28.2相似三角形（4）-课件-2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章 相似三角形 28.2 相似三角形 相似三角形（4） 年 级：九年级 学 科：数学（沪教版） 1 类比 复习引入 ASA AAS 两角对应相等的两个三角形相似. SAS 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. SSS 三边对应成比例的两个三角形相似. 三角形全等的判定 三角形相似的判定 2 复习引入 ASA AAS 两角对应相等的两个三角形相似. SAS 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. SSS 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等. 一般 三角形 直角 三角形 猜想 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 从一般 到特殊 类比 三角形全等的判定 三角形相似的判定 ? 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 3 如图，已知：在Rt△ABC 和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°， 求证： △ABC ∽△A1B1C1. 相似三角形的判定定理 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . ? 猜想 分析 △ABC ∽△A1B1C1 ∠C＝∠C1＝90° 另一组角对应相等 ？ 思路一 两角对应相等 思路二 两边对应成比例且夹角相等 无法得到 ∠B＝∠B1 思路三 三边对应成比例 无法得到 无法直接得到 ？ ？ 4 如图，已知：在Rt△ABC 和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°， 求证： △ABC ∽△A1B1C1. 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . ? 猜想 运用勾股定理 建立直角三角形的三边关系 设 分析 ？ AB= kA1B1 , BC= kB1C1 ∠C＝∠C1＝90° 设线段比 表达线段间关系 代入计算 求线段比 5 证明 如图，已知：在Rt△ABC 和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°， 求证： △ABC ∽△A1B1C1. 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . ? 猜想 6 如图，已知：在Rt△ABC 和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°， 求证： △ABC∽△A1B1C1. 方法二 方法一 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 是否还有其他方法？ 相似三角形预备定理 作平行线， 构造相似三角形 利用条件， 证明三角形全等 由传递性， 证明三角形相似 截线段， 构造相等线段 7 如图，已知：在Rt△ABC 和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°， 求证： △ABC ∽△A1B1C1. 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 在BC上截取BD=B1C1，过点D作DE//AC，交AB于点E. △BDE∽△BCA ∠BDE＝∠C＝90° BD=B1C1 Rt△BDE ≌ Rt△B1C1A1 △ABC ∽△A1B1C1 分析 D E EB =A1B1 方法二 方法一 是否还有其他方法？ 相似三角形预备定理 作平行线， 构造相似三角形 利用条件， 证明三角形全等 由传递性， 证明三角形相似 截线段， 构造相等线段 8 新知讲授 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 . 定理 在 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1 中， ∴ Rt△ABC ∽ Rt△A1B1C1 . ∵ ∠C＝∠C1＝90°， ， 类比猜想 推理论证 形成定理 简单应用 9 B1 A1 C1 D1 A B C D 例题讲解 分析 ∠A=∠A1 ∠A= 1802∠C ∠A1=1802∠C1 ∠ADB=∠A1D1B1=90 △ABD∽△A1B1D1 BD⊥AC ， B1D1⊥A1C1 例题 Rt△BCD∽Rt△B1C1D1 ∠C =∠C1 ∠ABC=∠C , ∠A1B1C1=∠C1 AB = AC , A1B1 = A1C1 证直角三角形相似 可证一对锐角相等 可证两直角边对应成比例 可证直角边和斜边对应成比例 ✓ ✓ 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AB = AC，A1B1 = A1C1，BD⊥AC， B1D1⊥A1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： . 10 B1 A1 C1 D1 A B C D 例题讲解 证明 例题 是否还有其他方法？ 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AB = AC，A1B1 = A1C1，BD⊥AC， B1D1⊥A1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： . 11 ∠ABC = ∠C ∠A1B1C1= ∠C1 例题 B1 A1 C1 D1 A B C D Rt△BCD∽Rt△B1C1D1 ∠C =∠C1 △ABC ∽△A1B1C1 ∠A =∠A1 ？ 例题讲解 证等腰三角形相似 可证对应顶角相等 可证对应底角相等 可证底和腰对应成比例 ✓ ✓ ∠A= 1802∠C ∠A1=1802∠C1 ∠ABC=∠A1B1C1 BD⊥AC B1D1⊥A1C1 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AB = AC，A1B1 = A1C1，BD⊥AC， B1D1⊥A1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： . 12 例题讲解 方法一 方法二 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AB = AC，A1B1 = A1C1，BD⊥AC， B1D1⊥A1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： . 例题 13 如图，已知：在Rt△ABC 与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠B1A1C1=90，AD⊥BC， A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： △ABC ∽△A1B1C1 . 练习1 课堂练习 分析 Rt△ABD∽Rt△A1B1D1 ∠B =∠B1 ∠BAC=∠B1A1C1=90 △ABC ∽△A1B1C1 14 练习1 如图，已知：在Rt△ABC 与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠B1A1C1=90，AD⊥BC， A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： △ABC ∽△A1B1C1 . 课堂练习 证明 15 练习2 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AD⊥BC， A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： △ABC ∽△A1B1C1 . 课堂练习 分析 Rt△ABD ∽ Rt△A1B1D1 Rt△ACD ∽ Rt△A1C1D1 ∠B =∠B1 ∠C =∠C1 △ABC ∽△A1B1C1 16 如图，已知：在△ABC 与△A1B1C1中，AD⊥BC， A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且 . 求证： △ABC ∽△A1B1C1 . 练习2 课堂练习 证明 17 如图，在△ABC 与△A1B1C1中, AB = AC, A1B1 = A1C1, BD⊥AC, B1D1⊥A1C1,垂足分别为点D、D1 ， 且 , 求证： . 如图，在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中, ∠BAC=∠B1A1C1=90°, AD⊥BC , A1D1⊥B1C1，垂足分别为点D、D1 ，且 , 求证△ABC∽△A1B1C1. 如图，在△ABC与△A1B1C1中, AD⊥BC , A1D1⊥B1C1, 垂足分别为点D、D1 ，且 , 求证△ABC∽△A1B1C1. 归纳小结 直角三角形 等腰三角形 一般三角形 （特殊） （特殊） （一般） 从等腰三角形、直角三角形到一般三角形，图形结构、高的位置、已知比例条件均发生改变. 先证局部小直角三角形相似，传递对应角相等，以此为依据，完成整体大三角形相似的证明. 18 课堂小结 定理学习 19 课堂小结 问题解决 借助局部相似推导整体相似：体会图形变化下推理方法的内在一致性. 相似三角形判定的基本思路： （1）由平行截线找基本图形； （2）由一组对应角相等，找另一组对应角相等或夹这组角的两边对应成比例； （3）由两边对应成比例，找夹角对应相等或第三边对应成比例或有一对直角； （4）证直角三角形相似，找一对锐角相等或两直角边对应成比例或直角边和斜边对应成比例； （5）证等腰三角形相似，找顶角相等或一对底角相等或底和腰对应成比例. 20 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的. —— 开普勒 21 $