28.2相似三角形（5）课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（5） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例，那么称这两个三角形相似 相似三角形 定义 相似三角形的预备定理 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 一般的三角形 直角三角形 ? 三角形相似的传递性 判定 性质 相似三角形的判定定理 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 复习引入 2 新知讲授 相似三角形还有哪些性质？ 相似三角形 全等三角形 对应角相等 对应边成比例 对应高 对应中线 对应角平分线 等于相似比 角 边 高 中线 角平分线 对应 对应 对应 对应 对应 相等 相等 相等 相等 相等 特殊化 一般化 类 比 ? 3 观察图中相似三角形，猜想：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比与相似比之间存在怎样的关系？ 新知讲授 对 应 高 对 应 中 线 对应角平分线 的比等于相似比 ? △ABC∽△A1B1C1 AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 ，垂足分别为D、D1； AE、A1E1分别是BC、B1C1边上的中线； AF、A1F1分别平分∠BAC、∠B1A1C1 . 4 如图，已知：△ABC∽△A1B1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 . 求证： . △ABD∽△A1B1D1 ∠ADB=∠A1D1B1=90° 分 析 ∠B=∠B1 △ABC∽△A1B1C1 分析条件，你有怎样的想法？ 分析结论，你有怎样的想法？ 三组角对应相等，三组边对应成比例 相等的直角；直角三角形 证比例线段；证两个三角形相似 新知讲授 例题 5 如图，已知：△ABC∽△A1B1C1，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 . 求证： . 新知讲授 ∴∠ADB=∠A1D1B1=90°. 证明 ∴∠B=∠B1. ∵△ABC∽△A1B1C1， ∵AD⊥BC，A1D1⊥B1C1， ∴△ABD∽△A1B1D1. ∴ . 相似三角形对应高的比等于相似比. 例题 借助大三角形相似， 证明由特殊线段构成的局 部三角形相似， 从而得到对应特殊线段的比. 6 △ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别平分∠BAC、∠B1A1C1. 新知讲授 △ABC∽△A1B1C1，AD、A1D1分别是BC、B1C1边上的中线 . △ABD∽△A1B1D1 , ∠B=∠B1 相似三角形对应中线的比等于相似比. ∠B=∠B1 , ∠BAD=∠B1A1D1 △ABD∽△A1B1D1 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 7 新知讲授 根据大三角形相似分析边、角关系 （用相似三角形的性质） 判定局部小三角形相似 （用相似三角形的判定） 得到特殊线段之比 （再用相似三角形的性质） 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. ∵△ABC∽△A1B1C1 ， AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 ， ∴ ∵ △ABC∽△A1B1C1 ， D为BC中点，D1为B1C1中点 ， ∴ ∵ △ABC∽△A1B1C1 ， AD平分 ∠BAC，A1D1平分∠B1A1C1 ， ∴ 8 新知讲授 如图，已知：△ABC∽△A1B1C1， △ABC与△A1B1C1的相似比为k，把这两个三角形的周长分别记作C△ABC、C△A1B1C1. 求证： △ABC∽△A1B1C1 比例的性质 分 析 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形周长的比与相似比有什么关系？ 方法不唯一 9 新知讲授 定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比. ∵ △ABC∽△A1B1C1 ， AD⊥BC，A1D1⊥B1C1 , AE、A1E1分别平分∠BAC、∠B1A1C1 , AF、A1F1分别是BC、B1C1边上的中线 . ∴ 10 新知讲授 相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ △ABC∽△A1B1C1 H H1 分别过点A、A1作AH⊥BC、A1H1⊥B1C1 . 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 还相等吗？ 11 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥ BC， DE=6，BC=9，△ADE的面积为16 . 求△ABC的面积. 例题讲解 分 析 DE∥ BC △ADE∽△ABC 6 9 相似三角形的预备定理 例题 12 例题讲解 解 ∴ △ADE∽△ABC . ∵ DE∥ BC ， 由DE=6，BC=9，S△ADE=16，得 ∴ S△ABC=36 . 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥ BC， DE=6，BC=9，△ADE的面积为16 . 求△ABC的面积. ∴ 例题 13 例题讲解 变式1 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥ BC， . 求 的值. 2k 3k 分 析 k DE∥ BC △ADE∽△ABC 14 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥ BC， . 求 的值. 例题讲解 2k 3k k 解 ∴ △ADE∽△ABC . ∵ DE∥ BC ， ∴ ∵ ∴ ∴ 变式 1 15 例题讲解 如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥ BC， 点F为BC中点，连接AF交DE于点G . 求证：点G是DE的中点. 分 析 F G DE∥ BC △ADG∽△ABF , △AEG∽△ACF 点F为BC中点 点G是DE的中点 变式 2 16 拓展延伸 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1的相似比为k . 点D、E在边BC上，点D1、E1在边B1C1上. D E D1 E1 （1）如果∠BAD= ∠BAC，∠B1A1D1= ∠B1A1C1 ，则 等于多少？ （2）如果BE=2EC ，B1E1=2E1C1，则 等于多少？ （3）你能提出更一般性的问题吗？ 17 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1的相似比为k . 点D、E在边BC上，点D1、E1在边B1C1上. 拓展延伸 D E D1 E1 ∠B=∠B1 ∠BAD=∠B1A1D1 △ABD∽△A1B1D1 （1）如果∠BAD= ∠BAC，∠B1A1D1= ∠B1A1C1 ，则 等于多少？ 分 析 18 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC与△A1B1C1的相似比为k . 点D、E在边BC上，点D1、E1在边B1C1上. 拓展延伸 D E D1 E1 ∠B=∠B1 △ABE∽△A1B1E1 （2）如果BE=2EC ，B1E1=2E1C1，则 等于多少？ 分 析 19 拓展延伸 （3）你能提出更一般性的问题吗？ 特殊 一般 由整体三角形相似，证局部三角形相似，得到位置对应的角等分、边等分等特殊线段的比. 课堂小结 类比全等三角形性质的研究过程 相似三角形的性质 一般 性质探究 推广延伸 一般 特殊 几何问题的解决 由整体三角形相似，证局部三角形相似，得到位置对应的角等分、边等分等特殊线段的比. 21 结束语 几何学的伟大之处在于，它能用如此少的原理推导出那么多的结论． —— 艾萨克·牛顿 22 $