解得x=24 设△ABC的高AH与DG相交于点P， 正方形DEFG的边长为xcm GF=DG=xcm B C A E D G F H 60 40 x x 40-x P x BC = AH-GF AH DG ∴ 60 = 40-x 40 x 得 所以，正方形 DEFG的边长 是24cm. 解 相似三角形对应高的比等于相似比. 例题讲解 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 例8 21 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG DG △ADG∽△ABC B C A E D G F H x x h-x P x a h-x h 设DG=x = a h ah a+h x 分析 例题讲解 特殊 一般 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式1 a h 请用a、h表示 正方形DEFG的边长 . 22 B C A E D G F H 60 40 x x 40-x P 如图，正方形DEFG 的边EF在直线BC上，顶点D、G 分别在边AB、AC上， 改变△ABC的形状，但保持△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，正方形DEFG的边长会变化吗？为什么？ 思考1 猜测： 不变化， 例题讲解 23 B C A E D G F H 60 40 x x 40-x P 猜测： 不变化， 如图，正方形DEFG 的边EF在直线BC上，顶点D、G 分别在边AB、AC上， 改变△ABC的形状，但保持△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，正方形DEFG的边长会变化吗？为什么？ 正方形的边长为24cm 例题讲解 思考1 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG △ADG∽△ABC DG 24 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG 设DG=x △ADG∽△ABC B C A E D G F H 60 40 x x 40-x P 猜测： 不变化， 如图，正方形DEFG 的边EF在直线BC上，顶点D、G 分别在边AB、AC上， 改变△ABC的形状，但保持△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，正方形DEFG的边长会变化吗？为什么？ x 60 40-x 40 正方形的边长为24cm. 思考1 DG =24 x 例题讲解 25 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式2 B C A E D G F H P 60 40 矩形 求DG的长． 如果DE=2DG， E D G F 例题讲解 26 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG DG △ADG∽△ABC =15 设DG=x,则DE=2x x 60 40-2x 40 B C A E D G F H P 60 40 x x 2x 40-2x 分析 例题讲解 矩 形 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式2 矩形 求DG的长． 如果DE=2DG， 变 不变 27 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 思考2 如果DE=2DG， B C A E D G F H P 60 40 x 2x 40-2x 矩形 例题讲解 求DG的长． 矩形DEFG的面积是否随DG 的变化而变化？ 当DG变化时， 28 例题讲解 矩形DEFG的面积随着DG的变化而变化. 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 思考2 如果DE=2DG， 矩形 求DG的长． 矩形DEFG的面积是否随DG 的变化而变化？ 当DG变化时， 29 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式3 B C A E D G F H P 60 40 x 分析 例题讲解 求DG的长． 如果DE=2DG， 当DG变化时， 矩形DEFG的面积是否随DG 的变化而变化？ 设DG=x， 矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 矩形 30 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式3 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG △ADG∽△ABC 矩 形 DG=x x 60 40 B C A E D G F H P 60 40 x 分析 AP= x 2 3 S矩形DEFG=DG×DE y= 40- x 2 3 DE=40- x 2 3 (40- x) 2 3 2 3 x x 例题讲解 求DG的长． 如果DE=2DG， 当DG变化时， 矩形DEFG的面积是否随DG 的变化而变化？ 设DG=x， 矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 矩形 31 = AP AH DG DE △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG △ADG∽△ABC DG=x B C A E D G F H P 60 40 x 分析 AP= x 2 3 40- x y= x 2 3 DE=40- x 2 3 (40- x) 2 3 y= x (40- x) 2 3 变式2 S矩形DEFG=DG×DE 例题讲解 = 40x- x2 2 3 0<40- x<40 2 3 0<x<60 0<x<60 最大值 矩 形 x 60 40 2 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式3 求DG的长． 矩形DEFG的面积是否随DG 的变化而变化？ 2 3 x 如果DE=2DG， 当DG变化时， 设DG=x， 矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． 矩形 3 32 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式4 BA、 CA的延长线 B C A E D G F H D G F E 60 40 例题讲解 求DG的长． 如果DE=2DG， 矩形 33 B C A H 60 40 变式3 例题讲解 P 添加辅助线 DG∥BC 正方形DEFG △ADG∽△ABC 矩 形 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式4 BA、 D G F E 求DG的长． 如果DE=2DG， CA的延长线 矩形 34 B C A H 60 40 变式3 例题讲解 P 添加辅助线 = AP AH DG BC △ABC的高 △ADG的高 DG∥BC 正方形DEFG △ADG∽△ABC 矩 形 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式4 BA、 D G F E 求DG的长． 如果DE=2DG， DG=x,DE=2x CA的延长线 矩形 35 变式3 如图，正方形DEFG 的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G 分别在边 AB、AC上，已知△ABC 的边BC长60cm，高AH 为40cm，求正方形DEFG的边长． 变式5 BA、 B C A H D G F E 60 40 例题讲解 设DG=x， 矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． CA的延长线 矩形 36 B C A E D 9 6 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上，DE∥BC， DE=6，BC=9，△ADE 的面积为16，求△ABC 的面积． 问题引入 G F 问题4 S矩形DEFG=DE×DG 矩形DEFG 的边FG在△ABC 的边BC上，那么 矩形DEFG 的面积是多少？ 37 B C A E D 9 6 已知点D、E分别在△ABC 的边AB和AC上，DE∥BC， DE=6，BC=9，△ADE 的面积为16，求△ABC 的面积． 问题引入 G F P H S△ADE=16 AP AH PH 添加辅助线 问题4 = AP AH DE BC DE∥BC 矩形DEFG △ADE∽△ABC S矩形DEFG=DE×DG 矩形DEFG 的边FG在△ABC 的边BC上，那么 矩形DEFG 的面积是多少？ 38 B C A D E 例3 H P 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC上，DE∥BC， 如果AH 为边BC上的高， 你能得到哪些结论？ ∠BAC的平分线， 问题引入 AP 为边DG上的高 = AP AH DE BC △ADE∽△ABC AH 为边BC上的高 AH 为∠BAC的平分线 AP 为∠DAE的平分线 DE∥BC 问题2 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 39 B C A 例3 H D G P 如图，在△ABC 中，点D、G 分别在边AB、AC上，DG∥BC， 如果AH 为∠BAC的平分线，你能得到哪些结论？ P 例题讲解 思考3 P 40 例3 如图，在△ABC 中，点D、G 分别在边AB、AC上，DG∥BC， 如果AH 为∠BAC的平分线，你能得到哪些结论？ AP 为∠BAC的平分线 = AB AC BP PC 例题讲解 思考3 P 41 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A P 思考：如何构造相似三角形？ 分析 求证： ． PC = AB AC BP △PAB = AB AC BP PC △PAC 例题讲解 42 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A E P BE∥AC 思考：如何构造相似三角形？ 分析 求证： ． PC = AB AC BP = BE AC BP PC = AB AC BP PC △BEP∽△CPA △PAB △PAC 例题讲解 43 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A E P △BPE∽△CPA BE∥AC 思考：如何构造相似三角形？ 分析 求证： ． PC = AB AC BP = BE AC BP PC = AB AC BP PC BE=AB ∠E=∠BAP 例题讲解 44 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A E P △BPE∽△CPA BE∥AC 思考：如何构造相似三角形？ 求证： ． PC = AB AC BP = BE AC BP PC = AB AC BP PC BE=AB ∠BAP=∠CAP AP平分∠BAC ∠E=∠CAP ∠E=∠BAP 例题讲解 45 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A E P 证明 求证： ． PC = AB AC BP 过点B作BE∥AC，交AP的延长线于点E, ∴BE =AB. ∵BE∥AC， ∴△BPE∽△CPA， PC = BE AC BP ∴ . ∵AP平分 ∠BAC， ∴∠BAP=∠CAP . ∴∠E=∠BAP . PC = AB AC BP ∴ . ∠E=∠PAC. 例题讲解 46 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A P 分析 求证： ． PC = AB AC BP = AB AC BP PC 例题讲解 △PAB △PAC = S△PAC BP PC S△PAB 方法二 47 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A P 分析 求证： ． PC = AB AC BP = AB AC BP PC 例题讲解 = S△PAC AB AC S△PAB = S△PAC BP PC S△PAB 方法二 48 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 例9 B C A P 分析 求证： ． PC = AB AC BP = AB AC BP PC AP平分∠BAC 例题讲解 M N PM=PN PM⊥AB PN⊥AC = S△PAC AB AC S△PAB S△PAC= AC·PN 1 2 S△PAB= AB·PM 1 2 = S△PAC BP PC S△PAB 方法二 面积法 49 如图，已知：在△ABC 中，AP平分 ∠BAC． 思考3 求证： ． PC = AB AC BP 例题讲解 BQ平分∠ABC B C A Q B C A E CE平分∠ACB AP平分∠BAC = AB AC BP PC B C A P 50 课堂小结 数学知识 相似三角形的性质与判定 数学思想 转化（特殊---一般） 方程 数形结合 …… 变 不变 结束语 数学家的眼光，常常盯住变化中不变的东西。正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，帮助我们认识变化过程的本质。 —— 张景中 —— 52 Lavf57.58.101 $